经济研究中的数学模型

经济研究中的数学模型（精选12篇）

经济研究中的数学模型 第1篇

一、宏观调控的数学模型

1976年, R.Dombusch给出了一个开放条件下的预测与汇率的模型, 他利用了一种简单的菲利浦斯关系:

后来Frankel以及Buiter等人对此进行了修改:

其中, m为货币增长率。

Mussa把货币增长率再次修改为p, 即均衡价格的变化率:

(2) 、 (3) 式表明, 可以通过适当的货币政策改变通胀水平, 而不对产出产生任何影响。1993年当中国的通胀达到一定水平的时候, 人们想在不降低GDP增长的情况下降低通胀, (2) 、 (3) 两个模型当然是理想的。但是 (2) 、 (3) 是在不存在加速性通胀的情况下导出的, 因而ddmt=dtdp軈=0。

对于存在加速性通胀的情况下, Talor利用了卡甘的适应性预期, 令:

其中, a为通货膨胀率, 即通胀率的变化率等于实际的与预期到的通胀率乘以一个β系数, 于是 (2) 、 (3) 式变为:

由以上公式, 我们可以构造一个社会损失函数:

其中为宏观调控开始时的GDP增长率, y为当期GDP增长率, 它与的任何差距被视为一种损失p′, 为当期实际通胀率, w为权重, 它表示宏观调控主导者在GDP损失和通胀率之间的好恶选择。

我们给定一个调控的区间[0, π], 如1993年7月到通货膨胀率为零的时点, 那么在这期间内总的社会损失就是:

如果我们不是站在现在的时间点, 而是站在1993年7月宏观调控开始的时间点上, 那么自这个时间点以后所有的社会损失为:

这是包含两个变量的社会损失函数。但这里我们必须搞清楚一个问题, 就是市场经济下的资源配置到底比计划经验下的资源配置优越多少。如果我们指的这种优越仅仅限制在经济增长这一维向量上, 那么我们若能测量出市场机制下比计划机制下GDP多增长的数量, 并且计算出宏观调控中的改革在多大程度上增进了市场化, 那么就可以算出由于市场化改革而产生了多大的收益———GDP的市场化增量。在此基础上改革的市场化程度就可以换算成经济增长, 进一步根据上面的公式换算成通胀率, 于是改革变量就完全可以进入宏观调模型。

二、商品价格调整模型

伊万斯曾提出某种商品的特定市场模型。需求方程和供给方程与平常简单的线性模型的方程一样, 并且可以用通常的方法解出均衡价格。此外, 有一个表示在整个时间内的价格变化率与过度需求成正比的方程。此比例系数大于零, 因此意味着正过度需求 (供不应求) 使价格上升, 而负过度需求 (供大于求) 使价格下降。下面建立它的数学模型, 设某商品的市场价格p=p (t) 随时间变动, 其需求函数:

供给函数:

由前面知, 价格函数p (t) 满足微分方程:

把 (4) 、 (5) 代入 (6) , 得:

其中, 是在本模型中用普通方法解出Qd=Qs中的p所得的均衡价格。

令k=r (b-d) , , 通过分离变量解出。

因为当t=0时, p=0, 所以, 因而。

由解的表达式可得, 当t→∞时, 。

此式表明:价格随时间呈指数增长, 随着时间趋于无穷大, 价格将逐步趋向均衡价格。

参考文献

[1]、慈宇, 红秦丽.数学建模在经济领域中的应用[J].集团经济研究, 2007 (2) .

经济研究中的数学模型 第2篇

【摘要】现实生活中需要用到的數学概念及运算法则，通过抽象推理得到的数学发展，再通过模型实现数学与外部世界的联系即数学模型。小学数学课堂教学中，老师要有意识的融入数学模型思想，以促使学生更好的体会、理解数学与外部世界的联系，激发其学习兴趣，掌握学习数学的基本方法，从而提高小学数学教学的有效性。

【关键词】数学模型思想小学数学课堂教学

数学模型是一种特殊的数学结构，有效利用数学模型可以将抽象的数学内容具象化处理，以提高数学解决现实问题的实用性；并且合理应用数学模型可以帮助学生更加准确的理解教学内容，提高学习效率。由此可见，在小学数学教学中融入数学模型思想具有重要的现实意义。

一、小学数学中的数学模型

广义上讲，所有的数学概念、数学理论体系、数学公式、数学方程及相关的算法系统等均属于数学模型的范畴；狭义上讲，数学模型是反映特定问题或特定具体事物系统的数学关系结构。本文所研究的小学数学教学中的数学模型是基于狭义的角度而言，即应用数学符号建立起的代数式、关系式、方程、函数、不等式、图表、图形等，而小学阶段的数学模型以公式模型、方程模型、集合模型及函数模型为主。其中数学公式是从现实世界中抽象出来的数学模型，其不包含事物的个别属性，其所反映的是客观世界数量关系的符号，其典型意义也更加突出，比如总价=单价×数量、长方形的面积公式、周长公式等等均属于公式模型。方程模型应用合理可降低应用题的答题难度，解答应用题时可以先将问题归结为可以确定的若干未知量，设想未知量已求出，根据条件列出已知量与未知量之间成立的一切关系式，再从已知条件中分析出部分条件，同一个量用两种不同的方式表达出来，得出一个与未知量相关的方程式或方程组，通过解答方程式或方程组获得应用题的答案，并验证其正确性。集合模型可简化问题背影，帮助学生用更简单的方法解决实际问题。小学阶段的函数模型主要为正比例及反比例的问题，其中正比例为一次函数，反比例为反比例函数的初级形式，小学阶段学习正比例、反比例的知识可以使学生体会变是思想，在其后续的教学中渗透函数模型思想。

二、小学数学教学中数学模型思想的渗透策略

数学模型思想可以促使学生提高对数学知识的理解与记忆，从而提高学习效率。在实际小学数学课堂教学中，可以从以下几个方面渗透数学模型思想：

（一）简化背景，构建数学模型

数学建模是一个“数学化”的过程，需要进行逐步抽象、逐步简化，因此教学过程中老师可以有意识的采用变式的方法不断变化数学问题的背景或非本质属性，并构建数学模型，突出数学问题的本质。比如在学习“分数”的相关知识时，对于一个小学三年级的学生而言，充分理解“把一些物体看成一个整体平均分布若干份，其中的一份或几份也可以用几分之一或几分之几来表示”这一抽象概念有一定的难度，针对这种情况，就可以采用简化“分数”这一知识背景的方法构建数学模型。教师在课堂上向学生展示一盘桃子，向学生提出问题：第一次，盘子里只有1只桃子，平均分给4个学生，需要将这盘桃子分成几份？每个学生可以分得几份？每个学生分得这盘桃子的几分之几？注意整个过程中教师都不断强调“盘”这一量词。学生顺利的回答出“每个学生可分得这盘桃子的1/4”。接着教师又展示一盘桃子：现在这个盘子里有4个桃子，现在把这盘桃子平均分成4份，分给4个学生，那么每个学生可以分得几份？每个人分到这盘桃子的几分之几？由于教师不断强调“一盘”为一个整体，学生很容易就答出来“一盘”桃子可以分成4份，分给4个学生每个学生可分得这盘桃子1/4。依此类推，教师先后向学生又展示了2盘桃子，盘子中桃子的数量均为4的倍数，屡次重复、变化，学生逐渐发现一个规律，即无论盘子里有几颗桃，只要平均分成4份，都是这盘桃子的1/4。这种教学操作逐渐简化了具体的教学实例，将其进行抽象化处理，应用数学模型的方法帮助学生进行理解，使学生对分数意义的本质有更加深刻的认知。

（二）引导学生参与建模过程

新课程改革强调学生的主体参与性，突出学生的主体性，以强化素质教育的教学目标。由此可见，在小学数学教学中学生的主体参与性会对老师的.教学效果产生决定性影响，因为学生主动习得的知识会更加深刻，而被迫灌输的知识则多是暂时性的，因此老师要有意识的调动学生的主体参与性，在数学建模过程中老师要引导学生直接参与进来。比如在学习数学轴的相关内容时老师就可以引导学生建立数轴模型：课堂上可拿出直尺观察，直尺就是一个直观的数轴；再比如上述分数的学习过程，老师提问、学生回答的过程也是学生主动参与建模的过程。

（三）运用联想教学提高学生思维的跳跃性

小学数学课堂教学中要改变传统机械模仿、生搬硬套的教学方法，运用联想教学引导学生从复杂的数学问题中寻找知识规律，从本质上对各个数学知识点的相同及相似之处，以完成模型构建。比如在教学过程中学习“比”的概念，直接告知概念比较简单，但是学生需要死记硬背才能掌握概念，且不一定能深入理解，而建立比的数学模型却可以大大提高教学效果。生活中很多事物的属性均可以比较，比如物体的大小、质量、长短、高矮等均可以用一个量面积单位、质量单位、长度单位进行比较，但还有些事物无法直接比较，比如谁跑的更快，就需要抽象的时间来比较。比如45千米的距离骑车3小时，苹果2千克一共9元，二者均可以用比的形式表达出来。学生完成题目后会发现：不仅同类的量可以用“比”的形式表达出来，不同类的量也可以用“比”的形式表达。这种结构链接利用知识间的联系，使学生更好的理解“比”的概念。

三、结语

总之，在小学数学教学中融入数学模型思想可加强促进学生对抽象数学知识点的理解，引导学生基于多角度、多维度解决问题。当然，根据教师的教学实践可知，在小学数学教学中渗透数学模型思想的方法是多种多样的，无论是简化背景、引导学生的主动参与，还是运用联想教学，都要结合实际教学情况，才能保证教学的有效性。

参考文献：

[1]屈淑静.如何提高小学数学教学的有效性[J].新课程研究（基础教育）.（02）

[2]李爱云.实现小学数学教学生活化的策略[J].学周刊.（09）.

