图像变换模型范文

2024-07-23

图像变换模型范文（精选9篇）

图像变换模型第1篇

图像融合是指对多源图像在空间、时间、频谱上的冗余或互补信息进行优化组合以获得对被测对象的一致性解释或描述。融合后的图像应更加符合人类理解或机器识别, 以利于对图像进行进一步的分析。目前常用的方法有基于塔式变换的方法、基于小波的方法和基于几何特征的方法等。contourlet[1]变换是一种基于几何特征的图像分析方法, 能够实现对图像多尺度多方向的分解, 适合对线奇异特征进行分析。但因其含有下采样过程, 故其不具有平移不变性, 从而导致融合图像出现伪吉布斯效应[1], 引起图像失真。Cunhu[2]等人针对该问题提出了具有平移不变性的非下采样contourlet变换 (NSCT) 。

由于多尺度分解的不完全性, 分解后图像的细节信息仍有部分保留在低频成分中, 这种现象在分解层次较少的情况下尤为突出。为此, 连静[3]等人提出了基于边缘的低频系数融合规则, 该方法使用三个方向滤波算子对低频图像进行空域滤波提取边缘信息, 然后将边缘信息取较大值作为融合准则, 从而较好地提取了低频成分中的方向信息。但是由于边缘信息呈现明显的稀疏分布 (见图1) , 大部分区域属于能量集中的平滑区域, 只利用边缘信息作为融合准则可能会破坏能量信息的结构。而对于遥感图像来说, 集中在低频部分的能量能够反映地物对电磁波的散射特性, 具有明确的物理意义。为此, 本文提出了一种利用高斯混合模型对尺度系数进行边缘和平滑区域划分的方法, 并针对这两种区域采取不同的低频系数融合规则。

1 非下采样Contourlet变换

人类视觉感知系统具有多分辨性、局部性和方向性的特性。小波分析具有多分辨性和局部性, 因此能够较好地描述图像特征。但由于二维小波是行列方向一维小波的张量积形式, 其支撑区间为正方形, 只具有有限的方向, 因此不能够实现对二维几何特征的稀疏表达。近年来, 出现了很多基于几何特征的多尺度分析方法, 如可Steerable Pyramid[4]、brushlet变换[5] 、复数小波变换、Contourlet变换等。

Contourlet变换利用Laplacian金字塔变换对图像进行多尺度分解, 然后令高频分解系数通过方向滤波器组[6]得到含有不同方向细节信息的方向子带。NSCT变换使用à trous算法构造非下采样Laplacian变换 (NSLP) , 并使用非下采样方向滤波器组 (NSDFB) 实现方向子带划分。由于NSLP和NSDFB都具有平移不变性, 因此NSCT也具有平移不变性, 从而可以克服伪吉布斯现象引起的失真。

2 高斯混合模型 (GMM)

由于高斯混合模型能够平滑地逼进任意形状的概率密度分布, 近年来常被用于语音识别、图像处理等方面。简单地说高斯混合模型就是使用多个不同参数的高斯分布进行加权组合来为观测样本建模。

在一维分布情况下高斯混合模型的概率密度如下:

$p (x) = \sum_{j = 1}^{n} α_{j} g_{j} (x$ ;μj, σ2j) (1)

(1) 式中αi是加权系数, n为参与加权的高斯模型的个数。

利用高斯混合模型对观测值进行建模首先需要根据观测样本对模型参数进行估计。最大似然估计 (MLE) 是一种常用的参数估计方法, 但是多参数联合的MLE估计往往难以实现。EM估计令似然函数期望最大化, 是一种易于实现的MLE变种[7] 。

由于观测样本x中并不包含当前样本属于哪个高斯分布的“隐状态”的概率, 从该意义上看, x并不包含数据的全部信息, 是“非完全数据”。由此需要引入后验概率与观测样本共同构成“完全数据”。后验概率定义为:

$β_{j} (x) = \frac{α_{j} g (x; μ_{j}, σ_{j}^{2})}{\sum_{k = 1}^{n} α_{k} g (x; μ_{k}, σ_{k}^{2})}, j = 1, 2, \dots, n$ (2)

如果把每一个参与加权的高斯模型都视为一种“隐状态”, 则后验概率可以理解为样本点x属于某一“隐状态”的概率。

定义参数向量θ=[α, μ, σ2] (3)

(3) 式中

$α = [\begin{matrix} α_{1} \\ α_{2} \\ ⋮ \\ α_{n} \end{matrix}] ‚ μ = [\begin{matrix} μ_{1} \\ μ_{2} \\ ⋮ \\ μ_{n} \end{matrix}] ‚ σ^{2} = [\begin{matrix} σ_{1}^{2} \\ σ_{2}^{2} \\ ⋮ \\ σ_{n}^{2} \end{matrix}]$

。

利用EM算法则对θ的估计过程如下:

设定参数θ初始化:令 $α_{1} = α_{2} = \dots = α_{n} = \frac{1}{n}$ 。使用K均值法确定n个聚类中心, 作为μ的初始值。使用样本的估计方差σ2作为初始方差σ2向量的各个元素。

E步:根据θ按照式 (1) 计算βj (xi) , j=1, 2, …, n, 其中n为隐状态个数。

M步:求令似然函数最大化的参数估计值 $\tilde{θ}$ :

$\tilde{μ_{j}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} β_{j} (x_{i}) x_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} β_{j} (x_{i})}$ (4)

$\tilde{σ_{j}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} β_{j} (x_{j}) (x_{i} - μ_{j})^{Τ} (x_{i} - μ_{j})}{\sum_{i = 1}^{n} β_{j} (x_{j})}$ (5)

$\tilde{α_{j}} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} β_{j} (x_{i})$ (6)

若 $∥ θ - \tilde{θ} ∥$ 小于一个极小的容限ε, 则停止。否则令 $θ = \tilde{θ}$ , 并跳转到第E步。

低频系数经过边缘滤波后呈现明显的非高斯性 (见图1) , 即“大”系数的分布较为稀疏, 呈现小方差分布;“小”系数的分布较为丰富, 呈现小方差分布。而在图像领域大系数表示边缘区域, 小系数表示平滑区域。因此可以使用两个不同分布的高斯分布的混合模型来为系数建模。若某一系数属于小方差高斯分布的概率较大, 则认为该点属于边缘区域, 反之, 则属于平滑区域, 这样便实现了边缘和平滑区域的划分。

图2是对clock图像的低频系数进行水平、垂直、对角线方向的边缘滤波后, 取小方差高斯分布的后验概率图像。可以看出该概率较好地划分了边缘和平滑区域。

进一步对水平方向低频滤波系数的大方差高斯分布后验概率绘制曲线如图3。从图3中可以看出, 边缘区域的点集中分布在较大概率, 平滑区域的点则集中分布在小概率。选择0.5作为后验概率的门限, 则可以有效地划分两种区域。

3 基于NSCT变换的融合算法

3.1 融合步骤

(1) 对配准好的图像IA、IB分别进行NSCT分解, 得到尺度系数f $_{A}^{(0)}$ (i, j) 、f $_{B}^{(0)}$ (i, j) 和一系列带通系数f $_{A}^{(l, k)}$ (i, j) 、f $_{B}^{(l, k)}$ (i, j) (其中, l表示分解尺度和k表示方向子带) 。

(2) 对IA、IB的高频系数和低频系数应用不同的融合规则进行融合, 得到融合后的系数f $_{F}^{(0)}$ (i, j) 、f $_{F}^{(l, k)}$ (i, j) 。

