根的判别式范文（精选4篇）
根的判别式 第1篇
一、应用求根公式时,不能忽视“△”
例1解关于x的一元二次方程
这类问题最容易出错的是不讨论“△”的情况,就用公式法解.其正确的解法为:
(1)当且时,原方程有两个实数根,
(2)当时,原方程没有实数根.
二、应用韦达定理时,要注意“△”
1.一元二次方程有实根,必须有 △≥0.
例2 k为何值时,方程的两个实数根的平方和等于29/4?
解:设α、β是方程的两个实数根,由题意得
由②③④得
解得:k1=-11,k2=3.
把k1=-11和k2=3分别代人①, 可知k1=-11不满足.因此,k的值是3.
2.a、c 异号或两根异号隐含着“△>0”.
对于方程来说 ,若c/a<0,则必有△=b2-4ac>0成立.因此 ,解题时 ,只考虑c/a>0即可.两根异号可得到a,c异号,进一步可得△>0.在这两种情况下,不必重复列出△>0的条件.
三、 二次三项式 ax2+bx+c是完全平方式的充要条件为“△=0”
设由于a≠0,故配方有
显然△=0,则方程有两个相等的实数根,ax2+bx+c是一个完全平方式;反之,ax2+bx+c是完全平式,方程有两个相等的实数根,则△=0.
例3已知多项式是一个完全平方式,求证:a+c=2b.
证明:∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根,故△=0,即
整理得
∴a-2b+c=0,
故有a+c=2b成立.
四、二次函数的图象和x轴的交点数与“△”相关
抛物线与x轴的交点数与一元二次方程的根的个数一致.
例4求证:抛物线与 x 轴总有两个交点.
证明:由方程得
∵无论k取何实数值
一元二次方程的根的判别式（一） 第2篇
2. 重点、难点分析
(1)本节的重点是会用判别式判定根的情况.一元二次方程的根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也可以利用它进一步学习函数的有关内容，所以，它是本节课的重点.
(2)本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导.教科书首先将一元二次方程用配方法变形为 .因为，所以方程右边的符号就由来确定，而方程左边的不可能是一个负数，因此，把分三种情况来讨论方程根的情况.推导过程中利用了分类的思想方法，对于分类讨论学生感觉到较难，老师应该讲明分类的基本思想。
3. 教法建议：
(1)引入要自然、合理
新课引入前，作一个铺垫：前面我们讲了一元二次方程的解法，我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后，就可以解任何一个一元二次方程，但是，存在这样一个问题，并不是所有的一元二次方程都有解，我们可以通过把解求出来，来解方程，也可以通过判定方程无解，来解方程，这样我们就面临着一个问题，什么时候方程有解?什么时候方程无解?我们不解方程能不能判定根的情况?那就是我们本节所要研究的问题.让学生首先感觉到所要学习的知识并不突然，也显露了本节课的重点.
(2)利用多媒体进行教学
本节是根的判别式结论的推导，比较抽象，为了便于学生理解，使用所提供的动画，有助于学生对所讲内容的理解，调动学生主动思维的积极性，活跃课堂气氛，提高学习效率.
(3)本节在推导根的判别式的结论时，利用了分类的思想，对于学生这是一个难点，一定给学生讲清楚分类的依据，分类的基本思想，使学生对所得结论深信不疑.
一、教学目标
1. 理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况;
2. 通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力;
3.通过根的情况的研究过程，让学生深刻体会转化和分类的思想方法.
二、重点·难点及解决办法
1.教学重点：会用判别式判定根的情况。
2.教学难点：一元二次方程根的三种情况的推导.
3.解决办法：(1)求判别式时，应先将方程化为一般形式，确定a、b、c。(2)利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况(共四种);方程有两个实数根，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根。
三、教学步骤
(一)教学过程
1.复习提问
(1)平方根的性质是什么?
(2)解下列方程：① ;② ;③ 。
问题(1)为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题(2)通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。
2.任何一个一元二次方程 用配方法将其变形为 ，因此对于被开方数 来说，只需研究 为如下几种情况的方程的根。
(1)当 时，方程有两个不相等的实数根。
即
(2)当 时，方程有两个相等的实数根，即 。
(3)当 时，方程没有实数根。
教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况?