[3]王俊果.小学数学教学要努力培养学生的创新意识[J].教育实践与研究.2016（03）

[4]肖光涛.小学数学教学中如何培养学生创新能力[J].四川教育学院学报.2016（10）

经济研究中的数学模型 第3篇

研究性学习是一种重要的数学学习方式.其广义是指学生对数学问题进行主动探究的课程或活动.狭义是指在数学教师的指导下，学生根据自己的兴趣爱好，结合自己的学习和生活，自主选择数学研究课题，以主动探究的姿态和类似科学研究的方式，探究得出自己的结论.数学研究性学习作为在数学学科背景下开展的研究性学习方式，它能为学生的数学学习和研究提供自由的探索和创造氛围，也为数学的应用提供有效的实践途径.

2数学模型化思维的内涵及应用背景

数学模型化思维是高中数学教学中的一种重要的思维方法，是形成数学建模过程与方法的基础，这种思维最突出的特点是要求学生具有较强的模型识别和转化能力，注重从现象到本质，从直观到抽象，把实际问题进行提炼，加工，转换成数学问题.再用数学知识和经验将数学问题解出，然后用数学问题的答案说明和解释实际问题.

普通高中数学课程标准重视用模型化思维去培养学生的数学建模能力，数学建模（Mathematical Modeling）即建立数学模型的过程，它是一种数学的思维方法，一种以数学为工具，用数学解决实际问题的方法，包括对实际问题进行抽象、简化，建立数学模型、求解数学模型、验证数学模型解的求解全过程[1].当下，随着数学建模竞赛非常流行和受关注，数学模型化思维已深深地渗透和蕴涵在高中数学教学和对学生的思维能力培养之中.加之近几年高考数学题中数学应用问题、数学开放题越来越受到人们的关注，教师更应该自觉地、主动地培养学生的数学模型化思维.3高中数学模型化思维在研究性学习中应用的理性分析

3.1数学模型化是数学建模的思维形式，而数学建模本身也是一种研究性学习

一方面，数学建模是让数学与现实生活之间基于数学语言和数学模型的转化建立通向问题解决之路的大道.而数学模型化是数学建模的思维形式，研究性学习所关注的实际问题无法直接用数学方法解决，因为实际问题需要先被抽象为可以解决的数学问题，数学模型化思维的作用正是如此.另一方面，数学建模本身也是一种研究性学习，因为它强调学生对问题自主探究，学生通过分析和理解实际问题或预先设计的问题情境，把握问题中的核心内涵并建立数学模型，这个过程伴随着学生对数学知识的运用和学生问题意识的培养，这也正是研究性学习所提倡的.

3.2数学模型化思维具有开放性与发展性，促使研究性学习在实践中得到拓展

数学模型化思维与研究性学习的结合让学生突破了以教室、教师、教材为中心的传统教学观念.由于研究性学习让学生走出课堂，面对现实社会，学习环境是开放、多元的，而数学模型化思维的开放性和发展性正是让开放的现实生活与数学建立联系.运用数学模型化思维的目的是让学生学会利用自己的数学知识和数学经验去解决现实生活中的实际问题.整个过程培养了学生的问题意识，分析问题、解决问题的能力，更重要的是培养了创新能力[2].

3.3数学模型化思维应用于研究性学习，可以形成研究数学问题的一种新模式

将数学模型化思维应用于研究性学习，可以表征为：抽象—符号—应用的基本模式.学生在探索、获得数学模型的过程中，不仅应用了所学的数学知识，也同时获得了构建数学模型、解决实际问题的思想、程序与方法，这对于学生的思维发展来说，其意义远大于仅仅获得数学知识本身.通过这种研究数学问题的模式的训练，可以培养学生的提出问题、分析问题以及运算求解和验证推广能力，让学生体会数学家的研究过程、创造的激情，有助于培养学生敢于质疑、勤于反思的思想和习惯，发展学生的创新意识和实践能力，养成严谨的科学态度和不畏艰难的科学精神[3].4高中数学模型化思维在研究性学习的应用的一般程序

4.1知识背景准备阶段

首先让学生明确进行研究性学习的目标、操作步骤和方法，以及本次学习活动的意义.教师开始对整个研究性学习过程做全程监控.

4.2选题阶段

学生根据自己的兴趣爱好，社会热点等从现实生活中自由选题，或者教师根据教材所学内容为学生提供与所学知识联系紧密的实际问题.

4.3制定计划，分工合作

将研究性学习各时期任务合理分配给小组成员，可根据个人意愿、兴趣自由分配.

4.4搜集分析资料，丰富研究背景

学生根据研究课题搜集资料，做调查研究，明确此次研究所用到的数学知识并整理做好研究准备.

4.5运用数学模型化思维实施研究性学习

（1）跟据生活经验，将现实问题通过自己的理解改造为现实模型.

（2）依据数学知识，将现实模型抽象概括为数学模型.

（3）运用数学思想和运算求解方法将数学模型的解解出.

（4）将数学模型的解还原为现实模型的答案，并就其转换关系做合理解释.

（5）依据现实模型的解为原现实问题做答，并检验判断是否符合实际，以作进一步修改[4].

4.6处理结果，书写研究课题报告

在教师的指导下将研究成果做规范化整理并形成书面报告.

4.7自我评价与同学互评，形成资源共享

对研究成果分别进行自我评价和同学互评，找出优点与不足之处，相互吸取借鉴经验，整个过程使得每位同学的研究性学习成果形成资源共享.

4.8教师点评并作研究总结

教师对研究成果进行点评，更要对学生在整个研究性学习过程中表现出的亮点及不足点出，从而促进学生进步，使其认识到研究性学习的价值.5案例分析

在学习数列这一章的时候，教师布置了一个研究性学习任务，让同学们在生活中找出与数列有关的事物，抽象成问题，并用数学建模的方法将问题解出.

有一个小组的同学根据教师的要求，细心观察生活，发现生活中的养老金问题可以抽象为数列问题.然后小组成员分工合作，搜集关于养老金问题的资料，得到一个问题素材：

某位青年已经工作了几年，从开始工作就参加了养老保险.他每年年末存入等差额年金p元，第一年末存入了p元，第2年末存入了2p元，……，第n年末需要存入np元，年利率为r，则第n+1年初他可以一次性获得养老金本利合计多少元？

案例分析在数学教学中由浅入深、由易到繁地运用模型法思想，不仅可以强化学生对数学基础知识的学习，还可以培养数学应用意识，提高学生的实践能力.本例中的这一组同学通过分析认为这个问题可以抽象为“数列模型”，运用数列的解题方法将其解出.从简单问题入手，引导学生学会运用转化思想建立数学模型，使实际问题具体化、数学化，然后运用数学方法求出了数学模型的解，从而使问题得到解决.以下是解题过程：

这人各年存款数本利合计为

p（1+r）n-1，2p（1+r）n-2，…，n-1p1+r，np

所以第n+1年初他有本利合计为

n=p（1+r）n-1+2p（1+r）n-2+…+n-1p1+r+np①

11+r×①，得

11+rn=p1+rn-2+2p1+rn-3+…+n-1p+np1+r②

①-②，得

r1+rn=p（1+r）n-1+p（1+r）n-2+…+p-np1+r，

即

r1+rn=p[（1+r）n-1]r-np1+r，

所以

n=p[（1+r）n+1-n+1r-1]r2.

所以，第n+1年初他可以一次性获得养老金本利合计n=p[（1+r）n+1-n+1r-1]r2元.

这组同学在数学课上将自己的研究过程展示给全班同学，其他同学了解了他们的学习情况后，对有关问题进行评价和提问，这组同学为其解答，最后教师对整个过程做出评价，指出这组同学此次研究性学习的优点与不足之处，也为其他同学提供了一次学习的机会[5].