(3) 对f $_{F}^{(0)}$ (i, j) 、f $_{F}^{(l, k)}$ (i, j) 进行NSCT反变换, 得到融合图像F。

3.2 融合算法

3.2.1 低频系数融合规则

由上文的分析可知, 低频系数可以分为边缘区域和平滑区域。本文使用高斯混合模型“大”系数后验概率作为划分这两种区域的度量标准进行区域划分。对于划分为边缘的区域, 使用边缘能量取最大的准则进行选择。对于平滑区域则使用局部能量取最大的准则进行选择。

定义局部能量:

E= (P*f (0) ) 2, 其中

$Ρ = \frac{1}{8} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}]$

(7)

边缘滤波系数为:

f $_{Η}^{(0)}$ =EHf (0) ; f $_{V}^{(0)}$ =EVf (0) ; f $_{D}^{(0)}$ =EDf (0) (8)

边缘能量为

$E^{e} = \frac{1}{3} [(f_{Η}^{(0)})^{2} + (f_{V}^{(0)})^{2} + (f_{D}^{(0)})^{2}]$ (9)

其中EH、EV、ED是边缘滤波算子, 分别对应水平、垂直和对角线方向, 定义如下:

$\begin{array}{l} E_{Η} = [\begin{matrix} - 1 & - 1 & - 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ - 1 & - 1 & - 1 \end{matrix}] ‚ E_{V} = [\begin{matrix} - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \end{matrix}] ‚ \\ E_{D} = [\begin{matrix} - 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{matrix}] 。 \end{array}$

融合判决的主要步骤如下:

(1) 计算边缘滤波系数f $_{Η}^{(0)}$ 、f $_{V}^{(0)}$ 、f $_{D}^{(0)}$ ;

(2) 对各边缘滤波系数分别进行两个“隐状态”的GMM建模。其中较小方差的高斯分布的后验概率为β $_{ξ}^{0}$ (x) , 对应平滑区域;大方差高斯分布的后验概率为β $_{ξ}^{1}$ (x) , 对应边缘区域。 (ξ为H、V或D)

(3) 将A、B两图所有方向的小方差后验概率取平均:

$λ (x) = \frac{1}{6} (\sum_{ξ = Η, V, D} β_{A, ξ}^{1} (x) + \sum_{ξ = Η, V, D} β_{A, ξ}^{1} (x)) (10)$

将λ (x) ≥0.5的点划分为边缘区域;其他点划分为平滑区域。

(4) 对边缘区域使用边缘能量取最大的方法进行融合判决;对平滑区域使用局部能量最大进行融合判决。

融合规则流程总结如下:

3.2.2 高频融合规则

本文利用重要性测度法进行高频系数融合, 选择局部相关系数作为匹配测度, 局部方差作为重要性测度。局部统计量在3×3的窗口内计算。

4 实验结果及性能分析

实验选择NASA的AIRSAR数据进行融合。待融合图像分别是美国Chickasha地区C波段HH极化方式和C波段HV极化方式的合成孔径雷达 (SAR) 图像。实验使用基于边缘的方法以及本文的方法分别进行了对比。本文方法中的参数选择γ=0.99, β=0.3, λ=0.5, NSCT变换使用两层分解, 第一层高频子带分解划分成4个方向子带, 第二层分解划分成8个方向子带。实验结果如下:

由于目前尚无统一的客观评价准则。本文选择较为常用的评价准则信息熵、逼真度、相关系数 (CORR) [8] 、均方根误差 (RMSE) 、像素互信息 (MI) [9]、边缘互信息 (EMI) [10]对融合结果进行评价。

图像的信息熵反映了其携带信息量的多少, 其值越大, 说明携带的信息越多。逼真度反映融合图像与源图像在光谱信息上的匹配程度, 其值越小则两图光谱差异越小。相关系数反映融合图像与源图像的相关系数反映两幅图像光谱特征的相似程度, 该值越大则相似程度越高。均方根误差越小说明融合图像与理想图像的平均差异越小。像素互信息描述了图像间包含信息的相似程度, 其值越大则相似程度越高。边缘互信息越大则融合图像中所继承输入图像的边缘信息越多。

从结果图像中可以直观地看出, 在植被区域, 基于边缘的方法产生了能量分布的畸变, 而本文算法的融合结果较为平滑。对比表1的客观评价结果可以看出, 本文算法的融合结果除边缘互信息以外, 其他评价指标均有所改善。这说明虽然基于边缘的融合图像包含较多细节信息, 但同时带来了能量结构的失真。本文算法能够在减小能量结构失真的同时引入更多的细节信息。

5 结论

本文针对基于边缘特征的低频融合方法提出了一种能够保持能量结构的改进。对低频系数按照混合高斯模型大方差后验概率进行了边缘区域和平滑区域的划分, 并基于边缘能量和局部能量分别对两种区域进行融合判决。实验结果表明这种方法较原方法在谱结构保持方面有所改进, 是一种有效兼顾细节和能量结构的融合方法, 适合遥感图像融合领域的应用。

参考文献

[1]Minh N, Do MND.The contourlet transform:an efficient directional multiresolution image representation.IEEE Trans on Image Proc, 2005;14 (12) :2091—2106

[2]Cunha D L, Zhou J L, Da MN.The nonsubsampled contourlet trans-form:theory, design, and Applications.IEEE Transactions on Image Processing, 2006;15 (10) :3089—3101

[3]连静, 王珂.基于边缘的小波图像融合算法.通信学报, 2007;28 (4) :18—23

[4]Simoncelli E P, Freemar W T.The steerable pyramid:A flexible ar-chitecture for multi-scale derivative computation.Washington DC:1995

[5]Meyer F G, Coifman, R R.Brushlets:a tool for directional image a-nalysis and image compression.Journal of Appl and Comput Harmon-ic Analysis, 1997;5:147—187

[6]Bamberger HR.Afilter bank for the directional decomposition of im-ages:theory and design.IEEE Transactions on Signal Processing, 1992;40 (4) :882—892

[7]王平波, 蔡志明, 刘旺锁.混合高斯概率密度模型参数的期望最大化估计.声学技术, 2007;26 (3) :498—502

[8]景娟娟, 吕群波.图像融合效果评价方法研究.光子学报, 2007;36 (Sup.) :313—317

[9]Qu G H, Zhang D L, Yan P F.Information measure for performance of image fusion.Electronics Letters, 2002;38 (7) :313—315

《正弦函数图像变换》教学设计第2篇

精河县高级中学

韩英

教学目标：

知识与技能目标：

能借助计算机课件，通过探索、观察参数A、ω、φ对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律；会用图象变换画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象。

过程与方法目标：通过对探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，数形结合的思想；领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

情感、态度价值观目标：

通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识。

教学重点：考察参数ω、φ、A对函数图象的影响，理解由y=sinx的图象到y=Asin(ωx+φ)的图象变化过程。这个内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。学生学习了函数y=Asin(ωx+φ)的图象，为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。

教学难点：对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。因为相对来说，、A对图象的影响较直观，ω的变化引起图象伸缩变化，学生第一次接触这种图象变化，不会观察，造成认知的难点，在教学中，抓住“对图象的影响”的教学，使学生学会观察图象，经历研究方法，理解图象变化的实质，是克服这一难点的关键。

学情分析：

本节课在高一第二学段，学生进入高中学习已经三个月，对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的了解，并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式，喜欢小组探究学习，喜欢独立思考，探究未知内容，学习欲望迫切。关于函数图象的变换，学生在学习第一模块时，接触过函数图象的平移，有“左加右减”，“上加下减”这样一些粗略的关于图象平移的认识，但对于本节内容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影响，还要研究三个参数对函数图象的综合影响，且方法不唯一，知识密度较大，理解掌握起来难度较大。

