期权定价法范文（精选7篇）
期权定价法 第1篇
高新技术企业是指在国家重点支持的高新技术领域内,持续进行研究开发与技术成果转化,形成企业核心自主知识产权,建设自主创新能力,并以此为基础开展经营活动的企业,我国主要是从科技人员所占比例,研究开发高新技术的经费占本年的销售收入的比例,高新技术企业的技术性收入与高新技术产品销售收入的总和占本企业当年总收入的比例以及产品的主导技术必须是所确定的高新技术领域这几个方面来进行认定的。高新技术企业的本质特点是在提供产品或服务的过程中涉及到的基于新兴科学知识的技术含量比较高。一般来说,高新技术企业具有以下几个特点:具有高速成长性且收益高,但风险也很大;具有明显的阶段性;此类企业是高知识、高技术密集型的;无形资产占企业资产总额的比重大;生命周期短,突变性明显[1]。
一个国家的高新技术产业的规模和发展水平决定着该国经济发展水平和产品在国际上的竞争力,甚至决定着该国的未来。因此,高新技术企业价值评估的目的,就是是为了更好地为企业并购及上市,风险投资者提供重要的参考数据以及可以加强企业价值管理,从而促进高新技术企业更好地发展。
1 高新技术企业价值来源
传统价值理论认为企业价值的核心主要是在于其自身成长的潜力。所以只要企业价值定义没有改变,高新技术企业的价值还是和传统企业价值的一样,仍然是指企业作为一个经济实体的公平市场价值,通常用该经济实体所产生的未来现金流量的现值来计算。在知识经济时代背景下考虑,高新技术企业价值应包含两部分:过去和现在基础上企业的盈利能力和企业的未来发展能力[2]。前者是指企业在现有的资产、技术和人力资源基础上已经形成的、可以预期的获利能力;后者是指由于大部分高新技术企业都拥有数量较多的专利权或高新技术研发项目,这些项目由于未形成一定的产业化规模,经济价值尚未未显现出来,一旦产品研发成功投入市场,将会带动企业产生质的飞跃,所以这部分项目是高新技术企业能获得未来巨大现金流的潜在机会,也就是说它是一个潜在机会价值。
2 高新技术企业价值评估的组合方法
针对以上关于高新技术企业价值构成,笔者认为采用公司自由现金流量折现模型和布莱克-舒尔斯期权定价模型相结合的方法可以对高新技术企业进行全面的价值评估。公司自由现金流量折现法可以评估企业过去和现在所拥有的产品,技术等现有资源的盈利能力价值,此价值减去公司发行在外的债务的市场价值即可得到公司股权价值,用布莱克-舒尔斯模型可以进行评估高新技术企业那些处在研发阶段的实质上具有期权性质的专利权或在研项目的潜在市场机会价值[3]。
其中:V为公司的价值;FCFFt为t时刻公司自由现金流;WACCt为t时刻公司的加权平均资本成本;t为资产收益期;S0为标的资产的当前价格;X为期权的执行价格;r为无风险利率;T为距期权到期日的时间(年);N(d)为标准正态分布自-∞到d的累计概率:
其中σ表示标的资产(项目)的年收益波动率
3 关于组合方法中参数的意义及确定
我们可以看到,该价值评估模型主要的参数有公司自由现金流,加权平均资本成本,资产收益期,标的资产的当前价格以及无风险利率这五个参数。参数的取值合理与否直接决定着高新技术企业价值评估结果的科学与否,因此笔者将对这五个详主要参数进行细的说明以期能帮助读者在理解并应用此模型组合产生借鉴意义。
3.1 公司自由现金流(FCFF即Free Cash Flow of Firm的缩写)
指公司作为一个整体所产生的现金流,既包括股权资本产生的现金流,还包括债务资本产生的现金流。它的计算公式为FCFF=息税前收益*(1-所得税税率)+折旧和摊销-资本性支出-追加营运资本[4]。
由于不同性质企业的现金流的分布特点是不同的,同一个企业在企业的不同生命周期内的现金流也是有显著差别的,而对高新技术企业的价值评估是站在某一个具体的时点上来进行的,所以应根据实际情况对公司自由现金流做出具体的分析。笔者认为,公司自由现金流的预测应该遵循以下几个方面的原则:
(1)预测销售收入:销售收入的预测是公司自由现金流计算的起点,在进行销售收入的预测时要全面分析企业在最近几年的财务状况和收益状况,对公司所在的行业性质及公司在该行业中所处的地位,公司的产品和核心技术,公司与客户、供应商和服务商的关系,以及公司在未来若干年的发展规划进行深入的分析[5]。在这要注意的是,对于处在成长期的高新技术企业,要重点分析促使企业快速成长和发展的各种因素如市场需求,竞争拉动及投资拉动等敏感因素。在编制公司现金流量表时要尽可能模拟公司经营中现金流入与现金流出的情况,针对公司自由现金流的组成部分如折旧和摊销,资本性支出和追加运营资本每年的变动情况进行估计和计算。一般来讲,公司的资本性支出和运营资本的支出与企业销售收入成一定的比例关系。
(2)预期的销售增长率的确定:增长率的确定有三种方法,使用历史增长率来进行未来的推导,分析公司基本因素进行估计,以行业增长率为基础,结合行业中处在领头羊地位的公司的销售增长率来推算本企业的未来销售增长率。总体来说,处于成长期的高新技术企业的增长率较高,当稳定发展后将回落到一个较低水平的增长率上,因为我们进行价值评估是假设企业是持续经营的企业,故稳定发展时期的增长率不应高于国家宏观经济环境的增长率。
3.2 公司加权平均资本成本(WACC)
在用公司自由现金流计算公司价值时,需要用加权平均资本成本来对公司现金流进行折现,这是一个匹配的问题。高新技术企业有若干种资金来源,如股东投资(可表现为股本或实收资本)、债券、银行贷款、融资租赁和留存收益等。债权人和股东将资金投入某一特定企业,而非其他企业,都期望其投资的机会成本得到补偿[6]。而加权平均资本成本是指以某种筹资方式所筹措的资本占资本总额的比重为权重,对各种筹资方式获得的个别资本的成本进行加权平均所得到的资本成本,是衡量企业融资来源的综合资金成本。
加权平均资本成本=债务资本利息率×(1-税率)(债务资本/总资本)+股本资本成本率×(股本资本/总资本),其中,债务主要是指企业取得长期负债,因此债务资本利息率一般用5年期或更长时间银行贷款利率来近似表示,而股权资本成本用资本资产定价模型来估计效果比较好,即股权资本成本=无风险市场利率+beta系数*(市场平均收益-无风险市场利率),无风险市场利率一般用发行的长期国债利率来表示,beta系数可以用上市公司同行业具有相似规模的企业的beta值乘以各个股票占总市值的比重来进行计算得到,而各个公司的beta值可因通过各支股票周收益率对所在交易所的涨跌幅度进行回归分析得到[7],一般认为应该选取7-15家相似的上市企业,数据应该选用3年或更久才能消除股市的异常变动所带来的误差。债务资本,权益资本均应该选用发行的债权和股票的市场价值来进行计算各自占总资本的比例。
3.3 关于收益期n的确定
由于在进行高新技术企业价值评估的时候是以企业持续经营为假设前提的,因此关于收益期n应是趋向于无穷的,这里笔者想强调的是高新技术企业一般会经历一个高速超长增长期然后回落到一个正常的增长期,因此关于各个增长期的期限有一个人为的划定,这个期限一般认为要根据各个时期的主要的核心资产或核心项目的预期实现经济利益的时间来进行确定。
3.4 运用期权定价模型对专利权、研发项目等公司潜在的成长机会进行评估时所需的输入变量有标的资产的价值、标的资产价值的波动变化情况、期权的期限、期权的执行价格、无风险利率等。