在解决本题的过程中，学生们真正感受到了数学模型化思维方法的魅力，数学的应用价值；感受到了数学模型法使许多数学问题不再神秘莫测，能够顺利求解.数学模型法促使学生学会观察、分析、综合、概括、归纳、类比、判断，学会怎样应用数学、怎样学习数学.6值得注意的几个问题

6.1注重培养学生的元认知能力

“元认知”即“对认知的认知”，是学生学习的自我意识和自我监控能力.在运用数学模型化思维于研究性学习之中时，教师应放手让学生去独立进行，研究性学习是学生根据自己的学习能力，学习任务的具体要求，积极主动地调整自己的学习策略，对自己的整个学习过程起到有效的监控与调节.并在学习的最后，让学生进行自我审视，自我评价.

6.2数学教师面临更高的要求

数学模型化思维应用于研究性学习，克服了传统教学方法的弊端，同时它也给数学教师提出了更高的要求.在建模研究的过程中，数学教师要比学生更加扩大知识面，收集更多有用的信息和学生可能用到的数学工具，在开放的情境中把握方向，引领学生.面对不同的学习活动、不同的学生，实施灵活并且积极的教学评价，让学生在学习实战中增强自信心.

6.3重视引导反思，内化新知

数学模型化思维应用于研究性学习，既要重视过程中学生的思维的发散性、开放性，又要重视后期阶段的反思、提炼和思维的聚合性.因此，教师应善于捕捉思维的恰当时机，引导学生做到收发有度，聚焦本质，促进研究性学习目标的有效达成.同时，教师要充分发挥问题驱动的作用，有意识地引导学生对自己、对别人的研究性学习过程和结果进行反思概括，这样才能达到内化新知，新旧知识建立联结，促进同化与顺应过程的实现.参考文献[1]夏师.关于在数学建模教学中开展研究性学习的思考＼[J＼].教育与职业，2010，（12）：96-97.

[2]刘鲁文，黄娟.数学建模研究型学习理论架构与实践模式探讨＼[J＼].长江大学学报，2010，7（3）：688-690.

[3]白兴波.数学建模与中学生研究性学习能力的培养＼[J＼].江西金融职工大学学报，2006，19：305-306.

[4]张硕，石俊娟.关于数学建模与数学研究性学习的研究＼[A＼].全国高师会数学教育研究会2006年学术年会论文集＼[C＼].2006.

[5]兰永胜.数学思想方法与建模技巧＼[M＼].青岛：青岛海洋大学出版社，2000：226-229.

经济研究中的数学模型 第4篇

一、导数和边际分析

(一)导数的概念

(二)偏导数的概念

(三)边际分析

在现实经济活动中,若设某经济指标y与影响指标值的因素x1,x2,……,xn之间成立函数关系y=f(x1,x2,…,xn),我们把函数y=f(x1,x2,…,xn)的一阶偏导函数f'xi(x1,x2,…,xn)(i=1,2,…,n)称为函数y=f(x1,x2,…,xn)的边际函数,记作My,偏导函数My=f'xi(x1,x2,…,xn)在点P0处的函数值称为函数y=f(x1,x2,…,xn)在点P0处的边际值,而使f'xi(x1,x2,…,xn)=0的边际点的函数值可能就是极大值或极小值,这种边际点在经济分析和决策中往往是最佳点,找到最合理的边际点,就能做出最有利的经济政策.微观经济学把研究这种变化规律的方法叫作边际分析法.

1.边际成本

在经济学中,常常需要研究产量增加一个单位时所增加的成本.设生产某种产品q单位时的总成本函数C=C(q)可导,则称MC=C'(q)为边际成本函数,简称边际成本,C'(q0)为产量为q0单位时的边际成本.

边际成本是总成本函数C(q)关于产量q的导数,其经济含义是:当产量为q时,再多生产一个单位(即Δq=1)的产品所增加的成本量C(q+1)-C(q),近似地记为:C(q+1)-C(q)=ΔC(q)≈d C(q)=C'(q)Δq=C'(q).

边际成本是极限意义下的平均,是当增量Δq→0时,总成本C(q)的瞬时变化率,只与产量q有关.

2.边际收入

设销售某种产品q单位时的总收入函数R=R(q)MR=R'(q)可导,则称为边际收入函数,简称边际收入,R'(q0)是销售量为q0单位时的边际收入.

其经济含义是:当销售量为q时,再多销售一个单位(即Δq=1)的商品总收入的改变量R(q+1)-R(q),近似地记为:

3.边际利润

与边际成本和边际收入类似,边际利润函数为总利润函数L(q)关于销售量q的导数.设某产品的销售量为q时的利润函数L=L(q)可导,则称ML=L'(q)为边际利润函数,简称边际利润,L'(q0)为销售量为q0单位时的边际利润.

其经济含义是:当销售量为q时,再销售一个单位(即Δq=1)产品所增加(或减少)的利润L(q+1)-L(q),近似地记为:

边际利润L'(q)<0意味着当产量(销量)为q时,再生产(销售)一个单位的产品(即Δq=1)总利润将减少,这时产品生产(销售)得越多利润会越小.

如果在某一经济问题中,总成本函数、总收入函数或总利润函数是多元函数,则分别称他们的偏导数为边际成本、边际收入或边际利润.

二、最优化的数学表达

在经济生活中,每个经济人在符合市场条件的前提下,都力求寻找对自己最有利的方案,如:最低成本、最大利润、最优效益、企业的最佳规模以及企业内部生产资料同劳动数量之间最合理的比例等等.这些问题从数学的角度来看都是同一类问题,即求函数最大值和最小值的问题.

(一)一元函数的最值问题

若函数y=f(x)在点x0处有极值,且在点x0处的导数存在,则函数y=f(x)在点x0处的导数必为零,即f'(x0)=0.凡是满足方程f'(x0)=0的点称为函数y=f(x)的驻点.设函数y=f(x)在其驻点x0处具有二阶导数f″(x0),若f″(x0)<0,则f(x0)是函数f(x)的极大值;若f″(x0)>0,则f(x0)是函数f(x)的极小值.

一般而言,如果函数y=f(x)在闭区间I上连续,则函数y=f(x)在I上必定能取得它的最大值和最小值.在实际问题中,如果函数y=f(x)在区间I内最大值(或最小值)一定存在,而f(x)在I内只有唯一驻点,那么该驻点处的函数值就是函数y=f(x)在区间I上的最大值(或最小值).

(二)多元函数的最值问题

与经济问题有关的函数很少是单一变量函数.例如,厂商的生产量取决于投入生产过程的劳动、资本以及土地的数量等等.下面我们以二元函数为例.

设函数z=f(x,y)在其驻点P0(x0,y0)处具有连续的二阶偏导数,令f″xx(x0,y0)=A,f″xy(x0,y0)=B,f″yy(x0,y0)=C,Δ=B2-AC,则当Δ<0时,函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处有极值,并且若A>0,f(x0,y0)是函数z=f(x,y)的极小值;若A<0,f(x0,y0)是函数z=f(x,y)的极大值.

一般而言,如果函数z=f(x,y)在闭区域D上连续,则函数z=f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.在实际问题中,如果函数z=f(x,y)在区域D内一定能取得最大值(或最小值),而f(x,y)在D内只有唯一驻点,那么该驻点处的函数值就是函数z=f(x,y)在区域D上的最大值(或最小值).

三、最优化经济数学模型分析

经济效益最优化问题是经济管理的核心,也是企业的最终目标.对于决策者来说,要求从“客观的理性”出发,寻求在一定条件下目标函数唯一的“最优解”.

(一)最低成本问题模型

微观经济学理论认为,边际成本和平均成本都是随产量的增加而由递减转为递增,只是平均成本转为递增比边际成本要迟一些.当平均成本与边际成本相等时,平均成本最低.如图1所示,F点是平均成本曲线AC由递减转为递增的转折点,在F点处,MC=AC.在边际成本曲线上升到F点之前,边际成本小于平均成本,平均成本曲线AC是下降的,当MC越过F点后再上升,边际成本就大于平均成本,平均成本曲线AC也就转为上升了,因此,MC与AC必定在AC的最低点F处相交.平均成本的最低点F就是通常所说的“经济能量点”或“经济有效点”.企业应该把生产规模调整到平均成本的最低点,才能使生产资源得到最有效的利用.

以q为自变量,对平均成本函数AC(q)求导,则有

因此,当MC(q)<AC(q)时,曲线AC的切线斜率为负,曲线AC呈下降趋势;当MC(q)>AC(q)时,曲线AC的切线斜率为正,曲线AC呈上升趋势;当MC(q)=AC(q)时,曲线AC的切线斜率为0,曲线到达极小值点F,函数AC(q)的二阶导数大于0.又因为它是唯一的驻点,所以平均成本函数AC(q)在MC(q)=AC(q)处取得最小值.

