函数的认识与教学

2024-07-09

函数的认识与教学（精选9篇）

函数的认识与教学第1篇

1案例背景

2012年12月, 笔者参加了校内举行的“聚焦课堂高效教学研究月”的活动, 开设了一节公开课——“正切函数的性质与图象”。课后通过专家点评、与同行交流, 对学生的主体性地位有了更为深入的认识, 对新课程理念有了更为具体的理解, 对以“教给学生什么、怎样教给学生”为立足点开展的有效教学活动很受启发。下面是笔者对这次活动的心得体会, 希望引起同行的关注。

2教学过程

在研究正弦函数的图像与性质时, 我们借助于单位圆中的正弦线, 通过平移、描点作出了正弦函数的图像, 再结合图像研究性质并解决相关问题。因此在教学中, 很多同行都会采用类比思想, 先大致作出正切函数图像, 再通过图像研究其性质并解决相关问题。本着新课改理念, 新课程不仅仅利用类比思想来研究正切函数, 而且在此基础上做了更大的突破。它换了一个新视角来研究正切函数:先根据已有的知识研究正切函数的相关性质, 结合性质作出图像, 再由图像去验证已有的性质并挖掘其它性质, 最后利用图像和性质解决相关问题。这样既为合理作出正切函数的图像奠定了理论基础, 同时也传递给学生一个讯息, 研究函数的相关问题时, 数形结合不仅仅是从形到数的研究, 也可以从数到形来进行研究。这样既拓宽了学生的思维, 又使学生研究问题的方法更上了一个台阶。在此思想的指导下, 笔者在教学中收到了很好的效果。现将本次活动的课堂教学案例梳理如下, 如有不足, 恳请斧正。

教学过程如下:

2.1复习并引入新课

练习:画出下列各角的正切线

设计意图:借助于单位圆让学生作出正切线, 既是复习也为后面用类比的思想作出正切曲线埋下了伏笔。教师就是引导学生联系原有的知识, 为学习新知做好铺垫。这时教师可选择一些有代表性的作图结果, 然后用实物投影展示, 这样哪怕教师不点拨, 学生就清楚了自己的问题所在, 充分体现了以学生为主体的思想。

2.2主动探究, 解决问题

2.2.1研究正切函数的性质

设计意图:教师先设计好学案, 让学生利用在单位圆中作出的正切线, 自己去研究正切函数的相关性质。教师利用几何画板做出角的终边在各个象限时正切线的动画演示。让学生通过几何的画板演示直观感知正切函数的“两域三性”。 (这里也可利用其它知识研究正切函数的性质, 如用三角函数的定义去研究定义域和值域, 结合诱导公式研究周期性、奇偶性…) 这样不仅发挥了学生的能动性, 而且发散了学生的思维。因为学生在收集、整理性质过程中又是一次思维的整合, 对如何研究函数性质又更进了一步。教师在巡视过程中及时汇总学生意见, 引导学生形成正确的知识和方法。同时教师事先要估计学生学习中会遇到的困难, 想方设法帮助学生突破难点。避免教师对学生喋喋不休的低效灌输, 这既是对学生主体性地位的尊重, 也是践行新课程“以学生的发展为本”理念的需要。)

2.2.2结合性质, 小组合作探究, 作出函数的图像

类比y=sinx图象的由来, 你能通过单位圆的正切线作 $y = \tan x, x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 的图象吗?

1.先画出y=tanx在一个周期内的简图。

2.教师用投影仪展示作图结果, 并作出在定义域上的图象。

3.投影仪展示完整图像。目的是规范作图, 理顺思路的作用。

教师小结:

第一步:画出正切函数的在一个周期内的图象;

第二步:将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去;

第三步:根据图象总结性质。

设计意图:从教学实践看, 教师尽可大胆放手把活动、思考的时间还给学生, 把观察、归纳、概括、探究的机会让给学生, 这样有助于学生思维的发展。教学中先让学生自主绘图, 再投影学生的图像, 通过投影仪纠正图像。最后再结合前面研究出的性质让学生进一步观察图像。这样学生结合定义域会明白为什么正切函数会有两条渐近线, 结合值域明白为什么函数图像可以向上向下无限延伸, 结合奇函数和单调性明白了如何正确连线成图才能得到较精确的正切函数图像。这样通过学生自己动手得到图像, 使学生学会了一类周期性函数的研究方式。学生亲身经历数学研究的过程, 体验探索的乐趣, 增强了学习数学的兴趣, 从而提升学生分析问题的能力及严密认真的态度。课程标准指出, 教师需要合理利用信息技术辅助教学, 揭示数学本质, 让学生的理解更透彻。

2.2.3观察图像, 小组合作讨论进一步研究性质

(1) 正切函数的图像是被相互平行的直线x= $k π + \frac{π}{2}$ , k∈Z所隔开的无穷多支形状完全相同的曲线组成的。

(2) 对每一个k∈Z, 在开区间内, 函数单调递增.

(3) 正切函数的图像关于原点对称; (问:还有其他的对称中心吗?) 总结出对称中心为 $(\frac{k π}{2}, 0)$ , k∈Z, 无对称轴

设计意图:除了前面所研究的正切函数性质外, 让学生进一步观察函数图象。分小组根据正切函数图象去验证正切函数已有的性质, 并挖掘出其它的性质。教师提出问题后, 先让学生自主探究, 尝试解决。教学中经常会遇到这样的情况, 教师刚把问题提出来, 就开始头头是道的分析起来, 或者没等学生充分思考就开始提问, 剥夺了学生思维活动的时间和空间。学生的思维丰富多彩, 有奇思妙想, 教师可能始料未及。笔者在教学中通过四人小组合作、交流, 留足够的时间让学生去发现正切函数的其它性质。根据学生学习知识的发生发展成熟过程, 充分体现了学生的主体性, 让学生活起来。小组讨论过后, 先让其中一个小组成员总结、发言, 其它各小组补充或更正, 这样可以培养学生之间的团结协作能力及勇于探索的精神。

2.2.4类比正弦函数“五点法”作图, 如何快速作出正切函数的简图?