3.4.1 标的资产的价值
高新技术企业的专利权或并购项目可以看作是一种机会而运用期权理论进行估价。这一资产的当前价值就是以后生产该产品预期可获得现金流量的现值和。它可以通过公司预期资本预算分析获得。我们可以通过目前这种产品的市场销售情况来进行估计[8],假如这种产品从未在市场上销售过,那么,对现金流量的估算和现值的确定上都会有很多困难。但是,评价现金流的不确定性正是期权定价模型魅力所在。否则的话,现金流失确定的,我们完全可以采用现金流量折现法评估它的价值来,而不必采用实物期权定价模型。因为此时的期权不具备任何价值了。
3.4.2 标的资产价值的方差
由于标的资产具有期权的特点,因此用来估算标的资产当前价值的现金流及其现值计算过程中可能存在大量的不确定性。部分原因是因为产品潜在市场规模的不可知性,部分原因是技术的改进会对产品的成本结构和产品的利润产生影响。对这种专利产品的现金流的波动变化,可以采用如下几种办法估算:首先,如果该产品以前曾生产过,或有过类似产品的生产经验,则可以用它们的波动率作为待评估标的资产的价值方差的估计值[9];其次,不同的市场情况出现的概率不同,可以分别计算每种情况下的现金流量及现值的变化,然后估算它们的价值方差:最后一个办法是:利用与该待评估专利产品处于同一行业的上市公司或行业的价值的平均变化情况作为参考。期权的价值在很大程度上取决于现金流量的变动情况.因此,稳定的行业中企业的期权价值要比在技术、竞争和市场变化很快的环境下企业的期权价值低。
3.4.3 期权的执行价格
当企业决定为专利权或并购项目而进行投资时,该投资机会的期权就被执行。对此专利产品进行投资的成本就等于期权的执行价格。其基本假设是投资成本保持不变,任何与产品相关的不确定性都体现在该产品相关的同样不稳定的现金流量的现值上[10]。
3.4.4 期权的期限与无风险利率
期权的期限就是据期权到期日之前的时间,而无风险利率一般使用与期权同期限的银行利率。
4 结论
采用现金流量折现模型和期权定价模型相结合的方法能更好的评价高新技术企业的价值,能更好的结合高新技术企业巨大的机会价值进行综合全面的评估。尽管这种组合评估方法有很多的优点,但关于其中参数的确定目前理论界仍存在一些认识上的不足和实际应用中的困难,从而影响到价值评估的准确性和可行性,这就需要我们在以后的研究中对该综合模型进行不断地完善和改善,对参数的确定进行更具体的研究,从而为高新技术企业的上市,并购提供帮助,从而更好地为社会主义的金融市场服务。
摘要：本文分析了贴现现金流量法和期权定价法在评估高息技术企业中的先进性和科学性,全面确定了其中相关参数的内涵和取得方法,对以后更有效的进行高新技术企业的价值评估提供了新思路,为以后开展高新技术企业的价值评估提供了更有意义的帮助。
关键词：高新技术企业,价值评估,期权定价法,贴现现金流量法
参考文献
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选择期权的定价 第2篇
期权作为一种金融工具是在远期业务基础上产生的。它可以被看作是一种附加了特殊条件的远期业务。在这种有价的标准化金融合约中规定了合约的买方有权力(并非义务)在未来一个确定的时间点按照事先约定的价格(即Basisprice)买入(看涨期权)或卖出(看跌期权)一种有价证券或是一种物品(即合约的标的物)。
期权按照一般的划分方法有两种不同的类型:欧式期权和美式期权。在欧式期权中,合约的买方只能在合约规定的时间点行使其权利。而在美式期权中买方可以在约定的时间段内的任何时刻行使这种权利。这两种不同的类型是期权的基本形式,人们标之为标准期权。随着经济的不断发展,从标准期权中衍生出无数的其他类型的期权,比如:栅栏期权(Barrier-O ptionen),百慕达期权(Berm uda O ptionen),亚洲期权(A siatische O ptionen),回看期权(Lookback O ptionen),选择期权(Chooser O ptionen)等。这些非标准的期权被人们统称为外来期权(或奇异期权)。这些期权实际上是包含了标准期权的特点,同时附加了特别客户的特定要求的特殊的金融合约。
选择期权(Choose O ption)是外来期权的一种。大约在1990 年7 月出现在伦敦,它是一种特殊的场外交易品种。选择期权也被称为“pay-now-choose-later-O ption”。它是由一个欧式看涨期权和一个欧式看跌期权共同组成的(即所谓的“券中券”)。在这种期权中,合约的买方在签订合约后,同时拥有欧式买入和卖出两种期权。然后,在合约规定的时间点,他有权根据标的物价格的近期波动做出决定,选择一种期权类型(看涨期权或是看跌期权)以备日后执行。在合约最后的执行日期,买方有权决定他之前选择的期权最终要不要行权。通过购买这种合同,投资者等于对剧烈的价格波动做了两个方向的保险,比单纯购买一份看涨或看跌期权更灵活,更安全,并且又比“long Straddle”(即同时购买看涨看碟两份期权,也即多头跨式期权) 降低了成本。选择期权有两种类型:“简单型”和“复杂型”。在“简单型”选择期权包含的的看涨期权和看跌期权的标的物的执行价格(即Basisprice)、执行日期是相同的。在“复杂型”中包含的两个期权(看涨期权和看跌期权)有着不同的执行价格或执行时间,或这两者都不相同。
为了使分析更容易理解,本文首先推演常见的“简单型”选择期权(其标的物为有价证券,比如一支股票)。然后,用同样的方法,进一步研究“复杂型”的选择期权。本文中提到的选择期权合约中的时点反映在下面的时间轴上(见图1):
在这个时间轴上,t0是期权合约签订的时点。在时点t1,期权合约的买方根据标的物的价格走势对选择哪种期权做出决定。在T时点期权合约到期,买方决定最终要不要执行手中持有的期权合约。
二、“简单型”选择期权的定价
提到期权的定价,一定会涉及到Black-Scholes模型。这是一个被广泛接受和认可的典型的期权定价模型。它是由费雪布莱克(Fisher Black)和米荣绶勒斯(M yron Scholes)在1973 年共同发表的。这个模型给出的定价理论无论是对金融市场或是金融市场的参与者都产生了很大的影响。该模型建立在一些限定的假设上,比如假设作为期权合约标的物的价格是呈对数正态分布的,金融市场中的利率是非随机变化的。同时模型中不考虑税收、交易和其他的费用。模型假设市场在任何时点都是开放的,任何时候任何金额和单位的交易都可以执行,并且对当时的交易价格不产生影响。
在建立一个金融市场模型之前,首先需要定义一些概念和符号Sandm ann.(2001):
(Ω,F,P*)是本文研究的样本空间,其中 Ω 表示所有随机事件的集合。{Ft}t∈[t0 ，T]是由n维布朗运动(Brownian M otion)产生的Filtration,Ft包含了截止到t时点的所有关于价格波动过程的信息。P*表示等价于原始客观概率M artingal单位的同价衍生的M artingal单位,在概率P*下的所有价格波动过程中都不能进行无风险的套利活动。
