刚体平面运动范文

2024-09-20

刚体平面运动范文（精选5篇）

刚体平面运动第1篇

刚体平面运动动力学方程是我国工科本科理论力学的基本教学内容.教育部力学基础课程教学指导委员会每两年组织一次的青年教师讲课比赛，其中约有两届曾以此作为讲课比赛决赛的选题.比较遗憾，晋级参加比赛的教师在讲授这部分内容过程中，或多或少地都出现了概念性的错误.究其原因，一是在理论力学教学中青年教师对静力学与运动学的教学内容下的功夫比较多，而对动力学的教学内容钻研比较少.二是目前一些理论力学的新教材或再版教材中确实也存在一些概念论述上的问题.

在体系上，大多教材先后安排静力学、平面运动刚体运动学与动力学三大定理等三方面的教学内容，然后开始介绍刚体平面运动动力学方程的推导.基本叙述过程如下.

如图1所示，定义惯性坐标系O-xryr，过刚体质心C建立刚体连体系C-xbyb.刚体的位形由质心C的矢径rC的坐标xC,yC与姿态角ϕ来描述.刚体所受的外力为平面力系，其主矢与对质心的主矩分别为FR与MC=MCzz.根据质心运动定理，有

刚体对质心的动量矩为LC=JC˙ϕz，根据对质心的动量矩定理˙LC=MC，有

方程(1)与(2)构成刚体平面运动动力学方程.

在叙述的过程中，都提及作用于作平面运动刚体的力系必须为平面力系.然而，根据常识，刚体在受力的情况下其最基本的运动是三维的空间运动.那么刚体在平面力系的作用下是否一定作平面运动呢？纵观上述的推导过程，是从刚体平面运动学出发去套用动力学定理，把一个三维的动力学定理人为地降为二维处理，这样做显然缺乏依据和说服力.

本文将刚体的平面运动视为刚体空间一般运动的特殊情况，从刚体空间一般运动的角度推导刚体平面运动动力学方程，从中考察刚体作平面运动的条件.

1 一般运动刚体运动学概要[1]

1.1 刚体一般运动的分解

如图2所示，过定点O建立三维惯性基er=(xryrzr)T，过刚体质心C建立刚体的连体基eb=xbybzbT与刚体的平动基es=

定义质心C的矢径为rC，刚体在惯性基上的位置可由其描述.rC在参考基er的3个坐标为xC,yC,zC,可定义为刚体的位置坐标.

刚体相对于惯性基er的姿态如同刚体连体基eb相对于惯性基er的姿态.由于平动基es始终与惯性基er平行，因而，刚体相对于惯性基er的姿态与相对于平动基es的姿态相同.就刚体姿态及其变化而言，刚体一般运动与刚体相对于基es绕质心C作定点运动一致.

综上所述，刚体一般运动可分解为刚体随质心C的平移运动与刚体绕质心C的定点运动.

1.2 刚体姿态的描述

如上所述，利用刚体绕质心的定点运动可描述一般运动刚体的姿态.由于平动基es与惯性基er始终平行，所以在描述一般运动刚体的姿态时，可用如图3所示惯性基替代平动基.

对于图3，定义基er为刚体的初始姿态，基eb为刚体的当前姿态.欧拉有限转动定理指出，对于刚体的前后两个姿态，存在一个单位矢量p和一个有限转角γ，刚体从初始姿态绕该单位矢量转过此有限角度可到达当前姿态.该单位矢量p称为一次转动矢量，角γ称为一次转动角.据此，对于刚体的当前姿态可用单位矢量p的3个坐标pi(i=1,2,3)与γ等4个标量来描述，它们构成描述刚体的姿态坐标.由于单位矢量3个坐标pi(i=1,2,3)的平方和为1，故4个坐标独立的只有3个.

根据欧拉有限转动定理可以采取下面的方法来定义刚体的另一种姿态坐标.其基本思想是初始连体基eb与参考基er重合，连体基的当前姿态是由其初始状态绕空间3个不同的基矢量(如图4所示)分别连续作三次有限转动((ψθϕ)T)后实现.这3个角称为欧拉角.刚体的当前姿态可用欧拉角作为姿态坐标.

1.3 刚体姿态的变化

考虑时刻t的刚体姿态，用连体基eb表示.经过微小的时间间隔∆t，连体基的姿态有一微小的变化.刚体的新姿态用连体基e b表示(见图5).由欧拉有限转动定理，实现由基eb到基e b变化的一次转动矢量记为p，转过的一次转动角为一小量，记为∆γ.定义刚体的平均角速度矢量为

显然，当时间间隔∆t取得越小，上述转动的时间历程越接近刚体实际的瞬时运动情况.在∆t趋于零的过程中，一次转动矢量p将趋于一个极限方位p，该方位的转轴称为刚体在瞬时t的转动瞬轴，简称为瞬轴.∆t趋于0时，平均角速度矢量的极限称为刚体在瞬时t的角速度矢量，记为ω，即

通过上述分析，瞬轴通过质心C，与刚体不固结.时间不同，它的方位也不同.

