分形控制范文

分形控制范文（精选7篇）

分形控制 第1篇

土资源的协调利用是在农业生产中发挥其功能的关键,当今中国,农业水利资源依旧紧张,存在大量的缺水灌溉区,由于水资源匮乏,无法充分满足人民生产生活的需求。据统计,中国的人均水资源量仅为世界平均水平28%,因此,需要研究水资源调度和优化配置模型,以提高水资源的利用率,同时在缺水灌区需要依照水利部制定的包括总量控制“三条红线”原则,对水资源合理利用,有效开发,提高水资源的优化配置性能,以满足缺水灌区的农业生产和人民生活需要。与此同时,研究相应的缺水灌区水资源控制和优化配置模型设计成为当今水利水土学科研究的热点话题[1]。

在缺水灌区,地下水资源有一种可值得充分开发和利用的水资源,世界上很多发达国家对缺水灌区的地下水资源的研究和应用形成较为完善的体系,地下水资源利用形成产业化和技术标准化,我国对地下水资源的利用控制研究起步较晚,特别是由于大量农村生产基地缺水现象严峻,规模扩大,地下水的开发和处理设施发展滞后[2],没有利用好抵消水资源解决缺水灌区的水资源短缺问题,反而产生了大规模的洪涝灾害,给人民群众生命财产带来巨大损失,因此需要研究一种更有效的缺水灌溉区地下水控制和配置方案,缓解水资源匮乏的压力[3]。

传统方法使用概率分析的方法建立地下水资源的黏粒分形控制模型,没能有效解决日地下水渗透量和径流量及其与土体体积黏粒含水率统计特征量之间的量化关系,建模效果不佳,影响水资源优化配置[4]。提出采用水力效率分析的缺水灌溉渠地下水黏粒分形控制模型,针对此问题,本文提出一种基于水力效率分析的缺水灌溉区地下水黏粒分形控制,通过分析黏粒含量是隐性土-水特征曲线的重要指标,实现黏粒分析控制优化地下水优化配置方案,缓解缺水灌溉区的水资源紧张压力,仿真实验验证了算法的优越性能。

1 缺水灌区地下水循环特性水力效率分析与配置模式

1.1 地下水补给循环特性与排泄灌溉模型构建

地下水补给的过程是增加地下水储量,补给方式主要有大气降水渗入、河流、湖泊渗透、水渠渗漏、回渗等几种方式[5]。

(1)大气降水渗入补给

大气降水渗入补给是地下水补给的主要形式,通过降水,地表渗入地下,形成对于地下水的补给,此方式主要是对于浅层地下水的补给。

(2)河流的侧渗补给

河流由于长年水含量充足,通过渗透的方法,可以不断增加地下水含量,形成对于地下水的补给,主要集中在对于浅层地下水和中深层地下水的补给。

(3)水渠渗漏

灌溉时,水渠渗漏的水会渗入地下,补给地下水,主要是对于浅层地下水的补给。

(5)地下水的侧向径流补给

地下水在地下流淌,在这个过程中,通过侧向径流补给,对于地下水形成补给。

(6)水面工程蓄水渗漏补给

其他方式的地面蓄水会在局部地带形成水资源富态,通过下渗的方法,对局部地带的地下水资源形成补给[6,7,8]。

在缺水灌区,浅层地下水位的变化与地下水上面的地形变化相吻合,浅层地下水的整体流向与整体地形坡降基本一致,即地势一般从高到低,相应于地下水也是从高地流向地底。本文需要分析地下水补给循环特性下的水资源补充和排泄模型,得到地下水排泄方式主有开采排泄、蒸发排泄和侧向径流排泄等几种方式:

(1)开采排泄:开采排泄主要是人工开采,井抽水的方法对地下水进行取水,通过抽取地下水,地下水资源储量和分布会随之发生相应变化。

(2)蒸发排泄:在温度较高时,地表中的水含量会通过蒸发方式流向空气中,而此时,地下水通过渗透的方法补给地表水分,形成稳定的水循环。

(3)河流排泄:主要是在丰水期,地下水会通过测渗方法向周围的河流中排水。

综上分析,得到利用地下水进行农业灌溉的水利循环和排泄模型构建如图1所示。

基于上述原则,构建地下水灌溉分形控制总体模型渗漏与径流的关系结构进行建模分析,得到地下水的侧向径流补给概率密度分布函数为:

上式从统计学上表示为一种模型预测概率,mi表示通过侧向径流补给时间,Pij表示水渠渗漏实测数据估计,通过计算k时刻的模型mj( j = 1,2,···m) mj∈M的似然函数,得到:

灌溉区的浅层地下水的整体流向控制总体模型W ,采用高斯分布密度的积分得到局部地带的地下水容积点和权值向量为:

其中Pi(i = 1,......,n) 表示地下水容积点序列中每种符号出现的概率,uk∈Mnu表示区域流域中地表出境量的地下水开采排泄系数,已知的确定性控制输入向量为:

通过对通过侧向径流补给,计算抵消谁的黏粒控制歇性特征,进行随机变量指数分解,得到实施地下水排泄的单位容积特征系数为:

上式中,wi地下水拦截容量,单位为m3,优越浅层地下水的整体流向与整体地形坡降基本一致,得到地下水资源储折减函数

上式中,TH为次地下水径流量分布阈值,通过阈值设置控制地下水利用分布的动态平衡。由此实现了地下水补给循环和排泄灌溉模型,当系统非线性时,fk和hk至少有一个为非线性映射;设置 {wk}和 {vk}分别排泄统计模型预测误差和干扰向量,其一般具有正态分布性,但是其均值和协方差阵通常难以确定,根据逐日来水量的随机动态时延分布特性,得到 {wk}和{vk}时变且互不相关,得到{wk}和{vk}的相关特征估计模型为:

以统计出地下水收集量和出境径流量,得到地下水利用控制总体模型参数设计,为下一步进行缺水灌溉区的地下水黏粒分形控制算法设计奠定模型基础。

1.2 缺水灌区地下水水力效率分析配置模型设计

在上述分析得到地下水灌溉循环模型的基础上,本文采用Sierpinski地毯和Menger海绵分形模型,分析缺水灌区的水利效率分析模型和水资源配置方式[9,10,11,12,13,14],为进行缺水灌区的地下水黏粒分形控制模型构建提供基础模型。首先进行模型推导设计,给出,在地下水模型中,土体中黏粒含量反映土体吸附能力,土体颗粒比表面积越大,则土体吸附性越强,可形成一种基于黏粒含量的土-水特征曲线的,根据参考文献[2]中的地下水控制模型,得到Sierpinski地毯和Menger海绵分形模型设计方案,模型结构如图2所示,以图2中的模型为依据,可推导出水力效率与黏粒含量的颗粒粒径分布密度函数关系,为:

上式中,σ1,σ2分别表示高斯标准差,也被称为高斯函数的尺度,G(x,y,σ1)和G(x,y,σ2)土体质量分维数和颗粒粒径。

通过分析缺水灌区的地下水实际渗透特性的模型映射对于映射因子的取值,可以控制映射区域,映射区域定义为:

其中:μ—模型映射常系数;

Kx,Kz—不同模型映射维度的分量参数;

p—映射模型固定分量。

在Menger海绵分形模型中,假设颗粒的体积形状因子恒定,在映射区域内,实现地下水渗透模型分析系统表达式为:

地下水渗透特性达到平衡的地下水水力效率分析方程为:

其中:σ—平衡方程常数因子;

Kn—模型映射偏导运算的加权系数;

Γ2—模型映射的结果区域。

也就是当上式成立时,地下水达到平衡,通过上述分析,得到了缺水灌区地下水水力效率分析配置模型设计,此时地下水黏粒质量M可认为是粒径区间0~R的颗粒总质量,以此为基础,采用水力效率分析方法,提高缺水灌区的地下水配置和利用效率。

2 优化配置模型设计与地下水黏粒分析控制实现

2.1 基于水力效率分析的优化配置模型

以上述构建的缺水灌区地下水水力效率分析配置模型设计和缺水灌区地下水利用控制规划的基本原则为指导,构建基于水力效率分析的优化配置模型,模型建立的基本思路框图如图3所示。

上述总体模型参数设计的基础上,建立模型基本方程,结合缺水灌区地下水利用的宏观规划条件和模型结构,采用数值模拟法计算地下水的黏粒分形控制模型和系统参数,基于地下水土的颗粒质量分维数与黏粒含量之间的关系计算,解决了缺水灌区地下水利用工程设计中的一些关键技术问题,设计模型基本方程描述如下:

首先根据地下水孔隙-土体-分形集统计,得到特征、体积含水率与径流的关系结构,得到非饱和土的基质吸力概率密度分布函数为:

上式从统计学上表示为一种模型预测概率,mi表示地下水渗透间歇时间,Pij表示次降雨量实测数据估计,通过计算k时刻的模型mj( j = 1,2,···m) mj∈M的似然函数,得到:

假设给定地下水资源优化配置监测的水资源优化配置数据流向量:

其中,Ui为维数为d维的随机变量,水资源优化配置多散区交互牵引各个随机变量Ui之间是相互独立的。采用数值模拟法计算地下水利用系统参数,并进行地下水的黏粒分形控制容积计算,解决了地下水利用工程设计中的一些关键技术问题,地下水流量径流系数,得到如下离散化的地下水径流动态系统:

上式中,表示地下水出境量的降雨统计特征,在城市地下水利用控制系统中表示为k时刻的次降雨量。其中,自然降雨下,地下水的折减状态为nx维状态向量;表示区域流域中地表出境量的地下水拦截系数。通常情况下,地下水分布在层状砂土中,,层状砂土的组成主要为粘土、砾砂、淤泥质土夹层、圆砾和卵石组成。其物理力学指标包括:天然含水量ω =38.9% ,塑性指数Ip= 15 ,塑限Wp=22% ,渗透系数Kw= 1.31×10-3cm/s,稳定水位在面下8.5 m左右,基础埋置深度为10.50 m。已知的确定性控制输入向量为:

通过对城市降雨间歇性特征进行随机变量指数分解,得到实施地下水拦截后的单位容积特征系数为:

上式中,wi地下水拦截容量,单位为m3,其中城市日地下水折减系数为:

上式中,TH为次降雨径流量分布阈值,通过阈值设置控制地下水利用分布的动态平衡。

当系统非线性时,fk和hk至少有一个为非线性映射;设置{wk}和{vk}分别降雨统计模型预测误差和干扰向量,其一般具有正态分布性,但是其均值和协方差阵通常难以确定,根据逐日来水量的随机动态时延分布特性,得到 {wk}和 {vk}时变且互不相关,得到 {wk}和 {vk}的相关特征估计模型为:

式中,δkj为Kronecker- δ函数,通过上述处理,可以统计出地下水收集量和出境径流量,得到城市地下水利用控制总体模型参数设计。

通过上述设计,得出影响缺水灌区地下水蓄水功能的损耗因子,指导地下水消耗处理和储蓄,进而得到基于水力效率分析的优化配置模型,提高地下水的水力效率,优化水资源配置。

2.2 改进的地下水黏粒分形控制算法

传统方法使用概率分析的方法建立地下水资源的黏粒分形控制模型,没能有效解决日地下水渗透量和径流量及其与土体体积黏粒含水率统计特征量之间的量化关系,建模效果不佳的问题,本文基于水力效率分析,得到改进的地下水黏粒分析控制,模型,采用概率分析方法,计算土体颗粒质量分维数,得到:

式中,SQk - 1,表示地下水灌溉的黏粒含量,通过线性拟合分析方法得到蓄水功能的损耗估计nk|k - 1和预测方差的平方根Snk|k - 1,分形控制模型为:

上式中Tria表示Tria函数,实现对降雨间歇时间的概率密度函数(PDF)统计,为缺水灌区地下水的土壤入渗量,为缺水灌区地下水的蒸发损耗。综上所分析,得到了改进的地下水黏粒分析控制模型实现计算式,本文采用基于水力效率分析方法,得到缺水灌溉渠的地下水黏粒分形控制,提高地下水资源的配置效率和利用率。

3 系统设计与实现

在上述设计的采用水力效率分析的缺水灌溉区地下水黏粒分形控制算法设计的基础上,进行硬件系统设计,实现对灌溉区的地下水控制和监控,本文应用微粒群优化技术和GPRS远程传输技术,设计并实现了较大区域灌溉区地下水流的监控和控制系统。结果表明,本系统性能卓越,稳定可靠。

3.1 缺水灌溉区地下水控制系统构成

缺水灌溉区地下水流向监控系统由电源供电模块、参数测量模块、数据采集模块、串口转换模块、远程通信模模块、网络传输模块、远程控制模块组成。系统的结构如图4所示。

本文选取了基于Zigbee远程网络协议组成的网络节点 ,协议的支 持芯片采用了 工作在物理 频率为2.4GHZ的CC2430芯片。这种芯片可以对网络节点的路由信息交换进行管理,本文在测量数据的过程中选取了表面位移、土压力、倾角、液位测量等环境。水土流失检测系统中最为重要的性能就是网络的覆盖,因为任何的测试盲区都存在地下水流失的危险。监测系统中的测试环境中的数据,数据在远程GPRS网络中通过Zigbee协议进行管理,数据通过GPRS远程通信网络与远程控制中心进行信息互换,以达到缺水灌溉区地下水流向的实时控制功能,同时采用了四种环境变量对水土流失进行实时监测。这四种参数测量设备分别是表面位移计BGK4420、裂缝测量计、土压力计BGK4800,液位测量计BJ216。表面位移计是用来测试表面位移的,裂缝测量设备使用我国某公司生产的LE-60-OEM型,裂缝测量计用于测量岩石等物质的伸缩缝合度,土压力计测量的是堤坝中的岩体压力。

缺水灌溉区的地下水数据采集之后,要通过GPRS传输模块,把数据传到远程控制中心,在数据传输过程中,本系统所用的网络协议是基于CC2430实现的,对于GPRS远程传输模块,本文使用的GPRS远程模块是JWOD2-DTU GPRS DTU/RTU可以提供各种数据接口,这种模块包括完整的TCP/IP协议栈,具有稳定可靠功能强大的优点,可以实现点对点、中心对多点、多点对中心的各种数据传输方式。数据由远程控制中心接收后,接下来要进行数据分析,以确定地下水分流状况。基于上述算法设计,进行软件设计,将给出远程控制中心分析平台的算法实现过程