{W *(t)}t∈[t0，T]表示了在同价衍生M artingal单位下的n维布朗运动的路径。W *(t)的每一时段的增量W *(t1)-W *(t0),W *(t2)-W *(t1),…,W *(tn)-W *(tn-1)之间呈随机不相关的分布。并且对于任意一个时间段u-t>0 来说,W *(t)的增量W *(u)-W *(t)呈正态分布。
即:W *(u)-W *(t)~N(0,(u-t))
{S(t)}t∈[t0 ，T]是作为标的物的有价证券(股票)的随机价格波动过程。它与同时点的Filtration{Ft}t∈[t0 ，T]相对映,并且是下面随机微分方程的解:
其中,μ 表示价格随机变化的趋势(即价格的期望值);σS表示这个有价证券价格的不稳定程度(即价格的波动率)。
在同价衍生M artingal单位P* 下,这支股票的瞬时价格为:
其中,μ=r;r是以对数形式表示的无风险利率(conform interest),即是无风险的年利率。
在Black-Scholes模型中,看涨和看跌期权的无套利价格(A rbitrageprice)分别是:
其中,;di是作为标的物的有价证券S(t)的固定不变的股息(期末支付);N(z)是正态分布的分布函数:。
在利率非随机变化的假设下,一个标的物为一支股票S(t),到期日为T,执行价格(即Basisprice)为K的简单型选择期权在t1时的无套利价格(即A rbitrageprice)为:
其中:Call[S(t1),K ,t1,T]是t1点时看涨期权的无套利价格;Put[S(t1),K ,t1,T]是t1点时看跌期权的无套利价格
为了在T时点得到较大的预期收益,期权合约的购买者会在t1点比较看涨和看跌期权在这一时点对T点的预期收益,即他们会比较t1点时看涨和看跌期权的无套利价格,然后选择那个有较大值的期权继续持有。因此可以对上述简单型选择期在t1时的无套利价格进行改写:
在“简单型”选择期权合约中,看涨和看跌期权有同样的标的物,同样的执行价格,同样的执行日期。所以可以用H ans R .Stoll的“Put-Call Parity”(即看涨看跌期权等价关系)来表示它们之间的这种关系。1969 年,H ans R .Stoll定义了看涨和看跌期权无套利价格之间的等价关系:
现在,这中等价关系是在时点t1,因此有:
所以上述选择期权在t1时的无套利价格就可以改写成:
其中:m ax{K·e-r(T-t1)-S(t1)·e-di(T-t1),0;t1}可以看作是一个标的物为S(t1)·e-di(T-t1),执行价格为K·e-r(T-t1),执行日期为t1的新的看跌期权在t1时点的无套利价格,即m ax{K·e-r(T-t1)-S(t1)·e-di(T-t1),0;t1}=Putneu[S(t1)·e-di(T-t1),K·e-r(T-t1),t1,t1]
则上述选择期权在t1时的无套利价格可以进一步写成:
那么在t0时这个简单选择期权的无套利价格为:
所以一个简单型的选择期权在t0时的无套利价格(A rbitrageprice)可以看作其包含的看涨期权和一个新的看跌期权的无套利价格和。这个新的看跌期权具有一个和原来看跌期权不同的股票(在t0时股票价格为S(t0)·e-di(T-t1)),不同的执行价格(在t0时执行价格为K·e-r(T-t1))和不同的执行期间(t0点签订合约,t1点执行)。
在Black-Scholes模型中,t0时这个简单选择期权的无套利价格为:
三、“复杂型”选择期权的定价
在“复杂型”选择期权中,看涨和看跌期权有着不同的执行价格(即Basisprice)或者不同的执行时间,或者两者都不一致。本文研究两者都不一致的情况。
利率非随机变化的条件下,一个复杂型选择期权的在t0时的无套利价格为:
这里KC和KP分别表示看涨期权(C)和看跌期权(P)的执行价格,TC和TP分别表示它们的执行时间。
R ubinstein在他的题为“O ption forthe U ndecided”(1991)的论文中曾经证明,利率非随机变化的条件下复杂型选择期权的无套利价格可以通过二元正态分布计算出来:
m1/2中的参数“I”是下面方程的解:
N(a,b,ρ)表示一个二元正态分布的概率,它表示两个随机变量共同的分布情况。其中每一个随机变量自身都是呈正态分布的。
对于包含两个随机变量X和Y的二元正态分布(X ,Y)~N(μ,∑):
这两个随机变量X ,Y的概率是:
它们共同的密度函数为:
其中:,ρ 表示两个布朗运动的相关系数,并且。
本文只研究标准二元正态分布的情况,即两个随机函数的期待值和方差分别为:E[zX]=0,V ar[zX]=1,E[zY]=0,V ar[zY]=1。
这种表达可以简化成:(X,Y)~N(μ,∑),其中。
重要参数“I”的值可以通过“N ewton-R aphson”的方法计算出来。利用M athem atica 5.0 软件这个值可以很容易算出。并且对于任意一组给定的参数,这个参数“I”的值是唯一确定的,这样复杂型选择期权的在t0时的无套利价格也是唯一确定的。
四、结论
期权定价的策略及定价方法研究 第3篇
关键词：期权,定价模型,布朗运动,维纳过程,B&,S模型
一、引言
期权是一种金融衍生工具, 期权最主要的特征是赋予期权的购买者一种交易或者操作的权利, 在满足一定条件或者发生某种具体事件时, 期权的买方通过执行权力可以转移风险或者获利。
期权不仅包括以金融资产为标的资产并在公开市场交易的期权, 也包括以实物资产为标的物的实物期权和以期权为标的资产的复合期权。但是, 实物期权是一种不可交易的、依附于实体投资的选择权, 分析投资决策过程中的重要因素, 会显著地影响实物投资未来收益状况。
在分析期权定价问题之前, 首先需要认识目前存在的期权产品, 因为不同性质的期权拥有不同的价格分布、风险特征、波动率交易规则和偏差率等问题。由于不同的期权行权条件、到期标的资产价格计算方式、期权标的资产种类以及权利性质是不同的, 因此, 在期权定价问题上目前的学者都是根据具体期权的性质和特征, 并寻找可以复制或者描述该具体期权价格分布、波动性或者收益率变动的数学模型或者资产组合, 最后通过合成投资组合或者数学模型加以计算期权的价格和价格变化轨迹。
二、Black-Scholes模型
1973年布莱克和斯科尔斯推导出以无股利支付的股票为标的资产的欧式期权的定价模型。该模型假设: (1) 期权为欧式期权; (2) 期权的标的资产的收益率服从对数正态分布; (3) 在期权有效期内, 标的资产不支付股利; (4) 市场是无摩擦的, 不存在交易费用、税收、无风险套利机会; (5) 无风险收益率和标的资产收益率的变量是恒定的; (6) 市场交易是连续的, 不存在间断性和跳跃性特征; (7) 标的资产波动率为恒定值; (8) 标的资产价格服从几何布朗运动规律, 即:dS=tSt (µdt+σd Wt) , 其中St表示股票的在t时间的价格, σ和µ分别表示股票的波动率和预期收益率, tW表示标准布朗运动。
B&S模型的基本思路是:影响标的资产价格的各种不确定因素也会对以该资产为标的资产的期权产生影响, 在标的资产和期权都服从维纳过程 (布朗运动) 的条件下, 通过建立期权和标的资产的适当头寸的投资组合, 用以抵消连续时间随机运动过程, 则投资组合实现不存在无风险套利机会和零风险, 收益率等于无风险收益率。B&S模型微分方程为:
S表示标的资产价格, P (S, t) 是欧式买入期权在t时期的价值, T是欧式买入期权的到期日, X是欧式买入期权的执行价格, r是无风险利率, σ2是标的资产收益率的波动率的方差。对微分方程 (1) 求解, 得到欧式买入期权的定价公式为:
Φ为标准正态分布, 。同理欧式卖出期权的定价公式为:
B&S模型是现代金融期权定价模型的基础, 之后所提出的期权模型有些是根据对B&S模型假设的修改, 从新推导新的期权定价模型, 或者是根据具体期权的性质从新的思路和方法中分析具体期权的定价问题。
三、蒙特卡洛模拟法
由于解析法的数学模型拥有十分严格的假设条件, 因此很多期权产品受到标的资产种类、交易规则、执行价格决定方式等的限制, 使用数学模型求解期权价格可能存在很大的误差, 甚至是错误的。为了避免使用数学模型估计期权价格所面对的维数问题和收敛问题, 可以通过多次运算进行大数统计的方法求解期权平均价格和期望值。
Monte Carlo模拟法是一种统计与概率论相结合的综合性计算方法。蒙特卡洛模拟法的基本思路是:在风险中性的假设前提下, 通过已知的标的资产的价格分布函数, 将期权的有效期平均分割成若干的小时间段, 在每个小时间段通过计算机对已知的分布函数进行随机抽样用来模拟标的资产的价格可能的走势, 再根据一定的数学方法计算期权的最终价值, 利用具体的收益率进行折现计算期权的当期价值, 将此次计算出的当期价值作为期权价格的一个样本, 不断地重复以上的计算步骤, 求解更多可能的期权价格随机样本数值, 重复至少几千次同样的运算步骤, 在根据求得的期权价格随机样本数值计算算术平均值, 求得期权的平均价格。
美式期权可以在整个期权有效期内的任何时间执行, Longstaff和Schwartz (2000) 提出利用最小二乘蒙特卡洛模拟法。在使用蒙特卡洛模拟法计算美式期权价格时, 一般来说引入收益率概念, 通过比较持有期权的收益率和执行期权的收益率, 判断是否执行期权。利用最小二乘法求解持有期权的期望收益的系数, 收益率的期望数方程为 , 需要通过模拟的标的资产价格走势进行逆向求解的方式获得。
在确定蒙特卡洛模拟法的模拟次数的时候, 需要平衡运算量和期权价格准确性, 保证最有模拟次数。可以引入边际模拟价值概念来决定最优的模拟次数, 公式为: , 当边际模拟价值接近或等于0时, 表明此时的模拟次数是最优的。
四、二叉树模型
二叉树模型是由Cox、Ross和Rubinstein在1979年提出的, 二叉树模型与蒙特卡洛模拟法一样, 是一种确定期权价格的数值法。本质是通过预测标的资产价格变动方向和价格, 根据概率和风险中性假设, 得到具体期权的预期价值, 通过逆推方法得到期权的当前价格。
五、其他期权定价模型
目前, 随着数学、统计学、心理学等学科的发展, 更多其他专业的研究成果被应用到期权定价问题的研究上, 极大地丰富了期权定价领域的内容。但是, 现实中各个国家的金融市场受到本国国家发展的影响, 有些国家的期权市场很难实现经典模型中所要求的“复制”, 从而造成使用风险中性假设、不存在无风险套利投资组合原则的经典期权定价模型实用性降低。
金融市场作为一个综合性多层次的交易环境, 市场中所有的组成要素都在随时随地发生变化, 传统的线性模型经常无法满足现实中金融市场的条件。在期权定价领域中, 目前最为普遍使用的非线性模型就是基于神经网络的期权定价模型。神经网络模型对生物的神经网络系统进行模拟, 神经元作为基本的计算单位, 神经网络的信息处理由网络单元的输入输出、拓扑结构所决定的一个典型的神经网络系统由输入层、隐含层和输出层组成, 如图所示:
如果想要获得所预期的结果, 就必须经过训练, 每条连接的弧线都有自身相应的权重, 学习导致弧线的权重数值变化, 从而影响实际输入和预期输出之间的误差。输入和输出之间存在一个激活函数, 输入值Xi是激活函数自变量Zi的函数, 即:Zi=Zi (X i) ;输出结果iY是激活函数因变量, Yi=Yi (Z i) 即:, 并且存在反馈效应。描述期权定价问题, 利用神经网络模型构建定价模型中的参数的混合密度网络, 并基于参数的混合分布计算一段时间后标的资产的价格, 进而确定期权的价值。
六、结尾语
现代金融学, 金融资产的定价理论是以无套利定价原则和投资组合复制原则为基础发展起来的。未来在金融工具定价的问题上, 需要不断引入更多其他学术领域的研究成果用以帮助定价理论的发展, 再者更需要寻找除了无套利原则和投资组合复制原则以外的其他定价模型推导的原则, 深入研究金融市场的特征和与产品市场、甚至政府之间的关联, 在模型使用上扩大涉及的范围, 在原则上更加贴近现实需要。
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一类欧式期权定价问题 第4篇
具有长程相依性的自相似随机过程广泛应用于包括金融、电信学、流体力学等许多领域。分数布朗运动 (fractionallBrownian motion) 是使用最广泛的一种, 也是自相似高斯过程中唯一一个具有平稳增量的随机过程。近年来, 分数布朗运动以其简单的结构、精美的性质以及广泛的应用引起了许多学者的兴趣, 随着研究的不断深入, 已经获得了很多有意义的结果但是与分数布朗运动的广泛研究相比较, 其它类型的自相似高斯过程的研究却非常少!这主要是由于其他类型自相似高斯过程并没有平稳增量, 且相依结构更为复杂。
此后, 很多学者开始了诸如次分数布朗运动, 双分数布朗运动等自相似高斯过程的研究, 然而对于赋权分数布朗运动的研究还非常少, 结构也更加复杂, 这也是我们开展赋权分数布朗运动研究的原因之一。另一方面, 赋权分数布朗运动涵盖分数布朗运动、双分数布朗运动等许多具有长程相依性的自相似高斯过程, 所以我们认为这类研究对于金融市场的定价问题具有应用意义。
本文主要研究赋权分数布朗运动在金融市场中的一个应用, 给出了由赋权分数布朗运动版本的欧式期权定价公式, 并绘出了当长程相依性指数及波动率取不同值时, 欧式期权的价格随时间变化的图像。
二、欧式期权定价公式及相关证明
由于金融系统的复杂性, 投资者往往不是在得到金融信息时立刻做出决定, 而是等信息达到一定的量的时候再做出决定。这种行为往往导致长程相依性, 赋权分数布朗运动能够成为解释这种现象的有用工具。在我们的模型中, 假设股票价格V服从下面的随机过程:
其中Bta, b为赋权分数布朗运动且积分类型为离散型。
假设金融市场有两种资产, 其中一种资产为证券, 收益率为无风险利率r;另一种资产为股票, 其收益率是一个随机过程Vt, 初始价格为V0。我们关心的是以此股票为标的资产的到期日为T执行价格为k的欧式期权定价问题。
定义1:股票价格{Vt}的预期收益μ与时间T之间满足
因为对{Vt}没有限制, μ一般情况下与T有关。
引理1:欧式看涨期权价格C (K, T) 为
类似的, 欧式看跌期权价格P (K, T) 为
因此我们有
引理2:方程 (1) 的解为
定理1.到期日为T执行价格为K的欧式看涨期权价格C (K, T) 为
其中
又根据引理 (1) (2) , 可知到期日执行价格为的欧式期权价格C (K, T) 为
另一方面, 我们可以类似证明.