教学内容分析：三角函数是基本初等函数之一，是中学数学的重要内容。本节为三角函数图象与性质的重要内容，是一节函数图象探究的重要范例，同样也是提高学生识图、画图、数形结合等能力的一次锻炼。本节内容是在学生已经理解振幅变换、相位变换和周期变换的基础上，通过作图、观察、分析、归纳等方法，形成规律，得出从函数的图象到正弦型函数y=Asin(ωx+φ)图象的变换规律。观察函数、、、、图象间的关系，通过对比，探求有关性质以及图象的变换方法。鼓励学生大胆猜想，将直观问题抽象化，揭示本质，培养学生思维的深刻性。

利用计算机操作相关的课件，直观展示图象的变化，细致观察图象变化的数量，使学生学会观察。这就会使学生容易在学习的过程中把握图象变化的内在联系，进而理解本质的规律。首先对参数变化所引起的图象变化进行观察，获得参数对函数图象影响的大致感知，进而进行细致的量的变化的观察和分析，体现了对事物认识的螺旋式上升；从具体的函数出发，进而得出一般性的结论，体现了从特殊到一般，由感性到理性的过渡。

教学流程图：

教学过程：整个教学过程是“以问题为载体，以学生活动为主线”进行的。

（一）创设情境：

1.动画演示：《用沙摆演示简谐运动的图象》

2.根据你的知识，你能解决函数哪些方面的问题？

学生分析：可以求这个函数的最小正周期、单调区间以及“五点法”作图。教师追问：作出它的图象还有其他的方法吗？

【设计意图】复习回顾，直接切入研究的课题。（板书课题：函数问题1：函数学生思考，交流，正弦函数

和我们熟知的正弦函数，有什么联系呢？

就是函数

在A=1，ω=1，=0的特殊情况。的图象）

【设计意图】采用《用沙摆演示简谐运动的图象》引出函数y=Asin(ωx+φ)的图象，体现该函数图象与生活实际的紧密联系,体现函数图象在物理学上的重要性，激发学生研究该函数图象的兴趣。引导学生思考y=Asin(ωx+φ)与正弦函数的一般与特殊的关系，进而引导学生探讨正弦曲线与函数y=Asin(ωx+φ)的图象的关系。

（二）建构数学自主探究：

自主探究：由正弦曲线如何变化得到函数①问题提出：三种变换能否任意排序？

②对于你们小组提出的变换方式，你要怎样解决你呢？的图象？

【设计意图】观察函数解析式学生容易发现三个参数、、都发生了变化，自然恰当地提出本节的核心问题——三种变换能否任意排序呢？

问题2：由正弦函数图象如何变换得到函数的图象？猜想（1）猜想（2）

【设计意图】观察函数解析式，容易发现参数、都发生了变化，根据已有的知识基础，自然恰当地提出本节的核心问题：两种变换能否任意排序，最后确定研究方向。

A、自主实验，形成初步结论：小组合做，根据自己的兴趣在两种变换中选择一种进行研究：问题3：按照第一种方法由函数按照第二种方法由函数的图象如何变换到的图像如何变换到函数的图象？的图象？

学生投影回答，结合自己画的函数图像，说明变换方法。

①.把的图象上的所有的点__左___平移 ___个单位长度，得到的图象。

②.再把的图象上各点的_横__坐标_缩短__的图象。

到原来的__倍（_纵_坐标不变），得到③.再把的图象上所有点的_纵_坐标_伸长_的图象。

到原来的__3_倍（__横_坐标不变）得到

学生总结上述变换过程：相位变换 ①.把

周期变换

振幅变换或向右

平行移动

个单位长度，得到的图象上的所有的点向左的图象。

②.再把不变），得到③.再把横_坐标不变）得到的图象上各点的_横_坐标__缩短_的图象。的图象上所有点的_纵_坐标_伸长_的图象。

或_伸长_到原来的__倍（_纵_坐标

或_缩短_为原来的_A_倍（_B、深入探究，讨论分析：预设问题：

教学的班级为重点班，根据以往的教学经验，如果只研究一种顺序，有的学生会错误地认为由的图象向左平移个单位得到的图象，说明学生没有真正理解函数图象的变化是看坐标（x,y）的变化量。预想到学生会犯这个错误，为了让学生更好地理解图象变化的实质，我选择不同的小组汇报，进而追问：为什么会有这种不同呢？原因是什么？学生们可以通过观察坐标表格中横坐标的变化，发现平移量。或者通过观察图象，发现平移量。因为在方案ω—中，先进行了横向的伸缩，即横坐标变为了原来的上来看，点和

倍，所以向左平移个单位；从坐标和解析式分别满足两个解析式，也可以得到这个结论。

把的图象上所有的点__向左_平移_，还是

_个单位长度，得到函数，为什么？

个单位；先周期变换后相位变换时，的图象。

问题4：第二种变换方法，平移量是注意不同顺序中平移量的不同。先相位变换后周期变换时，需向左平移需向左平移个单位而不是个单位。平移量是由的改变量确定的。

学生总结第二种变换的规律：周期变换把y=sinωx的图象上的所有的点向左 y=sin(ωx+φ)的图象。

对比两种变换过程说明：先相位变换后周期变换平移先周期变换后相位变换平移

个单位长度。

个单位长度。相位变换或向右

振幅变换平行移动

个单位长度，得到【设计意图】使学生由正弦曲线变化得到函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象的不同方案有一个整体的认识，并在掌握图象变化实质的基础上，择优选择。

（三）知识运用，巩固强化

【设计意图】练习及变式练习是对本节课重点和难点知识的巩固，通过学生的回答,可了解学生对于函数图像变换的“形”、“数”思维的形成过程是否得到落实。

（四）归纳交流

1、学生谈本节课的学习体会。

2、正弦函数y=sinx的图象变换到函数y=Asin(ωx+φ)的图象：顺序可任意，平移尺度要注意。

3、数学思想：数形结合、从特殊到一般思想、化归思想。

（五）巩固作业

课本 2（写在作业本上）,1（写在书上）

（六）学习效果评价设计

1．在学生动手实践、观察、思考问题的过程中，关注学生发现问题、解决问题的能力；并在进一步的学习过程中，观察学生的类比学习能力；

2．在各组共同学习、解决问题的过程中，观察学生合作交流、学习的能力； 3．对不同方案的对比学习中，了解学生把握事物本质的能力；

4．通过课堂活动与交流，了解学生对知识的掌握程度，通过反馈，对易错、易混的知识点，做出启发性的指导；

图像变换模型第3篇

关键词：轮廓波变换,MAP模型,最大似然估计,平移不变性

1. 引言

近年来，随着人们对小波研究的深入，小波理论的应用越来越广泛。小波变换的局部性、多尺度性和压缩性使得它在去噪领域中有着非常好的效果;Candes和Donoho在小波变换的基础上发展起来的轮廓波(Contourlet)变换。Contourlet具有多分辨率、局部性、各向异性、对称性和多方向选择性等特征，非常有利于图像边缘和细节的表示，因而得到了更为广泛的应用。

阈值去噪法[1]是常用的小波的去噪方法，2006年Duncan D-Y.Po和Minh N.Do提出了基于HMT模型的去噪方法[2]，采用类似图像的压缩方法，将图像的有用信息和噪声相分离，去除噪声，得到了更好的去噪效果[4]。笔者根据Contourlet变换后系数的统计特性，将应用于图像压缩的estimation-quantization (EQ) coder和Contourlet变换相结合，基于统计模型对图像进行去噪。