正切函数图象的简单作法:三点两线法

(0, 0) 、 $(\frac{π}{4}, 1)$ 、 $(- \frac{π}{4}, - 1)$

“三点”:

$x = \frac{π}{2}$ 和 $x = - \frac{π}{2}$

“两线”:

设计意图:在学生自主探究、合作交流的基础上, 借助于单位圆作出了较为精确的正切函数图像, 但在利用函数图像解决问题时, 这样作图既费神又费力。所以教学中类比正余弦函数图像简图的作法, 教师引导学生利用三点两线法快速作出正切函数的简图, 从而解决相关问题。

2.3通过练习, 巩固基础

若 $- \frac{π}{6} < x \leq \frac{π}{4}$ , 求y=tanx的取值范围?例1.已知函数y=tanx

例2.求出满足条件 $\tan x \geq \sqrt{3}$ 的x的取值范围?

思考题:画出函数 $y = | t a n x |$ 的图象, 探究该函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性、单调区间和对称性。

设计意图:在课堂教学中, 数学教学不是“结果”的教学, 而是“思维活动过程”的教学, 通过前面问题的提出过程, 知识的获取过程, 结论的探究过程, 认识的升华过程以及分析、解决问题的艰难曲折思维过程后, 接下来让学生借助于研究好的图像和性质利用数形结合思想解决相关问题, 及时了解学生课堂中知识掌握的情况。正是有了前面的一系列的教学过程, 学生自己思考得多, 通过自己探究获取的知识掌握得很好, 所以学生就能利用所学的知识, 快速地解决相关的问题。

2.4总结思考, 提高能力

学生交流在本节课学习中的体会、收获, 交流学习过程中的体验和感受, 师生合作共同完成小结。

(1) 学习了正切函数图像的作法;理解了正切函数的图像特征;掌握正切函数的基本性质。

(2) 学会用类比方法研究问题, 渗透数形结合的思想。

(3) 体验了成功的快乐。

设计意图:整堂课已经接近尾声, 笔者也想了解一下学生在这堂课中收获和体会。笔者随机叫了两名同学进行了课堂小结。其中一名男生回答说:“在接触一个新函数时, 可以尝试回忆学过的已有函数, 看看能不能利用类比的思想解决一类问题, 然后大胆去猜想、论证。”另外一名女生说:“通过这节课的学习, 使她明白了合作、交流, 自主探究的魅力。也明白了可以多角度地去研究函数问题:数形结合不仅仅是从形到数的研究, 也可以换个角度从数到形来研究, 为我们研究数学问题提供了新视角。”教室里顿时响起了雷鸣般的掌声, 这是我事先没预料到的, 也充分说明笔者这节课上得非常成功。学生通过自主思考、合作探究的成效是显著的!

2.5分层作业, 巩固拓展

(1) 全体同学完成作业本;

(2) 每位同学结合今天研究的内容, 设计一道回家作业题, 并完成。

3案例反思

对相同的教学内容不同的教师处理教材的方法可能也不一样。这些不同, 缘于教师对教材的理解与处理、对学生原有认知结构的认识以及对教学实际的把握;也缘于教师教学风格的不同。这节课表面看看很简单, 内容也不多, 前面又有了正余弦函数研究的铺垫, 上起来应该不难。但专家点评说这节课要把它上好是非常难的, 很容易上成一节流水课, 没有什么新意。而且这堂课实际上是高中教材中很难啃的一块骨头。不过专家对笔者的这堂课给予了高度的肯定和赞赏, 认为笔者很好的实施了新课程理念, 课堂中让学生共同探讨, 让学生自己去发现问题、解决问题。对学生核心数学思想的提升有很大的帮助。同时处处保持互动, 以学生为本, 充分发挥和挖掘学生的潜能。同时肯定笔者具有很好的数学素养!通过课后与同行交流、聆听专家点评后, 笔者更深刻地认识到数学教育要彰显出学生的主体性地位。如果教师提出问题后就讲个不停, 这样只能用教师的思维, 或少数几个被提问学生的思维填补其它大多数学生的思维, 这样的结果是强迫学生接受, 破坏了思维活动的自主性、独立性, 有碍于学生思维的发展。课堂教学中要充分尊重学生的思维活动过程, 让其暴露出来, 即使思维过程是错误的甚至是可笑的, 但这实际是存在的, 不可以视而不见。教师需要根据不同的教学内容, 指导学生灵活采用接受、记忆、模仿、练习、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学的学习方式;在教学中, 可以借助信息技术, 提高课堂容量, 把难以呈现的数学本质揭示出来, 也可以用数学实验让学生体验知识形成的过程。要以“教给学生什么、怎样教给学生”为立足点, 践行新课程的教育理念, 开展有效的教学活动。

感谢“聚焦课堂高效教学研究月”的活动, 使笔者从理论到实践对数学教学都有了更新的认识。在今后的教学中, 笔者将切实地尊重学生的主体地位, 践行新课程理念, 扮演好引导者、组织者、合作者的角色。

参考文献

[1]普通高中数学课程标准 (实验) [S].北京:人民教育出版社, 2003.

函数的认识与教学第2篇

对几道函数高考题的认识、反思与拓展

函数是中学数学的主线,也是历年高考考查的重点和热点.梳理近几年全国各省市高考试卷会发现,高考在对函数知识进行考查时,设计的.问题是多种多样的,其中有些问题被设计成以抽象函数为载体来考查函数的性质.下面就对这类问题作一些归类分析,并就某些特性进行适当的拓展.

