半解析法范文

半解析法范文（精选7篇）

半解析法 第1篇

当代各种先进的民用航空动力装置, 都对结构提出更可靠、更轻、更耐久等要求.为了适应发动机的发展, 国外主流航空发动机制造厂商纷纷发展新型航空材料, 复合材料就是其中重要材料之一[1].例如GE公司在GE90型发动机的风扇叶片和出口导流叶片均采用树脂基复合材料, RB211, Trent800和PW4084等发动机的包容环均采用了Kevlar树脂复合材料作为保护层[2].

在这些壳类结构的层合复合材料中, 层合壳的层间由于局部制造的缺陷和长期服役, 导致相邻层间出现脱层损伤, 而脱层是复合材料结构中常见的且较具威胁性的破坏形式之一, 国内外有大量文献对脱层进行研究[3,4,5,6,7].其中文献[6]针对复合材料层合壳脱层损伤问题提出“先分后合”的数学模型, 文献[7]在该数学模型的基础上研究了脱层板的固有频率.“先分后合”的数学模型有较完善的计算过程, 但是该模型推导较为复杂, 而层间“弱界面”模型[8,9]有相对简单的推导过程, 在模拟脱层中有一定的优越性.

本文在弹性力学Hamilton正则方程的半解析法[10,11]的基础上, 首先运用8节点有限元[7]建立了复合材料层合壳的混合控制方程;然后利用层间位移和应力关系, 将这两类层合开口壳的脱层损伤模型进行运用, 验证了半解析法在层合开口壳脱层模型上运用的正确性.

1 Hamilton正则方程的8节点等参元列式

对于绝大多数工程材料, 在直角坐标系下, 材料单元体的本构关系为

其中, σx, σθ, σr, τθr, τxr, τxθ为应力分量;u, v和w分别表示x, θ, r 3个方向的位移;r为单层薄壳的中性面半径;C11, C12, C13, C16, C22, C23, C26, C33, C36, C44, C45, C55, C66是弹性材料的刚度系数, Cij (i, j=1, 2, 3, 4, 5, 6) 与工程弹性参数的转变关系可见文献[12].

对于图1 (hk为第k层厚度, 其他参数解释见下文) 中的整个壳, 根据文献[13-15], 以r坐标模拟为时间t, 利用修正后的Hellinger--Reissner变分原理可将壳的总势能表示为

利用高阶单元具有比低阶线性单元更高的收敛率, 8节点有限元比4节点有限元具有更快的收敛率, 本文引入8节点形函数[7], 对每一薄层进行网格划分, 见图2.

通过控制ξ和η的值来选取节点.即可得图1中某一个网格的形函数矩阵

式中

设混合状态Hamiltonian等参元的场函数为

根据式 (5a) 和式 (5b) , 可将式 (2) 中P和Q写成矩阵形式为

式 (6) 中下标e表示某一薄层中的编号为e的一个网格, 在处理完边界后整合到式 (2) 中.然后对式 (2) 进行变分并分步积分, 即可得下列方程

式 (7) 中矩阵C, A, B, F, D和Ξ的详细表达见文献[7, 12].

将第k薄层中的所有网格进行拼装并求逆, 即可得到单层壳的控制方程

式 (8) 中等式右侧K (k) 表示第k层积分后所得状态方程, 其余两项类推, 详情见文献[7], 由常系数微分方程知, 式 (8) 的解为

令G (k) (τ) =0忽略自身重量, 式 (9) 可以写成

其中Vtop (k) 和Vbot (k) 分别表示第k层壳的上下状态矢量;T (k) =exp (K (k) r) 是该层的传递矩阵.

同理类推, 可得层合壳中其他每层的控制方程.例如第 (k+1) 层有

2 两类层合壳脱层模型

2.1“先分后合”模型

把壳划分成上、下两个子壳, 并建立统一的坐标系, 如图3所示.壳结构依次从内至外编号, 共m层.

对上、下两个子壳分别在x-θ曲面上采用相同的方法进行有限元离散, 并将层合壳分为脱层区和连续区两部分, 因此将式 (10) 和式 (11) 的力学分量 (包括应力分量和位移分量) 进行分类得到上子壳的状态方程

式中, Mctt (rt) 和Mctb (rd) 为连续区外表面和内表面的力学分量;Mdtt (rt) 和Mdtb (rd) 为脱层区外表面和内表面的力学分量;Ttij (i, j=1, 2) 表示上子壳控制方程;Fct和Fdt分别表示上子壳重力分量.

在式 (12) 中, “c”表示层合壳”, “d”表示脱层.“tt, tb”第一个上标“t”表示上子壳, 第2个上标“t”标示上子壳的上表面, 第2个上标“b”标示上子壳的下表面.

同理得到下子壳的状态方程

式中, Mcbt (rd) 和Mcbb (rb) 表示连续区外表面和内表面的力学分量;Mdbt (rd) 和Mdbb (rb) 表示脱层区外表面和内表面的力学分量;Tbij (i, j=1, 2) 表示上子壳控制方程;Fcb和Fdb分别表示下子壳重力分量.

因为上子壳的内表面与下子壳的外表面在连续区内应力和位移分量是连续的, 即

因此将式 (12) 和式 (13) 联立得

在式 (15) 中, 层合壳内、外层表面和两个脱层表面的边界条件中有一半是已知的, 假定层合壳内、外层表面以及两个脱层表面的应力分量已知, 则由式 (15) 可求得内、外层表面以及两个脱层表面的位移分量, 再利用式 (12) 和式 (13) , 即可求出含脱层损伤层合壳任意位置处所有的位移和应力分量.

2.2 弱粘接模型

对于层与层之间的界面, 不考虑层间粘接层的厚度, 无论是粘接完好还是发生脱层, 其力学性能关系有

其中Kij (k) (i, j=x, θ, r) 为第k层和第 (k+1) 层之间的分离系数, 该值的取得与界面应力有关;τij (k) top (i, j=x, θ, r) 表示第k层上表面某节点的应力;u (k+1) bot (u=u, v, w) 表示第 (k+1) 上某节点的位移, 其余类推.

其中, 对于界面分离关系为线性时, Rij (i, j=x, θ, r) 为常数.可以看出Rij=0表示层间粘接完好, Rij→∞表示层间出现脱层.

式 (17) 可以写成

式中M (k) 表示式 (17) 行列式矩阵.

由式 (10) 和式 (11) 可得

对于共m层的层合壳, 同理可以得到

这样即可得到整个壳的控制方程.对于理想粘接情况, M (k) 均是单位矩阵;出现界面脱层, 根据分离系数Rij定义不同的系数就可以得到不同的界面模型.

3 求解

对于式 (10) 的齐次边界情况, 可得方程的通解[12]为

式中tk是第k层的厚度;rk是第k层的中径, 对于m层的壳, 根据层间应力和位移的连续性, 有

式 (21a) 和 (21b) 中Rk (0) 表示第k层的下表面应力位移参数;Tk (-tk) 表示刚度矩阵;Rk (rk) 表示上表面应力位移参数.

将其写成矩阵形式为

式 (22) 中P (h) 表示整个壳的上表面应力;Q (h) 表示整个壳的上表面位移;Tij (i, j=1, 2) 表示整个壳的传递矩阵.

参照图3, 如果式 (22) 中h代表整个层合壳厚度, 设整个层合壳的上下表面加载应力为P (h) , P (0) , 通过式 (22) 可以求得

式中, Q (h) 和Q (0) 即为整个层合壳上、下表面的位移.

在已求解出整个层合壳下表面的位移Q (0) , 和已知道整个层合壳下表面的应力P (0) 情况下, 将式 (22) 中的h设定为图3中第1层的厚度, 利用式 (22) 可求解出图3中第1层的P (h) 和Q (h) .以此类推, 即可求解出整个层合壳中每一层的应力和位移.

4 裂纹扩展的能量释放率

对于脱层壳, 由于中间含有脱层长度为L2穿透裂纹, 根据Griffith的裂纹扩展理论, 恒力条件下的裂纹体, 在力P的作用下, 弹性伸长量a在裂纹长度不变的情况下, 载荷P与其作用点位移a成正比, 即如图4中直线OM所示.

由于直线OM的斜率即为弹性体的刚度系数, 其倒数λ称为柔度系数, 简称柔度, 等于单位载荷作用下的位移, 有

在固定载荷P0作用下, 当裂纹长度扩展da时, 弹性裂纹体刚度下降, 柔度增加, 载荷与位移关系改为斜率较小的直线OM, 当裂纹面扩展时, 弹性体所储存的应变能没有减少, 反而增加, 其增加量为 (SOMN-SOMN) (带下标的S表示面积) .载荷作的功等于MM N N的面积, 外力所作的功除了部分供给弹性系增加应变能外, 还有剩余功

该剩余功即图中阴影面积部分.又因为SOMM=SMMNN/2, 这部分功用来使裂纹扩展, 恰好与弹性系应变能的增加相等, 都是外力做功的一半.