定义角速度矢量在基er上对时间t的导数为刚体的角加速度矢量，即

刚体角速度矢量可以在惯性基er上投影,记为ω=(ωxωyωz)T，也可以在连体基eb上投影，记为ω=ωxωyωzT[1].后者与姿态坐标欧拉角及其导数间的关系为

由上式可解得

这是以姿态坐标欧拉角为变量的一阶微分方程，称为刚体定点运动的欧拉运动学方程.

此外，有了基eb相对于基er的角速度矢量ω概念，可以推得任意矢量b在基er与基eb上对时间导数的关系，有

2 一般运动刚体动力学概要[1]

2.1 惯量

质点的惯性度量为该质点的质量.对于质点系，度量其惯性的物理量之一为质点系的总质量.

在刚体上过点O建立一连体基e(见图6)，定义

分别为刚体关于Ox,Oy与Oz轴的转动惯量.定义如下与转动惯量有相同量纲的量

称JOxy与JOyx为刚体关于Oxy平面的惯性积；称JOyz与JOzy为刚体关于Oyz平面的惯性积；JOzx与JOxz为刚体关于Ozx平面的惯性积.

刚体的转动惯量和惯性积与连体基基点位置及其指向有关.它们是描述刚体相对于该基质量分布的重要物理量.

如果惯性积JOxz与JOyz为0，则称Oz轴为刚体的惯量主轴.同样如果JOxy与JOxz为0或JOxy与JOyz为0，称Ox轴或Oy轴为刚体的惯量主轴.可以证明对于刚体上的点O至少存在一个连体基，该基的三根轴同时为刚体的惯量主轴，称该基为刚体的惯量主轴连体基.

2.2 刚体平移运动的动力学方程

由2.1节知，刚体一般运动可分解为刚体随质心的平移运动与刚体绕质心的定点运动.刚体平移运动动力学方程可利用质心运动定理得到.

将质心C在在惯性基er上的速度矢量记为vC，加速度矢量记为aC.它们分别是矢径rC在er上对时间的一阶与二阶导数，即

根据质心运动定理，刚体平移运动的动力学方程为

其中FR为刚体所受外力系的主矢.上式在惯性基er上的投影式为

2.3 刚体姿态动力学方程

考虑绕质心C作定点运动的刚体，连体基相对于惯性基的角速度矢量为ω.质点Pk的矢径为rk，该点的速度矢量为vk，有vk=ω×rk.刚体对定点C的动量矩LC为

求和号对刚体所有质点.令上式中的各矢量在连体基eb上的坐标阵分别记为

式(13)可表为如下坐标式

将式(14)代入上式，考虑到转动惯量与惯性基的定义式(9)与式(10)，经整理可得刚体对连体基三轴的动量矩分别为

根据刚体对质心的动量矩定理：˙LC=MC，其中MC为刚体所受外力系对质心的主矩.由矢量在惯性基下的绝对导数与在连体基下相对导数的关系式(8)，有

此式在连体基上的坐标式为

其中L C,M C分别为动量矩矢量、主矩在连体基的坐标阵，˜ω为角速度矢量在连体基的坐标方阵.将上式展开，有

可得刚体姿态动力学方程组的普遍形式

若将刚体对质心C的动量矩的表达式(15)代入，以上方程是关于角速度ωx,ωy,ωz的比较复杂的一阶微分方程组.如果力矩M Cx,M Cy,M Cz只是时间或刚体角速度的函数，方程组(16)是以角速度ωx,ωy,ωz为变量的封闭的一阶常微分方程组.通过积分可得到这些变量的时间历程.如果要得到刚体欧拉角姿态坐标(ψθϕ)的变化规律，则需将上述结果代入欧拉运动学方程组(7)求解.如果力矩M Cx,M Cy,M Cz与欧拉角姿态坐标有关，方程组(16)含角速度与欧拉角等6个变量.如果要求解必须将欧拉运动学方程组(7)与方程组(16)联立在一起积分.由此可见，通常情况下，刚体姿态动力学数学模型为含角速度与欧拉角等6个变量的式(16)与式(7).

3 刚体平面运动动力学方程

前述第2.2节给出刚体空间运动的描述：

平移运动

姿态运动

前述第2.3节给出了一般运动刚体的动力学方程组(12),(16)与(7).在给定初始条件下，可解得上述的刚体空间运动过程.

刚体平面运动作为刚体空间运动的特殊情况.不失一般性，令

平移运动

姿态运动

即刚体作这样的平面运动(如图8所示)：质心在平行于惯性空间Oxy的某平面内运动，同时刚体绕连体基zb轴转动.

将式(17a)与(17b)代入平移方程(12)，得平面运动刚体平移运动动力学方程

将式(17d)代入式(15)，刚体对质心C的动量矩变为

将其代入姿态动力学方程(16)，得平面运动刚体的姿态动力学方程

方程(19)与(20)是刚体作平面运动(17)的动力学方程组.下面分两种情况进行讨论.

(1)考虑到式(18)，如果系统受到的是如下的平面力系(如图8所示)

平移运动方程(19)存在，如同式(1).

对于姿态方程(20)，将后两式代入式(20a)与(20b)，有

姿态方程为(20c)，如同式(2).显然，以上两式成立的充分条件为：惯性积J Cxz=J Cyz=0.考虑此条件的必要性.将(22a)×J Cxz+(22b)×J Cyz，得

由于˙ωz=0,J 2Cxz+J 2Cyz 0，上式成立的条件为J Cxz=J Cyz=0.可见它也是式(20a)与(20b)成立的必要条件.