作者：桂| 作者单位：江苏省清河中学,223001 刊名：中学数学英文刊名：MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS 年，卷(期)： “”(12) 分类号：G63 关键词：

全面认识反函数第3篇

性质1 函数y=f（x）在某一区间上存在反函数？圳该函数在该区间上是一一映射。

性质2 原函数的图像与其反函数的图像关于直线y=x对称。

性质3 原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域。

性质4 f [f（x）]=x，x属于y=f（x）的定义域；f[f （x）]=x，x属于y=f（x）的值域。

性质5 原函数与其反函数的单调性相同，原函数与其反函数的奇偶性相同。

性质6 函数f（x）为增函数，若y=f（x）的图像与y=f （x）有交点，则交点必在直线y=x上。

性质7 函数f（x）为减函数，若y=f（x）的图像与y=f （x）有交点，则交点至多有一个在直线y=x上。

性质8 函数f（x）是单调函数，若y=f（x）与y=f （x）有不在直线y=x上的交点，则函数f（x）是单调减函数。

一、反函数的存在问题

例1 函数f（x）=x-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数，则a∈（）。

A.（-∞，1] ？摇？摇？摇？摇？摇？摇 B.[2，+∞）

C.（-∞，1]∪[2，+∞）？摇？摇 D.[1，2]

解析由性质1可知，函数f（x）=x-2ax-3在区间[1，2]为单调函数，所以a？埸（1，2），

故选C。

评注函数y=f（x）在这一区间上单调与其在该区间上存在反函数不等价。

二、求反函数的问题

例2 函数f（x）=log1+（x>0）的反函数f （x）=（）。

A.（x>0）？摇？摇？摇 B.（x≠0）？摇 C.2-1（x∈R）？摇？摇 D.2-1（x>0）

解析求反函数有三步骤。

步骤一：求函数f（x）的值域，由x>0可得1+>1，所以y>0。

步骤二：用y表示x得1+=2？圯x=（y>0）。

步骤三：对调x、y，注明反函数的定义域，

即y=f （x）=（x>0）。故选A。

评注求反函数的“三部曲”是基础，是理解反函数的“根”。

三、与反函数的定义域和值域有关的求值问题

例3 函数f（x）=x-1（x≥1）的反函数为y=f （x），则y=f （2）的值为（）。

A. B.- C.1+ D.1-

解析函数f（x）=x-1的定义域是[1，+∞），值域是[0，+∞），

所以y=f （x）的定义域是[0，+∞），值域是[1，+∞），

选项B、D都不对。

令2=x-1，解得x=±，又y=f （x）的定义域是[0，+∞），

所以x=。故选A。

四、与反函数图像有关的问题

例4 已知函数y=logx的反函数是y=f （x），则y=f （1-x）的图像是（）。

解析要得到y=f （1-x）的图像，需把y=f （x）的图像关于y轴对称后，再向右平移1个单位，又y=logx与y=f （x）的图像关于直线y=x对称，故选C。

五、反函数的巧用

例5 对定义在区间I上的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}，已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f （x），且f （[0，1））=[1，2），f （（2，4]）=[0，1），若方程f（x）-x=0有解x，则x= 。

解析由性质1和性质3可知：

当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]；x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1）。

而y=f（x）的定义域为[0，3]，

故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应在（-∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞）中。

故若f（x）=x，只有x=2。

例6 设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数），若存在b∈[0，1]使f[f（b）]=b成立，则a的取值范围是（）。

A.[1，e] B.[1，1+e] C.[e，1+e] D.[0，1]

解析 f（x）=为单增函数，由性质4可知f[f（b）]=b？圯f（b）=f （b）。

由性质6可知f（x）与f （x）的交点在直线y=x上，

所以存在x∈[0，1]，使f（x）=x有解，

即存在x∈[0，1]，使x=成立。

化简为x-x+a=e，

令F（x）=x-x+a，G（x）=e，x∈[0，1]

若上式成立，则y=F（x）与y=G（x）的图像有交点。如右图，a即为y=F（x）与y轴交点的纵坐标，随着a的变化，y=F（x）的图像上下移动。数形结合可得a∈[1，e]，故选A。

函数的认识与教学第4篇

一、加强高中函数思想方法的应用

函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型.因此, 函数在现实世界中有着广泛的应用.加强函数的应用, 既突出函数模型的思想, 又提供了更多的应用载体, 使抽象的函数概念有更多的具体内容支撑.

二、教学中注重函数概念的实际应用

抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解, 生活中的许多问题都是通过建立函数模型而解决的, 因此在函数概念教学中, 可以通过函数性质比较大小, 求解方程、不等式, 证明不等式等活动加强理解, 同时引入具体的函数生活实例, 如银行的利率表、数学用表、股市走势图, 让学生记录一周的天气预报, 列出最高气温与日期的函数关系等等.这样学生既受到思想方法的训练, 又对函数概念有了正确的认识, 使学生相应的数学能力得到充分的培养与发展.

三、强调函数背景及对其本质的理解

在整个中学阶段, 函数的学习始于义务教育阶段, 而系统的学习则集中在高中的起始年级.无论是引入函数概念, 还是学习三类函数模型, 新课程标准都要求充分展现函数的背景, 从具体实例进入知识的学习.以往教材中, 将函数作为一种特殊的映射, 学生对于函数概念的理解建立在对映射概念理解的基础上.学生既要面对同时出现的几个抽象概念———对应、映射、函数, 还要理清它们之间的关系.实践表明, 在高中学生的认知发展水平上, 理解这些抽象概念及其相互之间的关系存在很大困难.而从函数的现实背景实例出发, 加强概念的概括过程, 更有利于学生建立函数概念.一方面, 丰富的实例既是概念的背景, 又是理解抽象概念的具体例证;另一方面, 在实例营造的问题情境下, 学生能充分经历抽象概括的过程, 理解概念内涵.