3.2 地下水分形控制系统的软件实现关键技术

通过上述总体模型设计,要实现对缺水灌溉区地下水黏粒分形控制,对系统的软件部分进行嵌入式设计。采用粒子群算法进行系统控制模型设计,实现对地下水采集数据的准确分析。

对采集数据分析的核心算法是粒子群算法,粒子群算法(PSO)一种近些年发展迅猛的优化算法,该算法是模拟自然界中群体性鸟类觅食的一种迭代优化方法。假设粒子群的节点搜索位置空间的维度为D维,在本文的仿真中使用二维的坐标平面来进行位置优化,初始化选取m个粒子构成的粒子群,假设空间中第i个粒子的空间位置即数据所处的参数测量设备节点位置空间可以表示为;第i个粒子空间更新的速度示为;第i个粒子的历史最优位置为;粒子群的 最优位置 为,粒子可以根据如下的公式进行速度与位置的更新。要对水资源优化配置数据信息进行建模,分析水资源配置节度性。在对水资源优化配置进行建模阶段,根据能量等效的原则,得到可靠度分析模型为:

用S表示水资源优化配置散点G1、G2间的相似度,其值在0和1之间变化,当G1和G2没有相似性时S = 0 ,完全相似时S = 1。在水资源优化配置相似度的计算中我们首先计算水资源优化配置散点G1、G2水资源优化配置散点结点相似度SC。由此得到运用粒子群算法对较大缺水灌溉区域地下水分形控制数据进行优化的步骤如下:

(1) 初始化种群,对采集得到的节点地下水分形控制报警信息进行编码处理。

(2) 测试(collapse)初始化的地下水分形控制报警节点个体,得到确定的各个可以发生地下水分形控制报警的解。

(3) 对各确定的水土流水节点解进行适应度评估;

(4) 记录最优的地下水分形控制报警解和对应的适应度;

(5) 判断较大区域地下水分形控制参数是否为最优解,若满足最优解则退出,否则继续计算;

(6) 对不满足最优解的值,继续对种群实施测量,得到确定的各个解;

(7) 对各较大区域地下水分形控制确定解进行适应度评估;

(8) 将迭代次数t加1,返回步骤(5);

根据采集的较大区域地下水分形控制数据包括表面位移值、土压力值、岩石倾角数据、液压数据等采集数据后与使用SQL数据抽取技术获得的历史的地下水分形控制数据进行对比,运用以上方法进行优化,可以准确的找出报警的阈值。通过上述系统模型设计,最终实现了本文提出的基于水力效率分析的缺水灌溉区地下水黏粒分形控制算法和模型。最后通过实验进行性能验证。

4 模型应用试验与结果分析

为测试本文的控制模型的性能,进行实测应用试验,试验场地位于河南省北部的幸福灌区,和漳南灌区的子灌区,该灌溉区常年干旱少雨,全年无霜期200 d左右,多年平均蒸发量为1920 mm,而灌溉面积高达27万亩,因此水资源较为紧张。地下水的分布参数测定:为天然含水量ω =38.9%,塑性指数Ip= 15 ,塑限Wp=22%,渗透系数Kw= 1.31×10-3cm/s,稳定水位在面下8.5 m。地下水渗透的孔隙颗粒流离散元计算模型如图5所示。

地下水控制测试中,场地具有代表性的区域选择5个25m×25m的层状地下水分布试验区,各试验区2 m、4 m、6 m、8 m深处均埋设1个孔隙水压力计,在测试位置,在此位置使用本文提出的基于水力效率分析的缺水灌溉区地下水黏粒分形控制模型,结合设计控制系统,实现地下水资源的优化配置和灌溉,具有实践意义。给出测试地点灌溉区在不同季节的地下水分布状况见表2。

从表2分布可以看出,丰水期和枯水期,不论是对于各种地貌特征下的地下水,地下水分布的整体趋势表现为丰水期明显多于枯水期。缺水灌区不同地势节点12个月份的地下水分布见表3。

采用本文设计的控制系统,得到缺水灌区不同地势节点12个月份的地下水分布和水流监控流向如图6所示,

地下水流向控制区域分析图如图7所示,通过上述系统测试结果,可知:

(1) 采用本文控制模型,对山体的地下水有效控制面积达到了10公里,在改区域内,较大区域水土流失监控系统信号保证了有效的连通。这说明较大区域水土流失监控系统保证了较好的通信特性。

(2) 较大区域的缺水灌溉区地下水径流监控系统信号延迟不大,在控制范围内的信号报警延迟不超过0.5s。很好的满足了实时性的要求。

进一步,得到不同地貌12个月份的地下水分布图如图8所示。

从图8可以看出,不同地貌特征下,12个月份的差异也较大,整体表现为春秋两季较多,而冬夏两季较少。基于上述实验数据分布情况,采用本文模型,进行缺水灌区的水力效率分析下的地下水黏粒分析控制,仿真得到黏粒分形控制的结果如图9所示,从图9可见,采用本文方法,能有效使土体黏粒得到合理准确的聚类,提高土体的黏粒含量。从而提高地下水的渗透控制精度。

最后采用本文算法模型,构建缺水灌区地下水利用控制模型,得到缺水灌区地下水利用量和规划径流系数、黏粒折减重要性密度函数,有效解决日地下水渗透量和径流量及其与土体体积黏粒含水率统计特征量之间的量化关系,具体的仿真结果如图10所示。从图10分析可见,采用本模型设计,能有效跟踪缺水灌区地下水各项系数特征关系,实现精确控制,提高了对缺水灌区的水资源配置精度和效率。

6 结论

分形音乐的特征与生成 第2篇

分形音乐是高科技时代赋予音乐研究的一个崭新的内容, 引起了人们极大的兴趣和广泛的关注。K.J.H s u和A.J.H s u t[1]认为音乐中存在分形几何现象;姜万通[2]分析了《吐鲁番的葡萄熟了》中旋律的分形结构;项葵[3]揭示了不同时空、不同历史文化背景下古琴音乐的共同特征——分形性;刘永信等[4]运用多重分形理论, 证实了在音乐中存在着多重分形结构。以上研究均属于验证性的, 没有涉及音乐中分形的生成问题。本文基于分形与音乐的兼容性, 提出分别从节奏、音程、力度和音调等方面去寻找分形特征的思想, 并给出一种生成分形音乐的实用方法—基波改进法。

⒉分形与音乐的兼容性

1 9 6 7年, 曼德尔布罗特 (B.B.M a n d e l b r o t) , 在美国《科学》杂志上发表了一篇题为“英国的海岸线有多长”的划时代论文, 标志他的分形思想的萌芽。1 9 7 3年, 在法兰西学院讲课期间, 他提出了分形几何学的整体思想。1 9 7 7年, M a n d e l b r o t出版著作《分形:形态、偶然性和维》, 标志“分形理论”初步形成。什么是分形呢?Ma n d e lb ro t有一个定义:“分形是整体与局部具有某种意义下的自相似集合”。

如图, 具有无穷嵌套的自相似结构的S i e r p i n s k i三角形就是一个典型的例子。

应当指出, 对于分形至今还没有一个公认的、严格的数学定义。通常, 人们是根据其特征来认识分形的。分形的主要特征是:

⑴无标度性—在任意小的比例尺度内包含整体。

⑵自相似性—可能是近似的或统计的或自仿射的自相似。

⑶不规则性—不能用传统的几何语言来描述的不规则性。

⑷递归性—可以由非常简单的元素迭代生成。

⑸分维性—以某种方式定义的维数为分数。

人们常用的分形是自仿射分形, 即局部经过伸缩、平移或旋转后与整体相似的分形。此外, 随机分形, 即统计意义上的分形在分形音乐中也是常见的。由于分形至今还没有一个公认的、严格的数学定义, 因此这里的所谓分形音乐是指具有某种分形结构的音乐。

另一方面, 在音乐中人们关注的音乐性质是节奏、音程、力度和音调等, 变奏、反复、发展等则是常用的创作手法。如果人们在节奏、音程、力度和音调等方面对主题进行变奏、反复并加以发展, 就不难得到自仿射或随机意义上的音乐分形。由此我们看到了分形与音乐的兼容性。

⒊音乐中分形特征的分析

分形的基本特征是具有自相似结构, 而在音乐中, 节奏、音程、力度和音调等则是最基本的性质。因此, 分析音乐中的分形特征, 最基本的就是分别或综合地从节奏、音程、力度和音调等方面去寻找某种意义上的分形结构。这种分形结构可能是自仿射的或随机的自相似结构。

请看下面一段音乐:

第1部分 (1 6小节)

第1部分是所采用的音程的初始模式, 并且采用了最长的节奏模式。这一片段对于每个后继片段, 直到该段结束都作为和弦重复。

第2部分 (7, 1 2小节)

第2部分是迭代的开始。当曲调将扫描得到的数据转换成钢琴键盘上的音调, 从而用音乐的方式表现出M a n d e l b r o t集的结构, 取名为《倾听曼德勃罗集》, 极具音乐表现力。

基于上述思想, 我们在这里给出一原来节奏的时间变成一半时, 原来的片段作为和弦重复。为了保持其音乐性, 通过从前6个音符片段的第4个音符上开始, 以相同的音程模式改变第2段的音调, 且为了保持和弦下行音, 曲调上移八度。

第3部分 (1 3, 1 8小节) 种生成分形音乐的实用方法—基波改进法。该方法对于不熟悉程序设计的音乐工作者来说直观易懂、便于理解和掌握, 其步骤如下:

第3部分是节奏分形的最高点。

⑴根据主题选取基波模式 (例如拟正弦波模式) ;

⑵量化:在这一段之后, 由这一最高点以相反的顺序重复前两段。注意到这里保持了将乐曲片段分成两部分的规则, 在保持分形性质的同时保持了音乐性。

不难看出, 这段音乐主要是基于节奏分形以及轻微的音调迭代。节奏变化集中于一个6音符片段的加快与放慢, 而音调的轻微跳动对于不至于产生无休止的重复显然是必要的。

⒋分形音乐的生成方法

分形具有无穷嵌套的自相似结构。利用分形的这一基本特征和音乐理论, ⑴建构一些带有自相似小段的合成音乐;⑵使得主题在小调的多次反复循环中重复;⑶在节奏方面加上一些随机变化;⑷生成能逼真地模仿传统音乐的分形音乐。这样, 分形音乐就可以由一个算法经过多次迭代生成。

曾经有人在Mandelbrot集上扫描,

第1个1/8=+0

第2个1/8=+1

第3个1/8=+2

第4个1/8=+1

第5个1/8=+0

第6个1/8=-1

第7个1/8=-2

第8个1/8=-1

⑶反复迭代:

⑷音符替代

设中央C为+0 (不管陡峭的或平缓的) , 即可得到一段分形音乐。

目前已有一些分形音乐软件, 例如F ra c t a l T u n e S m it h y, F ra c t Mu s2 0 0 0, F ra c ta l Mu s i c C o m p o s e r等, 均可用于生成分形音乐。

参考文献

[1]K.J.Hsu*and A.J.Hsu, Fractal geometry of music, Proc.Nati.Acad.Sci.USA, Vol.87, pp.938-941, February1990Physics

[2]姜万通, 《吐鲁番的葡萄熟了》旋律“分形结构”分析, 乐府新声 (沈阳音乐学院学报) 2000年第3期

[3]项葵.古琴音乐中的分形几何, 艺术教育2006年第4期

线状地貌分形研究综述 第3篇

关键词：线状地貌,分形,分维

分形理论的形成和发展, 为地貌的定量描述与地貌演变的非线性研究开辟了新天地。海岸线、水系和山脉等线状地物具有明显的分形特征, 已经成为分形地貌 (fractal geomorphology) 研究的热点之一。许多学者利用分形理论对海岸线、河谷、水系、山脊线和洞穴等线状地貌进行了分形研究, 都取得了一定的进展。本文从线状地貌分维计算方法、线状地貌分维的地貌意义等方面总结了分形理论在线状地理事物研究中的一些研究成果, 还总结出需要在线状地貌分形研究中深入和完善的一些问题, 抛砖引玉, 以求同行批评指正。

1 分形理论的产生及定义

分形理论为美国数学家曼德尔布罗特 (Mandelbrot) 所创, 其主要用于研究具有自相似性, 不规则的分形几何图形问题。其所创立的“分维几何学” (fractal geometry) 开辟了一个崭新的研究领域[1]。现代分形的概念源于曼德尔布罗特 (1967) 在自然杂志上发表的论文“英国的海岸线有多长”[2], 其从中得到了分形具有自相似性的重要特性。经众多学者研究, 给分形下了如下定义:1) 具有精细结构;2) 不能用传统几何语言表述其不规则性;3) 具有统计上的自相似性;4) 一般来说豪斯道夫维数大于拓扑维数;5) 能由迭代产生;6) 其大小不能用通常的测度 (面积、长度等) 来度量[3]。

2 线状地貌分形分维的计算方法

2.1 线状地物分维的计算方法

2.1.1 量规法

量规法就是使用各种长度的尺子去测度同一线状地物, 其长度L (r) 是由尺子长度和用该尺子测量的次数N (r) 决定的, 如 (1) 式所示:

当应用的尺子长度r不同时, 被测地物的长度即会出现相应变化, 如果有:

成立, 则被测线体具有分形性质。 (2) 式中:L (r) 为被测线体的长度;r为用来量度的标度;A为待定系数;D为被测线体的分形维数。

对 (2) 式两边同时取以10为底的对数, 得到:

(3) 式中:C为待定系数;1-D为该式的斜率, 令其为k, 即分维D=1-k。

2.1.2 网格法

分形维数是通过标度ε与相应覆盖有被测线体的网格数目N (ε) 之间的关系来求的。当小正方形边长ε改变时, 被测物覆盖网格数即出现相应变化。如果有:

成立, 则说明被研究对象在一定标度域内具有分形结构特征。当其网格边长为ε1, ε2, ε3, …, εk时, 则覆盖有被测对象的网格数目为N (ε1) , N (ε2) , N (ε3) , …, N (εk) , 两边同时取以10为底的对数得:

(5) 式中, A为待定系数;D为被测物分维。

在基于Arc GIS9.3的平台上, 应用网格法对线状地物的分维值进行计算, 首先在某一标度下对获取的矢量数据进行栅格化, 得出其在不同的尺寸下所占的栅格数, 最后利用最小二乘法进行一元线性回归拟合计算, 求出其分维值。