答： 。
3.①定义：把 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用符号“ ”表示。
②一元二次方程 。
当 时，有两个不相等的实数根;
当 时，有两个相等的实数根;
当 时，没有实数根。
反之亦然。
注意以下几个问题：
(1) 这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。
(2)当 ，说“方程 没有实数根”比较好。有时，也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根的意思。
4.例题讲解
例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1) ;(2) ;(3) 。
解：(1)
∴原方程有两个不相等的实数根。
(2)原方程可变形为
。
，
∴原方程有两个相等的实数根。
根的判别式 第3篇
二次三项式ax2+ bx + c (a≠0) 在初中数学中出现的频率相当高, 因为它与一元二次方程ax2+ bx + c = 0 (a≠0) 以及二次函数y = ax2+ bx + c有着千丝万缕的联系 , 从代数式→方程→函数, 它是贯穿整个初中代数的一条主线.而对于二次三项式ax2+ bx + c (a≠0) 的因式分解是我们在处理相关的方程和函数问题的过程中常用的方法和手段.
如何对一般的二次三项式ax2+ bx + c (a≠0) 进行因式分解呢?二次三项式ax2+ bx + c (a≠0) 的因式分解与一元二次方程ax2+ bx + c = 0 (a≠0) 的根有着怎样的联系呢 ? 下面我们结合具体的例子来分析.
对于一元二次方程ax2+ bx + c = 0 (a≠0) , 利用根的判别式 (Δ = b2- 4ac) 可以判断方程的根的情况 .一元二次方程的根与判别式有如下关系:①当Δ > 0时, 方程有两个不相等的实数根;②当Δ = 0时, 方程有两个相等的实数根;③当Δ <0时 , 方程无实数根.上述结论反过来也成立.
一、Δ > 0
从例1的因式分解和相应方程的求解可以看到:2x2- 6x + 4可以分解为2 (x - x1) (x - x2) , 而x1和x2就是其所对应的一元二次方程2x2- 6x + 4 = 0的两个不相等的实数解.因此 , 二次三项式ax2+ bx + c (a≠0) 的因式分解 , 可利用求一元二次方程ax2+ bx + c = 0 (a≠0) 的根来进行.
若b2- 4ac > 0, 设一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 的两根为x1, x2, 那么由根与系数关系可知x1+ x2= -b/a, x1x2=c/a, ∴ax2+ bx + c = a (x2+b/ax +c/a) = a [x2 - (x1 + x2) x +x1x2] = a (x - x1) (x - x2) .
这就是说, 在Δ > 0时, 二次三项式ax2+ bx + c一定可以因式分解, 分解二次三项式ax2+ bx + c的因式时 , 可先求出方程ax2+ bx + c = 0的两根x1, x2, 然后写成ax2+ bx + c = a (x -x1) (x - x2) 即可. 由于Δ > 0, x1与x2不相等, 因此分解为两个不同的一次因式的乘积.
例2把4x2 + 8x - 1分解因式.
解∵方程4x2 + 8x - 1 = 0的根是
二、Δ = 0
从例4的因式分解和相应方程的求解可以看到:x2- 4x +4可以分解为 (x - m) 2, 而m就是其所对应的一元二次方程x2- 4x + 4 = 0的两个相等的解 .这就是说 , 在Δ = 0时 , 二次三项式ax2+ bx + c一定可以因式分解 , 我们仍然可以采用上述的方法, 即在分解二次三项式ax2+ bx + c的因式时 , 可先求出方程ax2+ bx + c = 0的两根x1= x2= m, 然后写成ax2 +bx + c = a (x - m) 2即可.由Δ = 0于, x1与x2相等, 因此分解为两个相同的一次因式的乘积, 即完全平方形式, 就是我们在课堂教学中常说的利用完全平方公式因式分解.