四、在教学中要强调启发式教学的地位和作用

中学数学教学方式要强调综合性, 该让学生活动的地方教师绝不代替, 而且要把实质性的概括机会留给学生, 例如具体实例共同特征的概括就应该让学生完成.但要注意, 不讲不等于放羊, 不是教师无所作为, 而是“此时无声胜有声”, 是教师通过问题启发, 激疑、激思而使学生进入独立思考阶段.同样, 讲授≠注入, 不是教师胡乱作为, 而是启发式讲解, 是答疑解惑, 而且该讲解的地方要讲准、讲透.例如函数的定义就应当在学生对具体实例共同特征的概括后, 由教师讲解而不必让学生探究, 逐步培养学生用概念解释数学对象的能力与习惯, 是促使学生深层次参与课堂教学的有力举措, 体现了思维教学的真谛, 也是培养学生思维能力的有效途径.

五、注重函数概念与信息技术教学的结合

进入高中的学生思维较为单一, 认识比较具体, 注意力不够持久, 并且高中数学比较抽象, 学生学习普遍感到困难, 因此在教学过程中应创设一些知识情境, 借助现代教学手段多媒体进行教学, 让学生在轻松愉快的氛围中进行学习.应用信息技术时要根据教学需要、学生需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用, 并且运用要适度, 要掌握分寸.函数概念教学中, 教师可以借助于几何画板、图形计算器等现代教学工具辅助教学, 鼓励学生上机操作, 观察函数图像的变化过程, 引导学生交流与讨论, 更好地学习和理解函数.

六、注重突破难点, 显化过程, 加强联系的方法

函数概念的理解贯穿了函数内容学习的始终, 同时它也是教与学的一个难点.对于形成函数抽象的概念, 应该让学生充分经历概括的过程.概括就是把对象或关系的某些共同属性区分和固定下来.这就要求我们在学习教材时充分展示概括过程, 并要充分调动学生的理性思维, 引导他们积极主动地观察、分析和概括.教材选择了三个有一定代表性的实例, 先运用集合与对应的语言详细地分析前两个实例中变量间的依赖关系, 给学生如何分析函数关系的示范, 然后要求学生仿照着自己给出第三个实例的分析, 最后通过“思考”提出问题, 引导学生概括三个实例的共同属性, 建立函数的概念.在这样一个从具体到抽象的过程中, 学生通过自己的思考从分析单个实例上升到概括一类实例具有的共同特征, 更能理解概念内涵.

浅谈对函数的认识第5篇

一、函数的定义

定义1.1(变量对应说)一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时y=b,那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.

点评这是我国初中数学教材定义函数的方式,这种方式更具有动态性.以动态的描述使函数定义更形象生动.

定义1.2(映射说)设D,M是给定的非空数集,f是D到M的一个对应法则.如果对于任何x∈D,按照对应法则f,存在唯一的y∈M与x对应,则称y是定义在D上的函数,记作y=f(x)(x∈D).其中D(或记作D(f))称为f的定义域;给定x0∈D,称y0=f(x0)为f在x0处的函数值;称

G(f)={(x,y)|y=f(x),x∈D}为函数f的图像.

点评这是我国高中数学教材、《数学分析》教材定义函数的方式.这种方式突出了函数的特性,强调了一个对应关系,适用性更加广泛.

二、基础教育中函数的影子或现身

(一)小学

在小学阶段,涉及的函数主要是以隐性的方式存在,目的是为中学的函数学习起一个铺垫的作用.小学的“函数”一般隐身在“找朋友”、“算一算、连一连”.

例1找朋友.

如果让学生明白自己在小学阶段就已经无形地接触了函数,那学生在中学阶段学习函数就不会那么陌生,学习起来就更加有亲近感.

(二)初中

在初中阶段我们主要接触的函数有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数.这类函数是比较简单的函数,但是对于初中生来讲首次接触函数,比较抽象,不容易理解及掌握.因此,要利用数形结合的方法,利用图形分析性质的方法,从而更好地理解性质,学习也会更加简单.为高中阶段学习函数起到了铺垫的作用.

(三)高中

在高中阶段我们主要接触的是一些初等函数,在学习初等函数的时候我们主要学习的是它的定义、特征以及应用.我们接触到的基本初等函数有以下6种:

常量函数y=c(c为常数);

三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx;

反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx;

幂函数y=xa(a为常数);

指数函数y=ax(a>0,a≠1);

对数函数y=logax(a>0,a≠1).

初等函数就是由基本初等函数通过限量次的四则运算(加、减、乘、除)和复合运算变换而得到的函数.

三、函数的表示方法

(一)解析式法

自变量与因变量之间函数关系用数学等式进行表示的方法叫解析式法.

(二)列表法

用列表表示变量之间的函数关系的方法.

(三)图像法

函数的自变量值作为参数的点的水平坐标,将相应的函数值作为一个垂直坐标,所有这些点在直角坐标系中的图像被称为图像的函数.

(四)语言叙述法

使用语言文字来描述函数的关系.它的优点是能详细地表达出各变量之间的存在的关系,对其特征会做详尽而全方位地描述,缺点是字数往往较多,且不直观,比较抽象,需要对文字加以推敲才能明白其含义.

四、函数的应用

学习函数是为了应用函数去解决生活中有关函数的问题,这样不仅能让学生知道数学来源于生活,还能让学生找到学习数学的乐趣.下面这个例题是函数的一个简单应用.