因此,最低成本的数学模型为:

所以,q1=100时,平均成本函数AC(q)取得唯一的极小值,也就是最小值.因此,要使平均成本最小,应生产100件产品.

(二)最大利润问题模型

微观经济学理论认为,当商品产量无限增大时,价格极低,得不到最大利润;当商品价格无限增大时,销售量极少,也得不到最大利润.只有当产量增至边际成本等于边际收入,即边际利润为0时,企业才能获得最大利润.如图2所示,只有当总收入和总成本两个函数的导数相等,即两条切线平行时,总收入和总成本两条曲线上切点间的距离最大,此时,总成本与总收入的差值最大,也即企业获得最大利润.此外,为了使利润函数的极大值存在,利润函数的二阶导数还必须小于零.

设产量为q,总成本函数为C(q),总收入函数为R(q),总利润函数为L(q),边际利润函数为ML(q),则L(q)=R(q)-C(q),ML(q)=L'(q).

令ML(q)=L'(q)=R'(q)-C'(q)=0,则可得到R'(q)=C'(q).这就是获得最大利润的必要条件.

边际利润函数ML(q)=L'(q)=0,总利润函数为L(q)取得极值,为了使函数L(q)取得极大值,必须L″(q)=ML'(q)=[R'(q)-C'(q)]'=R″(q)-C″(q)<0,

即R″(q)<C″(q).

因此,利润最优化数学模型为:

在实际问题中,若由(1)式解出利润函数z=L(q1,q2)的极值点只有一个,则可验证此点满足充分条件(2),就是利润最大的点.

例2设某企业生产某种商品q单位的费用为C(q)=5q+200(元),获得的收益为R(q)=10q-0.01q2(元),问生产这种商品多R(q)=10q-0.01q2少单位时利润最大?最大利润是多少?

解由产品的费用函数C(q)=5q+200,收益函数,可得利润函数L(q)=R(q)-C(q)=-0.01q2+5q-200.

此时L″(q)=-0.02<0,所以q=250时利润最大,L(250)=425元.

所以生产250个单位产品时利润最大,最大利润为425元.

(三)最优批量问题模型

在一定原材料年需求量的前提下,如果每次定货量增加,订货次数就减少,这样,虽然采购成本减少,但仓储保管成本却会增加;反之,如每次定货量减少,订货次数就会增加,因而采购成本增加,仓储保管成本减少.最优订货批量问题就是通过确定最佳的订货数量来平衡采购成本和仓储保管成本,从而保持存货的最优水平,减少储备资金的占用量,使总成本最低.

设TC为总库存成本,PC为采购进货成本(包括购置价格),HC为仓储保管成本,D为材料的年需求量,h为材料的单价,q为每次订货的数量,k为每次订货的成本,m为单位货物的仓储保管成本,n为年订货次数,F1为采购成本中的固定成本,F2为保管成本中的固定成本,那么

因此,最优批量问题的数学模型为:

最后需要说明的是,经济学是一个复杂的科学体系,经济研究中必须综合应用各种方法,才能使经济理论科学有效,数学只是经济研究的方法之一.在经济研究中应用数学方法时,要力求数学条件的设定与真实的经济现实最大限度地接近,不可设定脱离现实的经济模型.另一方面,随着经济学和数学的共同发展,在经济研究中将会更进一步地运用现代数学的理论知识和思想方法,建立更多、更科学实用的经济数学模型.数学作为辅助工具将会在经济研究中得到更成功、更广泛地运用.

参考文献

[1]张治俊,主编.新编高等数学[M].北京:北京邮电大学出版社,2012.

[2]沈跃云,马怀远,主编.应用高等数学[M].北京:高等教育出版社,2010.

[3]Walter Nicholson.微观经济理论基本原理与扩展[M].朱幼为,等译.第9版.北京:北京大学出版社,2008.

[4]崔宜兰.导数在经济领域中的最优化问题的应用[J].安庆师范学院学报,1997(2).

植物生长模拟与数学模型研究 第5篇

着重讨论了植物生长模型的研究特点和模型的`基本特征.针对模型的研究层次或尺度、模型的模拟功能等,探讨了模型的分类方式.其中分析了形态发生模型和生理生态模型各自的作用、内涵与使用范围,并对传统数学方法在模型研究中的作用进行了较详细的阐述.同时,对植物生长模型研究领域中存在的主要问题及其研究前景作了总结和概述.

作 者：张彩琴 杨持 ZHANG Cai-qin YANG Chi 作者单位：张彩琴,ZHANG Cai-qin(内蒙古大学生态与环境科学系,呼和浩特,010021;内蒙古农业大学理学院,呼和浩特,010018)

杨持,YANG Chi(内蒙古大学生态与环境科学系,呼和浩特,010021)

数学模型在解题中的应用 第6篇

图1

这个例子说明构造数学模型解决实际问题的意义，也是解决许多数学问题的重要方法和手段.所谓数学模型，是对现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定目的，在做一些必要的简化和假设后，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构.例如，各种数学公式、方程式、函数等，都是数学模型.利用数学模型解决数学问题是中学数学教学的一个难点，也是培养学生创新能力的一种有效途径.因此，数学模型的建立和研究是中学数学教学的一个重要课题.数学模型方法是把所考察的实际问题转化为数学问题，构造相应的数学模型，通过模型的研究，使实际问题得以解决的一种数学方法.而建立恰当的数学模型是运用这种方法的关键.建立数学模型的三个步骤：（1）研究问题的普遍性和特殊性.利用问题的普遍性和特殊性，为待解决的问题设计一个合理的框架；（2）确定数学模型.把实际问题理想化、简单化，形成解决问题的途径；（3）检验.分析模型中的条件与题设条件是否一致，推理过程是否严谨，然后用于解决实际问题，进一步检验数学模型的正确性.

下面介绍中学数学中常用的几种数学模型.

一、构造“模式”

数学中的一些公式、不等式等数学模型可以用作解决“外形”相近的其他数学问题的模式.因此，在解题过程中应合理构造模式，把实际问题抽象成数学问题，有效铺设解题的桥梁.

除以上几种常用的数学模型方法之外，还可以根据具体问题，建立一些特殊的“模型”，如：构造特例，构造命题等.

归纳起来，利用构造数学模型的方法解决数学问题，首先要分析问题中的条件，找出可用来构造模型的因素.其次借助与问题相关的知识，构造出所求问题的模型.最后解出所构造的模型问题，再回到原来的问题上来，从而使问题得到解决.

（责任编辑钟伟芳）

先介绍一个数学问题：“哥尼斯堡七桥问题”.哥尼斯堡市有一条贯穿市区的帕列格河，河上有七座桥把河岸与河中两个岛相连接.问：是否可以走过每座桥且只走过一次而走遍全城？当时的数学家欧拉成功地解决了这个问题.把陆地看成一点，把桥看成边，从而把问题转化为：从任意一点出发，经过每条边且只经过一次而回到起点是否可能？欧拉运用奇偶点定性得出结论：七桥问题无解.七桥问题如图1所示：

图1

这个例子说明构造数学模型解决实际问题的意义，也是解决许多数学问题的重要方法和手段.所谓数学模型，是对现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定目的，在做一些必要的简化和假设后，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构.例如，各种数学公式、方程式、函数等，都是数学模型.利用数学模型解决数学问题是中学数学教学的一个难点，也是培养学生创新能力的一种有效途径.因此，数学模型的建立和研究是中学数学教学的一个重要课题.数学模型方法是把所考察的实际问题转化为数学问题，构造相应的数学模型，通过模型的研究，使实际问题得以解决的一种数学方法.而建立恰当的数学模型是运用这种方法的关键.建立数学模型的三个步骤：（1）研究问题的普遍性和特殊性.利用问题的普遍性和特殊性，为待解决的问题设计一个合理的框架；（2）确定数学模型.把实际问题理想化、简单化，形成解决问题的途径；（3）检验.分析模型中的条件与题设条件是否一致，推理过程是否严谨，然后用于解决实际问题，进一步检验数学模型的正确性.

下面介绍中学数学中常用的几种数学模型.

一、构造“模式”

数学中的一些公式、不等式等数学模型可以用作解决“外形”相近的其他数学问题的模式.因此，在解题过程中应合理构造模式，把实际问题抽象成数学问题，有效铺设解题的桥梁.

除以上几种常用的数学模型方法之外，还可以根据具体问题，建立一些特殊的“模型”，如：构造特例，构造命题等.

归纳起来，利用构造数学模型的方法解决数学问题，首先要分析问题中的条件，找出可用来构造模型的因素.其次借助与问题相关的知识，构造出所求问题的模型.最后解出所构造的模型问题，再回到原来的问题上来，从而使问题得到解决.