三、数值仿真
根据以上内容, 给出一些数值仿真结果, 在图 (1) ~图 (4) 中, 我们绘出了不同参数值σ∈{0.2, 0.3, 0.5}从图可以看出, 看涨期权的价格是到期日T, 波动率σ及长相依指数α的增函数;看跌期权的价格是波动率σ及及长相依指数α的增函数, 但关于到期日T是先增后减。取σ∈{0.2, 0.0, 0.2}固定b=0.4的图像
图 (1) :期权价格关于到期日为T的图像, 其中的参数值为r=0.06, α=0.2, b=0.4, K=60, V0=100, 0<T<50.
图 (2) :期权价格关于到期日为T的图像, 其中的参数值为b=0.4, r=0.06, σ=0.2, K=60, V0=100, 0<T<50.K=60, V0=100, 0<T<50.
图 (3) :长程相依指数取不同参数值时欧式看涨 (看跌) 期权价格关于到期日T的图像, 其中的参数数值为r=0.06, α=0.2, b=0.4, K=60, V0=100, 0<T<50.
图4:长程相依指数取不同参数值时欧式看涨 (看跌) 期权价格关于到期日T的图像, 其中的参数数值为b=0.4, r=0.06, σ=0.2, K=60, V0=100, 0<T<50.K=60, V0=100, 0<T<50.
四、总结
本文利用赋权分数布朗运动的一些良好的性质与实际金融市场相结合, 建立了依托该理论的数学公式, 试利用其特质给出欧式期权的定价公式, 并绘制了仿真图像, 发现赋权分数布朗运动, 确实可应用于金融市场, 尤其是在信用违约率、期权定价等方面拥有广泛应用, 因此未来进行更优化处理会得到更准确的结论, 并且非常具有实用价值。
摘要：赋权分数布朗运动因具备长程相依性、重对数率等精美性质, 可用于资本市场。文章主要考虑由赋权分数布朗运动驱动的金融市场, 从其相关性质出发, 定义了新型的欧式期权定价公式并绘制出一些仿真结果。
关键词：赋权分数布朗运动,欧式期权
参考文献
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美式封顶看涨期权的定价分析 第5篇
1.期权概述
期权根据买方对标的价格不同方向的判断分为看涨期权和看跌期权, 看涨期权的买方有权利按照执行价格买入期权标的, 买方认为期权标的的价格未来是会上涨的;看跌期权的买方有权利按照执行价格卖出期权标的, 买方认为期权标的的价格未来会下跌。对于期权的买方来讲, 收益是不固定的, 最大损失已经固定是全部的期权费用加上无风险利率收益, 对于期权的卖方来讲, 最大收益固定是全部的期权费用, 损失空间却很大。
2.美式封顶看涨期权性质
Y--损益
P--期权价格
K--行权价格
S--市场价格
二、永久美式封顶看涨期权定价-- 自由边界模型
我们将永久美式封顶看涨期权作为自由边界模型定价的研究对象, 永久指的是没有到期日的意思, 也就是时间T=∞, 因为没有到期日的限制, 永久美式封顶看涨期权是同类型美式封顶看涨期权中最贵的, 拥有最多最大的获利机会。
1.模型的推导
在期权标的的市场价格S非常小的情况下, 标的价格会小于行权价格, S-K小于零, 期权不应当执行, 期权价格满足方程1, 当期权标的市场价格足够高时, S-K大于零, 表示执行期权有盈利, 期权持有者用约定的执行价格买入标的, 获得的是市场很高的价值, 低价买入高价卖出获取中间的差价利润, 这时应当立即执行期权, 否则就会产生支付红利和贴现的损失。是否应当执行期权的分界线, 用C表示, 当标的市场价格S小于C时, 不应当执行期权, S在持有区域中, 此时期权价格P符合方程1, 当S大于C时, 应当执行期权获取盈利, S处于执行区域, 此时期权的价格P=S-K。在整个价格分析中, 固定的一个时间点, 分界线C是未知的, 也是我们所研究的自由边界, 但是显然C应当大等于期权执行价格K, 如果C小于K, 那么C-K小于零, 应当持有期权, 处在持有区域, 这和基本前提是互相矛盾的。
假设当S=0 时, 市场是一只无形手, 有自动调节平衡的功能, 期权价格不可能无限高而没有边界, 因此P (0) 是有边界的。当S=L (L大于K) 时, 发行人按价格L-K回购, 从而P (L) =L-K。
美式期权的执行时间由持有者决定, 持有者会根据自己对市场的判断, 综合考虑多种因素, 继而选取一个利益最大化的约定执行期权价格K (即自由边界C) , 这时期权的价格达到最大值, 可以得到 (P;C) 符合等式2:
P (.;C) 是以下常微分方程的解:
P (0) 有界, P (C) =C-K
2.永久美式封顶期权价格的显式解
q是支付红利, 因此是正常数, 从方程5 中可以推导出 α>1, 经过推理可以得出关于自由边界的定理:M等于永久美式看涨期权的实施边界, 当红利q无限趋渐于0, α 无限趋近于1, M趋渐于正无穷, 说明当q=0 时, 永久美式封顶看涨期权将永远不执行, 处于持有区域。
3.永久美式封顶看涨期权价格关于变量和参数的单调性
建立自由边界模型求出永久美式封顶看涨期权的价格P的解析式, 继而讨论期权价格P与变量标的物市场价格S以及和参数L、K、r、q、σ 之间的关系:永久美式封顶看涨期权价格P关于变量S单调增, 关于参数L、r、σ 单调增, 关于K、q单调减, 作出如下证明:
第一步是将期权价格P (S) 关于变量和参数求导。当0<S≤L≤M时, 根据方程1 计算如下:
当0<S≤M≤L时, 根据方程4 计算出结果。
将计算结果和分析归纳为金融解释, 可以得到如下结论: (1) 期权标的价格上涨, 市场对标的的盈利能力的期望也随之增加, 期权的价格就会上升。 (2) 对于美式看涨期权来讲, 执行价格K越大, 购买期权的持有者获利越困难, 获利空间越小, 期权的价格越低。 (3) 波动率是指价格的波幅, 波动率大表示价格会有大幅变动的可能, 将会增加盈利的可能, 因此期权的价格和波动率的大小成正比。 (4) 期望回报率和无风险利率之间联系紧密, 期望回报率随着无风险利率的增加而增加。 (5) 封顶价格指的是获利的固定空间, 封顶价格变小, 获利空间变窄, 期权的最终收益随之减少, 期权的价格降低。
三、变分不等方程模型