五、小结

对函数奇偶性的认识第6篇

一、函数奇偶性的产生背景

从数学概念产生的客观背景来说, 一般有两种情形:一是直接从客观事物的空间形式和数量关系反应得来的。二是在已有数学概念的基础上, 经过多层次的抽象概括而形成的。显然, 函数奇偶性的产生属于前者。在现实世界中, 存在着大量对称性的物体或图形。我们将这些物体或图形抽象为平面内的一条曲线, 并将其放于平面直角坐标系中。然后, 以坐标为工具通过数量关系来反映曲线上点与点之间的对称关系。具体来说, 若一个函数的图象关于点成中心对称 (或关于直线成轴对称) , 我们把该图象进行平移, 使得对称中心与原点重合 (或对称轴与轴重合) , 这就是奇函数 (或偶函数) 的图象。因此, 函数奇偶性是对客观事物属性的抽象产物。

二、函数奇偶性的数学意义

研究函数的奇偶性即研究函数图象的对称性。对于具有对称性的物体或者图象, 我们可以从其对称中心或对称轴将其平分成两部分, 进而可以根据其中一部分的形状和特点推导出另一部分的形状和特点。因此, 对于中心对称或轴对称的函数图象, 我们常常可以通过对其中一侧的研究而得到另一侧的性质。

三、函数奇偶性的本质属性

奇函数和偶函数的本质属性有两个侧面:“形”的特征和“数”的表示, “数”与“形”有着密切的联系。在“形”的方面, 奇函数关于原点对称, 偶函数关于y轴对称;而在“数”的方面, 则是利用函数解析式描述函数图象的对称特征, 对于函数f (x) 的定义域内的任意一个x, 都有f (-x) =f (x) , 那么f (x) 就叫做偶函数;若都有f (-x) =-f (x) , 那么f (x) 就叫做奇函数。

因此, 对函数奇偶性的教学要突出从“形”“数”两个方面, 由“形”得“数”, 由“数”思“形”, 体现发现和探究的理念。教学时不适合一开始就给出定义, 而是应该先让学生观察图形, 从中寻找它们的共性, 目的是让学生先有个直观上的认识, 体会“形”的特征。另外, 为了引导学生由图形的直观认识上升到数量关系的精确描述, 应先提示学生图形是由点组成的, 找出其间的关系后, 建立奇 (偶) 函数的概念。

数学概念是数学知识中最基本的内容, 是数学认知结构的重要组成部分。现代的一些学者认为“数学的学习过程, 就是不断地建立各种数学概念的过程。”然而, 数学概念具有抽象性, 学生对概念的理解在一定程度上受教师的影响。因此, 教师必须深刻理解每一个数学概念。只有这样, 我们的教学才是有效的、科学的。

摘要：数学概念是数学知识中最基本的内容, 是数学认知结构的重要组成部分。学生对数学概念的理解在一定程度上受教师的影响。教师对概念的深刻理解显得尤为重要, 从三个方面阐述了对函数奇偶性的认识:函数奇偶性的产生背景、函数奇偶性的数学意义、函数奇偶性的本质属性。

关键词：概念,函数奇偶性,本质

参考文献

在数学实验中认识一次函数第7篇

函数的学习贯穿了学生初高中整个数学学习,是初等数学的一个核心内容. 一次函数作为最简单的函数,是学生接触函数的起始,也是学生接触到的第一个研究变量之间关系的数学概念. 首先,学生通过生活中的具体事例,感受函数的内涵,体会变量之间的变化规律. 其次,学生通过函数的不同表示方式( 即列表、图像、表达式) 更为精确、直观地认识函数. 最后,学生需要在探究活动的过程中掌握一次函数表达式、图像、表格呈现的特征,感悟其中蕴含的模型思想,以及研究函数的一般方法与聚焦点.

模型思想体现了数学应用价值,建立模型思想本质上是帮助学生体会数学与外部世界的联系. 按照《义务教育数学课程标准( 2011年版) 》( 以下简称《标准》) 的说明,建立和求解模型的过程包括: 从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果,并讨论结果的意义.

基于对上述理论的认识,此次数学实验希望引导学生通过数学实验的过程,感受生活中存在的变量,体会变量之间的内在联系,即一个变量的变化导致另一个变量的随之变化,利用数据传感器,学生可以自主寻找生活中的函数关系,感悟研究函数表达式及函数图像的一般方法.

二、数学实验

在学习了一次函数的概念及表示后,授课班级全体同学分小组活动,利用图形计算器的各种传感器进行数学实验,探求生活中存在的一次函数.

A组使用温度传感器实行了如下实验:

1. 倒一杯热水,杯中放入温度传感器;

2. 杯中放入冰块,开启“数据采集器”功能,图形计算器上显示出一系列数据,数据是每隔0. 1秒传感器读出的水温;

3. 20秒后将传感器拿出,用“双变量统计”对数据进行处理,选定中间10秒的数据( 数据变化较为稳定) ,用一次函数对图像的散点进行拟合,得到表达式.

B组使用距离传感器实行了如下实验:

1. 一名学生拿着距离传感器走上电梯;

2. 开启“数据采集器”功能,记录随时间变化,学生距初始点的位移变化;

3. 图形计算器上显示的一系列数据,忽大忽小,与均匀变化不符合;

4. 给距离传感器增加了高度,由于高度的变化不定,依然没能得到均匀变化的数据.

C组使用距离传感器实行了如下实验:

1. 一名学生拿着距离传感器靠近自行车的后车轮;

2. 开启“数据采集器”功能,学生从车尾缓慢走到车前;

3. 图形计算器上显示的一系列自行车与接收器间距离的数据,数据只有很小的波动;

4. 30秒后用“双变量统计”对得到的数据进行处理,用一次函数对图像的散点进行拟合. ( 实验过程并没有涉及两个变量,自行车的长度是一个常量,不随时间的变化而变化)

三、实验反思

1. 关于实验过程及结果

B组学生的实验,失败在操作的可行性上,匀速上升的电梯在水平和垂直两个方向的运动都是匀速直线运动,但受限于实验器材的要求,缺乏有效的措施使传感器和接收器时刻处于同一水平面,影响了实验数据的准确获得. 如果能够有水平传送带,利用距离传感器的实验就更具有可行性. C组学生的实验体现出学生在理解两个变量同时变化上还有一些误区,随着时间的变化,自行车的长度没有发生改变,并且,自行车距接收器的距离发生的微小变化不是由于时间导致的,而是由于人为控制时产生的,这些量之间没有办法构成函数关系. 学生用镜头记录了他们的操作过程, 无论成功或是失败的操作,都让他们从生活中感受到了函数的存在.