（责任编辑钟伟芳）

先介绍一个数学问题：“哥尼斯堡七桥问题”.哥尼斯堡市有一条贯穿市区的帕列格河，河上有七座桥把河岸与河中两个岛相连接.问：是否可以走过每座桥且只走过一次而走遍全城？当时的数学家欧拉成功地解决了这个问题.把陆地看成一点，把桥看成边，从而把问题转化为：从任意一点出发，经过每条边且只经过一次而回到起点是否可能？欧拉运用奇偶点定性得出结论：七桥问题无解.七桥问题如图1所示：

图1

这个例子说明构造数学模型解决实际问题的意义，也是解决许多数学问题的重要方法和手段.所谓数学模型，是对现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定目的，在做一些必要的简化和假设后，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构.例如，各种数学公式、方程式、函数等，都是数学模型.利用数学模型解决数学问题是中学数学教学的一个难点，也是培养学生创新能力的一种有效途径.因此，数学模型的建立和研究是中学数学教学的一个重要课题.数学模型方法是把所考察的实际问题转化为数学问题，构造相应的数学模型，通过模型的研究，使实际问题得以解决的一种数学方法.而建立恰当的数学模型是运用这种方法的关键.建立数学模型的三个步骤：（1）研究问题的普遍性和特殊性.利用问题的普遍性和特殊性，为待解决的问题设计一个合理的框架；（2）确定数学模型.把实际问题理想化、简单化，形成解决问题的途径；（3）检验.分析模型中的条件与题设条件是否一致，推理过程是否严谨，然后用于解决实际问题，进一步检验数学模型的正确性.

下面介绍中学数学中常用的几种数学模型.

一、构造“模式”

数学中的一些公式、不等式等数学模型可以用作解决“外形”相近的其他数学问题的模式.因此，在解题过程中应合理构造模式，把实际问题抽象成数学问题，有效铺设解题的桥梁.

除以上几种常用的数学模型方法之外，还可以根据具体问题，建立一些特殊的“模型”，如：构造特例，构造命题等.

归纳起来，利用构造数学模型的方法解决数学问题，首先要分析问题中的条件，找出可用来构造模型的因素.其次借助与问题相关的知识，构造出所求问题的模型.最后解出所构造的模型问题，再回到原来的问题上来，从而使问题得到解决.

经济研究中的数学模型 第7篇

求解优化问题的数学建模方法, 即所谓优化模型的建立和求解。虽然它有可能使结果不一定是完全可行的或达到实际上的最大优化, 因为建模, 它是基于客观的规律和数据, 而且还不需要过多的费用。数学优化模型是生产计划和经济管理中的一个经典模型, 在对寻求最大效益方面的应用非常广泛.例如公司需要根据生产成本和市场需求, 公司的经理决定了产品的价格和生产计划, 使利润达到最大化;要在满足物质需求和装载条件下合理的安排所有的需求点的运送量和所运输的路线, 以达到运输费用的最低化。然而简单优化模型假设提供的原材料、生产环境以及人力资源都是静态的, 且需求者要求的产量一定, 但假设条件在现实的经济系统中不可能都是静态的, 因此本文我们在分析了简单的优化模型后, 又介绍了更加符合现实经济条件的动态优化模型, 并对该模型进行了分析。

随着国内外对优化模型的不断研究和改进, 其应用领域已不仅仅局限于单领域范围, 也将其运用在石油开采、城市规划、人力资源分配等问题的分析上. 当前全球经济正处于金融危机的严重影响下, 如何在当前形势下制定出比较有利的生产计划对一个企业来说是非常重要的, 本文我们将主要运用优化模型来研究生产计划的制定方案, 并研究结果来确定比较合理的计划方案.

2 工业生产计划制定及其求解

生产计划是企业为了生产出符合市场需求的产品或满足客户的要求, 如生产时间, 在什么生产车间的生产和怎样生产的总体规划。企业的生产计划是以销售计划为基础的, 它是企业制定物料供应计划、设备管理计划和生产计划的主要依据。

由上面优化变量、目标函数和约束条件三要素所组成的最优化问题的数学模型可以表述为:在满足约束条件的前提下, 寻求一组优化变量, 使目标函数达到最优值。根据生产计划制定的特点和实际情况, 所以这里只提出针对它的两种求解方法——多阶段转化和变分法, 并且利用这两种方法对具体问题进行分析与解决。多阶段转化是指将动态优化的一种, 它将多阶段决策问题转化为一系列简单的优化问题。将复杂问题分解为若干个阶段, 每个阶段都是一个优化问题, 然后是一个决策的阶段, 当所有阶段都确定了, 整个阶段的决策也就确定了。一个过程的最优决策具有决策的性质, 即不管初始状态和初始状态决策如何, 以后的各项决策对以初始决策形成的状态作为初始状态都一定要构成最优化的决策。

根据不变嵌入原理的基本概念, 对最优控制决策的基本性质进行了描述。当解决一个特定的问题, 这个问题可以被嵌入到一个更容易解决类似的问题之中。应用最优化原则, 一个阶段决策过程就处理为一个个单阶段决策过程的序列, 因此使这个最优化问题可以采用系统迭代的方式得到解决. 前两个式子分别是动态优化中的逆序解法和顺序解法基本公式。

3 数学优化模型应用案例研究

一个工厂制定一些生产计划时, 需要考虑设备, 市场容量和收入的三个因素, 根据工厂设备的情况, 生产的七种产品, 价格收入和加工时间, 机器维修和市场容量是众所周知的。有以下限制:每个产品有100 件, 其中每一件产品的存费为每一个月为0.5 元;在6 月底, 每一个产品有50 个库存, 每天2 个班次, 每班8 个小时。盈利要求为收入减去存款费, 尽量安排生产的每一个产品在1 到6 月, 以使上半年利润最大。论述了设备结构的合理性, 并进行了改进。

本文案例中如果只有一种产品, 运用动态规划按照常规求解, 可以快速地求解最优产量安排, 本案例需要同时考虑七种产品的最优产量, 本文的求解思维为:首先将系统分解成单种产品的子问题, 然后综合收益、工时进行优化调整以达产量总体上的最优解。求解是实质是逆序推算法, 我们采用动态规划优化处理才是最科学的方法。本文优化按市场容量进行生产产品所需的工时, 判断设备结构是否合理生产。由于变量和约束条件较多, 本文必须要采用分解决策法。我们的步骤为:首先单独考虑产品PR, 根据各月的综合收益、市场容量和存费情况, 根据动态规划可获得l ~ 6 月份最优生产产量的序列值。其次我们把7 个月的最优产量列合并起来, 逐月检验各项工序的工时变动情况。鉴于超时生产情况, 我们衡量产品收益的大小和工时多少, 一方面降低收益小、耗时大的产品产量。另一方面把减少的该月产量, 推迟至下一个月生产。是我们整个优化过程的重要环节。

按以上步骤推算, 我们发现5、6 月的整体优化恰是前面1-2 步骤作出的结果向前推算到3 月, 这4 个月的局部最优又共同达到了整体最优。对l、2 月产量, 用数学软件进行计算, 该结果与其后3 至6 月的优化产量能衔接起来。于是, 我们用逆序算法较轻松地得出了六个月的最优安排总盈利为93648 元。分析至6 月充分达到了市场需求, 2月和1 月也是在工时约束下的最优结果, 因此得到的确是考虑每月生产成品的最优产量安排。

生产计划随着相关变量的变化而调整, 具体变量因素包括:产品价格、设备结构、市场需求量和停工维修机床的日程安排。生产计划的最优安排最主要依据变量为:产品价格和市场需求变动而调整, 不同情形下的最优生产计划可根据模型动态优化求解而得。结果显示生产计划3-6 月区间中不受商品价格波动的影响。在设备最大利用范围内, 产量根据市场的需求变动而相应的调整。考虑的变量因素较多时, 我们虽然模型简化了问题的处理与求解过程, 但不一定能实现最优化生产, 只能在一定的前提或约束下的最优解。本文为产品的生产安排提供了科学的优化思路, 探索了逆序推算求解途径, 但未能给出更好的一般性通用优化思路。虽然, 对设备和维修安排进行了优化改进, 设备的利用率和工厂的盈利能力显著提升。本文不适于解决工序较为复杂的生产问题, 没有增加更多的约束变量, 对工序进行优化结构安排, 有待本文后续的研究。

摘要：在数学优化模型的应用方面, 主要是利用现有的条件规划出各种“最优”方案, 为现代生产计划和管理工作中的经济利益评估服务。本文介绍了优化问题的几种分类, 并对优化模型做了简单的分析和说明;同时重点整理了动态优化问题的多阶段转化和变分法的两种解法。并分别对它们在动态优化中各自的应用范围和具体作用做了分析。

关键词：数学建模,优化模型,多阶段转化

参考文献

[1]杜玉琴.运筹学在经济管理中的应用[J].现代商业, 2013 (18) .