综上所述，在平面力系(21)的条件下，刚体作如式(17)描述的平面运动，动力学方程(1)与(2)成立的惯量充分必要条件为J Cxz=J Cyz=0，即Czb轴为惯量主轴.

(2)如果系统受到如下非平面力系

也可能作如式(17)描述的刚体平面运动.如果由式(20c)可解得ωz=ωz(t)，由式(20a)与(20b)可得到两力矩与ωz,˙ωz的关系式

如图9所示，刚体绕非惯量主轴Czb的定轴转动，是这种情况的一个案例.如刚体的重力与反力FOz抵消，FRz≡0.当刚体在主动力偶M Cz驱动下，˙ωz遵循方程(20c).约束反力在连体基上投影，其中F Ox和F Ax,F Oy和F Ay分别构成两力偶M Cy,M Cx,肯定不为0，由式(24)知，它们与角速度ωz和角加速度˙ωz有关，属轴承对转轴的动反力范畴.

4 结论

在外力系作用下，刚体通常作的是空间一般运动，其运动过程遵循刚体动力学方程(12),方程(16)和方程(7).从该数学模型可知，刚体的运动形态与作用的外力系有关，还与系统的质量及质量分布有关.特别需要指出的是刚体的质量分布将会明显影响刚体姿态的变化.

在平面力系FRz≡0,M Cx≡0,M Cy≡0下，刚体作平面运动惯量条件(Czb为主轴)是充要条件.所以在叙述与推导刚体平面运动动力学方程时，除了指出外力是平面力系的这个力的条件外，还需特别强调刚体作平面运动的惯量条件.

不满足惯量条件(Czb为主轴)的刚体也有可能作平面运动.但该力系肯定为非平面力系，即FRz≡

有人会提出，对于没有学过刚体一般运动动力学的情况，是否能叙述清楚上述涉及惯量条件的概念呢？作者认为有动力学的动量定理与对质心的动量矩定理作为基础，完成这个概念的介绍是没有问题的.由于本文篇幅有限，读者可参阅文献[1]有关章节.

最后需指出动力学方程为关于刚体位形的二阶微分方程组，刚体的运动还与初始条件有关，即使对于满足主轴条件，在平面力系的作用下，还必须满足刚体平面运动的初始条件，才可能实现刚体的平面运动.

参考文献

刚体平面运动第2篇

关键词：刚体,粗糙平面,平衡,稳定性

一般是利用拉格朗日-狄利克雷定理, 通过分析的方法确定保守系统势能函数的临界点及其极大或极小性, 来确定系统的平衡位置和判定其稳定性的.但是很多情况下, 这样得到的稳定条件的力学或几何意义还不是十分显然.本文讨论了平面刚体在粗糙平面上的平衡与稳定性问题, 说明用运动学、计算微振动固有频率和恢复力矩等方法, 同样可得到相同的稳定性条件, 从不同的侧面揭示了稳定条件的力学和几何意义.

从一个简单的例子开始, 一个均质圆柱在粗糙的平面上平衡, 由于重心C高度是不变的, 势能在任何位置都是驻值, 圆柱的平衡是随意平衡 (图1 (a) ) ;如果将圆柱切去一块, 如图1 (b) , 那么重心C在圆心O之下, 当圆柱作微小摇晃时, 重心C的轨迹凹向上, 平衡位置的势能是极小值, 平衡是稳定的.

再考虑图2中的模型.假设接触面是足够粗糙的, 半径为ρ1的半圆柱Ⅰ在半径为ρ2的固定半圆柱Ⅱ上作纯滚动, 其角速度ω是常量, 重心C轨迹的切线方向是水平的.设Ⅰ的圆心O1点的速度为vO1, 以O1点为基点, 求出C点的法向加速度

其中d是平衡时重心C相对接触点A的高度.当acn>0时, 重心C的轨迹凹向上, 平衡位置的势能是极小值, 平衡是稳定的, 因此导出稳定性条件[1]

当两个接触面不是圆柱面, 而是一般的凸柱形曲面时, 只要接触点的公法线是铅垂线, 而且上面刚体的重心在其上时, 将式中的ρ1, ρ2用两曲面在A点的曲率半径分别代之, 式 (2) 仍然成立.

现考虑较一般的情况.设凸柱形刚体Ⅰ在凸柱形面Ⅱ上作纯滚动, 角速度ω为常量, O1和O2分别是两曲面在接触点A的曲率中心, 如图3 (a) 所示.以O1点为基点, 求出刚体Ⅰ上任一点M的法向加速度

其中θ, β的定义如图3 (a) 所示.将r cosβ=ρ1cosθ-H代入式 (3) , 并令aMn=0, 得

其中

式 (4) 表示一个圆心在O1和O2的连线上O点、过接触点A、直径为的圆Γ, 如图3 (b) 所示.当刚体Ⅰ在Ⅱ上作纯滚动时, 此圆圆周上任一点的法向加速度为零, 该点为拐点, 其曲率半径为无穷大.一般称此圆为稳定圆[2]或拉奇尔圆[3].

