数列易错点剖析

数列易错点剖析（精选9篇）

数列易错点剖析 第1篇

一、忽视n的取值变化

很多数列问题的已知条件中有一些关于an及Sn的表达式, 在递推时只顾递推, 而未加注意n的取值变化, 将导致错误的发生.

二、忽视项的序号

在数列里, 无论是求通项公式还是求前n项和, 项数都是无法回避的要点, 若忽视项数这一细节, 也易出现一些不易觉察的错误.

六、忽视数列函数特殊性

2014高考数学易错点剖析36 第2篇

【易错点36】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时，数形结合的意识不够，忽视隐含条件。

例

36、四边形ABCD中，AB＝ａ，BC＝ｂ，CD＝с，DA＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形?

【易错点分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量，易忽视如下两点：（1）在四边形中，AB，BC，CD，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。

解：四边形ABCD是矩形，这是因为一方面：由ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0得ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），２2２２２２即(ａ＋ｂ)＝（с＋ｄ）即｜ａ｜＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜＝｜с｜＋２с·ｄ＋｜ｄ｜

２２２２２２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜＋｜ｂ｜＝｜с｜＋｜ｄ｜①同理有｜ａ｜＋｜ｄ｜

２２＝｜с｜＋｜ｂ｜②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对

边分别相等∴四边形ABCD是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC。综上所述，四边形ABCD是矩形

【知识点归类点拔】向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。例如很多重要结论都可用这种思想直观得到：（1）向量形式的平行四边形定理：2（｜a｜+｜b｜）=｜22a－b｜2+｜a+b｜2（2）向量形式的三角形不等式：｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜

取等号的条件是什么?)；（3）在△ABC中，若点P满足；a｜+｜b｜(试问：AP则直线AP必经过△ABC的内心等等有用的结论。

【练36】（1）O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA[0,).则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

（2）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点O是ABC的（）

（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点

（C）三条中线的交点（D）三条高的交点

（3）ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OHm(OAOBOC)，则实数m =

方程（组）易错点剖析 第3篇

一、 对方程的概念掌握不清导致错误

例1 已知关于x、y的方程（a-1）xa=1+（b+1）y2b-1是二元一次方程，求a，b的值.

【错解】由题意得：a=1，2b-1=1，解得：a=±1，b=1.

【分析】根据二元一次方程的概念可知，方程含有两个未知数，并且未知数的系数都不为0. 故本题a只能等于-1.

【点评】解决含有字母系数的方程问题时，要时刻考虑系数是否为0.

例2 若关于x的方程m2x2+（2m+1）x+1=0有两个实数根，求m的取值范围.

【错解】∵方程有两个实数根，

∴b2-4ac=（2m+1）2-4m2≥0，

【点评】对于解决二次项系数含有字母的一元二次方程的问题时，要注意二次项系数不等于0这一隐含条件.

例3 若关于x的方程（m2-1）x2-2（m+2）x+1=0有实数根，求m的取值范围.

【错解】∵方程有实数根，

∴b2-4ac=[-2（m+2）]2-4（m2-1）≥0，

【点评】解决此类问题时，要仔细读题，看是否隐含方程是一元二次方程的信息，如方程有两个实数根，方程就一定是一元二次方程，这时方程的二次项系数不能为0，否则方程就有可能是一元一次方程，方程的二次项系数就可以为0，这里也体现了分类讨论的数学思想.

二、 解分式方程时，运用等式的性质不当导致错误

【错解】去分母，得6x-3（3-2x）=1-x+2，

去括号，得6x-9-6x=1-x+2，

移项，得6x-6x-x=1+2-9，

合并同类项，得-x=-6，

系数化为1，得x=6.

【分析】本题解方程时在以下方面做法错误：①去分母时右边常数项“1”没有乘6；②分数线有括号的作用，去括号后右边的x+2应用括号括起来；③去括号时有一项没有变号；④移项时没有变号. 这些都是同学们常犯的错误，解题时要认真仔细，避免出现类似错误，本题的正确解为：x=1.

【点评】解分式方程时之所以犯以上错误，是因为对每一步做法的依据理解不清，对等式的性质运用不当.

【点评】解方程时要正确区分是利用分式的基本性质，还是利用等式的基本性质，避免混用.

三、 用方程解决实际问题时，等量关系分析与理解不清导致错误

例6 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50 km的速度行驶，就会迟到24 min，如果他以每小时75 km的速度行驶，那么就会提前24 min到达乙地，求甲、乙两地间的距离.

【错解】设甲、乙两地的距离为x km，从甲地到乙地规定的时间为y h.

【分析】本题出错有两处：①单位不统一，应将24 min化成0.4 h；②错误理解了题目中的等量关系，迟到24 min说明用时比规定时间多24 min，应为（y+0.4）h，提前24 min说明用时比规定时间少24 min，应为（y-0.4）h，所以应得方程组为：

故甲、乙两地间的距离为120 km.

【点评】用方程解决实际问题时，首先应将单位化为统一单位，要仔细审题，理清数量之间的关系，再列出方程.

例7 一列快车长168 m，一列慢车长184 m，如果两车相向而行，从相遇到离开需4 s，如果两车同向而行，从快车追上慢车到离开需16 s，求两车的速度.

【错解】设快车的速度为x m/s，慢车的速度为y m/s.

根据题意，得4（x+y）=168，16（x-y）=184.

解得x=26.75，y=15.25.

答：快车的速度为26.75 m/s，慢车的速度为15.25 m/s.

【分析】如果两车相向而行，则其相对速度为两车速度之和，如果两车同向而行，则其相对速度为两车速度之差，这是正确的，问题在于相对移动的过程中移动的距离应为两列火车的长度之和，所以方程组为：4（x+y）=168+184，16（x-y）=168+184，

解得：x=55，y=33.