经济研究中的数学模型 第8篇

一、关注数学建模

“修订版”中10次提到建立数学模型和模型思想,指出:义务教育阶段数学课程的设计,要充分考虑本阶段学生数学学习的特点,符合学生的认识规律和心理特征,有利于激发学生的学习兴趣,引发学生的数学思考;充分考虑数学本身的特点,体现数学的实质;在呈现作为知识与技能的数学结果的同时,重视学生已有的经验,使学生体验从实际背景中抽象出数学问题,构建数学模型,寻求结果,解决问题的过程。在数学课程中,应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想,提高学习数学的兴趣和应用意识。课程总体目标提到经历数与代数的抽象、运算与建模等过程,掌握数与代数的基本知识和基本技能。学段目标中提到通过代数式和方程等表示数量关系的过程,体会模型的思想,建立符号意识。能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。结合实际情景,经历设计解决问题的方案,并加以实施的过程,体验建立模型、解决问题的过程,并在此过程中尝试发现问题和提出问题。“修订版”中还强调:设计试题时,也应该关注并且体现本标准的设计思路中提到的几个核心词:数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想,以及应用意识和创新意识。数学教材内容的呈现应体现过程性,反应数学知识的应用过程,教材应当根据课程内容,设计运用数学知识解决问题的活动,这样的活动应体现“问题情境—建立模型—求解验证”的过程,这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能,感悟数学思想,积累活动经验;要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力,增强应用意识和创新意识。

二、重视模型思想

“修订版”重视数学模型思想,强调模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系是基本途径。认知心理学认为:模型是源于对观察的推理而且抽象的结构化概念,建模的目的是使观测易于理解。数学模型就是解决问题时所用到的一种数学框架,是对实际问题进行分析、简化、抽象后所得出的数学结构。数学模型是建立在对观察实际问题做出的推理基础上的,建模的目的是对观测到的数学特点给出一个可理解的表征。构建数学模型的过程一般包括:从现实生活或具体情境中抽象出来的数学问题,用数学符号和语言表示问题的数量关系和变化规律,求出结果并验证结果。

广义地讲,数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型。许多小学数学内容本身就是一种数学模型:自然数就是表述有限集合数数过程的数学模型,分数是平均分物品的数学模型,方程是刻画现实世界数量关系的模型,正反比例是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。解决问题的数学模型,专指在一个比较复杂的具体情境中,建立一个特定的专用数学模型,并用数学模型解决非常具体的问题。数学模型,一般地说是针对或参照某种事物的特征或数量关系,采用形式化的数学符号和语言,概括或近似表述出来的一种数学结构。

数学的模型思想是一般化的思想方法,它和符号思想有共同之处,具有普遍的意义,模型思想在数学思想方法中有非常重要的地位,在数学教育领域中有它的一席之地,符号化思想注重数学抽象和符号表达,模型思想更注重数学的应用,通过数学结构化解决问题,尤其是现实中的各种问题。建立小学数学模型是数学应用和解决问题的核心。

三、模型思想在小学数学中的具体应用

模型问题是小学生在现实生活和进一步学习中所不可缺少的,小学数学中的模型如下:

四、数学建模的教学

1.构建小学数学建模的教学思路:问题—建模—验模—用模。

2.建模流程:寻找—提炼—猜想—验证—定型—用模。

经济研究中的数学模型 第9篇

同时, 上海中职校从2015年起就要开始实施学业水平考试, 这些新要求、新情况给广大的中职校数学教师及学生带来了新的挑战。

作为一名一线的数学教师, 本人已在平时的教学过程中不断加入了对于数学建模的思考, 下文就是本人在一年级新生中开设的一堂关于如何进行数学建模的理念课的教学过程。

笔者所在学校使用的是上海教育出版社2015年8月出版的 《中等职业学校教材试用本———数学》, 该教材第一册中, 在第2.1小节 《不等式的基本性质》后面, 有一节拓展阅读内容, 名为“烹饪中的数学模型”。本堂课就是依据这一教材内容来设计的。

一、导入过程

本过程选取了两个已经学过的知识点, 配置相关场景, 让学生了解:数学建模不是一个新鲜的东西, 而是我们之前已经碰到过的东西。

老师:同学们, 我们每个班级里面的同学, 都有着不同的体育爱好, 参加过不同的比赛, 比如有的同学参加过篮球比赛, 有的参加过足球比赛, 还有的参加过乒乓球比赛, 等等。如果这个班级总共有40人, 其中参加过篮球比赛的同学有25人, 参加过足球比赛的同学有22人, 请问, 同时参加过篮球和足球比赛的学生有多少?

学生:同时参加过篮球和足球比赛的学生有7人。

老师:回答正确。但是, 这个问题可以和我们前面学习的什么知识联系起来呢?

我们可以和《集合》这一章里的文氏图联系起来。

再比如书店里面各种书籍的摆放, 其实也可以和“集合”中的分类思想结合起来, 比如顾客问售货员:请问《红楼梦》这本书在哪里?

售货员就会马上想到, 《红楼梦》 应该是在文学作品集合里的古典小说子集中。

如果我们到书店去找《上教版数学教材》呢?

学生:应该是在教辅集合中的中职子集下面的数学子集合。

老师:前面我们在集合知识中, 已学到过事物分类的数学模型, 对数学模型有了初步了解, 今天我们进一步学习数学模型的知识, 请看下面一个情境实例:

某职业学校烹饪班同学们学习煮排骨汤, 同学们将汤煮得太淡了, 教师指点:“加点盐, 汤就变咸了。”

这一情境蕴含了一个怎样的数学模型呢?

用排骨汤加盐变咸这个烹饪中的经典案例, 引发学生的兴趣, 这也正是本课堂的标题由来。

二、三个环节的逻辑功能

环节一:

首先, 告知学生, 怎么样找到切入点。在一个实际场景中, 敏感地寻找到一些关键的数据或变量, 用于对该实际问题进行衡量或刻画。

老师: (告知学生盐浓度的概念)

例如:750克的排骨汤中含盐5克, 若再加入5克, 这时排骨汤由淡变咸了。试问前后排骨汤的含盐浓度各为多少?

容易算得原来排骨汤的含盐浓度为5/750=0.67%, 加入5克后, 排骨汤由淡变咸了, 其含盐浓度为 (5+5) / (750+5) =1.3%, 显然0.67%<1.3%。

老师:原来这才是排骨汤加盐以后变咸的数学解释!接下来, 让我们把这个具体的实例做一个更加具有数学特色的诠释。

在上文所述的情境中, 若烧煮的排骨汤的总质量为a克, 其中含盐的质量为b克, 则排骨汤含盐的浓度为 (b/a) (a>b>0) ;因为排骨汤太淡了, 所以要加点盐。

设加入盐m克 (m>0) , 加入后排骨汤含盐的浓度变为 (b+m) / (a+m) 。

老师:我们知道, 含盐的浓度越大, 汤就会越咸。那么在本情境中, 加入m克盐后, 排骨汤含盐的浓度从b/a增加到 (b+m) / (a+m) , 我们可以得到一个什么样的大小关系呢?

学生:。

老师:大家说得对!但是要注意哦, 作为一个不等式, 其中a>b>0, m>0.

这个不等式, 就是排骨汤由淡变咸的数学模型。

至此, 环节一结束了, 其实, 所谓的环节一, 就是数学建模。在上课过程中, 为了避免学生把注意力集中到“数学建模”这个陌生的定义上, 笔者只突出强调了这个环节的功能。让学生总结, 刚才这个环节一起到了什么作用?做了哪些事情?

环节一功能总结:分析实际情境, 抓住关键变量或指标, 找出该实际情境背后蕴含的数学原理, 建立数学模型。

环节二:

老师:在上面的例子中, 我们已经得出了一个不等式, 现在的问题是, 这个不等式为什么是成立的呢?

老师:和学生一起推导。

这样, 我们对这个不等式就有了新的认识。

环节二对应的是数学解模的过程。到这里, 环节二的任务也完成了, 同样请学生一起总结一下, 环节二的功能是什么?

环节二的功能总结:若数学模型为一个数学结论, 则用数学知识证明其正确性;若数学模型为一个算式, 则将其结果解出来!