三、Δ < 0
根的判别式 第4篇
本学期第三周天荣中学的数学老师来我们学校进行课堂教学的交流，很荣幸地是，在这次交流活动中我上了题为《九年级数学——一元二次方程根的判别式》的公开课供大家一起交流探讨。在这次交流探讨中我获益良多，对如何更好地开展本课的有效教学有了更多的体会和认识。
一、课后的总结与思考：
“一堂成功的数学课，往往给人以自然，和谐，舒服的享受。每一位教师在教材处理，教学方法，学法指导等诸方面都有自己的独特设计，在教学过程会出现闪光点。”，这是我在一本数学杂志上看到的一段话，我很赞同作者的观点，一堂成功的数学课，往往给教师自己本身和听课的学生以自然，和谐，舒服的享受。
学生是课堂教学实施之本，课堂实施是否成功还要看课堂教学是否让不同的学生得到不同的发展。因此，在准备本课的教学时我充分考虑了任教班级学生的特点。本课任教的班级是初三（8）班，这是一个平行班，在年级的平行班中处于中等水平，学生原有的数学底子较为薄弱，学生课后的学习习惯差，但是在课堂上，有老师的督促，大部分学生在课堂上还是较为自觉地学习数学。
针对班级的实际情况，我决定在本课教学实施的过程中没有采取小组讨论的问题讨论模式开展本课的课堂教学，而是比较传统地，让学生先练后讲再练这样的讲练结合的模式开展教学。
1、为了让学生能自主地体会“方程的解与什么有关系？”，让学生能把新知识当旧知识来理解，在学习新知前，先让学生解方程，通过练习来复习用公式法解方程，并把结果填写在预先设计的表格，通过表格直观自然地体会方程的解与b?4ac的值有关。从而很自然地进入本课所研究的重点内容。
附录一：
（一）解方程并讨论方程的解与什么有关系？
（1）、用公式法解：
1）x?3x?1?0
2）4x?4x?1?0
3）x?x?1?0
（2）、根据上述结果填写下表：
思考：从上述解题中你发现什么规律？方程是否有根与什么有关系？
2、师生共同小结本课学习的知识要点：
（1）b2?4ac叫做一元二次方程ax2?bx?c?0根的判别式，通常用“△” 表示；
（2）一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根的情况：
3、师提出问题，学习根的判别式对于我们有什么作用？借助根的判别式又可以帮我们解决一些什么样的数学问题？
（1）利用根的判别式可以使我们“不解方程也能判别方程的根的情况”；
例
1、不解方程，判别方程2x?4x?35?0的根的情况
（2）利用根的判别式求出一些方程中待定系数的取值范围。
例
2、已知关于x的方程3x?2kx?k?3k?0，当k取什么值时方程有两个相等的实数根？
4、让同学们根据本课所学的内容进行有关的分层练习，让不同层次的学生完成不同层次的练习。
5、小结本课所学内容和讲评纠正一些练习中出现的问题。
整节课的实施过程很顺利，学生对本课的知识掌握程度不错，因为作为一个处于年级中下水平的平行班来说，大部分同学能较好地完成练习的B组题，有些同学还能做C组题，那说明同学们对本课的知识掌握还很不错，能很好地达到本课的教学目的。
在教学过程中，每节课总会有这有那的一些不尽人意的地方，本课也是一样，尽管本节课学生完成习题的情况看，都很尽人意，还有点意外的是，竟然那么多学生能完成B组题，如果C组题不是学生理解题意存在较大的问题外，部分的优生还能完成一道C组题。情况看起来真是形势大好，但是换个角度想，本节课我这样安排是否太低估了学生的能力？我是否对新知的探索部分有太多的包办代替了，我应该更大胆地让学生自主去探索去归纳问题呢？当我在后期的迅堂批改中就感觉到的。而很幸运的，在后来的交流和探讨中，果真有老师给我提出了同样的建议。那样就更肯定了我的想法。
二、课后的交流和探索。
听课教师A：觉得本课的课堂流程过度很顺利，学生不象是年级中下的水平，无论是上课听课的情况还是做题的情况来看，学生对本课的知识掌握得不错。
听课教师B：也有同样的感觉，学生能按老师例题的格式去做，做题的书写等都不错，但是如果换成是我的话，我可能会先让学生先尝试做了分层练习，体会根的判别式的作用，才与学生一起归纳根的判别式的作用。不知大家觉得如何？
我的回应：其实，在准备这节课时，我也是希望在引入新课前，让学生自主用公式法解方程、填表后，再通过小组讨论：“从上述解题中你发现什么规律？方程是否有根与什么有关系？”；然后在进行对“根的判别式的作用”中，也是让学生先练，再小组讨论，共同归纳结果，在纠正学生解题过程中的一些不足。但是又担心，这个班的学生原来没有很多地训练小组讨论，然后好象学生的能力也不怎样，给他们讨论不知道能不能讨论得起来，于是后来就保守点，还是想先老师说，学生在模仿做，这样稳妥点。但不过真的，我在本课实施的后期也发现我真的是太低估学生的能力了，大部分学生能把中档的题目做完、做好，那说明本课的知识，学生不难理解。无论是从学生的能力看，还有就是课堂时间的安排下，都允许学生能进行充分地讨论。