2. 轮廓波变换

2.1 Contourlet变换

Contourlet变换是2002年Minh N.Do和Martin Vetterli[5]提出的一种“真正的”二维图像表示方法，也称金字塔型方向滤波器组(Pyramidal Directional Filter Bank)。LP与DFB相结合形成的双层滤波器组结构便构成了塔式方向滤波器组PDFB (Pyramid Directional Fliter Bank)。由于PDFB实质上是以轮廓段的方式逼近原始图像，因此也被称为离散Curvelet变换。图1给出了整个Contourlet变换的原理图。Contourlet变换是一种离散图像的多尺度计算框架，它的变换过程分成两个阶段：拉普拉斯金字塔分解将原图像分解成许多不同空间分辨率的子图像，并把高分辨率(尺寸较大)的子图像放在下层，把低分辨率(尺寸较小)的子图像放在上层，从而构成了下大、上小的金字塔型;在每个尺度上，方向滤波器组(Directional Filter Bank, DFB)将其分解成任意的方向。如图2所示：(a)为轮廓波变换的其中一层的频带分解;将频带分成了0, 1, 2, 3四个方向子带。低频子带重复上述过程可以实现图像的多分辨率多方向的分解。(b)在由粗到细的四个尺度上，分别分成了4, 4, 8, 8个方向子带，中间的实心正方形为图像的低频部分。

Contourlet变换具有去相关性质，这保证了图像经变换后的能量集中在有限的系数上，绝大多数的系数变为0，系数分布具有非高斯特性。对于Contourlet变换系数，比较大的系数值其临域的系数值也比较大，当对系数作分布，各子带条件分布的峰值近似于高斯分布的，因而可以把各子带系数看成是基于邻域系数方差的有条件的高斯分布。Contourlet变换系数是有条件的高斯分布，自然图像的Contourlet变换系数能够精确高斯建模。高斯模型的方差由临域系数共同决定。

2.2 平移不变性

与小波变换类似，Contourle的LP分解和DBF分解过程中都有抽样过程，因而缺乏平移不变性，造成伪吉布斯(Gibbs)现象。对特定的滤波器而言，其本身就可以对图像中某些特定的位置的Gibbs现象进行很好的抑制。通过循环平移，我们可以通过改变图像的排列次序，从而改变奇异点在整个图像中的位置来达到减小或消除振荡幅度，改善重构质量。

为了获得理想的去噪结果，基于平移不变的去噪就转化为寻找最优的平移参数h。对于一个给定的信号，通过选择最优的平移参数h，我们可以实现振荡幅值的最小化。但是，这种方法并不总是有效，当一个信号包含多个奇异点时，有可能产生下面的现象：对某个奇异点来说是最佳的平移量，而对另一个奇异点可能是最差的平移量。因此，对一个复杂信号，将难以得到对所有奇异点都最佳的平移量。为了解决这个矛盾，我们可通过对一定范围的平移量作循环平移运算，再平均所获得的结果。对给定平移范围H的平移量，这个过程可由公式表示：

其中：AveheH为平均运算，Sh为平移算子。

将一维信号扩展到二维图像，设图像的大小为N×N, N=2k，那么对于图像的最大行平移量和最大列平移量分别为K，首先对图像分别进行行、列平移;然后对平移以后的图像进行Contourlet变换，进行去噪;再进行Contourlet反变换;最后对所有的图像求平均值。

3. 本文算法

一幅图像被加性高斯白噪声污染，其统计模型描述如下：已知加性高斯白噪声的方差σn2, X (k)代表自然图像的变换系数。污染图像小波变换系数为Y (k)=X (k)+n (k), n (k)为噪声的Contourlet变换系数，也服从N (0，σn2)分布。根据Contourlet具有的统计特性，本文使用近似最小线性均方差估计(MMSE)来取代传统的阈值去噪。

基于统计模型去噪法的原理方框图如图3所示，假设X (k) 的方差σ2 (k) , MMSE估计为, 对于不确定的σ2 (k) , 根据统计特性, 通过MAP估计得出, 用代替σ2 (k) 。其去噪算法具体步骤为:

1.对含噪图像进行Contourlet变换，得到Contourlet域系数矩阵。

2.噪声方差σn2由Dohono提出的鲁棒性中值估计：

其中：yi为第一层的系数。

3. 通过MAP估计窗口邻域中的噪声系数的方差。的估计基于一个局部邻域N (k)，窗口的中心为Y (k)，邻域中系数方差系数的相关性很高，σ2 (j)≈σ2 (k)其中j∈N (k)。高斯噪声根据MAP估计准则估计得到：

其中:λ为ML准则估计结果的倒数。

4.将代替σ2 (k) 用于MMSE, 求出去噪后的估计值。

4. 仿真结果

实验目的是将本文算法同阈值去噪法进行比较。实验是使用MATLAB 6.5，在Pentium 4的计算机上完成的。Contourlet使用LP为“9-7”滤波器，DFB为“pkva”滤波器，分解层数为[3, 4, 4]。采用的Contourlet变换去噪方法有：Contourlet阈值去噪(CT)、自适应阈值Contourlet去噪法(CN)、基于本文提出的基于统计模型的Contourlet去噪算法(CM)，窗口选择(3×3)，边界使用零扩展方式以及基于统计模型的循环平移算法(SCM)。实验图像使用Lena图像、Peppers图像。结果通过峰值信噪比(PSNR)来衡量。实验结果如表1所示。

其中：X是含噪声或者去噪后的图像，而Xoriginal是无噪声的原始图像，N表示正方形图像的边长。

将纹理比较丰富的Lena局部图叠加均值为零，方差为25的高斯白噪声。通过小波软阈值去噪法(WS)、Contourle变换阈值去噪法(CT)和基于统计模型的去噪法(SCM)去噪后的效果图为图4:

由表1和图4可以看到将Contourlet变换和MAP统计模型相结合的去噪方法相比较于传统的小波去噪方法及Contourlet阈值去噪法能够得到很好的去噪效果，能够将PSNR提高3dB，对于纹理比较丰富的图像，相比较于其他的去噪方法，其优越性更加明显。

5. 结语

通过仿真，比较PSNR和视觉效果，我们可以看出：基于多种方向，各向异性的Contourlet变换和MAP估计模型相结合的去噪方法无论在PSNR的比较还是在视觉效果上都优越于传统的小波阈值去噪法，证实了该算法的实用可行性。我们应进一步研究Contourlet变换后系数的统计特性，寻找能够更加精确地描述统计特性的统计模型，更好地分离噪声，得到更好的去噪效果。

参考文献

[1]David L.Dohono, De-Noising by Soft-Thresholding, IEEET Transaction On Information Theroy, Vol41.No.3.May, 1995.

[2]Duncan D.-Y.Po and Minh N.Do, Directional Multiscale Modeling of Images Using the Contourlet Transform, IEEE Trans-actions On Image Processing, VOL.15, NO.6, June, 2006.

[3]Ramin Eslami, Hayder Radha.Image denoising using translation-invariant contourlet translation.

[4]M.K.M1h, cak, I.Kozintsev, and K.Ramchandran.Spa-tially adaptive statistical modeling of wavelet image coefficients and its application to denoising, Proc.IEEE Int.Conf.Acoustics, Speech, and Signal Processing, Phoenix, AZ, Mar.1999, vol.6:3253-3256.

[5]Minh N.Do, Martin Vetterli, Contourlets:A New Directional Multiresolution Image Representation, 2002IEEE.