环节三:

环节三其实就是数学释模。学生以前在解答应用题时, 用“答”这个方式, 把数学问题回归到实际问题。我们定义的数学释模除了用“一句话” 的形式回到实际问题以外, 还要求学生要有所延伸, 能把这个数学问题推广到其他相似场景。

老师:在上面的环节中, 我们用刚刚学过的不等式基本性质, 证明了从排骨汤的实际案例中得出的不等式结论的正确性。下面, 别忘了重新回到实际问题里去, 用“一句话”来对实际案例进行数学解释。

为什么排骨汤加盐会变咸呢?因为排骨汤的咸和淡取决于汤的含盐浓度, 即用汤内的含盐质量除以汤的总质量。而加盐之后, 含盐浓度的算式中, 分子分母各加了一个正的增量, 导致该分式值变大, 即含盐浓度变大, 所以汤变咸了!

下面, 请大家分小组思考一下, 能够用到刚才这个不等式结论的现实实例还有吗?

学生:在房屋装修中, 常用窗户面积除以地板面积的比值来衡量房屋的采光率, 现在我们发现有另外一套房屋, 比第一套房屋的窗户和地板的面积都大了3平方米, 请问哪一套房屋的采光率更好?

三、学生活动

以上三个环节分别对应着数学建模、解模和释模, 但是上课过程中一直没有提到这几个名词, 只是在其各自的功能上, 给学生做了解释。

下面, 再通过一些课堂活动来加深学生的理解。

老师:现在我们考察一个相反的问题, 如果排骨汤煮咸了, 要使它变淡, 有什么办法?

(学生分组讨论)

老师提前准备好了“小组讨论汇报纸”, 如图所示:

学生汇报的几个环节如下面所示:

环节一:

实例:500克的排骨汤中含盐3克, 一位食客觉得偏咸, 于是给汤里面加了200克清水, 试问现在排骨汤变淡了吗?为什么?

学生:原来的排骨汤含盐浓度为, 加入200克水之后, 排骨汤的含盐浓度变为

因为含盐浓度0.6%>0.43%, 因此汤会变淡。

不等式结论:这时的数学模型应是

, 其中a>b>0, n>0.

环节二:

老师:同学们想一想:这个不等式成立吗? 为什么?

老师:要证, 其中a>b>0, n>0.

则令

因为a>b>0, n>0, 则a+n>0, bn>0

故

本环节在“汇报用纸”上并没有作要求, 因为不等式证明这个内容在教学要求上并不是重点, 也是学生比较难以掌握的一个难点, 所以, 本节课上, 这个内容以教师引导讲解为主。

环节三:

老师: 刚才这个实际问题三个环节完成以后, 请各个小组, 对排骨汤加水变淡这个实际问题, 进行“一句话”阐释。

学生:为什么排骨汤加水会变淡呢?因为排骨汤的咸淡取决于汤的含盐浓度, 即用汤内盐的质量除以汤的总质量。给汤加水这个动作, 相当于给含盐浓度分式的分母中加了一个正增量, 导致分式的值变小了, 即含盐浓度变小了, 所以汤变淡了!

老师:同学们想一想, 生活中还有什么实例是可以用这个数学模型来解释的呢?

学生:比如我们班计算期中数学考试的合格率, 应该用60分以上的学生数除以全班的学生总数, 但是如果因为我们的统计失误, 导致两个不及格学生没有计入全班的总人数中, 现在重新计入, 则班级的合格率会下降!

四、巩固练习

老师:某单位要制作一批宣传资料援甲公司提出:每份材料收费20元, 另收设计费3000元;乙公司提出:每份材料收费30元, 不收设计费。

(1) 什么情况下, 选择甲公司比较合算?

(2) 什么情况下, 选择乙公司比较合算?

(3) 什么情况下, 两公司收费相同?

题目给出后, 也让学生分组讨论, 发给预先准备好的讨论用纸, 这时可以简略一点, 只划分三个空格, 让学生填写三个环节的讨论内容。

学生汇报内容经教师指导后, 如下所示:

环节一:

设制作x份材料, 选择甲公司总费用为S1, 选择乙公司总费用为S2.

则甲公司总费用S1=20x+3000元

乙公司总费用S2=30x元

根据三个小题的问题, 构建数学模型

(1) S1<S2; (2) S1>S2; (3) S1=S2

环节二:

(1) 因为S1<S2, 即20x+3000<30x,

故x, 所以x;

(2) 因为S1>S2, 即20x+3000>30x,

故10x<3000, 所以x<300;

(3) S1=S2, 则x=300。

环节三:

(1) 若制作材料的份数大于300份时, 选择甲公司比较合算;

(2) 若制作材料的份数小于300份时, 选择乙公司比较合算;

(3) 若制作材料的份数正好为300份时, 两公司收费相同。

五、课堂小结

教师可再次总结一下三个环节各自不同的功能, 让学生加深印象。

以上就是这一节”烹饪中的数学模型“课的主要内容, 在设计这堂课时, 应注意几个要点。

1.不把“数学建模”、“数学解模”、“数学释模”这几个名词直接给学生, 而是用三个环节来代替。用功能替代定义。

2.环节三中, 为了让学生更容易入手, 提出 “一句话解释”的概念, 即让学生把实际问题或场景, 用一句话来作数学解释, 但是语言为口头语言, 而非数学语言。

3.设计了两个学生讨论过程, 每次讨论都预先设计好“讨论汇报用纸”, 并且循序渐进, 第一次讨论的“汇报用纸”中, 内容较为具体, 提示性的语言比较多;而第二次讨论时, 则“汇报用纸”上非常简单, 留给学生较大的发挥空间, 也能检验学生的掌握程度究竟如何。

数学建模历来是学生学习的难点, 现在更成为新课标对于学生数学能力的核心要求, 因此, 当前形势下在中职的数学教学中, 教师必须要始终把培养学生的学科能力作为课堂设计的出发点, 想尽各种办法, 去实现这一教学目标。 当然, 过程可能是漫长的, 我们既要有决心, 也要有耐心, 要有克服困难、迎难而上的心理准备。

摘要：根据2015年上海市教委教研室颁布的中职数学新课标的要求, 在教学中要体现数学建模、解模、释模的能力培养过程。详细描述针对上教版中职数学新教材中“烹饪中的数学模型”内容设计的一节理念课, 用三个环节的功能性概述, 代替了数学建模、解模、释模的名词解释, 有利于学生对数学模型的掌握和理解。在课堂设计过程中, 有“三个环节”、“一句话解释”、“小组讨论汇报用纸”等亮点。

关键词：数学建模,解模,释模,数学模型

参考文献

[1]黄汉禹.中等职业学校教材试用本—数学.上海教育出版社[M], 2015, 8.

例析数学模型在实际中的应用 第10篇

题目来源:最新九年级教材。

题目:汽车刹车过程中, 行驶的路程是s, 刹车时间是t刹车时间与行驶的路程s的关系满足二次函数s=15t-6t2, 求刹车的最大距离。

本题对九年级学生来说, 确实是一道难题, 要解决刹车的最大距离, 那么刹车用了多长时间呢?

首先我们来研究二次函数y=15x-6x2。对于这个二次函数问题, 我们知道:它的图象是抛物线, 开口向下, 有最高点, 顶点坐标是, 如图, 这个二次函数对上面实际问题有什么意义呢?我们来比较分析

通过这个表格的比较, 汽车从刹车开始到停下来, 它运动的最大路程是多少呢?这时我们不难想到, 抛物线顶点处的值最大 (或最小) 。对于本题来说, 汽车刹车过程中, 行驶的最大路程就是顶点的纵坐标。这时, s= (25) /8米, 刹车所用时间t=5/4秒, 它的图象为y=15x-6x2的图象的部分。如图所示:

对于九年级的学生来说, 本题结合二次函数y=15x-6x2这个数学模型, 问题就迎刃而解了。

例谈数学模型思想在教学中的渗透 第11篇

关键词：小学数学；建模教学；模型思想

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2015）20-0069-02

模型思想是《数学课程标准》（2011版）新增的10个核心概念之一，作为一线教师该怎样将这一重要的数学思想渗透于自己的日常教学之中呢？下面结合冀教版小学数学四年级下册“探索多边形中隐含的规律”一课，粗线地谈谈自己的一点做法。

一、抽象数学问题——建模起点

新课标指出，建模的首要环节是“从现实生活或具体情境中抽象出数学问题”。“抽象”是在认识事物的过程中舍弃其非本质属性，而取其本质属性。数学模型的抽象性、概括性都很强，任何一个数、一个公式、一个概念和规律都是抽象、概括的过程。在“探索多边形中隐含的规律”一课中，我是这样创设情境、抽象数学问题的。