2. 计算器对数学学习方式的影响

《标准》对九年制义务教育的数学课程基本理念做了解读,指出数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术, 特别是要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响,使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去.

借助图形计算器,将实验、尝试、模拟、猜想、检验、调控、运算、推理、证明等作为数学学习的重要方式,更加重视学生的亲身实践活动,促进高层次数学思维,提高数学思考力度. 让学生“看”他们以往只能想象的数学,“做”他们以往不可能做的数学.

3. 关于数学实验课

物理实验课经历了较长的发展过程,现阶段已经形成了较为成熟的教学模式. 数学作为理学学科,它的可实验性、可操作性被越来越多的数学教育工作者提倡,学生在数学学习的过程中,建立数据分析的观念、形成模型思想、提升动手操作能力,这些同掌握必要的运算技巧、培养几何直观、树立符号意识是一样重要的.

而数学实验课在它的发展阶段还有很多需要进一步琢磨和研究的内容. 如果能够尝试提出一套完整的实验目的、实验方法、实验器材、实验过程以及实验结果,并把这些告知学生,课堂上剩下来的所有时间都留给学生自主探究,也许更能体现“实验”二字. 而这样的构想下,对教师提出了更高的把控课堂的要求. 到底把他们的思维放到什么程度? 是否要把他们的研究限定在一张表格里面? 表格里面是否要规定好研究的大致方向? 是否可以以研究报告的形式展现学生动手操作的成果? 这些都有待教师在今后教学中不断探索.

摘要：随着新课改的不断深入,初中数学教学不仅关注学生的基本知识、基本技能和基本思想方法的掌握,还注重学生基本活动经验的培养与积累.图形计算器作为一种手持技术,具有方便携带、易操作等优势,在数学教学中受到越来越多教师和研究者的重视.将图形计算器运用到一次函数概念的教学中,通过活动,提升学生的数学实验操作能力,深化学生对一次函数概念的理解.

函数的认识与教学第8篇

1.1 观察类比, 形成函数零点的概念

师:请同学们画出函数y=x2-2x-3的图像. (指定一名学生上黑板画, 见图1)

师:在画图过程中, 你觉得哪些点很重要, 为什么?

生1:点 (1, -4) , (0, -3) , (-1, 0) , (3, 0) .因为点 (1, -4) 是函数图像的最低点, 点 (0, -3) 是函数图像与y轴的交点, 点 (-1, 0) , (3, 0) 是函数图像与x轴的交点.

生2:我同意生1的观点, 但点 (-1, 0) , (3, 0) 更应引起重视.因为当x=-1或x=3时, y=0;当x<-1或x>3时, y>0;当-1

生3:还有点 (-1, 0) , (3, 0) 的横坐标x=-1, x=3是方程x2-2x-3=0的根, 所以通过x=-1或x=3可以把二次函数y=x2-2x-3与二次方程x2-2x-3=0密切地联系起来.

师:同学们的发言真精彩!正因为x=-1或x=3对于函数y=x2-2x-3如此重要, 这节课专门研究与函数相伴的这些数, 我们称x=-1或x=3是二次函数y=x2-2x-3的零点.同学们, 对于一般的函数y=f (x) , 你能类比出零点的概念吗?

生4:使函数y=f (x) 的值为0的实数x称为函数y=f (x) 的零点.

1.2 联想思考, 建立二次函数与相应二次方程的联系

师:初中已研究过的一次函数y=kx+b (k≠0) , 反比例函数undefined有零点吗?

生5:一次函数y=kx+b (k≠0) 有零点undefined;反比例函数undefined没有零点, 因为它的图像在x=0处断开了.

师:“断开了”, 形容得好.二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 一定有零点吗?

生6:二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 有无零点, 等价于二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 有无实根, 因而可以通过根的判别式进行判断, 具体地可以用表1清楚地反映.

练习1 判断下列函数是否有零点?

(1) y=x2-2x-1;

(2) y=-x2+4x-4;

(3) y=x2+x+1.

生7:通过计算Δ可知, (1) 有两个零点; (2) 有一个零点; (3) 没有零点.

生8:还可以通过画出它们的图像判断.

师:对于一般的函数y=f (x) , 如果x0是y=f (x) 的零点, 你能发现它与相应的方程、图像之间的联系吗?

1.3 比较概括, 归纳零点存在性定理

师:函数f (x) =x2-2x-1在区间 (2, 3) 内存在零点吗?

生10:由求根公式可得方程x2-2x-1=0的两根分别为undefined.因为undefined, 所以函数f (x) =x2-2x-1在区间 (2, 3) 内存在零点.

生11:由于f (2) =-1<0, f (3) =2>0, 通过画图 (图略) 发现, 函数的图像从点 (2, f (2) ) 到点 (3, f (3) ) 在区间 (2, 3) 内必穿过x轴, 所以f (x) =x2-2x-1在区间 (2, 3) 内存在零点.

师:生10、生11回答得都很好, 比较一下哪种方法更具有一般性?

生12:生10的方法是求出方程的根, 一旦像x4-2x-1=0这样的方程很难求出根而难以判断了.而生11的方法只需要判断函数在区间端点的函数值异号, 不需要求出根, 因而更具有一般性.

师:分析得好.对于函数y=f (x) , 如果f (a) f (b) <0, 那么函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内一定存在零点吗?

生13:不一定.如undefined满足f (-1) f (1) <0, 但它的图像在x=0处断开了, 因此, undefined在区间 (-1, 1) 内没有零点.

师:综合上面的分析, 具备哪些条件, 函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内一定存在零点?

学生们经过思考、交流, 共同归纳出:

零点存在性定理若函数y=f (x) 在区间 (a, b) 上的图像是一条不间断的曲线, 且f (a) f (b) <0, 则函数y=f (x) 在 (a, b) 内存在零点.