除了永久美式封顶看涨期权之外, 其余类型的美式封顶看涨期权的价格都不能够用一个表达式表示, 只能根据收益函数:收益= (min (St, L) -K) +, 基于变分不等方程的离散化, 用数值的方法, 对一般美式封顶看涨期权的定价进行建模研究。
建模需要有一系列的假设, 在此假设期权标的的价格遵循几何布朗运动, 存在固定常数的无风险利率r, 期权标的支付红利为常数q, 交易过程中没有税费和交易费用产生, 市场中不存在无风险套利机会。
4.显式差分格式
5.最佳实施边界的存在性及收敛性
最佳实施边界存在的证明通过极限的方法, 分不同的情况进行解析, 就可以证明当n=N-1 时, 美式封顶看涨期权存在最佳实施边界并进行定义最佳实施边界是。
在这一部分中主要研究的参数对期权价格的影响如下:美式封顶看涨期权随着到期日时间t的临近, 波动率逐渐变小, 因此期权价格和到期日反向运动;期权价格临近到期日越高, 就证明看涨期权获益更大, 因此期权价格与期权标的的价格同向运动。
四、期权定价总结
执行价格越低, 市场价格变化幅度越大并且是上涨趋势的期权合约价格越高。假设将期权标的的价格确定下来, t时刻期权标的的价格是S, 期权价格为P, 则可以在期权价格区域内确定点Pt=P (S, t) , 这个点是确定的二维坐标区域中的一个, 期权定价就是建立常微分方程和变分不等方程的离散将这个函数的等式表示出来。期权定价工作的理论基础是布莱克和肖尔斯在1973 年做出的欧式期权定价的推导公式, 关于偏微分方程的显示解。
摘要：期权是现代金融风险管理的重要工具之一, 确定的执行价格以及特殊的损益是期权最大的特点。美式期权可以在期权到期日之前的任何时间行权, 封顶确定了市场价格和执行价格之间的间距, 看涨期权具有损失有限收益无限的特点。自1973年Fischer Black和Myron Scholes提出了著名的期权定价公式, Black-Scholes的研究框架成为期权定价研究的主流。标准的美式封顶看涨期权定价是自由边界问题, 本文从美式封顶看涨期权性质研究开始, 继而建立自由边界模型和变分不等方程两种模型对美式封顶看涨期权的定价进行分析。
关键词：美式封顶看涨期权,自由边界模型,变分不等方程模型
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人力资源的期权定价模型 第6篇
人力资源广义的含义是指:在现有生产过程中投入的劳动力的总量即现有组织内的劳动力人口的存量;也有人认为人力资源是指:在一定区域范围内, 所有具有劳动能力的人口的总和, 它既包括现有在生产过程中投入的劳动力人口, 也包括即将投入生产过程的潜在的劳动人口和暂时失去工作职位但仍有劳动能力的失业或者待业人口等[1]。人力资源价值则是指人力资源在使用过程中所创造出的经济价值。具体来说, 人力资源价值包括两个部分, 一部分是支付给劳动者用以补偿其体力和脑力劳动的耗费, 维护人力资源的劳动能力, 它表现为工资、福利等形式, 称之为补偿价值或交换价值;另一部分是人力资源在使用过程中新增的价值, 具体表现为税金、利润等。可以认为:企业利润是全体员工和高级管理者所创造的人力资源的价值减去其耗费的人力资源成本的余额。这个余额就是人力资源创造的增值, 增值多少取决于劳动生产率的高低, 取决于对人力资源的开发、利用和管理。
人力资源价值评估, 从出现至今已有20多年, 其方法有定性定量两种, 但直到目前为止还未形成共识。定性的方法是按照主观预测和经济上的估计对人力资源进行计量, 具体有技能详细记载法、绩效评估法、潜力评价法、主观期望效用评价法等, 它们都只是定性的描述人力资源的状态、构成及其它方面。而定量的评估方法是将人力资源资本化进行的。具体有:工资报酬折现、未来收益法、随机模型、内部竞标法等。但上述几种方法都没有充分考虑人力资源的特点, 因而存在一定的缺陷。一是人力资源的所有权和使用权相分离.现代企业通过签定契约, 拥有人力资源的使用权, 它仅享有要求企业员工为企业服务的权利, 员工出卖的仅是劳动力商品, 是自身知识、技能等的使用权, 而非所有权。二是人力资源具有不确定性。一方面, 由于人随着服务时间的增加和不断的学习, 其价值会不断上升;而另一方面, 人却会因年龄或健康的原因而失去为企业服务的能力, 其价值则又会下降。显然, 传统的评估计量方法很难解决这种不确定性问题。近些年又提出了运用期权定价模型对人力资源价值进行评估的新方法, 下面就此种方法进行详细介绍。
期权是一种特定的选择权。其购买者支付一定数量的权利金后, 即拥有在未来一定时问内 (有效期) 以预先确定的价格 (行权价) 购买或出售一定数量资产的权利。可见, 期权具有三个特点:①着眼于未来的高收益。支付权利金购买期权是希望能在未来在对应资产价格发生有利变化的情况下通过行使用权期权获利, 有利变化的幅度越大获利越多, 获利可能很太;②亏损有限。期权的购买者只有权利而没有义务。对应资产的价格在发生对购买者有利的变化, 行使用权期权;发生不利的变化, 则放弃期权, 损失至多为权利金;③不确定性。期权能否获利事先难以确定, 但获利的概率可以从对应资产价格的历史变动中分析得出。比照上述特点, 不难发现期权广泛存在于企业长期投资乃至经营管理的各个领域, 并构成实物期权家庭。美国学者Myers就曾于1997年以资产是否拥有成长机会将公司的资产分为两类:一类是实物资产, 该类资产没有机会价值, 其价值不受公司策略的影响 (如一套自动化流水生产设备) ;另一类是实物期权, 表明了公司在有利条件下购买实物资产的机会, 这样的资产或项目具有与时间和风险等有关的机会价值。
20世纪70年代, 期权作为一种防范风险和投机的有效手段而得到迅猛的发展。1973年, Fischer Black和Myron Scholes建立了看涨期权定价公式:c (S, t) =StN (d1) -Ke-r (T-t) N (d2) , 这个公式的创新之处在于不依赖于投资人的偏好, 它把所有投资人引向同一个以无风险利率作为投资回报率的风险中性世界 (risk-neutral world) 。
1977年, Meryes和Ross提出了一种期权形式:实物期权。它是金融期权理论在实物资产期权上的扩展和延伸。本文就要借助实物期权的理论思想, 运用期权定价模型来评估人力资源的价值。
1 模型的建立