如图3 (b) , 刚体Ⅰ的平衡条件为重心C与接触点A在同一条铅垂线上, 为保证不滑动, 要求此铅垂线在接触点的摩擦角内 (即α=∠CAO1<ϕm, ϕm为摩擦角) .设此垂线与稳定圆的交点为M1, 如果重心C位于M1之下 (稳定圆内, 即), 当刚体Ⅰ微晃动时, 重心C法向加速度指向上, 平衡位置势能是极小值, 平衡是稳定的;若重心C位于M1之上时 (即稳定圆之外) , 平衡是不稳定的;若重心C与M1重合, 平衡的稳定性一般可由势能函数中的三次或更高次项确定[2].故刚体Ⅰ平衡稳定的充分条件是

考虑刚体Ⅰ的平衡位置发生微扰动, 并在Ⅱ上作纯滚动, 接触点由A点变为A′点, 刚体Ⅰ上原来的A点运动至A1点, 由纯滚动的条件, 弧AA′与弧A1A′的长度相等, 记为s, 如图4所示.

由于扰动是微小的, 刚体Ⅰ和Ⅱ在A′点曲率半径仍分别为ρ1和ρ2, 于是, 直线A1C与铅直线间的夹角为, 于是刚体Ⅰ的角速度为

刚体Ⅰ的动能为

其中, JA′, JC分别为刚体Ⅰ对A′和C点的转动惯量, m为刚体Ⅰ的质量.重心C相对O2点的高度为

刚体Ⅰ的势能为

其中V0=mg (ρ2cosα+d) , D是稳定圆的直径.

通过拉格朗日方程, 可建立刚体Ⅰ的微振动方程, 然后获得固有频率

其中a是刚体Ⅰ对C点的回转半径.由式 (10) 可见ω2>0的条件与式 (5) 是一样的.

以下说明系统关于s的广义力就是重力对接触点A′的力矩 (仅差一个常数) , 因此稳定条件有另一个直观的几何解释:刚体Ⅰ作微晃动时, 其重心C落在过接触点A′的铅垂线与运动方向相反的一侧, 即刚体Ⅰ在平衡位置附近受到恢复力矩的作用.为此计算广义力

其中E, G分别是过C和A′的水平线与过O1点的铅垂线的交点, 及

是刚体Ⅰ的重力对接触点A′的力矩.若式 (5) 成立, 对充分小的s, 有, 当平衡位置发生微小扰动时, 刚体Ⅰ受到恢复力矩的作用, 故平衡是稳定的.

如果在刚体Ⅰ过平衡位置的瞬时, 接触点A的速度vA在水平方向的投影比重心C的速度要大 (图3 (b) ) , 刚体Ⅰ将受到恢复力矩的作用, 所以刚体平衡位置稳定的条件也可表示为

式 (13) 也给出与式 (5) 相同的稳定性条件.

参考文献

[1]刘延柱, 杨海兴.理论力学.北京:高等教育出版社, 1991

[2] Routh EJ.The Elementary Part of a Treatise on the Dy-namics of a System of Rigid Bodies:Being Part I.Of aTreatise on the Whole Subject with Numerous Examples (seventh edition) .London:Macmillan and Co., Limited, 1905

刚体平面运动第3篇

在进行非刚体的三维运动恢复重建的过程中,研究与分析非刚体的运动形变程度是至关重要的一环。近年来在非刚体的三维重建领域,学者们研究了一系列的形变估计方法,比较具有代表性的是L. Torresani, D. Yang等人提出的利用已知特征点的坐标测量二维矩阵的秩约束方法来进行分析与估算,这种情况的先天不足是特征点二维坐标的获取具有一定的噪声,这些噪声的存在将使矩阵秩的求解出现偏差,进而使形状估计出现偏差[1,2,3]。为了消除这种影响,Roy-Chowdhury等提出考虑噪声的分析方法,这种方法在一定的程度上使秩的估计准确性提高,但是这种方法的假设是图像的噪声是可控的,是具有同向性的;这种方法的实际应用效果并不明显,且有很强的局限性。

因为非刚性物体形变程度估计方法还不成熟,主要因为大部分非刚体结构和运动分析的研究未能准确估计图像序列中非刚体的形状基个数。然而实际上,形状基K值的估计在非刚体三维运动形变估计的研究中与特征点的个数有关,但是形状基受到背景多样性、运动复杂性、数据的丢失、特征点噪声等因素的影响会发生改变,带来估计值错误的问题[4,5]。K值计算错误则会给形变估计结果带来致命的打击。为了能够更准确、更方便地估算出非刚体形状基个数,即形变程度,提出一种基于特征运动簇的的算法来求取K值,也就是形变估计值,并且寻找了一种初始值的选取方法,使得非线性优化的过程中参数的求解更为准确,最小值获取的能力更强。

1 非刚体运动特征点计算

非刚体形变估计的第一步是有效地提取非刚体二维图片帧中的运动特征信息,提取各帧图像中有代表意义的关键的特征点

$[\begin{matrix} u_{i j} \\ v_{i j} \end{matrix}]$

;i=1,…,F;j=1,…,P。组成的特征点计算矩阵W2F×P(F为用于运算的图像帧数量[6],P为一帧包含非刚体图像的有效特征点数量),通过以上的基础,可以求出三维特征矩阵 $\tilde{S}_{i}_{3 \times Ρ}$ 和特征旋转矩阵Ri3×3。