[6]Wentong Xue, Jianshe Song, Lihai Yuan and Tao Shen.Statistical Dependences of Images Coefficients in Contourlet Do-main:Analyzing and Modeling, Proceedings of the6th World Congress on Intelligent Control and Automation, June21-23, 2006, Dalian, China.

[7]Hui Ding, Mengyin Fu, and Meiling Wang.Shift-Invariant Contourlet Transform and Its Application to Stereo Matching, Pro-ceedings of the First International Conference on Innovative Com-puting, Information and Control (ICICIC’06) .

一种改进的小波变换图像融合方法第4篇

为很好地保持图像的细节和光谱信息,本文结合局部方差和高通滤波,利用小波变换对图像进行了融合试验.结果表明,融合的图像在保持细节和光谱信息方面都有很大的提高.

作者：潘建平明飞雄左志进 PAN Jianping MING Feixiong ZUO Zhijin 作者单位：潘建平,PAN Jianping(重庆交通大学土木建筑学院,重庆,400074)

明飞雄,左志进,MING Feixiong,ZUO Zhijin(国家测绘局重庆测绘院,重庆,400014)

小议函数图像的变换第5篇

关键词：图像,变换,函数

函数的图像与性质是高考考查的重点内容之一, 它是研究和记忆函数性质的直观工具, 利用它的直观性解题, 可以起到化繁为简、化难为易的作用。因此, 学生要掌握绘制函数图像的一般方法, 掌握函数图像变化的一般规律, 能利用函数的图像研究函数的性质。但三角函数历来是学生学习的难点, 其中三角函数图像的变换更是让学生学得晕头转向.下面结合自己多年教学实践, 浅谈对这方面问题的研究.

我们知道, 三角函数也属于函数, 因此一般函数y=f (x) 的图像变换法则和方法对三角函数同样适用, 涉及的变换有平移变换与伸缩变换.为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性, 我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换.

大家知道, y=sinx的图像向上 (下) 平移10个单位, 可得到y-10=sinx (y+10=sinx) , 即y=sinx+10 (y=sinx-10) 的图像;

y=sinx的图像向右 (左) 平移 , 可得到的图像;

y=sinx的图像横向伸长至原来的2倍 (横向缩短至原来的1/2) , 可得到的图像;

y=sinx的图像纵向伸长至原来的3倍 (纵向缩短至原来的1/3) , 可得到的图像;

我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反映出来.表格为

从上面的表格, 我们可以感到平移变换和伸缩变换有如下特点:

左加右减, 下加上减;横向变换变x, 纵向变换变y;各种变换均在x、y头上直接变;x、y的变化总与我们的感觉相反.例如, 向左或向右平移、横向伸长或横向缩短时变化的均为x;向上平移或向下平移、纵向伸长或纵向缩短时变化的均为y;从这可以看出横向变换变x, 纵向变换变y.向右平移时, 我们感觉图像上的每个点的横坐标应增加 , 但x的变化却为把x变为 ;横向伸长至原来的2倍时, 我们感觉每个点的横坐标应变为原来的2倍, 但实际上x的变化却为把x变为 ;从这可看出x、y的变化总与我们的感觉相反.从上面的解析式的相应变化中可看到, x、y的变化均是直接把x或y变成多少, 其余一律照抄下来.例如, 的图像向右平移2个单位, 应得到的图像, 而不是的图像横向伸长至原来的3倍, 应得到的图像, 这就体现了各种变换均在x、y头上直接变.

把平移变换和伸缩变换的规律总结成口诀, 为:横向变换动x, 纵向变换动y;直接在x、y头上动;解析式的相应变化总与我们的感觉相反.这个变换不但对三角函数适用, 对任意函数也适用.例如, y=2x+x2的图像向右平移3个单位, 得到y=2x-3+ (x-3) 2的图像.

还有, 纵向变换动y, 是在y头上直接动.学生可能以前学的纵向变换是在解析式等号的右边进行变式的, 如果是这样变换方法就与刚才总结的口诀不相符了, 只有强调直接在y头上动, 才符合本文中的口诀, 这与以前的不矛盾, 只是改变了变式的左右面.

由以上可以看出, 由y=sinx的图像变换出y=Asin (ω+φ) 的图像一般有两个途径, 只有区别开这两个途径, 才能灵活进行图像变换。

利用图像的变换作图像时, 提倡先平移后伸缩, 但先伸缩后平移也经常出现.

途径一:先平移变换再周期变换 (伸缩变换)

先将y=sinx的图像向左 (φ>0) 或向右 (φ<0) 平移|φ|个单位, 再将图像上各点的横坐标变为原来的ω1倍 (ω>0) , 便得y=sin (ωx+φ) 的图像.

途径二:先周期变换 (伸缩变换) 再平移变换

先将y=sinx的图像上各点的横坐标变为原来的倍 (ω>0) , 再沿x轴向左 (φ>0) 或向 (φ<0) 右平移个单位, 便得y=sin (ωx+φ) 的图像.

只有从本质上掌握了平移变换和伸缩变换的方法, 才能应对各种复杂和连续的变换的题目, 才能学会变换的逆向使用和变形使用.

任意图像的Arnold变换第6篇

近年来, 随着多媒体技术的迅猛发展及网络的广泛使用, 图像的使用也越来越频繁。随之而产生的图像的版权保护及加密技术等也受到人们更多的关注。而图像置乱技术就是一类重要的图像加密方法。其中比较经典的有:Arnold变换、幻方变换、Hilbert曲线等。Arnold变换因为简单, 而受到人们的喜爱。但是由于其特点, 一般仅将其使用在长宽相等的图像, 对于长宽不等的图像进行加密, 则需要复杂的处理, 这就限制了其使用范围。

于是, 许多学者对这方面进行了研究:文献[1]先把长宽不等的图像矩阵先填充成长宽相等的方阵后再进行Arnold变换;文献[2]提出了一种新颖的二维非等长图像置乱变换, 并给出了周期存在判据;文献[3]-[7]也做了相应地研究。在这些方法中, 有的需要对图像进行填充, 有的需要对图像划分成可重叠的正方形区域块, 有的需要对图像进行插值, 这都增加了处理的难度。文献[2]虽然提出了一种新颖的非等长图像置乱方法, 但是其认为并不是所有的非等长图像都具有置乱周期。该文将在文献[2]的基础上证明, 任意非等长的图像都具有置乱周期。

2传统的Arnold变换

对于大小为N×N的图像方阵, 传统的Arnold变换公式为:

其中为原来方阵中的坐标, 为变换后方阵中的坐标, 为变换矩阵。

后来又有学者把变换矩阵推广到, 其中只要a, b, c, d四个元素满足即可。这样就增加了破译的难度, 提高了Arnold变换的实用性。但是这样的Arnold变换, 只适用于正方形矩阵, 而不能用于长宽不相等的图像。

文献[2]中提出了一种新颖的图像置乱公式, 设像素矩阵为M×N, 像素坐标为 (x, y) 且x∈[0, M-1], y∈[0, N-1], 则一次置乱后的坐标 (x’, y’) 由公式 (2) 得到。

3任意大小矩阵的Arnold变换

文献[2]虽然证明了:二维非等长图像置乱变换周期存在, 当且仅当像素矩阵所有元素, 按式 (2) 一次迭代后, 映射为新像素矩阵的不同元素。但是其在后面的推论中, 仅说明了M/N为整数比, 或者图像置乱系数满足a=1, b>0, c=0, d=1 (a=1, b=0, c>0, d=1) 时, 才可对任意图像在水平 (垂直) 方向置乱, 才存在可恢复周期。该文将在文献[2]的基础上证明任意大小的图像矩阵都存在Arnold变换周期。