听课教师C：没错，我也赞同这样的处理，如果本课的知识点，知识的应用都是由学生自己探索、体会、总结出来，必定让学生对这节课的知识掌握得更好。还有，对于平行班的学生来说，自己能这样学习数学问题，学习的自信心一定会得到很大的加强。
三、反思自己的教学是否真正达到了教学目标。
课上完了，交流探讨也告一段落，我对本课的教学有做了进一步的反思，反思自己的教学是否真的达到了教学目标。新的课程标准明确指出，我们要让学生学习有用的数学，让不同的学生在数学上得到了不同的发展。因此我觉得，本课的教学目的不仅仅是完成了本课的教学任务，学生掌握了教学内容没有，还要关注学生是否在本节数学上得到了不同的发展。
回响本课的教学，我还是过多地注重地要求每一位学生都应该掌握哪些知识，尽管在分层练习中设计了不同层次的题目，让优生做有难度的题目，让他们多多思考，提高思含量。对于学习有困难的学生，降低学习要求，努力达到基本要求。但是在课堂内容的呈现过程和内容探索过程中没有注重学生间的交流。其实学生才是学生最好的老师，在他们的交流中，可以硬性要求，先让小组中学习最薄弱的同学发言，再到能力较强的同学发言，这样，即可以使薄弱的同学有一种压力，一定要多思多想。还可以通过组间交流，完善自己的想法。
还有，学生的潜力是无穷的，看老师怎么发掘而已，不要太主观地一味过高或过低地估计学生，给学生一个机会，学生会还我们一个奇迹。
四、本棵教学的重新实施情况。
经过对本课的反思，我又在另外的一个水平相当的班级进行实验，就是:
1、让学生自主用公式法解方程、填表后，再通过小组讨论：“从上述解题中你发现什么规律？方程是否有根与什么有关系？”；
2、然后在进行对“根的判别式的作用”中，也是让学生先练，再小组讨论，共同归纳 “根的判别式的作用”；
3、纠正学生解题过程中的一些不足。
学生发言活跃，做题的情况是，大部分完成B组的两道题，学生的答题书写不是很规范，但是从学生最后的自我归纳：“本课你学习的什么内容，有什么收获？”的回答中发现，学生对根的判别式的理解清晰，对它的作用也很清晰。而对解答过程书写不是很规范的问题完全可以在后续的练习课中得到纠正和完善。
苏霍姆林斯基在给《教师的建议》里说：“任何时候都不会给孩子不及格的分数，扼杀孩子的学习机会”，其用意是希望教师任何时候都要保护学生的自尊心，给学生予以学习的机会和希望。
什么样的教法才能真正能完成教学目标呢？
《数学课程标准》明确了义务教育阶段数学课程的总目标，提出从知识与技能，数学思考，解决问题，情感与态度等四个方面来进一步对每节课进行要求。
教师应给了足够的思考空间给学生，通过验证进而概括，使学生体验到成功的喜悦，使学生全身心的投入到学习活动中。教师应该帮助学生理解和掌握知识，培养了学生学习数学的兴趣使学生获得了真正的发展。
通过这次的活动和反思，我更觉得，人无完人，我们只有在教学工作中，多多反思，记录教育教学过程中的所得、所失、所感，为不断创新，不断地完善自己，为不断提高教育教学水平。
附：《一元二次方程的根的判别式》教学设计
一、教学目标目标
（一）知识教学点：
1.了解根的判别式的概念，2.能用判别式判别根的情况。
（二）能力训练点：
1.培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力。
2.进一步考察学生思维的全面性。
（三）德育渗透点：
1.通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神。
2.进一步渗透转化和分类的思想方法。
二、教学重点：会用判别式判定根的情况。
三、教学步骤：
篇二：《一元二次方程根的判别式》教学反思
1．成功之处
本节课的教学坚持从学生实际出发，以学生为主体，注重对新理念的贯彻和教学方法的使用；在突破难点时，多种方法并用，注意培养自学能力；坚持当堂训练，例题、练习的设计针对性强，重点突出，对方法的总结言简意赅；学生能够积极、主动的参与，充分经历了知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握了知识，形成了技能，发展了思维；教学效果很好！
2．不足之处
当然，每堂课总有不尽如人意的地方，比如在利用配方法推导公式上稍微多花了几分钟，探索部分我比较多的包办代替了，这点上考虑不足，且大部分学生对于字母的认识仍然不熟练，过多的在公式推导上花时间反而会把学生弄糊涂．与其利用公式来分析根的情况，不如直接利用几道方程来归纳可能更加直观．但是要通过方程根来归纳根与什么有关系，可能要列举相当多的方程，考虑到题量与课时有限的关系，所以本节课还是采用了比较抽象的方式进行归纳，但是这一缺点在进行习题演练时可以弥补．