Griffith的裂纹扩展理论中, 将层合壳和外载荷构成一起的整个系统的能量 (即势能) 用U表示, 裂纹扩展S, 则单位面积系统能量的能量释放率GI满足下式.

负号是因为裂纹扩展时, 系统势能下降.下标I表示第1类裂纹.

在裂纹扩展过程中, 因为da, dl和SOMM都是微量, 如果脱层前缘为直线, 有

式 (25) 中有da=Pdλ, 即式 (28) 可表示为

将式 (24) 中所求的P (h) 和Q (h) 代入式 (29) , 通过计算可以求出整个脱层壳的GI.

5 数值实例

本算例采用某种复合材料圆柱壳, 壳外侧受到均匀拉力q=1的作用, 壳内侧自由, 材料参数如下 (此处单位为无量纲化处理, 详情见文献[13])

铺设方式为从内层到外层为[90◦/0◦]3, 几何参数为壳的平均半径r0=1, 壳长x=1, 中面弧长l=πr0/2, 总厚度h=0.1r0, h1=h3=0.1h, h2=0.8h.壳共分为6个薄层, 各层厚度从内到外分别为d1=0.1h, d2=d3=d4=d5=0.2h, d6=0.1h.

一维贯穿脱层情况:见图5 (a) , 壳θ=0, π/2边简支 (θ为yoz平面上的圆周角) , x=0, l边自由, 脱层半径rd=r0, 脱层区域在壳几何中心且贯穿圆柱壳向两侧扩展.

二维中间脱层情况:见图5 (c) , 壳θ=0, π/2边固支;x=0, l边自由, 脱层半径rd=r0, 脱层区域在壳的几何中心且为矩形圆柱壳, 由中间向四边扩展.

表1和表2中未加括号的数值是利用“先分后合”模型计算的, 方括号的数值是利用“弱粘接”模型计算所得.为了满足Rij→∞, 经过多次试验, 当Rij的数值取得大于104后, 可以逼近结果.从本算例中可以看出, 无论是发生一维贯穿脱层还是二维中间脱层, 由于粘接作用, 虽然下子壳上没有施加力的作用, 还是在半径方向上有一定的位移, 随着脱层长度的增加, 下子壳的半径方向位移逐渐减小, 即上子壳对下子壳的影响随着脱层长度的增加而逐渐减小.

脱层壳能量释放率计算:如图5 (a) 所示环向脱层, 在脱层长度占全部长度的30%;θ=0, π/2边固支;x=0, l边自由的情况下, 不同脱层半径rd的能量释放率见图6.如图5 (b) 所示, 在脱层长度为40%;θ=0, π/2边固支;x=0, l边自由的情况下不同脱层半径rd的能量释放率见图7.

通过图6和图7可以看出, 对于同一脱层长度, 外载荷增加时, 不同脱层半径下的能量释放率增加速度不一样, 越靠近载荷加载, 更容易发生脱层.同时环向脱层受外载荷影响大于轴向脱层外载荷影响, 对于壳类件, 在选择受力载荷时需要考虑结构可能发生脱层的方向.

6 结论

本文是基于弹性材料修正后的H-R变分原理, 建立了柱坐标系下Hamilton正则方程8节点等参元列式, 运用层间力学关系, 完成了两类层合开口壳脱层损伤模型的半解析法研究.通过对两个模型的研究, 得到如下结论:

(1) 利用二次插值函数较高的计算精度, 结合等参元可以处理各种复杂形状的优点, 在丰富了Hamilton正则方程的半解析法的同时, 可以封装为有限元商业软件中的固定模块, 以便后期做更深的研究;

(2) 研究发现, “先分后合”模型在模拟已知单层脱层情况下的力学情况较为方便, 对于多层脱层情况, 该方法显得格外复杂, 计算过程中由于层间的接触问题而使得该法的局限性较大;

(3) 本文中的“弱粘接”模型可以模拟多层层间失效的情况, 模型简单, 通用性较好.但是该模型只能近似模拟层合壳的完全脱层, Rij值的选取对最终结果有较大影响.

本文的方法可以进一步推广到压电材料中去.利用9节点作为插值函数, 仍可采用本文方法进行类推.

摘要：为了研究层合壳脱层, 本文首先建立了柱坐标系下Hamilton正则方程的8节点等参元列式;然后分别采用了“先分后合”模型和“弱粘接”模型对开口壳的脱层损伤进行了模拟;通过利用层间的力学关系建立了整个壳的求解方程;最后分别从粘接完好和脱层两类情况对开口壳进行研究, 并计算脱层前缘裂纹扩展的能量释放率.数值实例的分析结果表明环向脱层受外载荷影响大于轴向脱层外载荷影响, 脱层深度对两类脱层模型影响较大.

半解析法 第2篇

关键词：超高层建筑,束筒结构,半解析方法,地基刚度

束筒结构体系是一个很有前途的超高层建筑结构体系。从结构上看,束筒结构的承载能力强、侧向刚度大,且有良好的延性和抗震性能;从建筑上看,束筒结构可以提供较大的使用空间,使建筑布置灵活。本文将超高层建筑束筒结构与其基础等效连续化为一个支撑在半无限大弹性地基上的加劲薄壁筒组合体,然后作半离散化处理,再通过能量原理,将静力分析问题转化为常微分方程组边值问题,并利用常微分方程求解器进行求解。

1 束筒结构的简化分析模型

本文将采用集地基、基础、上部结构为一体的三维一体化半解析模型进行分析。对于上部结构,利用刚度等效原理将束筒结构等效连续化成由不同刚度的闭口截面薄壁筒与加劲杆组合而成的加劲闭口薄壁截面筒组合体(见图1)。

对于基础,把它看成是上部结构向地下的延伸。

对于地基,采用半无限大弹性地基,将基坑底部与基坑坑壁等效成不同的半无限弹性体。

2 位移场的确定

整个结构体系的位移场采用以下基本假设:1)刚性楼板假设;2)筒壁在以纵向正应力σ,纵向及横向剪应力τ的平面应力状态下工作。

根据以上假设,用纵向节线对内、外两个薄壁筒进行划分,取各个节线上的纵向位移与薄壁筒横截面形心处的横向位移函数为基本未知函数,节线之间用插值函数,整个内外薄壁筒的位移场可以表示出来。加劲杆位移场是与薄壁外筒位移场相协调的位移场,即加劲杆的轴向位移与薄壁外筒上相对应的节线的纵向位移相同,而横向位移与整个薄壁筒横截面形心处的横向位移相同。

3 控制方程的推导

整个加劲薄壁筒组合体结构系统的总势能表示为:∏=Ut+Uz+Utb+Utg+Uzg+Up。其中,Ut为薄壁筒体的弹性应变能;Uz为加劲杆的弹性应变能;Utb为基础基坑周围地基中储存的弹性应变能;Utg为薄壁筒体底部地基中储存的弹性应变能;Uzg为加劲杆底部地基中储存的弹性应变能;Up为荷载势能。

由最小势能原理δ∏=0可得,以下束筒静力问题的控制微分方程组及相应的边界条件:1)基础结构和上部结构的控制微分方程组,它们实际上是微分段束筒的静力平衡方程;2)基础底部与薄壁筒顶部的边界条件,实际上是基础底部与薄壁筒顶部力的平衡条件;3)结构系统各部分连接处的连接条件,实际上为连接处的位移协调条件和静力平衡条件。

4 算例与计算结果分析

图2为钢筋混凝土束筒结构的横截面,等效薄壁外筒、内筒的平均等效厚度分别为0.25 m,0.55 m,基础高8 m,筒高136 m,结构材料的抗拉压与抗剪弹性常数分别为:E=3.25×107 kPa,G=1.22×107 kPa。基础底部、基坑坑壁的等效刚度分别为:KzD=20.0rd×106 kPa/m,KtD=15.7rd×106 kPa/m,KnH=18.0rd×106 kPa/m,KtH=13.5rd×106 kPa/m,其中,rd为一个由场地情况确定的系数(本例取rd=1.0);Cr为基础与地基的接触系数(本例取Cr=0.5)。重力荷载取50 kN/m3,取两个方向的均布水平荷载为5 kPa,均布扭矩为10 kN·m/m。计算结果见表1～表5。

通过计算结果分析可得以下几点结论:1)地基的最大正应力出现在基础底部的角点处,上部结构的最大正应力同样也出现在与基础连接的角点处。这说明剪力滞后对应力分布的影响是明显的。2)上部结构的最大剪力始终发生在与基础的连接处,但基础结构的最大剪力位置则随基础刚度的增加而降低。3)地基刚度的大小对上部结构应力的影响范围只局限于基础结构附近,这一结论再一次证明了圣维南原理的正确性。

参考文献

[1]包世华.新编高层建筑结构[M].第2版.北京:中国水利水电出版社,2005.

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[3]龚耀清,杨博.超高层建筑空间巨型框架的半解析静力分析[J].工程力学,2003(sup):691-694.