文献[2]知:二维非等长图像置乱变换周期存在, 当且仅当像素矩阵所有元素, 按式 (2) 一次迭代后, 映射为新像素矩阵的不同元素。此结论等价于:能找到一个置乱系数矩阵, 使得原像素矩阵中的任意不同的两点按式 (2) 进行一次迭代后不能映射到同一点上;或者是如果原像素矩阵中的两点按式 (2) 映射到新像素矩阵中的一点上, 那么原像素矩阵中的这两点必定是同一个点。在这两种情况都说明有置乱周期存在。

设原像素矩阵中存在两点 (x1, y1) , (x2, y2) , 按公式 (2) 一次迭代映射为新像素矩阵的 (x0, y0) , 则有:

用式 (3) 中的第一式减去第二式, 第三式减去第四式, 并令k1-k2=l1, k3-k4=l2, 则可得到公式 (4) :

设X=x1-x2, Y=y1-y2, 如果X=0且Y=0, 说明 (x1, y1) , (x2, y2) 为原像素矩阵中的同一个点;如果X和Y不同为0, 则说明 (x1, y1) , (x2, y2) 是原像素矩阵中的不同点。把式 (4) 写成矩阵形式 (5) :

对于式 (5) 下面分两种情况讨论:

(1) l1=l2=0。则l1M=0, l2M=0, 根据线性代数知识, 只要行列式, 则式 (5) 只有唯一解X=0, Y=0。即只要找到使D≠0成立的a, b, c, d就可以使得映射为同一点的, 只能是原像素矩阵中的相同点, 即 (x1, y1) , (x2, y2) 为同一个点。

(2) l1和l2中至少有一个不为零。由线性代数中的克莱姆法则知道, 如果式 (5) 无解或者有多个解必定有。在这种情况下, 如果能找到a, b, c, d使得D=0, 保证式 (5) 无解, 就可以确定不会有像素映射到同一位置上。

综合上面的两种情况, 只要找到a, b, c, d使得映射到同一个点的只能是原像素矩阵中的同一个点;或者是不可能原像素矩阵中的不同点映射到同一个点上, 则可以保证原像素矩阵中的不同点不会映射到同一点上, 也就保证了任意非等长图像的置乱周期的存在性。

4实验结果

对大小为3×7的像素矩阵, 可以找到做为系数变换矩阵, 其变换周期为4。其坐标序号的变换过程如图1所示。其中原始坐标序号由3×y+ (x+1) 得到, x∈[0, 2], y∈[0, 6]

从图1中可以看到当M/N (或N/M) 不为整数时, 非等长图像矩阵也存在变置乱换周期。这就证明了非等长图像的长宽比为整数并不是其置乱周期存在的必要条件。

5结束语

本文在文献[2]的基础上, 证明了任意大小图像都存在置乱周期。其中置乱周期的存在和变换矩阵中的系数相关。从实验中, 可以看到当M/N (或N/M) 不是整数比时, 置乱周期也存在。因此在实际的图像加密中, 只要选择合适的变换矩阵系数, 就可以对非等长图像进行Arnold变换。由于该变换存在周期, 因此加密图像也可以进行恢复。

参考文献

[1]孔涛, 张亶.Arnold反变换的一种新算法[J].软件学报, 2004, 10 (15) .

[2]邵利平, 覃征, 高洪江, 等.二维非等长图像置乱变换[J].电子学报, 2007, 35 (7) :1290-1294.

[3]李永逵, 冯乔生, 周粉, 等.二维Arnold变换及非等长图像置乱变换[J].计算机工程与设计, 2009, 30 (13) :3133-3135.

[4]梁小勇, 郭琳琴, 李香林, 等.基于Arnold变换的非正方形图像置乱新算法[J].吕梁学院学报, 2012, 2 (2) :9-12.

[5]陈曦, 向菲, 张志勇, 王剑, 等.二维非等长图像置乱方法的研究与验证[J].安徽工业大学学报:自然科学版, 2013, 36 (8) :929-932.

[6]孙燮华, 章仁江.计算Arnold变换周期的新算法[J].计算机技术与发展, 2008, 18 (11) :66-68.

图像变换模型第7篇

图像的边缘包含着图像的许多信息, 图像处理的主要内容即就对图像边缘的检测。图像边缘的检测现在主要有微分边缘检测法, 结合了神经网络、遗传算法、数学形态、模糊学等多个学科知识的边缘检测法这几种方法。但是由于各种边缘检测法的技术局限性, 因此所得出的边缘检测效果并不相同。由于小波变换和曲波变换的图像边缘检测新算法具有良好的稳定性, 因此这个边缘检测法引起了许多专家学者的重视, 以此来满足这项算法在军事、医学、工业工程等领域内的应用。文章首先介绍了边缘检测算法, 其次介绍了小波变换和曲波变换的图像边缘检测新算法的基础理论, 最后详细介绍了新的边缘检测算法基本思想、算法描述以及仿真实验的过程。

1 基础理论

1.1 离散小波变换

小波变换是根据傅里叶分析的基础上发展起来的一个数学分支, 在图像处理、信号处理、地质勘探等许多领域内都起着非常重要的作用。时间和频率之间进行了不断的进行变换, 在这个变换过程中, 小波变换通过伸缩、平移等多方面相结合的运算功能, 对获得的信号或者函数进行了分析, 并且从中提取到有用的信息。小波变换可以通过选取合适的滤波器, 适当的去掉信号与信号之间的相关性, 根据需要对于信号做出处理, 从而获得离散小波。通过相应的参数的调节, 就实现了离散小波的变换, 这样小波变换实现了在时间和频率之间的作用。

1.2 离散曲波变换

曲波变换同样具有一定的时间、频率的分析能力, 它具有很好的辨别能力和很方向的选择能力, 通过采用USFFT和WRAP方法, 可以实现离散曲波变换, 离散曲波变换, 实现其在时间与频率之间的作用。

1.3 Canny算子

传统的边缘检测算子的方法包括ROBERTS算子和SOBEL算子, PREWITT算子, LAPLACE算子, CANNY算子等, 采用CANNY算子的方法进行边缘检测需要有效地抑制噪声以及精确的确定边缘位置这两个条件, 才能实现图像边缘检测。CANNY算法程序的实现步骤, 可以分为七个步, 首先要生成高斯滤波系数, 使用生成的高斯滤波系数对源图像进行平滑, 接着求得滤波后图像的梯度, 用一阶偏导的有限差分, 来计算梯度的幅值和方向, 然后对梯度幅值进行非极大值抑制, 之后统计出图像的直方图, 判定阈值, 最后利用函数寻找边界的起点, 从这一个点出发, 找出其他所有的边界点。

1.4 边缘图像融合

图像融合中包含着图像的原始信息, 同时也包含着许多其他的信息。图像最基本的特征是边缘, 因此要准确的提取出目标图像的边缘, 让后将其与图像进行结合, 从而获得理论上清晰的图像。但是由于该机身自身的局限性, 所获取的图像经常会出现不清楚、模糊的现象, 有时还会存在一定的噪音。因此, 要基于小波变化和曲波变换进行边缘图像融合技术, 选取一定的窗口, 计算其中各个像点的边缘强度, 把这个边缘强度值作为权值进行图片高频系数的求和计算。