2.2 不同方法得出的线状地貌分维值差异的原因分析

2.2.1 计算方法不同分维值有差异

对于线体分形维数的计算, 计算方法不同, 其结果就各有差异。例如量规法和网格法都可以用来计算线状地物的分维, 但是二者之间存在客观差异。以1:100000四川省地形图为图源, 以相同的测量标度, 分别用量规法和网格法对沱江中下游河谷形态进行分形分析, 量规法得出的分维值为1.206, 而用网格法得出的分维值为1.220。

用图1说明二者之间的差异。图1中, 应用量规法与网格法分别计算线体AB的分维, 在这两种方法下, 都以a点为起点, 以abcd这一正方形的网格的边长作为单位长度, 在网格法下得到的结果是1个网格;在应用量规法统计的情况下, 以a为圆心, 正方形网格的边长为半径画圆, 可以看出, 在这一网格范围内的线体数量是不一定等于1的, 因此, 量规法和网格法在线体的分维计算中存在客观差异。所以, 在进行线状地物分形研究过程中, 计算过程和计算结果不能混淆, 必须明确其中差异所在。

2.2.2 图源比例尺不同分维值有差异

对同一地区不同比例尺图源计算所得结果是有一定差异的。赵锐在1:250万图源上计算出长江水系分维值为1.3140, 朱晓华在1:1200万图源上计算出长江水系分维值为1.3292[4]。何钢[5]在1:450万中华人民共和国地形图和1:1200万陆地卫星影像中国地学分析图集图源上计算出中国水系的分维值分别是1.4594和1.4189。赵锐和朱晓华在不同的比例尺下计算的长江水系分维值是比例尺大的分维值小, 比例尺小的分维值更大;何钢计算的结果相反。朱晓华等[6]基于1:300万中国主要山脉水系资料图, 以及1:450万中华人民共和国地形图计算出长江和黄河的分维值分别为:1.0993, 1.1014和1.0852, 1.1108。长江的分维值在大比例尺下大于小比例尺的计算结果;黄河的分维值在大比例尺下小于小比例尺, 说明即使同一研究者运用不同图源计算分维的结果也存在客观差异。所以系统探讨图源比例尺问题是促进线状地貌分形研究深入的迫切任务之一。

3 线状地貌分维的地貌意义

分形思想来源于地貌学, 在地貌学中拥有无限的发展前景。目前就单个河湾及复杂河网形态具有分形特征已成共识[7,8]。虽缺乏统一理论解释, 但长期形成的共识是:河流力图使自己的流路趋于弯曲。何隆华等[9]应用水系分维D来为流域地貌的发育程度进行划分, 即:当D≤1.6时, 其处于幼年时期, 此阶段水系发育不充分, 河网稀疏, 地面还较完整, 河流下切侵蚀剧烈;当1.6

4 结论

分形理论和方法的优点在于它具有归纳形迹不规则性和变曲特性的潜力, 分维抓住了线状地貌复杂性的实质, 用分维对复杂线状地貌进行描叙远较用理想曲线进行逼近要合理得多。因此它为地貌形态特征的定量描述和地貌演变的非线形研究开辟了新的思路、理论和方法。研究认为, 线状地貌具有分形特征, 分维是反映线状地貌复杂程度的参考量, 能从中得出其综合性特征, 维数越大表示线状地貌越复杂。

线状地貌分形研究更是处于起步阶段, 目前大部分的工作还停留在发现结构的分形特征和对其进行分维量化描述阶段, 还有许多问题需要深入研究。在线状地貌分形研究方法、线状地貌分形机制、分维与线状地貌演变过程的关系、线状地貌分形模型等方面, 还需要做大量深入的研究。对这些问题不能仅从数学的角度去研究, 需要多学科的综合研究, 需要应用多种方法相结合的深入研究。

参考文献

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分形理论的发展研究概述 第4篇

1 分形理论发展简介

第一阶段, 1875-1925年。在这个阶段研究者已经认识到几类典型的分形集, 并且对此类集合与经典集合的差别进行了描述、分类。K.Weierstrass在1872年发展了一种处处连续但处处不可微的函数。同年, Cantor发展了现在cantor三分集。随后的1890年, Peano构造出了Peano曲线。1904年, H.Vonkoch构造了一种雪花状的科赫曲线, 封闭曲线的长度趋于无穷大, 但其所围成的面积却是一个定值, 其极限曲线虽处处连续, 却处处不可导。1913年, Perrin研究了布朗运动的轨迹图, 指出布朗运动作为运动曲线不具有导数。为了测量复杂的长度、面积等基本概念的集合, 1901年, Minkowski引入了闵可夫斯基容度。1919年, F·Hausdorff开始了奇异集合性质与量的研究, 并提出分数维的概念, 引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数, 这些实际上指出测量一个几何对象必须依赖测量方式及测量所采取的尺度。

第二阶段, 1926-1975年。这个阶段人们在分形集的性质、维数理论等研究方面都取得积极成果。1928年, Bouligand发现了布利干维数。1932年, Pontrjagin与Schnirelman发现了覆盖维数。1934年, Besicovitch深刻揭示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维, 产生了豪斯道夫一贝塞考维奇维数概念。1959年, Kolmogorov与V.Tikhomirov引入体维数。此时, 在法国以Salem与Kahane为代表的学派从稀薄集的研究切入, 对各种类型的康托尔集及稀薄集作了系统的研究, 使用了相应的理论方法和技巧, 并在调和分析理论中得到了重要应用。尽管此阶段的分形研究成果颇丰, 但绝大部分局限于纯数学理论的研究, 而没有与其它学科发生联系。在这种情况下, 分形理论进入其第三个发展阶段。

第三阶段, 1975年至今。此阶段是分形几何在各个领域的应用取得全面发展, 并形成独立学科的阶段。20世纪60年代以来, 曼德尔布罗特系统、创造性地研究了诸如海岸线的结构等典型几何性质的自然界分形现象, 取得了一系列成就。1967年他发表了著名的《英国的海岸线有多长》的论文, 在论文中首次阐明了关于分形的思想, 并于1973年在法国Academie Francaise讲学时指出客观世界中那些极不规则的构型可以用分形几何处理, 并于1975年提出“fractal”的概念, 其分形思想渐趋明朗, 随后出版的《分形:形、机遇与维数》、《自然界的分形几何》两本专著中, 他系统地阐述了分形几何的内容、思想、意义和方法, 他继承了利用测度理论来定义各种几何体的空间维数的思想, 并在此基础上将它发展为“分形几何”。这两部著作也成为分形几何作为一个独立的学科正式诞生的标志。如今, 分形理论的概念已扩展到了在结构、功能、信息、时间等具有自相似性质的广义分形, 远远超越最初所指的形态上具有自相似性质的几何对象的狭义分形, 同时分形理论与许多领域相结合, 产生了如分形物理学、分形生物学、分形结构地质学、分形经济学、分形人口学、计算机分形学、分形图像处理技术、分形噪音理论、分形函数论、分形艺术等新的理论、方法、技术和学科。