[4]包世华.我国高层建筑结构分析的现状和解析—半解析常微分方程组求解器方法[A].首届结构工程会议论文集[C].1991.

浸渍法制备铜离子半定量检测试纸 第3篇

本文根据1 - ( 2 - 吡啶偶氮) - 2 - 萘酚( PAN) 与Cu2 +的显色反应原理[8],以浸渍法将溶液中的显色反应转移至固相载体上制备Cu2 +快速检测试纸条,并对试纸载体,显色剂用量,表面活性剂种类,显色p H值等影响检测反应的条件进行了优化。

1 实验部分

1. 1 方法原理

在弱酸性条件下,Cu2 +与显色剂反应生成紫红色络合物, 通过与标准色阶比较,确定Cu2 +的大致浓度。

1. 2 仪器与试剂

UV紫外可见分光光度计( T6新世纪) ,北京普析通用仪器有限责任公司。

Cu2 +标准储备液 ( 1 g/L,按标准方法配制,使用时按比例稀释) ; PAN乙醇溶液( 1 g/L) ; 1. 0% ( m/V) Triton X - 100水溶液; 1. 0% ( m/V) Triton X - 114水溶液; 十二烷基苯磺酸钠溶液( 1×10- 2mol / L) ; HAc - Na Ac缓冲溶液; 无水乙醇, 西安化学试剂厂; 中速定性滤纸,杭州特种纸业有限公司; 其它试剂除说明外均为分析纯。

1. 3 实验方法

将中速定性滤纸裁剪成1 cm×4 cm条形,先在PAN、HAc - Na Ac缓冲溶液、表面活性剂混合溶液中浸泡至饱和,凉干后再浸入一定浓度的Cu2 +标准溶液中,1 min后取出放于白色背景下拍照制成标准色阶。空白试纸除不在Cu2 +标准溶液中浸泡外,做法相同,晾干后密封保存[7]。测试样品时先将试样溶液p H调至弱酸性,再加入适量HAc - Na Ac缓冲溶液,取空白试纸浸入试样中显色,1 min后取出至白色背景下,2 min内与标准色阶比较确定样品中Cu2 +大致浓度。

2 结果与讨论

2. 1 试纸材料的选择

选择中速定性滤纸、普通大张滤纸和定量滤纸作为试剂载体进行了实验,试剂在每一种载体上的显色反应灵敏度及色阶通过拍照对比记录 ( 图1) 。结果表明,中速定性滤纸作试剂载体颜色色阶最明显,从空白黄色到橙色再到紫色,即Cu2 +浓度较小时是显色剂在载体上的底色,随着浓度的增大则显示出络合物的颜色,显色现象明显。

2. 2 溶液 p H 的影响

文献报道Cu2 +和显色剂PAN在溶液中反应时的适宜p H为2. 8[9],但是固相显色不同于水溶液。分别试验了试纸在p H 2 ~ 6溶液中的显色性能 ( 图2 ) ,在p H < 3时, 不同浓度的Cu2 +在试纸上无明显显色梯度。p H 6时,Cu2 +在高浓度区域显色梯度不明显均为紫色。在p H 4时显色区域从低浓度到高浓度颜色逐渐由浅黄色到橙色到紫色,呈现出较明显的色阶, 符合Cu2 +和PAN反应的现象。因此确定最佳显色p H 4,以HAc - Na Ac缓冲溶液控制测试液p H。同时,为确保试纸显色p H,在试纸制备时的浸泡液中也加入适量缓冲溶液。

2. 3 显色剂用量的影响

根据反应平衡移动原理,为使目标Cu2 +充分显色,通常需要加入过量显色剂,溶液显色经验表明加入过量的显色剂不是越多越好。PAN与Cu2 +的液相反应中,配制25 m L溶液需要4. 00 m L显色剂可保证显色反应进行完全,而在固相试纸载体上,为保证显色现象明显,需要显色剂的用量大于液相体系, 但过量显色剂同样可能引起副反应造成对测定不利[8]。实验中分别测试了2. 00、4. 00、6. 00、8. 00 m L显色剂用量对试纸显色的影响( 图3) 。显色剂用量6. 00 m L时的色阶有明显的梯度, 可以认为是最佳用量。

2. 4 表面活性剂种类的影响

PAN及PAN - Cu2 +配合物在水中溶解性较差,考察了不同表面活性剂Triton X - 100、Triton X - 114及十二烷基苯磺酸钠对试剂的增溶增敏效果( 图4) 。选择显色现象明显且尽可能短时间内起作用的表面活性剂,根据实验现象,Triton X - 100作为表面活性剂浸渍后的试纸色阶最好,与液相显色反应相符。

2. 5 制作标准色阶

配制0. 0、1. 0、2. 0、3. 0、5. 0、8. 0、10μg/m L的Cu2 + 标准系列,和试纸作用后制成标准色阶。

2. 6 干扰离子的影响

PAN能与多种离子显色,但各离子显色的灵敏性随条件的变化而不同,通过控制显色反应p H值、表面活性剂种类及用量、显色剂用量、反应温度、显色时间等参数,可以获得较好的测试选择性。在本实验确定的PAN - Cu2 +试纸显色反应条件下, 试验了5μg/m L的Fe3 +、Co2 +、Ni2 +、Zn2 +、Cd2 +显色效果。与空白试纸对比,干扰离子在试纸上未出现明显的色阶变化, 但呈现出较深的黄色 ( 空白试纸本身是黄颜色) 。再将该试纸放入含Cu2 +的溶液中,浸入溶液的试纸条一边显示在Cu2 +溶液中的颜色,表明该试纸具备一定的选择性。干扰离子浓度大于20μg /m L时,检测Cu2 +的结果明显偏高,对于此类试样,需要在试纸制作时的显色液或待测试样中添加适当掩蔽剂。

3 模拟水样分析

本实验测定的水样为模拟样,其中干扰离子Fe3 +为5μg/ m L,Co2 +、Ni2 +、Cr3 +、Cd2 +离子分别为1μg/m L,根据检测程序结果如图5所示。图示颜色和标准色阶比较浓度范围大概在第4条试纸附近,Cu2 +浓度约为3μg/m L。再以分光光度仪测定模拟样中Cu2 +准确浓度为2. 64μg/m L,与试纸测试所得结果基本符合,达到半定量检测要求,表明本实验所得试纸可用于水样中主量Cu2 +的现场、快速半定量测试。

4 结 论

使用Triton X - 100表面活性剂,以浸渍法将显色剂PAN稳定地吸附在定性滤纸上制成Cu2 +检测试纸,p H 4的HAc-Na Ac缓冲介质中2 min内即可完成一个样品检测,所得试纸可用于水样中主量Cu2 +的现场、快速半定量测试。

参考文献

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[2]Buldini PL,Cavalli S,Sharma JL.Determination of reansition metals in wine by ICP,DPASV-DPCSV and ZGFAAS coupled with UV photolysis[J].J Agricultural and Food Chemistry,1999,47:1993.

[3]屈颖娟,翟云会,王亚妮.水中铜离子的高选择性检测方法[J].光谱实验室,2013,30(5):283.

[4]刘建宁,张兵,尚虹,等.2,4-二羟基苯乙酮苯腙荧光猝灭法测定铜[J].分析化学,2003,31(5):636.

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[6]周焕英,高志贤,张亦红,等.水中铜的快速试纸检测方法[J].解放军预防医学杂志,2007,25(4):256.

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[8]宁明远,PAN-Triton X-100吸光光度法连续测定铝合金中铜镍[J].理化检验一化学分册,1994,30(1):45.

半解析法 第4篇

实验证明,钢结构梁柱的连接都是介于完全刚接和理想铰接之间的半刚性连接,梁柱之间的夹角随着弯矩的增加产生一个与连接自身刚度相关的相对转角。

一般用节点承受的弯矩及梁柱相对转角之间的关系来描述半刚性连接的力学特性[1]。半刚性连接的弯矩—转角关系比较复杂,呈现明显的非线性。半刚性连接框架的整体性能受众多因素的影响,其中最主要的影响因素是几何非线性和梁柱连接的半刚性[2]。

传统的有限元法在对钢框架进行非线性分析时,存在单元和节点自由度多,建模复杂,求解规模大及耗时多等不足,本文采用一种有别于有限元的方法——QR法对半刚性连接结构进行分析,建立考虑半刚性连接的QR法计算格式[3],并编制程序实现半刚性连接钢框架的二阶弹性静力计算。

1半刚性连接梁单元的刚度方程

通常采用两端各附带一个零长度转动弹簧的梁单元来模拟两端为半刚性连接的梁[7],弹簧的转动刚度取连接模型的瞬时切线刚度,该半刚性连接单元在不增加单元及自由度总数的基础上描述了梁柱半刚性连接的影响。梁端半刚性连接节点的转动刚度分别为RA和RB;θA和θB分别为梁端节点的转角位移,弹簧转动变形:θRA=MA/RA,θRB=MB/RB。根据弹簧变形和梁端弯曲变形之间的协调关系,梁端发生的弯曲变形分别为θA-θRA和θB-θRB,则单元的转角位移方程修正为:

凝聚弹簧转动的内部自由度θRA和θRB,补充其他的杆端力,仍取节点A,B的位移为单元的基本未知量,可得单元刚度方程[3]:

其中,±为对应单元轴力为拉力和压力时的情况;s*ii,s*ij,s*ji,s*jj均为单元的稳定函数。

其中,sii,sij,sji,sjj均为稳定函数,其表达式为:

其中,P为梁的轴力。

2半刚性连接的模型

半刚性连接的M—θr的数学模型有线性模型、多项式模型、B样条模型、幂函数模型和指数函数模型等,运用较为广泛的是Kishi-Chen提出的三参数幂函数模型[1]:

其中,Rki为初始连接刚度;Mu为连接的极限弯矩承载力;n为曲线的形状参数。该模型参数少,精度高,计算中不会出现负刚度问题。

3钢框架结构二阶弹性静力分析的QR法

QR法是秦荣教授针对高层建筑结构分析提出的一种新方法,它利用有限元法简单明了的单元离散信息,利用样条函数紧凑、高阶连续的特性,以广义位移参数为基本未知量,采用样条基函数和正交多项式乘积的线性组合构造整体位移场函数,建立起任意节点位移和样条节点广义位移参数之间的关系,从而实现有限元法单元节点位移与QR法广义位移之间的变换,即QR法变换,对总势能泛函应用变分原理建立起QR法的刚度方程,位移函数满足边界条件,无需再进行边界条件修正,直接解刚度方程求得QR法广义位移参数,进而计算节点的位移及单元的内力。利用QR法对钢框架进行二阶弹性分析[7],可采用简单荷载增量法,在逐级加载计算中不断更新单元的刚度矩阵,计算每个荷载增量步产生的位移及内力,主要的计算步骤如下

1)样条节点离散及位移插值函数。

如图1所示的平面框架的每个节点有三个位移分量:ui为节点i的水平位移,vi为节点i的竖向位移,θi为xy平面内的转角。如果沿x方向采用B样条函数进行单样条离散化[6],则:

0=x0<x1<x2<…<xN=a,xi=x0+ih,h=xi+1-xi。

y方向采用正交多项式,将B样条函数与正交多项式的乘积加以线性组合,由此构成整个结构的位移模式,则框架的位移函数为:

其中,{u}m,{v}m,{θ}m均为样条节点的广义位移;i(x)为三次B样条基函数,一般采用均匀划分;Xm(y)为正交多项式[6]:

式(9)要满足框架的边界条件,H为结构高度。把式(7)写成矩阵的形式为:

{δ}是与样条节点及正交多项式基数项R有关的广义位移参数,也是QR法分析框架结构的基本未知量,它是3R(N+1)阶列阵。

2)QR变换及结构刚度方程的建立。

如果将框架分为M个单元,则每个单元的节点位移向量{V}e为:

这是单元节点位移向量{V}e与结构样条节点广义位移向量{δ}之间的转换关系,式中[T]为单元坐标变换矩阵。

任一梁单元AB:

[N]B分别为[N]在梁端A,B点的形函数矩阵,只需把节点坐标代入式(11)即可。

任一单元总势能泛函为:

所有单元总势能泛函求和就得到结构的总势能泛函,并将式(12)代入可得:

其中,

利用变分原理可得框架的样条离散化刚度方程:

其中,{K},{F}分别为高层框架的刚度方程及荷载向量,即:

4算例分析

采用本文QR法对单跨三层半刚性连接钢框架进行二阶弹性分析(见图2),柱截面为HW200×200×8×12,梁截面为HN350×175×7×11,弹性模量E=2.06×1011Pa,柱与柱为刚性连接,梁柱之间为半刚性连接。半刚性连接Kishi-Chen三参数模型参数为:初始刚度R=1.424×105k N/m,极限弯矩Mu=158.8 k N·m,形状参数n=0.8。计算结果见表1,表2。从表1可以看出,本文方法精度高,完全可以达到有限元方法的计算精度。从表1,表2结果可以看出,采用半刚性连接时,结构抗侧刚度降低,侧移增加。半刚性连接时梁右端弯矩与刚性连接相比大幅度减少,而跨中弯矩大幅度增加。从结果可以看出,半刚性连接改变了内力在梁柱之间的分配比例,可以用来调节梁跨中及端部的弯矩幅值,使其跨中和两端的弯矩幅值相近,从而能充分发挥钢材的强度。

mm

k N·m

5结语

本文采用B样条基函数和正交多项式乘积的线性组合构造了半刚性连接钢框架的整体位移场,建立了半刚性连接钢框架二阶弹性静力分析的QR法计算格式。理论研究及计算结果表明:利用这种方法对高层钢框架进行非线性分析时,计算简便,未知量少,而且精度也高,结构刚度矩阵的计算过程更为简便,无需单独处理边界,程序容易实现。半刚性连接的存在减小了结构的侧向刚度,增加了结构的侧移,而且半刚性连接的性能可以改变钢框架的整体内力分布,对钢框架的影响已不容忽视。

摘要：采用梁柱法和稳定函数推导了梁柱结构考虑二阶效应及梁柱半刚性连接时的单元刚度矩阵,并用Kishi-Chen幂函数模型描述了半刚性连接的特性,采用B样条函数及正交多项式乘积的线性组合,构造了QR法的结构整体位移函数,通过QR法样条离散,建立起QR法的计算格式,并编制了相应的计算程序。

关键词：钢框架,QR法,半刚性连接,二阶效应

参考文献

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[3]余兴.半刚性连接钢框架二阶弹塑性分析的QR法[D].南宁:广西大学硕士学位论文,2008.

[4]李国强,刘玉姝,赵欣.钢结构框架体系高等分析与系统可靠度设计[M].北京:中国建筑工业出版社,2006.

[5]王新堂.平面杆系结构静力分析的统一模型[J].力学与实践,2003,25(3):41-43.

[6]秦荣.超限高层建筑结构分析的QR法[M].北京:科学技术出版社,2010.

半解析法 第5篇

实际电力系统运行中存在诸多不确定性因素[1,2], 如负荷功率的变化、发电机出力的变化、系统元件的随机故障等。风电场、光伏电站等可再生能源的大规模并网更是加剧了电力系统的不确定性[3,4,5,6]。常规潮流计算方法能得到系统确定的潮流分布, 但该分布不能准确描述电网的运行状态[7]。概率潮流可计及各种不确定性因素, 且能准确描述系统状态变量的分布特性, 因而成为研究热点之一[8,9,10,11]。其中基于半不变量和级数展开的概率潮流计算方法 (简称半不变量法) 因计算简单、速度快, 得到了广泛应用。

众多学者基于线性交流潮流模型采用半不变量法分析了风电场和光伏电站并网后电力系统的概率潮流[12,13,14,15,16,17]。文献[7]采用半不变量法分析了含分布式电源的地区电网动态概率潮流。文献[18]在半不变量和Edgeworth级数展开的基础上提出一种含风电场电力系统的负荷裕度概率分析方法。此外, 也有学者将半不变量法应用于发电机组检修计划[19]、电力市场[20]和分布式发电的优化配置[21]等领域。

上述研究未考虑半不变量法在含大规模风电或光伏发电的电力系统中的计算精度。基于线性交流潮流模型的半不变量法因潮流方程在基准运行点处的线性化将会产生计算误差。此外, Gram-Charlie等级数展开的基本理论是中心极限定理[22], 当系统中含有大量概率分布函数为非正态分布的输入随机变量时, 级数展开的拟合精度会降低。在某些情形下半不变量法计算结果的准确度可能不满足要求。虽然文献[14]分析了风电场接入前半不变量法的计算精度, 但由于风电和光伏发电出力具有很强的间歇性和波动性, 对半不变量法计算精度可能有较大影响。当风电和光伏发电出力在系统中占有较大比例时, 采用半不变量法进行概率潮流分析能否仍然保证其计算精度, 是合理应用该方法的前提。文献[23]分析了该方法各环节的假设条件及其可能引起的误差, 得到了有益的结论, 但未对比分析风电与光伏发电输入随机变量和各种级数展开下该方法的计算准确度。

本文采用线性交流潮流模型, 利用半不变量和级数展开 (包括Gram-Charlier级数、Edgeworth级数和Cornish-Fisher级数) 对计及各种输入随机变量的电力系统概率潮流进行比较分析。以蒙特卡罗法计算结果为参考值, 以输出随机变量累积分布的方差和的根均值ARMS (Average Root Mean Square) 为评价指标, 比较分析各种输入随机变量和不同级数展开下半不变量法概率潮流计算结果的准确性, 并阐述其误差产生机理。