2 新的边缘检测算法

2.1 基本思想

小波变换和曲波变换相结合的图像边缘检测算法即为新的边缘检测法, 它把小波变换和曲波变换相结合, 利用各自的优点进行图像的边缘检测。这个方法可以有效的减少以往图像边缘检测中出现的有效边缘消失、边缘定位误差、把噪音判定为边缘等问题, 它能准确地将有效边缘检测出来, 有着较低的误差;也能精准的定位边缘, 精准度也很高, 不易产生很大的误差和偏移;对噪音能够正确的判定出来, 不会出现以往的误判问题, 从而可以进行有效的图像边缘检测。

2.2 算法描述

小波变换和曲波变换的图像边缘检测新算法, 首先它将处理原始图片, 调整原始图片的大小, 用来进行后续的变换工作, 这样就得到了处理图片1;接着依托处理图片1, 进行小波变换, 从而提取出小波系数, 根据阈值再得出小波边缘图像2;然后对得到的小波边缘图像2进行曲波变换处理, 取出相关的细节之后, 从而得到了一个FINE层系数, 以及一个DETALL系数;对DETALL系数进行处理, CANNY算子作用于这个系数, 然后得到了曲波边缘图像3;最后融合小波边缘图像2、曲波边缘图像3, 得到最终的边缘图像。

3 仿真实验

3.1 实验评价

小波变换和曲波变换的图像边缘检测新算法总体而言, 可以有效的辨别噪音和边缘, 有着较强的抗噪声性, 能够避开大部分的噪音, 得到有效的边缘图像, 而小波变换图像边缘检测算法和曲波变换图像边缘检测算法自身有着很多的局限性, 不能得到很精确的图像。

3.2 实验结果

我们在进行仿真实验时采取了两种方法, 即含不同噪声的图像的仿真实验和含不同细节的图像的仿真实验。在这个两种方法中, 分别用小波变换、曲波变换, 文章的算法, 生成各自的边缘图像进行比较。

对于含有不同噪声的图像进行仿真实验, 我们在实验的过程中在相同的原始图像中加入了高斯噪声, 实验结果表明, 使用文章的新算法检测, 加入高斯噪声的图像边缘检测效果较好, 这是因为高斯噪声在图像中出现的位置较为固定, 新算法因此可以很好的辨别出噪声和边缘的区别, 而使用小波变换、曲波变换算法时, 因其噪声的影响、算法的局限性, 得到的图像效果也理想。

对于含不同细节的图像的仿真实验, 我们得出, 使用文章的新算法, 对于细节较多的图像而言, 检测图像边缘效果更为理想。使用小波变换、曲波变换算法时, 对于细节较为复杂的图像而言, 这个算法不能很好的表现图像的细节。

4 结束语

文章提出的小波变换和曲波变换的图像边缘检测新算法, 通过实验证明, 这个新算法可以有效的进行图像的边缘检测, 可以有效地整理出边缘图像的信息, 从而提高图像的清晰度, 而小波变换算法和曲波变换算法存在一定的局限性, 得到的图像效果较文章的新算法而言, 效果较差。

摘要：边缘包含着图像的许多信息, 它也是图像最基本的特征。目前, 图像边缘检测是一个热门的研究问题, 许多专家对其进行了研究, 也取得了较理想的研究成果。专家就图像边缘检测的问题提出了许多新的算法, 其中就包括小波变换和曲波变换相结合的图像边缘检测新算法。文章就边缘检测问题, 探讨了小波变换和曲波变换的图像边缘检测新算法。

关键词：小波变换,曲波变换,图像边缘检测,新算法

参考文献

[1]郝红转, 张维强.基于小波变换的含噪图像边缘检测算法[J].计算机与现代化, 2015 (2) .

[2]邵婷婷, 白宗文, 周美丽.基于小波变换的图像边缘检测[J].理论与算法, 2014 (19) .

[3]杨泽仟, 刘广琦, 吴永国, 等.基于小波变换的图像边缘检测匹配算法[J].微计算机信息 (测控自动化) , 2010 (4) .

基于哈夫变换的图像边缘连接第8篇

哈夫(Hough)变换是一种特殊的在不同空间之间进行的变换。设在图像空间有一个目标,其轮廓可用代数方程表示,哈夫变换就是将图像空间转化为参数空间的一种变换。基于哈夫变换,可利用图像的全局特性将目标边缘像素连接起来组成目标区域的封闭边界,或直接对图像中已知形状的目标进行边缘检测。哈夫变换的主要优点是:具有图像全局特性,受噪声和边界间断的影响比较小,运算量较小,具有较好的鲁棒性。

2 哈夫变换的基本原理

在图像空间xy中,考虑一个定点(xi,yi)和经过该点的直线方程:

$y_{i} = a x_{i} + b (1)$

其中:a为斜率,b为截距。则经过点(xi,yi)的直线有无数条,虽对应不同的a 和b值,但均满足上述直线方程。现将式(1)改写为:

$b = - x_{i} a + y_{i} (2)$

从式(2)可看作以参数a,b为变量,在参数空间ab中的一条直线方程,如图1所示。其中:-xi为斜率,yi为截距。由于(xi,yi)为定点,因此式(2)可看作参数空间ab中关于定点(xi,yi)惟一直线方程。

同理,在图像空间xy中,过另一定点(xj,yj)的直线方程:

$y_{j} = a x_{j} + b (3)$

则在参数空间ab中,关于定点(xj,yj)惟一直线方程为:

$b = - x_{j} a + y_{j} (4)$

若在参数平面内,式(2)与式(4)所决定的直线相交,如图1所示。设交点为(a′,b′),此时参数a′,b′对应在图像空间xy中,一条同时经过定点(xi,yi)和定点(xj,yj)的直线方程参数。即有:

$y = a^{'} x + b^{'} (5)$

则式(5)即为同时经过定点(xi,yi)和定点(xj,yj)的直线方程。

哈夫变换就是将图像空间xy中点是否共线的检测,转换为参数空间ab中是否有共同交点的问题。例如:在图像空间xy中,现有5个定点,需要检测这5个点中有哪几个点共线问题。哈夫变换的做法是:对这5个点,在参数空间ab中,对应5条直线参数方程,若有2条直线参数方程相交,则交点即为关于2个定点的直线参数,即该两定点共线;若有3条直线参数方程相交于一点,则交点即为关于3个定点的直线参数,即3定点共线;依次类推,若有5条直线参数方程相交于一点,则全部5点共线。已知直线方程求交点,这在计算量上是可行的。

3 哈夫变换的极坐标形式

使用等式y=ax+b表示一条直线带来的一个问题是:当直线接近垂直时,直线的斜率接近无限大。在参数平面ab中很难将这个参数点表示出来。解决这一难点的方法是使用直线的极坐标方程。

在图像空间xy中,经过定点(x0,y0)的直线方程为:

$y - y_{0} = k (x - x_{0}) (6)$

其中:(x0,y0)为原点到该直线的垂足;k为该直线的斜率,a为该直线与x轴正向的夹角,a ∈[0,π],如图2所示。则有下式成立:

$\begin{array}{l} x_{0} = ρ_{0} \cos θ_{0} (7) \\ y_{0} = ρ_{0} \sin θ_{0} (8) \\ k = t g a = - (t g θ_{0})^{- 1} (9) \end{array}$

将式(7)、式(8)、式(9)代入式(6),经整理可得:

$ρ_{0} = y s i n θ_{0} + x c o s θ_{0} (10)$

则式(10)即为极坐标下直线的标准方程。其中ρ0,θ0为直线方程的参数,其分别表示原点到直线的垂线长度和垂线与x轴正向的夹角,θ0 ∈[-π/2,π/2],ρ0可取正负值。正值表示直线与极轴相交于原点的右边,负值表示直线与极轴相交于原点的左边。