在一般情况下,大部分非刚体的立体形状特征可以看成形状基的加权线性组合,因此可得: $\tilde{S}_{i} = \sum_{l = 1}^{Κ} ω_{i l} S_{l}$ 。其中,ωil为加权系数,Sl为形状基矩阵,K为形状基个数。这个个数随着非刚体的不同取值不同,大部分的算法都采用估计的方法。考虑到摄像机的位置等因素,有计算公式(1)。

$[\begin{array}{l} u_{i 1}, \dots, u_{i Ρ} \\ v_{i 1}, \dots, v_{i Ρ} \end{array}] = \bar{R}_{i} (\sum_{l = 1}^{Κ} ω_{i l} S_{l}) + \bar{Τ}_{i} e_{n}^{Τ} (1)$

式(1)中, $\bar{R}_{i}$ 是旋转矩阵Ri3×3的有效变形, $\bar{Τ}_{i}$ 是平移向量Ti3×1的有效变形,e $_{n}^{Τ}$ =[1,…,1]1×n。

如果运算量过大,那么可利用下述公式对其进行简化处理,从而减少运算量,提高运算速度。

${\begin{cases} \bar{u}_{i j} = u_{i j} - \frac{1}{Ρ} \sum_{j = 1}^{Ρ} u_{i j} \\ \bar{v}_{i j} = v_{i j} - \frac{1}{Ρ} \sum_{j = 1}^{Ρ} v_{i j} 。 \end{cases}$

则式(1)可变换为:

$[\begin{array}{l} \bar{u}_{i 1}, \dots, \bar{u}_{i Ρ} \\ \bar{v}_{i 1}, \dots, \bar{v}_{i Ρ} \end{array}] = \bar{R}_{i} (\sum_{l = 1}^{Κ} ω_{i l} S_{l}) (2)$

集合所以提取到的有效二维特征点信息,进行叠加运算处理,则有:

$[\begin{matrix} \bar{u}_{11} & \dots & \bar{u}_{1 Ρ} \\ \bar{v}_{11} & \dots & \bar{v}_{1 Ρ} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \bar{u}_{F 1} & \dots & \bar{u}_{F Ρ} \\ \bar{v}_{F 1} & \dots & \bar{v}_{F Ρ} \end{matrix}] = [\begin{matrix} ω_{11} \bar{R}_{1} & \dots & ω_{1 Κ} \bar{R}_{1} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ ω_{F 1} \bar{R}_{F} & \dots & ω_{F Κ} \bar{R}_{F} \end{matrix}] [\begin{matrix} S_{1} \\ ⋮ \\ S_{Κ} \end{matrix}] (3)$

通过以上计算能够看出,非刚体的特征计算矩阵W的秩是收敛的。采用一定的约束条件下对W进行奇异值,分解可得到M和B,并且存在一个3K×3K阶的非奇异变换矩阵Q,使特征计算可以得到正确的结果。

2 特征运动簇的选取与形变估计

在传统算法中,形状基个数K,也就是非刚体的形变程度为估计值。为了准确地估计运动人脸的形变程度K,可以结合式(1)构造一个目标函数,然后使用非线性优化的方法对这个目标函数进行K值的反投影求取。基本思想为在测量矩阵中选取一系列的特征点进行构造,与运算得出的点称为运动群。运动群中的点基本上涵盖了非刚体运动中旋转和平移的基础信息,这是基于这样的基础信息,得出了 $\bar{R}_{i}$ 与 $\bar{Τ}_{i}$ 的初始值,使得K值的非线性优化的估计更加准确。

2.1形心与目标函数的确定

选取的特征运动簇点应该能描述在非刚体运动中的旋转和平移矩阵。坐标轴的准确与否至关重要,物体的形心作为坐标原点的时候可以消除摄像机的平移向量。以往的研究中通常是以物体质心作为坐标原点,然而质心的变化差异只有在等密度的情况下才是最小的,并且忽略了噪声的存在。现在寻找物体的形心来作为坐标原点,并且将噪声的影响考虑进去,形心的计算方法如式(4)。

$C_{i} = [\begin{array}{l} a_{i} \\ b_{i} \end{array}] = \sum_{j = 1}^{Ρ} λ_{i j} [\begin{array}{l} u_{i j} \\ v_{i j} \end{array}] (4)$

式(4)是第i帧图像所有特征点坐标的加权和,其中λij为与噪声相关的加权系数。可以通过求解最小协方差点得到系数λij。为简化计算,只考虑每个特征点非方向性的径向误差σ $_{i j r}^{2}$ 。σ $_{i j r}^{2}$ 为噪声协方差矩阵主对角元素之和:

σ $_{i j r}^{2}$ =σ $_{i j 1}^{2}$ +σ $_{i j 2}^{2}$ (5)

求解得到的λij 为:

$λ_{i j} = (\sum_{l = 1}^{Ρ} \frac{\sum_{i = 1}^{F} (σ_{i j 1}^{2} + σ_{i j 2}^{2})}{\sum_{i = 1}^{F} (σ_{l i 1}^{2} + σ_{l i 2}^{2})})^{- 1} (6)$