1.1 建模思想企业对人力资源的取得实际是执行了看涨期权, 由于新的人力资源的投入, 使企业在经营管理及技术创新等方面得到加强, 经过一段时间后, 效益得到提高, 股价得以上涨, 企业价值显著提升。而企业支付给人力资源所有者的报酬, 即人力资源价值的补偿, 相当于到期执行这一特殊期权的价格。从另一角度来看, 看涨期权是持有者在某一确定时间以某一确定的价格购买标的资产的权利。企业作为人力资源的买方, 预先支付给人力资源所有者一定的定金, 在到期日时, 如果人力资源市场价格S大于企业支付给人力资源所有者的报酬K, 企业就可以考虑行使该权利, 购买该标的资产, 即雇佣该职员;反之, 如果S
1.2建立模型对于到期日为T执行价格为K的欧式看涨期权C (S, t) 而言, Black—Scholes得出的定价模型为:C=e-r (T-t) E[max (St-K, 0) ], 其中:E表示风险中性世界中的期望值。利用几何布朗运动和对数正态分布的特性, 得到的解析解表达式为:其中:Ct是买入期权价值;St为当前期权市价;K为行权价;r为无风险利率;T为期权期限;t为距施权日的时间。
对于人力资源而言, 企业在获得人力资源时必须以工资等形式支付一定的费用, 因此在计算人力资源价值的时候必须考虑这部分费用。所以, 人力资源的价值可以用公式表示为:A为职工当年获得的报酬, Ae-r是职工当年获得的报酬的现值;SN (d1) -Ke-r (T-t) N (d2) 为看涨期权的价格, 也就是企业预先支付的定金;函数N (k) 是累积概率函数, 自变量服从标准正态分布;S为现时人力资源价格, 即按历史成本法确定的招聘、选拔、定岗等取得成本和将要支付给职工的在有效工作年限内的工资按无风险利率折算的现值。K为按合同约定企业将付给职工的所有薪酬;r为无风险利率 (即国债利率) ;T-t为合同签订的服务期限;σ为人力资源市场价格的波动率, 由于职位系列的不同, 不同类别职工其σ就不同, 这可以根据市场行情测算出来。由于期权定价方法要求每年都对人力资源进行计量, 而定金是一次性支付的, 所以定金应该加入到当年发生的人力资源价值 (费用) 中, 以后就不再考虑。但是, 在企业转让人力资源时必须考虑其定金。
1.3 实例分析工程技术人员张三, 男, 28岁, 公司在2000年与其签订的3年期合同中, 约定年薪为10万元, 期满后可以续签。公司为张山所付出的取得成本为1万, 无风险利率为5%, 工程技术人员的市场价格波动率为20%。
①按期权定价模型, 则可确定张三签约当年的人力资源价值:
②根据工资报酬折现法, 假设张山60岁时退休, 折现率为10%。
则张三的人力资源价值为:
年平均值为:95.2632=2.977 (万元)
两种计量方法所得的结果差别很大。这是因为传统的工资报酬折现法忽略了企业在对人力资源使用过程中的不确定性, 从而低估了人力资源的真正价值。而事物期权方法则充分考虑了这种不确定性, 比传统的方法更好的满足了知识密集型企业人力资源价值的计量要求。
1.4 年报酬波动性处理通常来说, 按当前报酬水平计量是为了保证信息的可靠性, 而为了保证信息的相关性, 又必须对人力资源价值逐期进行调整。因为随着工作情况、劳动熟练程度以及物价等的变动, 报酬水平必然有所改变, 人力资源的价值也就会有所不同, 所以需要对人力资源价值每年进行计量年报酬的波动可结合职工实际情况确定一个调整系数, 式中ri:为需要对职工进行评估的项目i (如文化程度、专业技能掌握情况、工作能力、工作业绩、工作经历等) 的评价值;Wi为项目i在评价总体中的权重 (具体做法由各企业根据实际工作经验并结合专家意见来确定, 但各权重值之和应始终为1) ;企业还可以通过问卷调查的形式, 根据具体情况对评估项目进行适当的调整, 并确定合适的权重。然后企业再根据α每年对职工当年的报酬进行调整。
对于上述例子, 假设公司根据实际情况确定α值为1.25
①按期权定价模型, 则可确定张三签约当年的人力资源价值:
②根据调整后的工资报酬折现法, 假设张山60岁时退休, 折现率为10%, 为了便于比较, 效率系数F也假定为1.25, 则张三的人力资源价值为:
年平均值为119.07532=3.721 (万元)
上述例子表明:调整后的未来工资报酬折现法的计量时间为32年, 计量人力资源服务期限过长, 用工资收入代表他对企业的经济价值, 因而人力资源价值估计不准确;而期权定价方法则以1年为限, 每年都进行价值的计量, 较符合实际情况;另外, 期权定价方法不局限于以工资为价值计量基础, 充分考虑取得人力资源所发生的成本、预先支付的定金对价值的影响, 能够较好地满足企业对人力资源价值计量的要求。所以运用人力资源期权定价方法, 可以较为客观准确地计量出人力资源的价值, 能够较好地满足现代企业发展的需要。
2 结论
通过上述分析我们可得下列结论:①随着服务时间的延长, 知识的不断积累, 技能的不断提高, 人的价值是不断增大的, 但是到了某些时候, 其价值又会下降。从整体上看, 它的表现类似于正态分布, 实物期权法则充分应用了这一点。②风险中性的假设, 可以使其在评估中降低风险, 不必作太多的估计。同时, 它采用累加概率, 使得计量的不确定性大大减少, 从而使评估的结果更加客观、准确。③实物期权评估法主要是针对人力资源的使用权, 它充分考虑了人力资源的使用权与所有权相分离。④每年都对人力资源进行估价, 使得人力资源价值的计量能较好地反映实际情况。⑤将取得人力资源所发生的成本和所付定金考虑到价值中去, 增强了人力资源计量的准确性。⑥企业每年进行人力资源评估时, 都需根据具体的情况确定调整系数, 正确反映年报酬波动, 使人力资源价值计量更为客观。
基于期权定价理论人力资源定价方法, 能在一定程度上克服现有评估方法中带有一定主观性、以及没有考虑人力资源在风险和不确定性条件下, 所具有的“灵活性”的价值等方面的局限性, 使评估结果更加合理、更加符合实际情况, 从而为企业提供更为科学、可靠的估价工具, 有助于企业在人力资源投资决策中做出正确的决策。当然, 在实际运用中还需与定性方法相结合。