1 输入随机变量的概率模型

1.1 风力发电出力的概率模型

风力发电出力的概率模型主要取决于风速的概率模型和风电机组的输出功率-风速模型。应用较广的风速概率模型为双参数威布尔分布模型, 其概率密度函数为:

其中, v为风速;k为形状参数;c为尺度参数。

风电机组的输出功率-风速模型可近似表达为:

其中, ;k2=-k1vci;PN为风电机组额定功率;vci为切入风速;vN为额定风速;vco为切出风速。

由式 (1) 、 (2) 可得风力发电有功出力的概率模型:

因要求并网风电场具备一定的无功调节能力, 使其能够按恒功率因数运行[24], 无功出力见式 (4) 。

其中, θ为功率因数角。

由式 (3) 、 (4) 可得风力发电无功出力的概率模型。

1.2 光伏发电出力的概率模型

光伏发电出力的核心为太阳能电池, 其输出功率与光照强度密切相关。太阳光照强度在一段时间内可近似为Beta分布[12], 其概率密度函数为:

其中, a、b均为Beta分布的形状参数;r、rmax分别为该时段内的实际光照强度和最大光照强度。

太阳能电池输出功率PS与光照强度r的关系为:

其中, A为太阳能电池总面积;h为太阳能电池光电转换效率。

由式 (5) 和式 (6) 可得到太阳能电池输出功率PS的概率密度函数:

其中, PSmax为太阳能电池最大输出功率。

光伏发电一般通过并网逆变器将输出功率因数控制在单位功率因数, 因而其无功出力为零。

1.3 发电机组出力的概率模型

发电机组出力的概率模型一般可用两状态概率模型, 即只有正常运行和故障强迫停运2种状态, 其出力概率模型为:

其中, PG、QG为发电机组有功、无功出力;PGN、QGN为发电机组额定有功、无功出力;pG为发电机组故障强迫停运率。

1.4 负荷的概率模型

未来某一时刻的负荷预测结果可看成随机变量, 并假设负荷服从正态分布, 其有功、无功的概率密度函数为:

其中为负荷有功和无功的期望值;为负荷有功和无功的标准差。

2 半不变量法概率潮流

2.1 潮流方程线性化模型

将极坐标形式的节点注入功率方程和支路潮流方程用矩阵表示, 并在基准运行点对其进行泰勒级数展开, 忽略2次及其以上的高次项, 可得:

其中, W为节点注入功率;X为节点状态变量;Z为支路潮流变量;J0为潮流计算雅可比矩阵;

式 (10) 可以进一步表示为:

若已知系统正常运行条件, 可通过常规潮流计算得出基准运行点处的节点状态变量X0、支路潮流变量Z0和J0, 进一步求得S0和T0。在已知节点注入功率随机扰动ΔW后, 可根据式 (11) 求得节点状态变量和支路潮流变量的随机扰动。

2.2 半不变量计算

节点注入功率的随机扰动ΔW主要由节点发电机出力和负荷注入功率的输入随机变量 (即ΔWG和ΔWL) 构成, 如下式:

其中, 符号表示卷积运算。

假定各节点注入功率的输入随机变量相互独立, 可利用半不变量的可加性代替卷积运算, 即:

其中, ΔW (k) 、ΔWG (k) 、ΔWL (k) 分别为节点注入功率、发电机注入功率、负荷注入功率的k阶半不变量。

式 (11) 可进一步变换成:

其中, S0 (k) 和T0 (k) 分别为矩阵S0和T0中元素的k次幂所构成的矩阵。

根据式 (14) 求取的节点状态变量ΔX和支路潮流变量ΔZ的各阶半不变量, 可通过相关的级数展开近似求得ΔX和ΔZ的随机分布, 包括概率密度函数和累积分布函数。

2.3 基于半不变量的随机分布的级数展开

目前, 在电力系统规划与运行中应用较多的级数展开主要有3种, 分别为Gram-Charlier级数、Edgeworth级数和Cornish-Fisher级数, 其中前2种级数都是把随机变量的分布函数表达为由正态随机变量各阶导数组成的级数[25]。

2.3.1 Gram-Charlier级数展开

Gram-Charlier级数根据Hermite多项式的正交特性展开, 因而又称为正交展开式。根据Gram-Charlier级数展开, 随机变量的累积分布函数可表示为:

其中, 为规格化后的随机变量;分别为标准正态分布随机变量的概率密度函数和累积分布函数;gi为i阶规格化后的半不变量;为i阶Hermite多项式。

2.3.2 Edgeworth级数展开

Edgeworth级数根据Hermite多项式的各项级数的数量级展开, 因而又称为渐近展开式, 根据Edgeworth级数展开, 随机变量的累积分布函数可表示为:

2.3.3 Cornish-Fisher级数展开

Cornish-Fisher级数的基本思想是根据选定累积分布函数的α分位数求取待求累积分布函数的α分位数, 进而得到待求变量z的累积分布函数F (z) 。其关键在于选取特殊的基础分布和拓展序列, 其中经典的Cornish-Fisher级数是基于标准正态分布和Gram-Charlier级数展开[22]。若随机变量z的分位数为α, 则z (α) 可表示为:

根据式z (α) =F-1 (α) , 可求得随机变量z的累积分布函数F (z) 。

2.4 半不变量法计算准确性评价指标

半不变量法概率潮流可得到输出随机变量的数字特征和概率分布, 其中数字特征一般采用期望值和标准差。当输出随机变量为正态分布时, 期望值和标准差可完整描述其概率分布;当输出随机变量为非正态分布时, 仅采用期望值和标准差还不足以完整准确描述其分布特性。由第1节可知风电出力、光伏出力和发电机组出力均为非正态分布, 输出随机变量亦非正态分布。为准确评价半不变量法在不同情形下的计算准确性, 本文以蒙特卡罗法计算结果为参考值, 采用输出随机变量累积分布的ARMS[9]作为评价指标。ARMS指标可表示为:

其中, CCEi和CMCi分别为半不变量法和蒙特卡罗法得到的输出随机变量累积分布曲线上第i个点的值;N为节点数。

3 不同级数展开的半不变量法概率潮流计算比较流程

不同级数展开的半不变量法概率潮流计算比较流程如图1所示。

图1不同级数展开的半不变量法概率潮流计算比较流程图Fig.1 Flowchart of probabilistic load flow calculation based on cumulant method with different series expansions

4 算例分析

采用半不变量法对图2所示的IEEE 30节点系统进行仿真计算。以20000次蒙特卡罗法计算结果为参考值, 以PQ节点电压幅值为分析对象, 以ARMS为评价指标, 对比分析各种输入随机变量和3种级数展开下半不变量法计算结果的准确性, 并分析误差产生机理。IEEE 30节点系统的总负荷为189.2+j107.2 MV·A。ARMS指标计算中N=5 000。假设各输入随机变量相互独立。

本节对如下4种情况分别进行分析:

a.情况1, 只考虑负荷波动;

b.情况2, 同时考虑负荷波动和发电机强迫停运;

c.情况3, 同时考虑负荷波动、发电机强迫停运和风力发电出力的波动;

d.情况4, 同时考虑负荷波动、发电机强迫停运和光伏发电出力的波动。

4.1 情况1

当只考虑服从正态分布的负荷波动时, 由式 (14) 可求得系统状态变量的各阶半不变量, 其中一阶半不变量为期望值, 二阶半不变量为方差, 三阶及其以上半不变量为零。由式 (15) — (17) 可知3种级数展开得到的系统状态变量累积分布函数相同, 均服从正态分布。节点电压幅值ARMS的均值和最大值与负荷波动标准差的关系见图3。仿真结果表明:

a.若只考虑服从正态分布的输入随机变量, 3种级数展开得到的半不变量法计算精度相同;

b.当负荷波动不大时, 半不变量法计算精度高;

c.随着负荷波动增加, 半不变量法计算精度降低。

由于负荷波动的增加, 更多注入功率远离负荷功率期望值, 使得线性化处理引起的误差随之增大。此时, 半不变量法计算误差主要来源于交流潮流方程的线性化。

4.2 情况2

若计及发电机强迫停运, 节点电压幅值ARMS的均值和最大值与负荷波动标准差的关系见图4。

仿真结果表明:

a.服从二项式分布的发电机出力对半不变量法计算精度影响较大, 且ARMS指标随着负荷波动标准差的增加先减小再增加, 当负荷波动标准差较小时, 半不变量法计算精度较差;

b.不同级数展开拟合输出随机变量概率分布的精度不同。

3种级数展开的基本理论为中心极限理论, 当独立输入随机变量的数量趋于无穷或者概率密度函数为连续而非离散时, 其拟合精度高。由于发电机出力输入随机变量数量少 (与发电机台数有关) 且概率密度函数为离散函数, 不满足中心极限定理。当负荷波动标准差较小时, 节点注入功率主要为服从离散分布的发电机出力, ARMS指标较大, 半不变量法计算精度较差, 如当负荷波动标准差为3%, 采用Gram-Charlier级数展开的ARMS最大值为3.56%, 采用Cornish-Fisher级数展开的ARMS最大值为1.54%。文献[25]指出, 若系统中发电机台数越多, 机组的强迫停运率越高, 则半不变量法的计算精度越高。因3种级数展开的方式不同, 对输出随机变量概率分布的拟合精度也有所差异。由正态分布各阶导数构成的Gram-Charlier级数展开和Edgeworth级数展开的拟合精度基本相同, 而Cornish-Fisher级数展开在计算离散分布的概率分布时与Gram-Charlie级数展开和Edgeworth级数展开相比拟合精度更高。