2 分型理论研究的意义

作为现代数学的一个重要分支, 分形理论本质上是一种新的世界观和方法论。它承认局部的结构、形态、功能、时间、能量、信息等性质可在一定条件和过程中表现出与整体的相似性, 同时该理论认为空间维数的变化既可以离散也可以连续, 这极大地拓展了数学研究的视野, 当前分形理论的研究主要分三种类型:第一, 基础研究。集中在分形维数的性质与估计、分形集的交与积、分形集的局部结构、随机分形理论等方面;第二, 实际应用研究。集中于其在生命科学、社会科学、化学、物理学、艺术、地震学等多个方面的应用研究;第三, 分形图形的生成方法研究。也正是因为分形理论与自组织理论、混沌理论密切相关, 并与混沌理论及孤立子理论被人们称为现代非线性科学的三大前沿。以至于, 美国物理学家J·A·Wheeler说“可以相信, 明天谁不熟悉分形, 谁就不能被认为是科学上的文化人。”虽然“分形”研究已经进入深入攻坚与广泛应用的阶段, 但是在分形定义和计算方面任然存在缺陷和分歧, 有待深入研究。

综上所述, 分形理论作为当代非线性研究三大前沿之一, 虽然其应用的工具性和系统系有待增强, 但其新颖的世界观和方法论在自然科学和社会科学研究领域发挥了非常重要的作用, 取得了非常有意义的结果。随着分形理论各项研究的进一步发展, 其必然在科学研究和社会实践过程中发挥更显著的作用。

摘要：分形理论与混沌论、孤子理论 (Fractal、Chaos、Soliton) 作为现今非线性三大前沿理论, 已经成为系统科学研究中一个非常活跃的领域。它所揭示的复杂系统的标度不变性、自相似性, 分维数等全新的系统特性和概念, 对现代科学和哲学都产生了深刻的影响。由于它能从更高的层次和新的角度把自然界、社会及思维领域中一系列复杂的关系有机地结合起来, 因此被迅速地应用于社会科学和自然科学的相关研究中, 取得了很有意义的结果。本文重点讨论了分形理论的产生和发展过程。

关键词：分形理论,分维数,综述

参考文献

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分形插值曲线的MATLAB实现 第5篇

分形几何是由Mandelbrot(1983)发展起来的一门新的数学分支,用来描述自然界不规则以及杂乱无章的现象和行为。自然界中存在的许多现象具有分形特征，如大脑皮层的褶皱、闪电的痕迹、雪花的形状、山峰的形状、植物的形状、晶体的结构等，这些分形特征现象的特点是局部与整体具有自相似的性质，或许是近似的，这些现象无法用传统Euclid几何进行描述与恢复重现。于是人们想到了用插值的方法拟合这些不规则的自然景观，由于它插值的对象是分形，故这种插值称作分形插值。分形插值函数与初等函数一样也具有其本身的几何特征，也能用数学公式来表示，能快速地被计算出来，它们之间的主要差别在于分形插值函数的分形特征，如它有非整的维数。利用MATLAB极强的矩阵运算、图形绘制、数据处理功能，可以实现离散数据点的分形插值拟合。

1 分形插值原理

分形插值函数是由一类特殊的迭代函数系统(Iterated Function System IFS)产生的,基于迭代函数系统的分形插值是利用数据点构成分形插值函数,把要生成的图形作为压缩映射的不变。

1.1 数据集

一个数据集合是形如{(xi,yi)∈R2,i=0,1,2,…N}的点集，其中x0

1.2 构造IFS

设插值区间I=[x0,xN]，两点区间Ii=[xj-1,xj]，令变换Lj为Lj:I→Ij,j=0,1,2,…N,这里是压缩的，其中Lj(x0)=xj-1,Lj(xN)=xj。变换Fj为Fj:K奂I×R→[a,b]，a,b连续，其中Fj(x0,y0)=yj-1,Fj(xN,yN)=yj。

定义仿射变换Wj(x,y)=(Lj(x),Fj(x,y))，j=1,2……N,可以证明这个IFS具有唯一的吸引子G,G是连续函数:f:I→[a,b]的图像,满足f(xi)=yi,i=0,1,2……N。

考虑IFS{R2:wn,n=1,2……N}，其中wn是具有如下形式的仿射变换:

式(1)相当于四个方程有五个参数，因此有一个是自由参数Dn,Dn又称为垂直比例因子，Dn要求小于1，否则，该IFS不收敛。

2 分形插值曲线MATLAB算法的实现

分形插值曲线生成的算法步骤如下:

(1)初始化

a)输入插值点(xi,yi)，其中i=0,1,2……N，共N+1个点;

b)随机产生自由参数dn(n=1,2……N)，共N个值，用矩阵表示为d=rand(1,N);

c)确定迭代次数L(L≥1),迭代变量用m表示，令m=1;n表示仿射变换wn的下标序号，初始时n=1;

d)任意输入初始点，x在区间[x0,xN]之间;

e)用矩阵表示仿射变换wn产生的数据集，初始时为空集，即XY=[];

(2)根据式(3)计算参数an、cn、en、fn;

(3)根据(1)计算仿射变换产生的数据集，令

如果n≤N执行(3);

(4)m=m+1，如果迭代次数m≤L执行(3);

(5)依据数据集XY的点，做出图形，即为分形插值曲线,至此，算法结束。

3 分形插值曲线实例分析

例如，已知插值点为(1,2)，(2,2.5)，(3,4)，(4,6)，(5,3)共5个点，任意输入初始点(x,y)=(3.5,6.5),迭代次数L=4,产生的分形插值曲线如图一所示，从图中我们可以看到曲线的局部与整体具有相似性。

4结束语

分形插值克服了传统的插值方法不能反映两相邻已知相关点之间的局部特性,运用分形插值对自然界形态进行分形模拟,可以得到比传统的插值方法更高的精度。分形插值函数可以描画大自然中那些美不胜收的场景，不仅如此，分形插值函数也为拟合经验数据提供了一个新的途径，给出了拟合数据的一种新思想，不仅为函数逼近论开辟了崭新的研究领域，而且为计算机图形学提供了有力的工具，目前已充分显示出其强大的生命力。

摘要：自然界中存在的许多现象具有分形特征,传统的Euclid空间对具有分形特征的自然界形态仿真具有一定的困难,对此可以用分形插值来拟合自然界形态。分形插值函数是由迭代函数系统(IFS)实现的,通过离散的数据点构成分形插值函数,可以证明分形插值函数是这个IFS唯一的吸引子。利用MATLAB矩阵运算与图形绘制功能,实现离散数据点的分形插值拟合。试验结果表明,该算法具有简捷直观的特点。

关键词：分形插值,迭代函数系统,MATLAB算法

参考文献

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分形理论与材料的断裂性能 第6篇

1 分形的研究方法

1.1 分形的实验测定[2]

对于一些结构 (物体) 或实验结果所表现的非规则性和粗糙性, 人们直观地认为它们具有统计自相似性, 进而由覆盖法或由图像处理和计算机模拟等技术测定出结构的分维, 再去寻找分维与物理本征量之间的关系, 以揭示某些新的规律。分形的特点是由分维来描述, 从不同的观点可以给出分形集合不同的维数。在欧氏儿何中, 认为点是0维的、线是1维的、平面图形是2维的、空间图形是3维的。对于海岸线或Koch曲线 (其分形维数为1.262) , 用维数为1的直尺去量, 当标尺趋于0时, 量值为无穷大, 只有用“1.262维的尺了”来量度, 才会有确定的“长度”, 这种长度不是欧氏意义下的普通长度, 而是从长度推广来的一种测度。分形维的测定方法有以下儿种[3]。