摘要：通过对现有的几种人力资源计量模式进行评价, 着重指出了它们存在的问题。针对现有计量模式的计量时间过长、主观估计较多、计量不准确等不足, 分析了复杂人力资源的特殊性;运用看涨期权思想, 引入Black-Scholes定价公式, 探讨一种较为客观的人力资源价值计量方法——期权定价法, 并结合实例进行分析。
关键词：人力资源,期权定价,实物期权,Black-Scholes模型
参考文献
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效用函数理论下的期权定价 第7篇
完全信息下的经济学都假设投资者知道资产的期望均值和波动率。但是实际情况并非如此。在现实中, 资产的期望均值我们并不知道, 投资者只能根据历史数据去估计。因此投资者所拥有的信息和个人偏好, 对资产定价有很大影响。在完全信息条件下进行定价的时候, 我们通常是以无风险银行利率作为标准进行资产定价和期望折现的。本文我们将讨论一种建立在期望生命期效用基础上的定价理论。
Alexandre Ziegler在文献[1]中, 通过建立代理经济人模型说明了代理人的信息质量和个人风险偏好是如何影响期望效用的。本文先介绍一般的效用函数理论, 然后在对数效用函数和幂效用函数理论下讨论期望生命期效用, 给出资产的均衡价格以及建立在效用理论上的无风险折现因子, 从而推导出欧式期权的均衡价格公式。
2、建立模型
我们考虑一个企业, 该企业只有一种产品, 企业完全由股本融资, 这里我们只考虑一个有代表性的股东。企业在时刻以比率支付红利给股东。
假设红利过程:
其中是期望红利的瞬时增长率, 假设是一个常数, 随着时间的推移代理人不断的改进它的取值。σ是红利过程的瞬时波动率, 这里假设参数σ是已知的。Bt是标准布朗运动, 它定义在由红利xs (s≤t) 生成的带!流的概率空间上 (Ω, Ftx, P) , 其中Ftx=σ (xs, s≤t) 。然而代理人并不知道真正的均值u, 必须根据过去的数据去估计它, 我们假设在初始时刻t=0, 代理人具有关于u的先验信息:u是一个均值为m0, 方差为v0=E[m0-u]2的正态分布变量。除此之外没有关于u的另外的先验信息了。他的信息集就是Ftx=σ (xs, s≤t) 。
当新的红利信息到达后, 代理人会更新关于红利平均增长率u的估计mt, mt满足
即mt是均值回复的, 这个假设符合经济实际。又mt在由 (3) 定义的新的概率测下是鞅。显然, 若取u=mt则 。
vt=Et[ (mt-u) 2]表示mt的平均均方误差, 根据 (1) 及 (3) 式可以把 (2) 改写为:
因此, 投资者用 乘以红利的突然改变量 来更新估计值mt。这是关于u的不确定性的一种度量。从代理人角度看, 对红利的期望增长率作部分观测的经济学等价于对随机的, 时变的红利平均增长率mt作部分观测的经济学, 由上面的表达式可以看出红利的瞬时改变量 和投资者对u的估计是完全相关的。当 时, 投资者向上修正关于u的估计, 当 时, 他向下修正关于u的估计。
根据实际意义, 平均均方误差vt的动态可表达 根据初始条件v0得出 (4)
平均均方误差vt是代理人关于u的真值的不确定性的度量。也可以视为对信息质量的一种度量。当vt=0时, u是完全已知的, 这是完全信息经济学情况。当vt较大时代理人关于u的不确定性也大, 而根据新的红利信息对mt作的修正也大。
为了后面计算的需要我们先给出几个结论及其证明
可见, 在t时刻关于u的最佳估计
此时这个估计的平均均方误差vt为
由 (1) 和 (3) 可得:
应用Ito’s引理得
因为ms是鞅, 当u≥t时, Et (mu) =mt。这里Et是d Bt在对应的测度下的期望, 所以 (8) 式应用Fubini’s定理得
进一步, 由计算可
3、一般效用函数理论
假设代理人有如下形式的基于期望消费量的效用
其中P是非负的, 是跟物价指数相关的一个参数, 而μ (c) 是当前消费cs的连续凸函数。
假设代理人初始财富为0, 在t时刻持有一份股票而消费红利xt。在均衡条件ct=xt下, 代理人的消费对应的期望生命期效用为 我们用st表示时刻t的企业股票的均衡价格, 在均衡状态下代理人持有一份股票, 假设他的消费等于当前的红利, 即ct=xt。因此状态价格指数定义为:
而均衡的资产价格过程为: (11)
用表示到期日为s (s≤T) 的不违约零息票债券在t时刻的价格, 这个权益的均衡价格即折现因子为: (12)
4、效用函数理论下的期权定价
一个欧式买入期权, 它的到期日为T0 (T0
4.1 对数效用理论下的期权定价
4.1.1 相关变量的计算
假设代理人的效用函数是对数形式的, 则
对应的消费期望生命期效用为:
应用 (9) , (10) 得
在时刻相对于红利的资产的均衡价格为:
所以对应的买入期权价格为
在上式求期望的过程中, 在t时刻我们根据先验信息得到红利均值的估计值, 在t到T0的时间区间上进行计算的时候我们用u在时刻t的估计值mt来代替u.因此d Bt和 , 变为两个完全相同的过程。从而E (·) 和Et (·) 等价。~
4.1.2 对数效用函数理论下欧式买入期权的价格公式
为标准正态分布函数类似的我们可以得到欧式卖出期权的定价公式
N (·) 为标准正态分布函数
4.2 幂效用函数理论下的期权定价公式
4.2.1 相关变量的计算
我们现在假设代理人的效用函数是幂效用函数形式, 即, (a>0) 则
那么他的消费期望生命期效用为:
价格指数πt为πt=e-pt"μ (xt) =e-ptxta-1
T0时刻的均衡价格为:
为了后面求期望的计算需要我们下面给出在信息Ftx=σ (xs, s≤t) 下mTo的表达式由 (2) , (3) 两式可得
因为信息量Fxt是已知的, 故u可以用它在t时刻的估计值mt来代替从而得到 (15)
所以mTo为正态分布随机变量, 而且它和BT0-Bt是完全正相关的容易得出
4.2.2幂效用函数理论下欧式买入期权的价格公式
N (·) 为标准正态分布函数, 其他参数同上。
参考文献
[1].Alexandre Ziegler, Incomplete Information and Hetero-generous beliefs in Continuous-time Finance, Springer, 2002
[2].李时银, 期权定价与组合选择-金融数学与金融工程的核心, 厦门大学出版社, 2002