4.3 情况3

在情况2的基础上, 将风电机组直接接入节点11, 风电机组有2种型号可供选择:风机1 (FL250) 和风机2 (FL1000) , 相关参数见表1[26]。风速的双参数威布尔分布的参数分别为k=3.97和c=10.7[13]。风速的概率分布与风电机组功率输出曲线见图5。假设2种类型风电机组的功率因数均为感性0.98。

不同风电机组类型和不同装机容量对半不变量法计算精度的影响如图6所示, 其中负荷波动标准差为15%, 实线代表计及风机1的半不变量法计算精度, 虚线代表计及风机2的半不变量法计算精度。

仿真结果表明:

a.随着风电机组装机容量的增加, ARMS指标增加, 半不变量法计算精度逐渐下降;

b.不同类型风电机组出力对半不变量法计算精度影响不同;

c.不同级数展开对输出随机变量概率分布拟合精度影响不同, 特别是风电机组装机容量较大时, Gram-Charlier级数展开和Edgeworth级数展开拟合精度较差, 而Cornish-Fisher级数展开拟合精度较好。

由图5可知, 在给定风况下, 风机1主要工作于切入风速和额定风速之间的线性工作区域, 而风机2涵盖了线性上升区域和额定工作区域, 且处于额定工作状态的概率较大, 从而使得在给定风速和相同装机容量条件下, 风机2的平均输出功率比风机1的平均输出功率大, 且输出功率的波动也更大, 导致半不变量法计算精度更差。

4.4 情况4

在情况3的基础上, 将节点11接入的风电机组换成光伏电站, 其他条件不变。单组太阳能电池的额定容量为0.25 MW, 太阳能光照强度Beta分布的形状参数分别为a=0.85和b=0.85[24]。节点电压幅值ARMS的均值和最大值与光伏电站装机容量之间的关系如图7所示。

仿真结果表明:

a.随着光伏电站装机容量的增加, ARMS的均值和最大值增加, 半不变量法计算精度下降;

b.3种级数展开对输出随机变量概率分布的拟合精度影响较小, 主要原因为此Beta分布形状参数下的太阳能光照强度近似为均匀分布, 使得光伏有功出力也近似为均匀分布。

由式 (7) 可知光伏有功出力满足连续函数而非离散函数。

5 结论

半不变量法概率潮流因能快速求出节点电压和支路潮流的概率分布, 得到了广泛的应用。但由于该方法为简化计算进行了近似处理, 且不同级数展开适用于不同的分布类型, 在某些情况下的计算精度可能不满足要求, 因此有必要对不同情况下半不变量法概率潮流计算进行比较分析, 为该方法的合理应用提供参考。本文以节点电压幅值为分析对象, 以蒙特卡罗法计算结果为参考值, 以ARMS为评价指标, 对比分析了各种输入随机变量和不同级数展开下半不变量法概率潮流计算结果的准确性, 并分析误差产生机理, 得到以下结论。

a.不同输入随机变量对半不变量法计算精度影响不同。服从正态分布的输入随机变量对半不变量法计算精度影响小;服从离散分布、威布尔分布和Beta分布等非正态分布的输入随机变量对半不变量法计算精度影响较大。当服从非正态分布的输入随机变量所占比例较高时, 半不变量法的计算精度变差。

b.不同级数展开得到的计及服从非正态分布输入随机变量的半不变量法计算精度不同。其中Gram-Charlier级数展开和Edgeworth级数展开的计算精度基本相同, Cornish-Fisher级数与前2种级数相比, 在计算非正态分布的概率分布时精度更高。

c.当电力系统中非正态分布输入随机变量比较高时, 为保证半不变量法概率潮流的计算精度, 建议采取改进措施, 如采用Von Mises法和级数展开相结合的方法[27]求取输出随机变量的概率分布。

半解析法 第6篇

1 临床症状

病鸭精神萎顿, 食欲减少或不吃, 怕冷、缩颈、羽毛蓬乱、眼半闭、不愿走动、卧地不起, 走路摇摆, 部分轻瘫、排灰白或淡黄色稠稀粪。并混有白色尿酸盐, 有的排青绿色水样粪便, 肛门周围羽毛被粪便污染, 有的病鸭从口腔流出多量粘液分泌物, 对外界刺激反应迟钝或消失, 触摸法氏囊明显增大肿胀, 轻轻挤压有粘稠性液体流出, 法氏囊上羽毛似油污染。病鸭表现发病急、潜伏期短、传染迅速, 一般多在出现症状后2~3d死亡。死亡高峰主要出现在发病后4~5d。

2 剖检病鸭

病鸭脚掌挛缩, 喙苍白, 全身脱水, 腿肌呈条状或点状出血, 呈斑驳状, 个别胸肌有出血条纹, 肉色苍白或郁血, 点状出血, 法氏囊肿胀2~3倍, 外形变圆或呈紫葡萄状, 外有一层黄色透明胶胨样物包裹, 内有淡黄色浆糊状分泌物或干酪样物质, 部分黏膜有出血点, 少数囊体萎缩, 颜色变为暗淡的鱼肉色, 质地较硬, 肾、脾有不同程度肿胀, 并有出血或充血, 肾色苍白并有尿酸盐沉积, 有的呈花斑状, 心包积液, 包膜粗糙, 肝脏淤血, 表面有纵形淡黄色条纹, 肠道出现轻度、中度卡他性炎症, 有的肠道充满气体, 盲肠扁桃体出血, 肌胃腺胃交界处有带状出血斑, 有的肌胃角质膜易剥离。

3 诊断

取肿大、出血明显的病死鸭法氏囊, 用生理盐水冲洗后研磨, 再加灭菌生理盐水制成20%乳悬剂, 以3 000r/min离心10min, 取上清液加入双抗于4℃冰箱放置4h后备用。

3.1 易感鸡感染试验

取上述备用液, 对5羽20日龄的IBD非免疫鸡进行滴鼻感染隔离试验, 2d后采食量减少, 拉白色粘稠稀粪, 3~4d陆续死亡。对死亡鸡剖检, 见法氏囊肿大出血, 腔内有多量奶油样分泌物, 胸肌、腿肌条状出血, 肾脏肿大出血。发病症状和剖检变化与临床发病鸭相似。

3.2 血清学试验

取细胞培养液与鸡IBD阳性血清进行琼脂扩散试验, 并用IBD标准抗原做对照, 置37℃条件下进行试验。对照标准抗原, 待检抗原均出现沉淀线判为阳性, 说明两者具有相同抗原。

4 药物治疗

4.1 西药

接种鸡传染性法氏囊病弱毒疫苗, 用量按说明, 接种免疫1次即可。

4.2 中药

配合内服中药, 以清热解毒、滋阴生津为主, 辅以西药消炎, 防止细菌性继发感染。

方剂:板兰根500g、蒲公英300g、生地250g、金银花250g、白头翁300g、甘草100g, 1剂/d (供1 000羽鸭用) 早晚水煎服, 连用3~6d, 为提高疗效, 防止细菌性继发感染, 帮助病鸭康复, 在煎好的中药中加入10%恩诺沙星或环丙沙星、菌克粉200g。同时加入5%糖水供饮;经过3d的治疗, 疫情基本控制, 继续用药2d痊愈。

方解:板兰根、蒲公英、金银花、白头翁都是性寒、味苦、入肝、胃经药, 对病毒、细菌都有较强的抑制和杀菌力。生地有滋阴生津的作用, 且有强心利尿促进代谢功能。甘草调和诸药, 因含有多糖类, 能保护肝脏。

5 预防

5.1 严格兽医卫生消毒

由于传染性法氏囊病毒对外界理化因素和环境的抵抗力很强, 患病鸭舍内的病毒可较长时间存在, 因此必须做好彻底的消毒, 保证鸭场各环节的卫生。对鸭舍场地、用具、饮水器及料槽及鸭群用0.3%的过氧乙酸严格消毒, 1次/d, 连用5d。

5.2 注意做好免疫接种工作。

半解析法 第7篇

新能源发电作为解决能源危机和环境污染等问题的有效手段,近年来在我国得到了大力发展。由于可再生能源发电(如风电、太阳能光伏发电等)具有很大的不确定性,再加上分布式电源、负荷及源荷之间的关联影响,未来电网将呈现复杂的高维随机特性,给系统运行控制、优化调度带来更大的挑战。因此,加快建立适应新环境的电网分析和评估方法具有重要意义[1,2]。