由式(6)可知,加权系数与两个方向上的协方差σ $_{i j 1}^{2}$ 、σ $_{i j 2}^{2}$ 之和有关,噪声大的特征点的贡献程度比其它噪声小的特征点小。这样Ci就为第i帧图像的形心;这个形心在运动群中代表着各帧图像的平移向量。

针对描述旋转矩阵的运动群的一些点对图像的所有特征点分别位置矢量和的运算,位置的矢量和定义如式(9)。

$X_{j} = [\begin{array}{l} u_{i j} \\ v_{i j} \end{array}] - [\begin{array}{l} a_{i} \\ b_{i} \end{array}] (7)$

Xj为第i帧图像中第j个点的位置矢量。将所有的图像中的特征点划分为A与B两部分,并且分别将A与B中所有的特征点按照上一步求出各个位置矢量后,将所有的位置矢量按照式(8)进行累加。

经过公式(8)就将所有的特征点划分为了两个部分,进而分别对这两个部分进行同样的运算得到

接着再次将公式(9)做以上的位置矢量的叠加,得到公式(10)。

经过以上的运算后就会得出包括形心在内的7个位置矢量,这些位置矢量都是特征点经过运算矢量和得出的,这样的运动群可以描述物体的旋转情况,可以证明这样的矢量和是符合投影模型原理的。由于式(9)与式(10)都来自式(8)中的两部分,c,d,e,f四个位置矢量和基本上就能描述物体的旋转的大致情况;因为这些矢量和是可以形成投影模型的。所以将这四个点连同形心一起带入非刚体投影模型的目标函数中

$\begin{array}{l} [\begin{array}{l} u_{i} \\ v_{i} \end{array}] = {[\begin{array}{l} R (1, :) \\ R (2, :) \end{array}] [\begin{matrix} S_{11} & S_{12} & \dots & S_{14} & S_{15} \\ S_{21} & S_{22} & \dots & S_{24} & S_{25} \\ S_{31} & S_{32} & \dots & S_{34} & S_{35} \end{matrix}] + \\ [\begin{matrix} Τ_{i 1} & Τ_{i 1} & Τ_{i 1} & Τ_{i 1} & Τ_{i 1} \\ Τ_{i 2} & Τ_{i 2} & Τ_{i 2} & Τ_{i 2} & Τ_{i 2} \\ Τ_{i 3} & Τ_{i 3} & Τ_{i 3} & Τ_{i 3} & Τ_{i 3} \end{matrix}]} 。 \end{array}$

上式中的S矩阵为特征运动群的三维坐标,经过摄像机的投影变换,以后这些点被投影在了二维的图像中,这些点的二维坐标就是矩阵U。

U=[a,c,d,e,f] (11)

式(11)中的a,c,d,e,f分别代表物体的形心与描述旋转矩阵的四个特征运动群。将式(11)与特征运动群的真实二维坐标相比较,就应该为非线性优化的目标函数。

$\begin{array}{l} e r r = \\ [[\begin{array}{l} R (1, :) \\ R (2, :) \end{array}] \times [\begin{matrix} S_{11} & S_{12} & \dots & S_{14} & S_{15} \\ S_{21} & S_{22} & \dots & S_{24} & S_{25} \\ S_{31} & S_{32} & \dots & S_{34} & S_{35} \end{matrix}] + [\begin{array}{l} Τ_{i x} \\ Τ_{i y} \\ Τ_{i z} \end{array}]] - U 。 \end{array}$

Bill Trigs等人曾经指出,在非线性的优化中使用L-M(Liebenberg-Marquardt)的优化模式能为计算机视觉中运动结构参数为块状矩阵,即大参数的问题提供快速收敛的正则化方法[7,8,9,10]。这种方法其实在计算机视觉中被称为光束平差法,或者是摄影测量法;它主要提供了一种最小化的估计,这种估计的误差噪声是符合高斯分布。经过优化后就得到了描述物体旋转矩阵R与平移的矩阵T。

2.2非线性优化中形变程度的计算

算法的核心思想是运用非线性优化中闭合求解的方法来进行运动形变的分析,结合第一部分介绍的旋转矩阵与平移矩阵,将其作为初始值进行非线性优化中形变程度估计的求解。可以证明将物体的形心作为坐标原点后,式(1)就可以变为如下的形式。

测量矩阵与投影后的矩阵差计算方法如下:

。在非线性优化中初始值的选取对参数搜索和目标优化的影响是最大的,该算法使用了特征运动群的初始值优化旋转矩阵R与平移T。如在该优化的方法中,大部分的计算量处在Gauss-Newton这样的迭代步骤中;因为每一步计算都需要计算出目标函数的Hessian矩阵。假设Hessian 矩阵H可以被近似地表示成H=JJT(Gauss-Newton approximation)。这时J将随着模型的维度的增加而增加。当参数比较大的时候就会有大的计算量,这时就会将误差累积,准确性降低。本算法中采用了使雅可比矩阵稀疏化的方法来进行优化。在不断的迭代过程中,针对每一帧的图像都会计算出K与旋转平移矩阵;这里的K就代表着在整个的非刚体运动中物体的形变程度。通过实验与仿真分析证明这种方法得出的形变程度分析更加的符合实际情况。