师：谁知道我们学过哪些四边形？

生：长方形、正方形、平行四边形、梯形。

师：发现这些图形的共同的特点，或许你能明白这些图形为什么叫四边形？

生：它们都由四条边围成图形。

师：你能根据这几个图形边的数量给它们起名吗？课件出示四个多边形。

师：这些图形统称为多边形。今天，我们就一起探索多边形中隐含的规律。

此环节，教师利用四边形的定义进行知识的迁移，使学生获得五边形、六边形、七边形等多边形的概念，从而引发学生对问题的探究——探索多边形中隐含的规律。

二、做中学——建立模型

动手操作是学生学习数学的重要途径和方法，它能把抽象的数学知识变得看得见、说得清，学生通过动手、动脑、动口参与学习过程，使操作、思维、语言等有机结合，从而建立清晰的数学模型。本节课，以让学生经历操作、感受规律为出发点，使学生在操作、观察、思考、列式的过程中感受多边形中隐含三角形的个数的规律及多边形的内角和规律。

（一）探索四边形、五边形如何分割成三角形

1.师：认真观察四边形、五边形是怎样分割成三角形的，你能照样子画出虚线并填表吗？

学生交流画线和填表的结果。

师：观察表中的数据，发现了什么？

学生可能会发现：在四边形上画1条线段，分成2个三角形；在五边形上画2条线段，分割成3个三角形；在六边形上画3条线段，分割成4个三角形；在七边形上画4条线段，分割成5个三角形，一个比一个多画一条线段，就多分出一个三角形。

师生总结：

画线段的条数=多边形边数-3；

三角形个数=多边形边数-2；

画线段的条数=三角形的个数-1。

根据发现的规律填表

（二）探索多边形的内角和

师：前面我们学过三角形内角和是180°，那么四边形的内角和是多少度？说一说你是怎样想的？

生：四边形可以分成两个三角形，一个三角形的内角和是180°，两个三角形的内角和就是180°×2=360°

师：非常棒！看来你是利用前面我们刚刚发现的多边形中隐含三角形的个数的规律来做的。下面请同学们小组合作，完成下面的表格。

“智慧自动作发端”，学生在“照样子画出分割多边形成三角形”的活动中，不仅丰富了操作经验，而且通过观察、思考、交流等一系列过程实现了操作经验与思考经验、策略经验的有机融合，从而使学生积累了活动经验，找到多边形中隐含的规律，初步建立了数学模型。

三、思中学——应用模型

新课标指出，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。通过数学模型的应用，使学生体会数学的价值。

教学片断：

出示教材上的4幅图

师：我们再来看一道有关扣子的问题，观察扣子摆放的规律。请同学们自己完成表格。

要求学生自己完成后交流摆或画的图形。

师：你发现了什么规律？用含有字母的式子表示出来。

以上教学片断，教材将学生生活中常见的扣子和三角形结合起来，使得教学内容变得生动、丰富，教学过程中让学生经历将生活问题抽象成数学模型并解释与应用的过程，使学生在数学思考中应用数学模型。

数学模型在高中生物中的具体应用 第12篇

一、概述

从模型的抽象性和形象性来分, 主要有实体类和抽象类两种模型, 而数学模型属于一种抽象模型。在生物教学中, 可以用数学模型将相关知识点构建出来, 从而增强生物知识点描述的直观性和形象性。通过数学模型, 可以将生物知识点与相关数学符号或程式相转换。借助计算、归纳、比较等手段, 从而建立数学模型, 最后再将数学模型进行还原。这是一种从知识点到数学符号程式, 通过计算, 寻找知识点与知识点之间存在的各种规律, 从而揭示现象背后的本质。这种教学方式与传统方法相比较而言, 具有十分明显的优势:

一是直观形象的数学模型构图方式, 或是用函数表达的形式, 使教学过程更加简洁化, 比传统手段的教学效率更高, 与高中学习时间紧迫的现状相符合, 有利于学生学习方式的转变和学习效率的提升。

二是直观形象的数学模型, 有利于促进生物教学方式方法的不断革新, 更加有利于学生的理解与掌握, 降低了学习生物的难度, 容易获得更好的学习成效。

三是有利于不同学科的渗透与联系, 可以增强学生综合应用知识的意识与能力, 促使学生更加注重不同学科只是之间的融会贯通和有效整合, 从而促进学生的思考方式、学习方式的有效转变, 从根本上提高的创新能力。

二、应用过程探析

一是准备阶段。凡是有预则立, 无预则废。因此, 我们应该充分认识到准备工作的重要性和必要性, 数学模型在生物教学中的应用也是如此, 必须从准备阶段入手。在这个阶段, 必须明确教学目标、教学内容、核心问题等。在此基础上, 广泛收集相关的资料、信息和知识, 为课堂教学的有效开展奠定坚实的基础。确定好具体的教学任务, 以增强教学的目的性和思维训练的有效性, 为构建高效的高中生物课堂夯实基础。

二是假设阶段。在充分完成准备阶段的相关筹备工作以后, 就需要充分利用数学模型, 对概念、模型等进行假设。也就是根据教学目标任务实现生物知识点的概念化, 并使用简洁性、概括性的语言进行描述, 构建成便于理解的数学模型。在高中生物教学中, 引入数学模型的根本目的就是降低教学难度, 增加教学直观性形象性, 因此, 在进行假设时, 必须立足学生实际, 充分考虑到生物学科的特点, 以便使所建立的数学模型与生物教学相适应。

三是建立阶段。在这个阶段, 主要是借助精简概念和简洁准确的描述来确定相关知识点数学模型的建立, 从而确定应用什么样的数学模型, 通过相互比较分析的方式, 寻找到最佳的方式和方法。因此, 在进行高中生物教学的过程中, 可以根据实际需要选用多种数学模型, 做到灵活选择, 综合应用, 以满足高中生物教学的实际需要。

四是求解阶段。在建立和应用数学模型的过程中, 得到相关的数学程式, 然后通过计算、求解等过程, 得到结论。在计算时, 也可以引导学生多角度、多途径和多层面的思考, 应用多种方式方法进行解答, 从而训练学到发散思维和一题多解的能力。

五是检验阶段。通过构建模型和求解, 让学生进行比较分析及归纳总结, 从而将生物知识点转化为数学概念或程式, 再根据计算结果转化到生物知识上来, 由此可以看出, 数学模型就是现象与本质之间的桥梁, 可以有效降低难度, 增强教学的直观性、形象性, 最终达到提高高中生物教学质量的目的。

三、具体应用探讨

一是构图法。图形能够增强教学直观形象性, 可以直观地传达信息。采用构图的方式, 可以使复杂的生物知识简单化, 抽象的生物知识形象化, 从而给学生留下深刻的印象, 可以大大降低学习的难度。譬如, 在教学生长素的生理作用有关知识时, 根据教材可知, 低浓度对生长素的生长起到积极的促进作用, 而高浓度则会对生长素的生长产生抑制作用。学生对此往往感到难以理解, 甚至感到不可思议。为何让学生破除这个困惑呢? 可以通过构图的方式来解决。教师可以通过绘制浓度曲线图, 就能够直观地说明问题, 让学生很容易就弄明白其中的原由。构图法是高中生物中本常见的, 如温度对光合速率的影响、pH值的作用影响曲线等, 都是构图法应用的成功典范。由此可以看出, 构图法的大量实践, 大大改进了高中生物教学的方式方法, 增强了教学的直观感。

二是比较分析法。在高中生物教学中, 引导学生采用解题的方式, 通过比较分析, 可以正确的认识到生物现象, 揭示出现象背后的本质, 从而提升学生分析问题、解决问题的能力。还可以充分利用数学模型, 找到不同生物知识点之间的联系, 让学生直观形象的数学模型中更加直观、轻松地学习好高中生物。譬如, 在教学物质跨膜运输的有关内容时, 可以通过分析比较自由式运算、协助扩散式运算及主动运输等三种跨膜运输方式, 改变过去那种依靠认识、理解知识点的传统方式, 可以让学生从数学曲线中寻找到他们的本质区别和紧密联系, 从而帮助学生更加准确、快捷地发现规律、找到规律和掌握规律, 使高中生物教学不断迈上新台阶。

此外, 还可以比较常用的函数计算法。对生物知识点, 建立相关的数学函数, 通过计算函数, 来加强对知识点的认识和理解。数学函数模型的构建, 可以转化为从已知到未知的计算过程, 使复杂、抽象的生物知识简略化、直观化。

四、结语

综上所述, 数学模型是一种行之有效的教学方式方法, 是架设在抽象与直观形象之间的桥梁, 能够极大地增强教学的直观性、形象性, 使复杂的问题简单化。通过数学模型的构建、架设、求解、检验等阶段, 可以实现生物现象或生物知识与数学程式或符合的对应与转化, 从而不仅可以提高学生的思维水平, 还能够提高学生的分析问题、思考问题和解决问题的能力, 有利于高中生物教学质量的快速提升。

参考文献

[1]周智凤.高中生物教学中数学模型的具体应用[J].中国科教创新导刊, 2011, (21) :132.

[2]崔敏霞.模型构建在高中生物教学中的应用研究[D].苏州大学, 2011.