练习2 求证:函数f (x) =x4-2x-1在区间 (-1, 0) 内存在零点.

1.4 质疑探索, 深化对零点存在性定理的理解

师:方程ln x+2x-6=0有实根吗?

生14:令f (x) =ln x+2x-6, 方程ln x+2x-6=0有无实根⇔函数f (x) 有无零点, 因而可以考虑用零点存在性定理进行判断.由于f (x) 的图像是一条不间断的曲线, 所以要利用零点存在性定理, 关键在于找到区间 (a, b) .因为x>0, 我试算了一下f (1) =-4<0, f (2) =ln 2-2<0, f (3) =ln 3>0, 所以f (x) 在 (2, 3) 内存在零点, 故方程ln x+2x-6=0有实根.

师:生14的方法很好, 他通过试算的办法找到区间 (2, 3) , 然后运用零点存在性定理加以解决.还有什么方法?

生15:将方程变形得ln x=6-2x, 在同一坐标系中分别画出y=ln x, y=6-2x的图像 (图略) , 由图像可以看出它们必有交点, 所以方程ln x+2x-6=0有实根.

师:真是妙极了!……

生16:我发现该方程有唯一实根 (没等教师说完, 生16就打断教师的讲话, 急于表达自己的观点) .

师:不要急, 慢慢地讲, 为什么说这个方程有唯一实根?

生16:设0

师:真是太精彩了!在数学学习中, 就是要勤思考、多探究, 善于关注问题中的“存在与不存在”、“存在与唯一”, 还要关注……

众学生:问题的“反面”.

师:很好, 我们不妨共同来审视零点存在性定理的反面.

探究1:如果x0是函数y=f (x) 的零点, 且a

探究2:如果函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内存在零点, 那么y=f (x) 的图像在 (a, b) 上一定不间断吗?

学生们通过画图像举出反例给出了回答 (限于篇幅, 这里略去) .

1.5 总结反思, 凝炼出这节课的学习内容与思想方法师:这节课有哪些收获?请你用最能打动人的语句展示出来.

生17:这节课主要学习了函数的零点, 研究了二次函数的零点与相应二次方程根之间的联系以及零点存在性定理.就像写作文一样, 这节课的“明线”是函数的零点, “暗线”却是函数与方程的密切联系, 合理转化.

生18:我的收获一是在学习中要学会举反例, 生13的反例和刚才两位同学画图像的反例举得太好了;二是通过直观的图形、特殊的事例去发现问题的本质, 揭示事物的一般规律, 如零点存在性定理的归纳.

生19:我用一首小诗概括:“函数与方程, 数学核心层;两者常联系, 零点‘牵手’魂”.

……

2 教学反思

2.1 概念教学应“朴实自然”

知识有知识的内在规律, 学生有学生的认知规律.概念教学的朴实自然, 那就是要把这两个规律有机地联系起来, 顺应学生的认知规律.本节课中, 笔者先让学生画出熟悉的二次函数y=x2-2x-3的图像, 并观察图像上的点.然后让学生畅所欲言, 相互讨论, 相互启发.使他们对问题的认识逐步加深并向本质发展.从“形”的角度看, 点 (-1, 0) , (3, 0) 是图像与x轴的交点;从“方程”的角度看, x=-1, x=3是方程x2-2x-3=0的根;从“对应”的角度看, 当x=-1或x=3时, y=0;当x>3或x<-1时, y>0;当-1

2.2 教学设计要“螺旋上升”

“螺旋上升”是新课程教材编写的一个重要理念.但就教材中某一块内容的编写经常是按知识的逻辑顺序“线性”呈现的, “学术”味较浓.为了更有效地组织教学, 在尊重教材、深刻领会教材编写意图的基础上, 可以有机地将“课”的教学内容进行调整, 变“线性呈现”为“螺旋上升”、变“学术形态”为“教育形态”, 优化课堂教学的结构, 使学生对知识的领悟逐步深化.事实上, 函数的零点是本节课教学的一个重点, 因为它是一个三位一体的概念.从方程的角度看, 零点是相应方程f (x) =0的实数根;从函数值与自变量的值对应的角度看, 零点就是使函数值为0的对应的自变量x的值;从形的角度看, 零点是函数y=f (x) 的图像与x轴交点的横坐标.本节课学生对零点概念的理解并不困难, 但对于为什么要学习零点有一个逐步认识与深化的过程.“螺旋上升”地对本节课进行教学设计, 可以使学生对零点概念的出现既感到自然、必然, 又能对它有深刻的认识;对零点存在性定理的研究既觉得必要、重要, 又能对其多一点理性的思考.综上所述, 笔者按照undefined这样的架构进行螺旋上升地教学设计, 取得了理想的效果, 受到听课者的好评.

2.3 指导学生数学地学习数学

值得注意的是, 高一年级的首个学段除了进行正常的教学外, 还要在日常教学中关注初高中知识的衔接, 指导学法、指导学生数学地学习数学显得更加重要.本节课笔者在这方面给予了充分的关注.例如, 通过观察二次函数的图像, 去建立二次函数零点的概念, 再利用类比的方法得到一般函数零点的概念;通过比较, 揭示研究零点存在性定理的必要性与重要性;通过让学生举出反例“undefined满足f (-1) ·f (1) <0, 但f (x) 在区间 (-1, 1) 内没有零点”来概括出“函数y=f (x) 的图像在区间 (a, b) 上是一条不间断的曲线”这一零点存在性定理的必要条件.还有引导学生把判断方程ln x+2x-6=0有无实根转化为讨论函数f (x) =ln x+2x-6有无零点或转化为研究函数y=ln x与y=6-2x的图像有无交点, 等等.所有这些所反映出的观察、类比、比较、举反例、概括、转化等方法, 不但对于后续模块的学习帮助极大, 而且对于学生未来的人生历程也是大有裨益的.