潮流计算是电力系统运行分析和规划设计的基础。常规潮流往往难以全面反映系统中不确定因素的影响;而随机潮流通过概率统计的方法得到系统稳态运行的宏观统计信息[3],是解决这一问题的重要工具。在其基础上应用自回归滑动平均(ARMA)模型和时移技术[4,5]、Copula函数或者基于相关系数矩阵的Cholesky分解等方法可以处理随机变量间的相关性问题,以适应未来新环境下电网运行分析的特点及需求。

目前,随机潮流的计算方法大致可分为3类:模拟法、近似法和解析法。模拟法在保证样本规模足够大的情况下能够获得很高的精度,且原理简单、适用性广。但其最大的缺点是耗时巨大,无法对规模庞大的系统进行在线潮流计算。文献[6]通过K均值聚类的方法对不同时段的样本点合并聚类,能够有效地减小计算规模。文献[7]改进了相应的采样技术,在不影响精度的情况下,大幅减少了样本的数量。尽管上述方法可以显著缩短模拟法的耗时,但仍无法从根本上解决问题。近似法是利用随机变量的数字特征(如期望、方差、原点矩等)来近似描述所求状态量的统计特性,常见的包括一次二阶矩法(FOSMM)、点估计法(PEM)[8]等。这类方法计算速度较快,但当考虑输入变量相关性时,计算会非常复杂且高阶矩的误差较大。解析法先将非线性潮流方程简化处理,得到随机变量间的线性关系,再用卷积运算求得状态量的概率分布,整个过程只需一次计算就能快速得到结果。为了避免复杂的常规卷积运算,可以采用文献[9]中的快速傅里叶变换(FFT)或者半不变量法[10,11,12,13]。解析法最大的问题在于各输入变量之间必须保证相互独立,这与电网的实际情况不符;而且简化后的潮流模型会对计算精度造成一定的影响。

本文提出一种可考虑输入变量相关性的基于拉丁超立方采样技术的半不变量法CM-LHS(Cumulant Method based on Latin Hypercube Sampling)计算随机潮流。通过拉丁超立方采样和Nataf变换得到具有相关性的输入变量的随机序列,结合半不变量和原点矩的关系计算其半不变量,以解决复杂输入变量的半不变量难以用数值方法求解的问题。利用Cholesky分解使输入变量之间满足线性独立的前提,并引入分段线性化潮流模型以减小计算误差。对IEEE 30和IEEE 118节点测试系统的仿真结果进行分析,验证了所提方法的准确性、快速性和实用性。

1 计及相关性的输入变量样本的产生

1.1 拉丁超立方采样

拉丁超立方采样(LHS)本质上是一种分层采样,其目的是使样本点均匀分布并覆盖整个采样空间[14]。LHS自1979年由M.D.Mckay等学者提出以来,现已广泛应用于多个领域。与简单随机采样相比,其优势如下:①为覆盖同样大小的样本空间,LHS的采样规模更小;②LHS的稳健性更好。传统的LHS方法主要分为采样和排序2步。

a.采样。设有n个输入随机变量X1、X2、…、Xn,采样规模为N,其中任意一个随机变量Xk的累积分布函数为:

将Yk的取值区间N等分并取各区间中点作为Yk的采样值,则Xk的第l个采样值可由反函数得到。

将每个随机变量的N个采样值排成一行,形成n×N阶的初始采样矩阵S。

b.排序。排序是为了降低相互独立的随机变量样本之间的相关性影响,一般用Gram-Schmidt序列正交化的方法[7]将初始采样矩阵S的元素重新排列,使样本间的相关性趋于最小,但其只适用于随机变量相互独立的情况。

1.2 Nataf变换和相关性处理

LHS是实现单一随机变量采样的有效方法,但对于有多个随机变量的情况,需要先进行相关性分析。理论上,随机变量之间的关联影响可用联合分布函数完整、唯一地描述。但实际工程中,往往已知的是各随机变量的边缘分布,它们之间的联合概率分布却较难拟合。而Nataf变换以随机变量的边缘分布和相关系数矩阵为基本信息,结合Nataf分布理论[15,16]和Cholesky分解[17,18]的线性变换,可实现关联非正态随机变量和独立标准正态随机变量之间的转换,从而避开了正面求解联合概率分布的困难。

设RX=[ρij]为输入随机变量X1、X2、…、Xn的相关系数矩阵,ρij为随机变量Xi和Xj的相关系数,表达式为:

其中,σi、σj分别为随机变量Xi、Xj的标准差。

由等概率边缘变换引入标准正态随机变量Z1、Z2、…、Zn,其相关系数矩阵RZ=[ρ′ij]。

其中,Φ(·)为标准正态分布的累积分布函数。ρij和ρ′ij具有如下的经验公式:

其中,变系数F(ρij)取决于Xi、Xj的分布,具体计算式可参考文献[19]。

在确定了相关系数矩阵RZ=[ρ′ij]后,对其进行Cholesky分解,即RZ=LLT,其中L为下三角矩阵。若标准正态随机向量Z*=[z1*,z2*,…,zn*]T满足:

其中,Y=[y1,y2,…,yn]T为独立标准正态随机向量。则可以证明[15],Z*的相关系数矩阵为RZ。对Z*采样得到样本矩阵(N为样本数),定义的顺序矩阵为LS(LS为与相对应的n×N阶矩阵,每一行为从整数1到N的一个排列,对应着中相应行的元素的大小顺序)。设n个输入随机变量X1、X2、…、Xn通过LHS形成的样本矩阵为,按顺序矩阵LS重新排列,得到最终样本矩阵S′。若

为任意无穷小量)[20],意味着S′与原样本矩阵X非常接近,即S′的相关系数矩阵近似为RX。…………

上述方法综合了LHS的优点并利用Nataf变换处理相关性,能够快速有效地产生计及相关性的输入随机变量的样本,为后续半不变量法随机潮流计算奠定基础。

2 半不变量法随机潮流计算

2.1 分段线性化潮流模型

非线性潮流方程包括节点注入功率方程和支路潮流方程,采用交流线性化模型,将其在基准运行点处进行泰勒展开并忽略2阶及以上的高次项,整理得:

其中,W为节点注入功率向量;D和Z分别为状态向量(电压幅值和相角)和支路潮流向量(支路有功和无功);下标0表示基准运行点(期望值);S0和T0为灵敏度矩阵,S0=J0-1,T0=G0J0-1,1其中J0为雅可比矩阵,

由于新能源的大规模接入以及系统关联性和复杂度的增长,输入变量的变化范围通常很大,采用单点线性化模型会引起较大的截断误差[21,22,23]。因此,在其基础上,引入潮流方程的分段线性化模型。

设Ptot为系统总的有功功率,有:

其中,NL为PQ节点个数;Pi为节点i的负荷有功;NG为PV节点个数;PjG为接入节点j的发电机输出的有功功率。

由于负荷功率和新能源出力均为随机变量,可知Ptot也是随机变量,其概率密度函数(PDF)可根据式(8)得到。图1大致给出了Ptot的PDF曲线,将其等间距地划分为T个区域,T一般取6~8。图1中μ为总有功功率的期望(均值)。

在每个区域内选取相应的基准运行点,并将潮流方程在各点处分别线性化:

其中,Si为区域Ri(i=1,2,…,T)对应的灵敏度矩阵;为区域Ri的基准功率向量。的求解步骤如下:

a.由第1节中介绍的LHS方法产生输入随机变量的样本矩阵Sn×N;

b.根据式(8)计算各样本向量[wj1,wj2,…,wjn]T(j=1,2,…,N)的Ptot,并判断其所对应的区域;

c.将属于同一区域的样本取平均值,即得到区域Ri的基准功率向量。

将代入式(10)的节点功率方程,即可以得到区域Ri的基准运行点向量Di0。

2.2 输入变量的半不变量求取

若已知输入变量的概率分布,采用常规数值方法对其进行数学推导可求得半不变量的解析式。对于服从正态分布或离散分布的随机变量,该方法能准确高效地得到其半不变量。然而对于分布函数较为复杂甚至未知的输入变量,其半不变量解析式难以推导,因此提出一种基于LHS的方法来计算其半不变量。

在输入变量X分布已知的情况下,根据其分布函数由LHS技术得到N个样本{xs1,xs2,…,xs N},分别计算每个样本的各阶原点矩αv:

再由半不变量和原点矩的关系[24],求出其各阶半不变量γv:

其中,Cvj为组合数。一般取前7阶半不变量就能保证较高的计算精度。

当输入变量X分布函数未知时,可以根据其实测离散历史数据,利用经验分布函数u=Fe(X)和LHS技术求解半不变量,主要步骤如下。

a.对输入变量X的离散历史数据X=[x1,x2,…,xn]按从小到大的顺序进行排列,得到新的样本向量X′=[x′1,x′2,…,x′n]。

b.通过式(13)得到输入变量X的经验分布函数u=Fe(X):

c.由X的经验分布采用LHS技术得到最终的样本向量[xs1,xs2,…,xs N],再通过式(11)、(12)计算其各阶半不变量。

2.3 考虑输入变量相关性的半不变量计算

为了简化分析,先不考虑各节点注入功率之间的相关性,则节点i注入功率的随机变量ΔWi可表示为:

其中,“”表示卷积运算;ΔWG i和ΔWLi分别为节点i的发电机功率和负荷功率的随机变量。

利用半不变量的齐次性和可加性[25],将式(14)的卷积运算转换为半不变量的代数运算,可以大幅减少计算量。节点i注入功率的k阶半不变量ΔWi(k)为:

假设采用单点线性化的潮流模型,由式(7)可以推算得到状态变量ΔD与支路潮流ΔZ的各阶半不变量:

其中,S0(k)和T0(k)分别为矩阵S0和T0中各元素的k次幂所构成的矩阵。

半不变量法中独立性的前提条件是由卷积的性质所决定的,若要计及各节点注入功率的相关性,必须先将其表示为不相关的随机变量的线性组合。

设随机向量Y=[y1,y2,…,yn]T满足:

其中,W为具有相关性的节点注入功率向量;G为其相关系数矩阵RWCholesky分解后的下三角矩阵。可以证明y1、y2、…、yn为不相关的随机变量:

通过式(17)可以将具有相关性的输入变量W表示为不相关的随机变量Y的线性组合:

根据式(19),求得不相关变量Y的k阶半不变量ΔY(k)。在其基础上修正式(16),可得:

对于本文采用的分段线性化模型,不同的输入样本向量Wi所对应的灵敏度矩阵Si0、Ti0也不同,导致式(20)中的齐次关系被破坏了。针对这一难题,文献[26]通过半不变量的定义,详细推导出了分段线性函数因变量的半不变量与自变量分布之间的定量关系。再结合半不变量的可加性,可以求得潮流方程分段线性化后状态变量ΔD和支路潮流ΔZ的各阶半不变量。

2.4 Cornish-Fisher级数展开

当已知待求输出变量的半不变量后,通过级数展开的方法可以计算其概率分布,主要有GramCharlier级数、Edgeworth级数、Cornish-Fisher级数等。与前2种级数相比,Cornish-Fisher级数在拟合非正态分布变量的概率分布时具有较好的收敛性和更高的精度。因此,本文采用Cornish-Fisher级数展开的方法。设α为待求输出变量z的分位数,则z(α)为:

其中,z(α)=F-1(α);ξ(α)=Φ-1(α);γz,k为输出变量z的k阶半不变量。由式(21)可直接计算出待求输出变量z的累积分布函数(CDF)F(z)。

3 算法流程

综合以上分析,本文所提的考虑输入变量相关性的CM-LHS流程如图2所示,其主要由三部分组成:具有相关性的输入变量样本的产生、分段线性化潮流模型的处理以及改进后的半不变量法随机潮流计算。

4 算例分析

4.1 仿真参数与建模

为了说明本文所提CM-LHS算法的准确性和快速性,以IEEE 30节点系统为例进行仿真测试计算。如图3所示,算例中2个总装机容量均为10 MW的小型风电场分别接入节点29和30,它们的风速服从尺度参数为8.09、形状参数为2.17的双参数Weibull分布,且具有相关性,相关系数矩阵为:

风电场均采用恒功率因数控制方式,其输出特性可表示为:

其中,k1=Pr/(vr-vci);k2=-k1vci;Pr为风电场额定容量;vci、vr和vco分别为切入、额定和切出风速,分别为3 m/s、13 m/s和20 m/s。

节点14和15还接有2个容量规格相同的太阳能光伏电站,其最大输出有功为1.5 MW,输出无功为0 Mvar,输出有功近似满足Beta分布:

其中,Ppv和Pmax分别为光伏电站输出功率和最大功率;γ和β为形状参数,取γ=β=0.9。2个光伏电站的出力具有相关性,相关系数矩阵为:

系统负荷服从正态分布,具体参数见文献[27]。其中区域1内的负荷具有相关性,包括节点16—20,其相关系数矩阵(按节点号从小到大)为:

根据算例参数模型及CM-LHS算法的流程,用MATLAB R2010b编制相应的程序,在配置Intel Core i3CPU、主频2.53 GHz、内存2 GB的计算机上运行。

4.2 仿真结果与误差分析

以蒙特卡罗仿真(MCS)法所得结果作为参照,比较其他随机潮流算法的计算精度。取样本个数N=1 000,分别求得各输出变量(节点10电压幅值、相角,支路19-20有功、无功)的期望和标准差[17],作为基准值。为了综合全面地评估本文所提方法的准确性,引入相对误差与方差和的根均值ARMS(Average Root Mean Square)2项指标。其中相对误差主要反映本文方法所得结果与基准值的偏离程度:

其中,εζγ为相对误差指标;γ为输出变量类型(包括电压U、相角θ、有功P、无功Q);ζ为随机变量的数字特征(包括期望μ和标准差σ)。ARMS指标则用于衡量输出变量概率分布的计算精度,其定义为[28]:

其中,ξγ为ARMS指标;CγCM,i和CγMCS,i分别为本文CM-LHS方法和MCS法所得输出变量CDF上第i个点的值;N为CDF上的取点数,即样本个数。

表1给出了各输出变量相对误差的平均值εγζ,mean和最大值εζγ,max。为了分析本文所采用的分段线性化模型对计算精度的影响,将其与用单点线性化方程得到的误差结果进行比较。不同输出变量ARMS指标的平均值ξγmean和最大值ξγmax如表2所示,其中样本点数N=1 000。

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注:输出变量U、θ、P、Q分别代表电压幅值、电压相角、支路有功、支路无功;模型1为单点线性化,模型2为分段线性化;下同。

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分析表1、表2可知,采用本文所提的分段线性化方法计算结果的精度明显高于传统的单点线性化方法,系统不确定程度越大,其优势越明显。且最大相对误差εζγ,max和最大ARMS指标ξγmax均小于2%,表明所提方法能够在考虑输入变量相关性的前提下准确反映输出变量概率分布的统计特性。

考虑风电、光伏的接入规模对所提算法的影响,对不同风电渗透率时系统误差(ξUmean、ξQmean)进行测试,并与常规半不变量法比较,如图4所示。

由图4可见,随着风电比重的增加,常规半不变量法所得节点电压和支路功率的ARMS值逐步增大,而本文算法基本保持不变,能一直维持较高的精度。说明所提算法的稳定性好,可适用于大规模新能源并网的随机潮流分析。

图5给出了CM-LHS和MCS算法计算得到的不同输出变量的CDF(包括节点10电压幅值、相角,支路19-20有功和无功),图中电压幅值为标幺值。其中节点10和支路19-20都离新能源电站较近,受其出力波动的影响也较大,然而图5中通过本文方法得到的分布曲线依然能够保持较高的精度。

评估一个算法的有效性,除精度以外还必须考虑其计算耗时。表3比较了3种随机潮流算法在同精度级别下的计算时间,其中MCS方法的耗时远高于LHS方法和本文所提的CM-LHS,LHS方法虽然显著地提升了采样效率,但仍无法避免确定性潮流计算过程中的反复迭代。而CM-LHS综合了LHS方法的采样优势和半不变量法速度快的特点,耗时最少。以上仿真结果及分析验证了所提方法的准确性和快速性,进而可用来分析评估系统的静态安全性能。

为了验证所提方法对大型网络系统的实用性,以IEEE 118节点系统为例进行分析,网络结构和线路参数详见文献[27]。假设系统负荷均服从高斯分布,标准差为均值的10%,不计负荷间的相关性。在节点2、39、52分别接入3座装机容量为150 MW、200 MW及350 MW的大型风电场,对应的相关系数为0.2、0.1和0.6,建模方式及参数同4.1节。

分别用MCS方法和CM-LHS进行测试,采样规模N=1000,得到所有输出变量的误差结果如表4所示。由表4可见,在网络规模和风电渗透率均较大的情况下,CM-LHS仍能准确地对系统运行特性进行评估(与相同采样规模的MCS方法相比)。以支路40-56的无功为例,如图6所示,CM-LHS和10 000次采样的MCS方法得到的概率分布曲线大致相同,但耗时仅有7.42 s,约为后者的1/100,计算效率提升显著。

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5 结论

针对目前大多数随机潮流方法不能同时兼顾计算精度和耗时以及在处理相关性问题等方面的不足,本文提出一种考虑输入变量相关性的CM-LHS。该算法具有以下特点:(1)利用LHS技术提高采样效率,结合Nataf变换可方便地得到任意关联输入变量的样本;(2)采用分段线性化模型减小了潮流方程线性化引起的截断误差;(3)通过LHS所得样本计算出复杂输入变量的半不变量,解决其难以用常规数值方法求解的问题;(4)保留了半不变量法计算速度快的优势,并利用Cholesky分解克服其只能处理独立变量的局限。