3 实验结果与仿真

为了验证本文算法的有效性,试验选择了一个人脸在表情不断变化的过程中,其形变程度的分析估计情况。实验来自单目图像序列,每帧图像中共有68个特征点,拍摄的整个过程涵盖了人脸表情明显变化的各个阶段,包括微笑、沮丧、愤怒、无表情的各种情况,共100帧图像,分别采用本文的方法以及传统的具体的形变估计结果如图1所示。

实验中的第50帧图像代表着人脸各种表情的图像。图1中,第一行图像为本文提出算法得到的估计结果,第二排为传统的因式分解方法得到的估计结果,在该行图像的三维效果图中可以看到,与第一行的图像相比,从眼睛到鼻子这一部分有了明显的变化。为了能更好地说明估计结果的准确性。对第一组的实验过程中,取的多个特征点的估计矩阵经过投影变换后,与测量矩阵中的对应的特征点进行比较,评估结果。

在形变估计的过程中使用特定特征点的测量矩阵和投影矩阵做差,作为目标函数的最小值比较主体,可将形变估计过程更加形象地定性进行分析。

$\begin{array}{l} i m a g_e r r = Τ_{i j} - W_{i j} = [q u a t e r (R)] \times \\ [q u a t e r (Q_{i}) \times W_{i j}^{'} + Τ_{i}] - W_{i j} = [\begin{matrix} u_{1 j} - u_{1 j}^{'} \\ v_{1 j} - v_{1 j}^{'} \\ ⋮ \\ u_{F j} - u_{F j}^{'} \\ v_{F j} - v_{F j}^{'} \end{matrix}] 。 \end{array}$

imag_err就是对第i个形变估计特征点进行反投影后与测量矩阵进行的误差,然后使用2范数归一化后对误差总量求取投影误差比。具体统计结果如图2和图3所示。

图2与图3展示了使用特征运动簇的方法和传统的因式分解法得到的形变估计结果的投影误差情况,图中可见使用特征运动簇的方法投影误差明显小于传统的因式分解法。为了整体计算每个特征点的误差效果,引入投影误差的定义为:

$σ = \frac{∥ W - W_{r} ∥_{F}}{∥ W ∥_{F}} \times 100 % (2)$

式(2)中,W为原始测量矩阵,Wr为重建结果的反投影测量矩阵。计算结果如表1所示。

经过实验计算得出,运用本文的形变估计方法,得到的投影误差为5.1%,传统的因式分解方法的投影误差为6.7%,实验结果符合预期的效果。

4 结束语

本文提出了一种基于特征运动簇的非刚体形变估计方法。运用非线性初始化方法,使用此初始化的值与非线性优化的方法来进行物体的形变估计,在分析中本文使用了物体的形心变换中噪声的考虑,另外还寻找与变换中稀疏矩阵和梯度矩阵的分析,实验结果证明这种方法的可行性。这种方法提高了物体形变中分析的准确度,有很大的发展空间和理论研究价值。

摘要：由于非刚体运动形变估计是一个非线性的逆问题,非刚体运动时受到背景多样性、运动复杂性、数据的丢失、特征点噪声等问题的影响,使非刚性物体的形变程度估计面临着估计不准,误差较大的问题。为了解决这些问题,提出一种基于特征运动簇反投影的非刚体运动形变估计算法,将非刚体运动的形变估计过程中,加入一定的物理运动约束刻画不同非刚体运动形状基的情况下,运动形变的程度,使用非线性优化闭合求解的方法进行运动模型结构参数的重构,运用反投影后得到的结果估计非刚体的形变程度。实验结果表明,这种方法得到的解,误差较小,效果明显。

关键词：特征运动簇,非线性优化,形变分析

参考文献

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[9]杨华庆.基于样本互作转换的人脸识别.计算机仿真,2011;(9):34-38

空间运动刚体角速度的一种形式第4篇

一般空间运动刚体角速度是理论力学教学的重点和难点.目前在《理论力学》教学中,空间运动刚体角速度常常通过两种方法引出:一种是通过欧拉定理得到瞬时转轴而引出[1,2],另一种是由坐标转换矩阵对时间的导数构造一个反对称矩阵而引出[1,3].前者一般而言几何上较为直观,容易理解,但实现较麻烦;后者叙述简单,但较为抽象,这已引起相关力学工作者的重视[4,5],通过矢量运算引入角速度,过程简单,但要求学生熟悉矢量求导运算相关内容.本文直接通过有限转动矩阵描述刚体的转动,在此基础上,通过坐标转换矩阵对时间的导数引出角速度的概念,融合了传统两种方法的特点,角速度的形式也较为直观.

1 传统方法

刚体空间一般运动可通过基点的平动和绕基点转动来描述,并且转动与基点的选择无关.所以角速度的引入可忽略平动的影响.

1.1 通过欧拉定理引出角速度

这种方法首先定义瞬时角速度.设刚体在无限小时间间隔Δt内完成无限小转动Δθ,当时间间隔Δt趋近于零时,定义瞬时角速度矢量为

式中,p为瞬时转轴.