2.4 数学教学要体现育人的价值

本节课在教学设计中, 始终以学生为中心, 以问题为纽带, 充分地让学生思考、交流, 发表想法.让他们参与概念的形成过程, 经历定理的归纳过程, 领悟知识的本质特征.努力培养学生勇于探索的科学态度, 敢于质疑、善于思辨的理性精神.学生的主体地位得到了尊重, 意志品质得到了磨练, 自身价值得到了体现, 促进了他们身心的健康发展.

在数学教学中, 应不失时机地渗透人文因素, 增添人文气息.徐利治先生说过:“正因为数学与文学都有着相似的造型艺术和审美准则, 所以当我们说到有深厚人文素养的数学家常常能有卓越的创造性数学贡献时, 也就很容易理解了.”数学与人文是“孪生姐妹”, 从来就没有割裂开来.“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”将无穷等比数列表述得是多么直观;“孤帆远影碧空尽, 惟见长江天际流”中的“帆影”用以描述极限的过程是多么生动.当我们在数学教学中把数学与人文有机的结合, 必能使枯燥的数学放射出充满生机的人文光芒, 这对于激发学生的学习兴趣该有多么大的帮助.本节课在这方面笔者也进行了认真的思考, 尤其是结课环节笔者所提的问题, 3位学生的回答很是精彩.特别是生19所作的小诗, 不仅高度概括了这节课的学习内容, 而且还隐含着重要的数学思想方法, 给人以美的回忆、美的享受.在数学教学中, 我们理应通过展示良好的人文素养, 抒发高尚的人文情怀, 去培养学生的人文素养, 激发学生的学习热情, 发展学生的想象力、创造力.

参考文献

[1]单墫, 葛军.普通高中课程标准实验教科书.数学Ⅰ[M].南京:江苏教育出版社, 2007.

[2]徐利治.数学美学与文学[J].数学教育学报, 2006, (2) .

[3]章建跃, 陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程[J].数学通报, 2010, (1) .

“函数的概念”的教学设计与反思第9篇

函数的概念表现出来的都是抽象的数学形式, 在教学中, 要强调学生对数学本质的认识, 否则会将生动活泼的数学思维淹没在形式化的海洋里. 所以函数概念的教学切忌照本宣科, 教师要对知识适当的重组, 努力去提示函数的本质, 让学生真正理解它, 觉得它易学, 从而乐于学.

因此, 在教学“函数的概念”, 我采用多媒体课件.

为了调动学生学习的积极性, 我首先引用托马斯的名言:“函数概念是近代数学思想之花. ”其次建立“变量”思想, 引导学生阅读书本上的几句话: (1) 早晨, 太阳从东方冉冉升起; (2) 气温随时间在悄悄地改变; (3) 随着二氧化碳的大量排放, 地球正在逐渐变暖; (4) 中国的国内生产总值逐年增长. 通过阅读, 让学生感到上述这些变化着的现象中, 都存在着两个变量, 当一个变量变化时, 另一个变量随之发生变化. 第三通过学生亲手绘制某市一天24小时的气温变化图, 再次感受两个变量的关系.

学生有了以上的知识储备以后, 我又从以下几个方面设计本节课教学内容.

一、情境引入, 建立“单值对应”思想

设计题型:集合A由年份组成, 即A = {1949, 1954, 1959, 1964, 1969, 1974, 1979, 1984, 1989, 1994, 1999} .

集合B是由人口数 (百万) 组成, 即B = {542, 603, 672, 705, 807, 909, 975, 1035, 1107, 1177, 1246} . 问题: 存在某种对应法则, 对于A中任意元素x, B中总有一个元素y与之对应.

例如, 在第一个问题中, 若 (年份) 取1949, 则y (百万) 取542, 这时, 我们说“1949对应到542”, 或者说“输入1949, 输出542”, 简记为1949→542.

二、出示新知, 组织讨论, 设计例题, 认清数学的本质

幻灯片出示函数的概念:一般地, 设A、B是两个非空的数集, 如果按照某种对应法则f, 对于集合A中的每一个元素x, 在集合B中都有唯一的元素y和它对应, 那么这样的对应叫做从A到B的一个函数, 通常记为y = f (x) , x∈A, 其中, 所有的输入值x组成的集合A叫做函数y = f (x) 的定义域.

由于函数的概念是很抽象的, 此时, 如果读一遍, 学生好像懂了, 但未必能真正理解, 这就需要揭示其数学本质. 否则, 这会影响到学生学习以后的知识.

这个知识点教学设计如下:

(一) 组织讨论, 适当引导

例如在学生讨论时, 我也加入到他们当中, 和他们一起探讨, 有时我会问: (1) 对集合A、B有什么要求? (2) 如何理解A中的每一个元素? (3) 什么是对应法则? (4) 什么叫从A到B的一个函数? (5) 如何理解集合B?

(二) 交流成果, 及时小结

巡视各组讨论情况, 发现学生讨论差不多的时候, 让各组回答讨论成果. 对有争议的结论, 或再次组织讨论, 或教师点拔. 这时要体现教师驾驭课堂的能力, 也要体现“教师主导, 学生主体”地位.

当学生的回答差不多时, 我及时出示幻灯片进行小结. 如:

1. A, B都是非空数集.

2. 对应法则要确定.

3. A中的任何一个元素通过对应法则计算之后, 在B中都有且只有唯一的元素与之对应. 但是看清楚, 概念里面从来没有说B集合里面的元素一定要在A集合里面找得到与它对应的元素, 也就是说B集合里面的元素可以多一些没用的.

4. A集合里面所有的元素组合成的集合是定义域, 也就是函数解析式里面x的取值范围.

5. A集合里面的元素通过对应法则算出来之后, 在B集合里面与这些元素相对应的元素所组成的集合叫做值域, 所以说值域并不一定就是B集合, 只是B集合里面那些有用的元素组成的集合而已, 所以值域只是B集合的子集.