极坐标下的直线标准方程,经过哈夫变换可得:

在参数空间θρ中,经过定点(xi,yi)的惟一参数方程为:

$ρ = y_{i} \sin θ + x_{i} \cos θ (11)$

式(11)对应参数空间θρ中的一条正弦曲线。式(11)还可以进一步表示为:

$ρ = \sqrt{x_{i}^{2} + y_{i}^{2}} \sin (θ + φ) (12)$

其中,φ=arctg $\frac{x_{i}}{y_{i}}$ 。

4 哈夫变换的直线检测步骤

设已知图像空间xy中,存在n个定点,利用哈夫变换检测这n个定点是否共线的具体步骤如下:

(1) 对参数空间中参数θ和ρ的取值范围进行量化,θ通常取值[-π/2,π/2],ρ通常取值[- N,N],N为图像长度。然后根据量化结果构造一个二维数组A[θ,ρ],其中θmin≤θ≤θmax,ρmin≤ρ≤ρmax,该二维数组初始化值均为零。

(2) 对xy空间中的给定点(xi,yi)其中1≤i≤n,让θ取遍所有可能的值,根据式(11)计算出ρ,注意需对θ和ρ的结果进行取整操作。

(3) 对于计算出相同的(θ,ρ)参数点,每出现1次,该单元累积器A(θ,ρ)=A(θ,ρ)+1,即累加值等于重复出现的次数。

(4) 根据计算最后所得结果,二维数组累积器A(θ,ρ)中的最大值,对应n个定点中最多数的点所确定的直线。

二维累计数组的最大值对应n个定点中最多的点所确定的直线,根据累加单元坐标值θ和ρ值,即可得到该直线的标准方程。

为了能够调整精确度,可以对计算的尺度进行不同的设定,如图3所示。例如,将参数空间的θ轴[θmin,θmax]划分为K份,那么对应于每个定点(xi,yi),有K个θ值对应K个ρ值。K值越大,则计算出的共线性越粗略;K值越小,则计算出的共线性越精细,甚至可以达到亚像素级。因此在参数空间θρ的尺度划分,决定了计算出的共线点的精确度。在计算量上,每个点需进行K次计算,总共n个点,因此需要nK次计算。实际中K小于n,因此计算量小于n2。

5 结语

哈夫变换不仅适用于直线,而且也适用于表达式为f(x,c)=0形式的各类曲线,这里x是一个坐标矢量,c是一个参数矢量。例如圆的一般方程为:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} (13)$

式(13)中a,b,r 均为参数,因此需要在参数空间构造一个3维数组A,记为A(a,b,r)。对圆的检测方法与直线类似,由于是3个参数,计算量增大了许多。因此实际中哈夫变换最适合于检测比较简单曲线(即表达式中的参数比较少)上的点。

摘要：图像边缘的检测可以得到图像中处于边缘上的像素点,由于受到噪声等干扰,一组边缘像素很少能完整地描绘一条边缘。利用哈夫(Hough)变换可以将边缘像素连接成有意义的边缘。现有文献对哈夫变换在极坐标中的应用,存在不同的形式和论述,容易造成概念混淆。详细叙述哈夫变换的基本原理,及在直线检测中的应用。尤其是对极坐标下直线的标准方程,进行详细地推导和论述,从而对哈夫变换的应用进行有益的补充。

关键词：图像边缘,哈夫变换,直线检测,极坐标

参考文献

[1]冈萨雷斯.数字图像处理[M].北京:电子工业出版社,2003.

[2]章毓晋.图像分析[M].北京:清华大学出版社,2005.

[3]邱力为,宋子善,沈为群.直线参数检测的快速哈夫变换[J].北京航空航天大学学报,2003,29(8):741-744.

[4]杨四海,陈锻生,谢维波.Hough变换的特性分析:一种全局观点[J].计算机辅助设计与图形学学报,2006,18(8):1197-1 204.

[5]廖剑利.基于小波变换的图像边缘检测方法研究[D].长沙:湖南大学,2005.

[6]章毓晋.图像分割[M].北京:科学出版社,2001.

[7]朱志刚.数字图像处理[M].北京:电子工业出版社,2002.

[8]徐胜男.基于离散小波框架变换的彩色多聚集图像融合算法[J].计算机应用,2005,25(3):580-582.

[9]夏明革,何友,苏峰.基于多小波分析的图像融合算法[J].电光与控制,2005,12(2):19-21,30.

图像变换模型第9篇

在获取的图像中由于其他因素的存在而含有噪声信号,为了便于观察和较精确地提取图像特征点,需要对图像进行滤波从而去除噪声[1]。国内众多学者侧重于研究是低通滤波的方法,但这种方法在有效出去噪声的同时[2],也会是图像的边缘信息模糊,而contourlet变换由于具有良好的分解特性,为信号的去噪提供了强有力的工具,克服了传统方法处理非平稳信号是存在的局限性[3]。

二、contourlet

2.1 contourlet变换

contourlet变换也称金字塔型方向滤波器组[4],它将多尺度分析和多方向性分析分成2个相对独立的过程来实现。首先,由拉普拉斯塔形变换(LP)对图像进行多分辨力分析;然后,利用方向滤波器组进行方向分解。拉普拉斯塔形变换把原始图像分解为低频子带和高频子带,低频子带是AL0和BL0,高频子带为,其中Alk和Blk,k=1,2,...,2nl,l=1,2,...,L其中L为分解的最大层数,2nl为各层分解的方向数目其中低频子带是由原始图像经过二维低通滤波及各行和列下抽样得到的。拉普拉斯塔形变换变换后的频带再经过方向滤波器组(DFB)分解为2i个方向子带,i取不同的值决定了图像的分辨率不同,随i增加,各分解方向子带的数量加倍,最后完成图像去噪。contourlet变换的流程图如图1。

2.2. 循环平移

contourlet变换对模糊的图像处理不是很好[5],对于模糊的图像去噪算法流程:

I为模糊图像进行循环平移去噪后得到的图像,DNCT表示对二维图像进行contourlet分解,然后重构,得

f表示待处理二维图像,T表示contourlet变换的分解过程,T-1表示contourlet变换的重构过程,h是硬阈值算子,一般0

对于模糊的图像,经过循环平移,有效地保留图像的细节和纹理,具有更好的视觉效果和较高的SNR。

2.3. 融合规则

不同的融合算法都有其相应的应用价值[6],目前还没有一种融合算法适合所有的图像融合,contourlet对线条有高度敏感性[7],这对模糊的细节质量的提高很有好处,由于contourlet变换系数与其邻域有极强的依赖性,在频带系数处理中,采用如下方法进行融合[8]:

j代表分解循环融合的次数,ε=1,2,3,表示频率段的序号,p=(m,n)表示图像的空间域上的一点,位置;Q表示以P为中心的融合区域的窗口,q为窗口内的任意一点。

三、仿真实验及结果分析

仿真软件为m atla b7.0,实验平台C P U为P4系列3.06MHZ,内存为2HMZ,硬盘接口为串口。由于contourlet变换后的循环平移对模糊图像特别有效,利用月球的边缘,如图2所示,图3为表示要特别处理的显示区域,图4为表示特别处理后的显示区域,

通过以上的分析和实验可以知道,基于contourlet的变换对模糊且有噪声的图像是一个非常有效的图像处理方法。特别是对于边缘轮廓较多且较模糊的图像。其重构后的图像的视觉特性和SNR都比小波更好,在实际应用上具有一定的优势。

四、结论