1.1.1 相似维数。

假定某客体由N个局部组成每个局部以相似比与整体相似, 则此客体的相似比维数DS定义为:

1.1.2 H ausdorff维数。

如果U为n维欧氏空间Rr中的任何非空子集, 则H ausdorff维数定义为:DH定义为:

其中N () 表示直径为的覆盖{Ui}的个数。

1.1.3 信息维数。

在H ausdorff维数DÁ的定义中, 只考虑了所需—N () 覆盖个数, 而不考虑每个覆盖{U i}中所含分形集元素的多少。设pÁ为分形集的元素属于覆盖{Ui}中的概率, 则信息维数为

1.1.4 关联维数。

若分形中某两点间的距离为参其关联函数为C () , 则关联维数为:

1.1.5 盒维数。

设F是RÁ上任意非空的有界了集, NÁ (F) 是直径最大为可以覆盖F的集的最少个数, 则F的盒维数分别定义为:

另外, 还有一些维数的测定方法, 如容量维数、谱维数、填充维数、重正化群法、稳定分布法、因次解析法等。

1.2 分形模型法

任何结构 (系统) 不规则复杂现象的产生, 是由它所处的物理、力学等环境条件以及其微结构等因素所导致的, 而从数学上考察, 这仅仅是一种几何。基于这种思想, 从实验观察和实际问题出发, 根据其分形的特点, 简化抽象为某一类数学分形模型, 从其数学结构上计算出分形维数, 由此探寻分形维数与物理量的关联, 以揭示和预测结构 (系统) 的本征特性, 以此寻求解决问题的新途径。注意到这单是简化抽象, 必然带来近似性, 但使求解的问题变得简单。另一方面, 抽象的分形模型是直接从实验观察而来, 一般是最后一级非规则性和粗糙性的体现, 即抽象的生成元 (分形模型) 是自然分形最后一级形成的抽象, 而不是数学分形 (无限步构造) 中的生成元, 可以无限地向前构造, 如要把抽象的生成元进行数学构造也只能是逆过程构造。

1.3 维像法

对于所研究的复杂结构 (系统) , 总结或测定出分形的幂律关系, 检验它是不是分形, 如果是分形, 由分形幂律关系得到其分形维, 然后去寻找分维与物理量之间的相关联系。

1.4 分形结构模拟

根据物体和结构的自然特性, 人为地制造分形边界和分形结构, 进行计算机模拟和实验观察, 这样可直接了解到具有分形边界和分形结构的物体所表征的物理力学特性, 进而探讨事物发展的分形机理。获取分维值的一般步骤为:首先拍摄结构 (物体或系统) 表面, 以一维图像方式获取原始信息。接着“抽样”选取一定面积的图像, 作为分析的对象。对“抽样”图像进行处理, 得到结构 (物体或系统) 的特征量具体分布图像。然后采用不同的测量单元尺寸?对分布图像进行盒计数法计算, 得到一系列规则图形的测量单元数N () 。最后作ln N () ln图, 采用最小一乘法对图上N () 和?对应的点进行拟合, 得到斜率的负值D, 即分维值。

2 分形在材料断裂中的应用

2.1 材料断裂面分维的确定

目前, 测定自相似体系表征分维的方法很多, 诸如盒子计数法、变码尺法、小岛法、功率谱法以及物理方法等。以下是用变码尺法测定材料断面分维值的简要描述。这种方法主要是通过码尺取值范围之变化来测定材料断而曲线的分维值。这种尺码的取值范围因科学研究的层而不同而有所不同。如测定地震过程中形成的断而分维, 其码尺可在米的范围之内, 而用STM来研究材料断面时, 其码尺可在纳米范围内变化, 这种码尺的取值范围是根据材料分形体存在的范围而确定的。

这里所描述的方法是钢断面分维值的测定。具体操作过程是, 取钢碎片之断面, 将其垂直剖开, 经抛光处理后在光学显微镜下, 断面剖面呈一条不规则的分形曲线。以这条曲线的端点A为圆心, 作一个以特征长度r为半径的圆, 这个圆和曲线的交点为B, 连接A B两点得一长度为r的直线AB;再以B点为圆心, r为半径作圆, 与曲线的交点为C, 连接BC两点得一长度为r的直线BC, 如此不断地反复操作, 就可以用一系列长度为r的线段来覆盖整个断而曲线。于是就得出钢碎片剖面曲线长度为L (r) , 改变圆的半径r这条曲线的长度相应地变为L (ar) , a为常数。根据分维的幂律关系, L (ar) 与L (r) 的自相似性表现为L (ar) =aÁÁL (r) , 一般形式可表示为L (r) ∝aÁÁ。这也就是说, L (ar) 相似于L (r) 时, D就是试片钢碎片断而的纵剖面曲线的分维。如前文所述, 钢碎片的断裂而是一个分形曲面, 根据界面约定, 其分维值应为D+1, 其中的D系该碎片截线 (即纵剖面曲线) 分维。

2.2 断面分维数与材料性能的关系

断裂表面是材料断裂后留下的关于断裂过程的记录, 断口蕴藏着关于断裂机理的信息, 通过研究断裂面可以追溯断裂产生的机理, 发现材料的微结构组成和缺陷而今, 材料的断口分析已成为材料科学和断裂力学中的一个重要力向。伴随工程界思想、理论和方法的不断更新, 相关材料断裂面的研究, 已经由长期的定性分析日渐进入定量分析, 并且这此定量分析已成为岩石材料形变和断裂研究中不可或缺的部分Mandelbrot等首次报导了冲击断口的分维D与冲击功J的关系, 它们近似成一条具有负斜率的直线, 伴随分维数的增加, 冲击功呈单调下降。张军等将球墨铸铁的组织结构在扫描电镜下获得的“立体照片”, 利用计算机图像处理技木测得组织结构的分维, 并对冲击样品做多次冲击实验, 得到断裂冲击次数N与分维之间的关系近似也成一条具有负斜率的直线。

分形理论在岩石断裂领域的研究表明:岩石断裂表面可以用多重分形或各向异性的自相似性分形来准确描述;岩石断口表面可以看成统计自相似分形, 可以用分形来定量地刻画断口表面的粗糙性;岩石断口表面的分维与材料断裂韧度的相关关系是负相的, 即材料断裂韧度随分维值的增大而降低;岩石材料断裂后, 断裂表面表现出来的小规则性, 反映了在断裂时损伤断裂的能量耗散及微结构效应, 根据断口的分维可追溯到岩石断裂时的宏观力学行为[5]。

材料的断裂是由其自身的裂纹所致, 而这些裂纹的形成与扩展, 都会在其开裂处形成上下两个新的表而。在一般情况下, 金属材料的内部总会存在一些夹杂或空穴, 而这些夹杂或空穴在一定的外因 (如温度、外力等) 作用下就可以形成核与扩展。金属材料裂纹形核、扩展的变化, 是一种在分形状态上实现的动态变化。因此, 为获得这种极细微的动态变化, 通过实验用一标度区范围内的分维来定量、刻划, 就可以取得剖而微结构层而上的分维数据。这种在外力作用下的动态变化, 一旦超过裂纹能够抵抗来自裂纹内部的相互作用力即应力强度的临界值, 则裂纹就会发生不稳定扩展直至断裂, 至于材料发生此类脆性破坏 (即断裂) 所需要的实际断裂应力, 同样可以通过实验测得。由此可以计算出保证材料安全使用的数据。当然, 这一数据决不仅仅是材料安全的唯一条件, 它还必须考虑到合金的化学成分、制备的方法与工艺等因素。