1.2 通过坐标转换矩阵引出角速度

设从连体坐标系到固定坐标系的(3×3)坐标转换矩阵为A,由于坐标转换矩阵是正交的,所以

式中,I为(3×3)的单位矩阵.式(2)两端对时间求导数可以得出

或

可判定都为反对称矩阵,前者是角速度在连体坐标系下的坐标方阵[1],后者可理解为角速度在参考坐标系下的坐标方阵[6].所以可定义

则角速度在连体系和参考系下的投影分别为

只有在避免了有限转动非矢量性质发生作用的前提下,角速度才会表现出与平移运动速度相似的形式(1),这种形式直观性好,容易理解,但难以直接使用.而基于坐标转换矩阵的一般实用化表示,物理意义不十分明确,所以只好将角速度理解为一种算子,其对连体坐标系中固定矢量的叉乘运算将得到该矢量的速度[7].

2 基于有限转动矩阵的方法

2.1 有限转动矩阵的引入

设连体坐标系相对于参考坐标系绕单位矢量v转动θ角,则连体坐标系到固定坐标系的(3×3)坐标转换矩阵为[1]

式中,为v在连体坐标系下的坐标方阵.

2.2 角速度的定义

将式(6)代入式(4),并结合式(5)可得

设单位矢量v在连体坐标系下的坐标为(v1,v2,v3),则

并且满足

观察式(7)和(8)发现,角速度实际上分解到3个方向,和v上,其中在v上的分量为,这与平动时的形式相似.事实上如果假设转轴v在空间固定,即,则式(7)或(8)分别可简化为

或

上两式与式(1)形式完全相同,这说明式(1)是式(7)和(8)的特例.而式(7)和(8)比式(1)多出的两项是由于转动轴的任意选取导出的,即角速度在转动轴v的垂直平面内存在分量.

比较角速度的定义式(1),(5)和(7),不难发现:式(7)不仅保存了式(1)的几何直观性,而且操作性较好,但形式较复杂;式(7)和式(5)相比,形式较为简单,而且物理意义明确,但推导过程较为复杂.

3 结论

一般空间运动刚体角速度是《理论力学》教学中的难点和重点,本文首先分析了两种常用来引入角速度的方法,在此基础上介绍了一种角速度概念的新形式,该形式综合了两种传统方法的优点,有利于教学活动的展开和学生理解,供相关人员参考.

参考文献

[1]刘延柱，洪嘉振，杨海兴．多刚体系统动力学．北京：高等教育出版社，1989．30～33

[2]哈尔滨工业大学理论力学教研室．理论力学．北京：高等教育出版社，2002，405～410

[3]朱照宣等．理论力学(上册)．北京：北京大学出版社，1997．188～192

[4]王侃，任革学，李俊峰等．关于刚体角速度定义的一个注释．力学与实践，2007，29(1)：71～72

[5]李海龙，水小平．一种引出一般运动刚体角速度概念的新方法．力学与实践，2007，29(1)：73～74

[6] Shabana AA.Dynamics of Multibody Systems.New York: Cambridge University Press,2005.30～50

刚体平面运动第5篇

1 角速度向量的引入

设固连在刚体上的任意向量r,其长度为常数,设为C,

即

把式(1)两边对时间求导,得

因此可设

存在唯一向量ω,使对刚体上任意固连向量r,式(3)成立.该向量ω称为角速度向量.下面证明唯一性.

设刚体上另一任意固连向量r',同理可设

因为r和r'均为刚体上的固连向量,所以向量(r'-r)的长度为常数,设为C1,即

把式(5)两边对时间求导,并将和式(2)～(4)代入,得2(r'-).(r'-r)=2r.[(ω-ω')×r']=0.因r和r'是任意的,必有ω=ω',唯一性得证.

2 对角速度向量物理意义的讨论

式(3)表明刚体上任意固连向量r对时间的导数,都与同一向量ω有关,即向量ω反映了刚体的一种整体运动特性.具体说明如下:

如图1所示(图中刚体未画出),建立固定坐标系Oxyz,设RP和RB分别为刚体上P点和B点的位置向量,r为固连于刚体上由B点到P点向量,由图可见

将式(6)两边对时间求导,并利用式(3),得

这就是刚体上任意点P的速度的基点法公式.其中B为基点,vP和vB分别为刚体上P点和B点的速度向量.

由式(7),在刚体(或其延拓部分)上可以找到瞬时螺旋轴,在该轴上各点的速度大小相等、方向与角速度向量ω平行[3].把基点选在瞬轴上,由式(7)知刚体上任一点的速度等于瞬轴速度和绕瞬轴转动速度的向量和.在某一瞬时,刚体的运动可以看作在沿着瞬时轴运动的同时,又以角速度ω绕该轴转动.对于定轴转动的特殊情况,瞬时螺旋轴退化为固定轴.

3 结论

可见,利用定长向量的导数与其自身垂直的特点,易于引入角速度向量,且有助于对角速度物理意义的把握.

参考文献

[1] Andrew Pytel,Jaan Kiusalaas.Engineering Mechanics Dynamics (second edition).北京：清华大学出版社，2001: 457～458

[2]哈尔滨工业大学理论力学教研室．理论力学(Ⅱ)(第六版)．北京：高等教育出版社，2002：109～110

[3]朱照宣，周起钊，殷金生．理论力学(上册)．北京：北京大学出版社．1982：188～191，211～213

[4]王侃，任革学，李俊峰等．关于刚体角速度定义的一个注解．力学与实践，2007，29(1)：71～72

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