3 结论

分形理论的引入改变了人们传统线性数学的思维方式, 为解决各种复杂的非线性问题提供了新的理论方法。将分形维数用于材料断口描述材料断裂面的不规则形状, 即利用分形维数作为材料断裂断口的表征方法, 能在一定程度上揭示材料的各种性能。然而对于材料组织结构和端口的分形特征的解析解释目前并没有一个另人满意的结果, 分形维数与材料的断裂性能关系的内在物理机制还有待进一步得研究。

摘要：文章简要地介绍了分形理论的基本概念和研究方法, 以及分形理论在材料断裂研究中所取得的成果。

关键词：分形理论,分维数,材料的断裂性能

参考文献

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一种3D分形树的仿真实现 第7篇

1 带参IFS理论

1.1 叠代函数系统IFS

一个叠代函数系统由一个完备的度量空间 (X, d) 和一个有限的压缩映射集Wn:X→X及其相应得压缩因子Sn, n=1, 2, …N所组成, 因此IFS可表示为{X;nW, n=1, 2, …, N}, 其压缩因子便是S=MAX{nS;n=1, 2, …N}。

1.2 带凝聚的IFS

设{X;W1, W2LnW}为具有压缩因子0≤S≤1的IFS, 如果定义变换0W为:Φ (X) →Φ (X) , W0 (B) =C, ∀B∈Φ (X) , 则0W称为凝聚变换, C为凝聚集, 则{X;W0, W1, W2LnW}称为带凝聚的IFS[2]。

1.3 带参量的IFS

设 (X, d) 是度量空间, {X;W0, W1, W2LnW}是一个带凝聚的IFS, 令0W:P×X→X是以0≤s≤1为压缩因子的压缩映射族, 亦即对每个固定的p∈P, W (p, ·) 是X上的一个压缩映射, 对每一个固定的x∈X, W在P上是连续的, 则W的不动点xf连续地依赖于p, 相应地, 我们称此时的IFS为带参量的IFS。

2 摇曳的3D分形树的实现算法

2.1 大自然中风中树的特点

风向:较常见的风向一般是和地面近似平行的, 即风向的方向向量可定义为{nx, 0, nz}。

摇曳树的特点:树摇曳时, 一般是和风向垂直的分支摇摆幅度大, 而且幅度由外到内逐渐减小;树顶摇曳幅度大, 由上到下幅度逐渐减小。树枝摇曳的方向为风向。

2.2 带依赖参数的变换矩阵的确定

根据树枝摇曳的特点, 风从 (nx, 0, nz) 方向吹过来, 整个树身近似于绕直线nx×x+nz×z=0旋转, 同时两边的树枝的摇摆可看作近似于绕Y轴小幅度旋转。这里为保持更加真实性, 要求: (1) 旋转幅度不要过大; (2) 树顶影响最大, 往下影响逐渐减小, 我们可采用不同阶段的风力因子来控制。

根据IFS思想, 3D树的主枝到分枝的生长, 可近似认为由主干绕过树根 (原点) 的向量为 (x, 0, y) 直线作旋转变换, 再进行压缩、平移变换而成。其中仿射变换的形式可简写为 () nnnnBWA+=t BS, 其中nS为压缩因子, nA为仿射变换矩阵, nt为平移量。基于IFS思想, 我们可定义一颗3D分形树为:r S=θβα) , , , (, 在这里 () aaar=z, y, x, r的三个分量分别代表x轴, y轴, z轴方向的偏移量, α、β和θ分别是主枝依次绕x轴, y轴, z轴的旋转角度。设3D树的变换矩阵分别为:分枝偏移量矩阵, 绕x轴α角度矩阵, 绕y轴β角度矩阵, 绕z轴θ角度矩阵。求的逆变换分别为根据分形树定义有。β角θ和依据我们的需要而定 (即希望分枝的形态) , 此时的nA为无风时的变换矩阵, 为了加入树顶向风向摇曳特征, 我们设风向为, 风力为nPow, 则加入参数后的nA为:R当然, 还要加入和风向近似垂直的两侧树枝向风向方向摆动, 两侧树枝和风向越接近垂直摆动幅度越大, 此时可看作树枝绕Y轴旋转, 而且两侧树枝旋转方向相反。设树枝当前向量为风向为则同风向向量L垂直的向量为计算向量L与树枝向量Ln的夹角余弦:的范围为:, 当时, 即树枝与风向相同时影响最小, 当ω为0或π时影响最大。

2.3 IFSP码的确定

通常获取二维IFS码所依据的是Barnsley的拼贴定理, 即:设{ϖ, Pj|j=, 1, 2L, N}是一组IFS码, 压缩比为C, e是任意小的正数, T为R2上给定的边界闭合的子集, 假设ϖ已选定, 使得那么这里, B为该IFS的吸引子;h为Hausdorff距离, 同样将此定理的应用扩展到三维空间, 依此来判断由一个3D-IFS经连续变换所产生的吸引子与给定的初始集的相似程度, 三维空间上的仿射变换的形式可简写为。所以确定一组IFS码, 就是确定这组压缩映射中每一个ϖ的变换系数An和tn。在带参IFS中, 我们最终也是要确定仿射变换ϖ的变换系数, 由于我们加入的参数可表示ϖ的变换系数, 所以我们用参数代替An的系数作IFS码。由本文前面所论述, 我们可确定IFS码包括:分枝绕X轴的旋转角度, 绕Y轴的旋转角度β, 绕Z轴的旋转角度θ, X方向上的压缩因子Sx, Y方向上的压缩因子Sy, Z方向上的压缩因子Sz, 风力影响因子wn, 仿射变换的概率pn, X方向上的偏移量mx, Y方向上的偏移量my, Z方向上的偏移量mz。

3 图形绘制实例

根据上述思想, 制作一个四叉树, 初始化树干的方向为 (0, 1, 0) 。要注意的是以上wn一项为风力风力影响因子, 它控制树的每个部位受风力的影响力, 从数值可以看出, 树的上部的值为0.6, 即受风力影响最大, 旁枝分别为0.45, 0.45, 0.35, 0.25, 树干下部受风力影响最小为0.1。

4 结果分析

从实验结果可以看出: (1) 通过修改树枝旋转的角度可以有目的的改变树的形态。 (2) 通过改变风向和风力可以控制树的摇曳形态。由此, 本文利用分形算法模拟了一个树的多种形态。

摘要：论文首先阐述了带参IFS理论, 然后分析了自然界中在风中树的摇曳形态, 根据IFS理论定义了3D分形树的一般形式, 然后确定仿射矩阵和参数, 最后给出了一个四叉树的IFS码, 并绘制了此3D分形树在风中摇曳形态。

关键词：分形树,IFS,摇曳

参考文献

[1]赵欣, 林和平.三维分形树木模型在3D GIS中的应用[J].吉林大学学报, 2003, 21 (3) :307～311.

[2]李水根, 吴纪桃.分形与小波[M].北京:科学出版社, 2002.