答：快车的速度为55 m/s，慢车的速度为33 m/s.

【点评】解决有关行程类问题时，要找准时间、速度、距离三者的关系.

数列学习中的九个易错点 第4篇

2. 忽略数列单调性与函数单调性的不同

3. 忽略等差 (比) 数列的定义

4. 对等差 (比) 数列的性质理解不透

5. 忽略an=Sn-Sn-1成立的条件

6. 忽略等比数列特定项的符号

7. 求和时忽略公比是否为1

8. 忽略公比的正负

9. 忽略an=0

剖析易错题，挖掘易错点 第5篇

易错点1对圆锥曲线的相关概念记忆不清

例1已知椭圆3x2+4y2=12，则椭圆上的点P到右准线的距离与点P到右焦点的距离之比为.

错解：椭圆的标准方程为〖SX（〗x24+〖SX（〗y23=1，

所以a=2，b=〖KF（〗3〖KF）〗，c=1.

圆锥曲线是高中数学平面解析几何的重要内容，在高考中占有十分重要的地位.由于圆锥曲线问题涉及知识面广、计算量大、综合性强，许多知识点容易混淆或用错，而且有些错误不易察觉.很多同学在处理圆锥曲线问题或借助圆锥曲线性质解决其他问题时，会因为知识掌握不牢或忽视一些基本性质、基本条件而导致解题失误，丢分较多.本文拟对圆锥曲线部分常见的一些错误进行剖析，以期帮助同学们跳出误区，优化思维，提高解题正确率.

易错点1对圆锥曲线的相关概念记忆不清

例1已知椭圆3x2+4y2=12，则椭圆上的点P到右准线的距离与点P到右焦点的距离之比为.

错解：椭圆的标准方程为〖SX（〗x24+〖SX（〗y23=1，

所以a=2，b=〖KF（〗3〖KF）〗，c=1.

圆锥曲线是高中数学平面解析几何的重要内容，在高考中占有十分重要的地位.由于圆锥曲线问题涉及知识面广、计算量大、综合性强，许多知识点容易混淆或用错，而且有些错误不易察觉.很多同学在处理圆锥曲线问题或借助圆锥曲线性质解决其他问题时，会因为知识掌握不牢或忽视一些基本性质、基本条件而导致解题失误，丢分较多.本文拟对圆锥曲线部分常见的一些错误进行剖析，以期帮助同学们跳出误区，优化思维，提高解题正确率.

易错点1对圆锥曲线的相关概念记忆不清

例1已知椭圆3x2+4y2=12，则椭圆上的点P到右准线的距离与点P到右焦点的距离之比为.

错解：椭圆的标准方程为〖SX（〗x24+〖SX（〗y23=1，

平面向量易错点剖析 第6篇

一、遗漏零向量

例1 已知a= (3, 2-m) 与b= (m, -m) 平行, 则m值的个数是.

错解 由a//b得undefined, 即m2-5m=0, 解之得m=5, m=0 (舍) .

∴m的值只有一个, 即m=5.

剖析 零向量与任一向量平行, 当m=0时, b为零向量, 也与a平行.∴m的值的个数应为2个.

二、误用运算率

例2 在ABC中, 已知undefined, 且a·b=b·c=c·a, 试判断此三角形的形状.

错解 由题设知a, b, c均非0.

又故从而a=b=c.

∴△ABC为等边三角形.

剖析 对于实数, 若ab=bc, 且b≠0, 则a=c, 但向量的数量积不满足此消去率.

正解 由undefined知a, b, c均为非零向量, 且a+b+c=0, 用a, b, c分别乘其两端, 得

undefined

又 a·b=b·c=c·a,

∴a2=b2=c2, 从而|a|=|b|=|c|,

∴△ABC为等边三角形.

说明 一般地| (a+b) · (a-b) |≠|a+b|·|a-b|, 只有当a+b与a-b共线时才相等;由a·b=0不能得到a=0或b=0; (a·b) ·c≠a· (b·c) .在解题时注意防范以上错误的发生.

三、错用夹角

例3 已知△ABC中, undefined, 则△ABC的形状为 ( ) .

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.无法判断

错解 由undefined, 得cosB>0.因为B∈ (0, π) , 得角B为锐角;A, C的范围无法确定, 因此选D.

剖析 错解中误认为角B就是两向量undefined与undefined的夹角.事实上, 角B的补角π-B才是两向量undefined与undefined的夹角.

正解 由undefined, 得cosB<0, 因为B∈ (0, π) , 得角B为钝角, 因此选C.

四、混淆向量坐标与点坐标

例4 已知点A (2, 3) , B (5, 4) , C (7, 10) , 若undefined, 试求λ为何值时, 点P在第三象限.

错解undefined

又 ∵点P在第三象限, 解得undefined

剖析 只有当向量的起点在原点时, 向量的坐标才是向量终点的坐标, 否则向量坐标与终点坐标不同, 上述解法就是混淆了向量坐标与点的坐标, 误把undefined的坐标当作点P的坐标, 因而解法是错误的.

undefined

得解得

∵点P在第三象限,

∴5+5λ<0, 4+7λ<0, 解得λ<-1.

五、混淆向量的平移与点的平移

例5 已知A (2, 1) , B (3, 5) , 把向量undefined按向量a= (3, 2) 平移后得undefined, 则下列向量中能与undefined垂直的是 ( ) .

undefined

错解 因为undefined, 平移向量a= (3, 2) , 所以CD= (4, 6) , 故选B.

剖析 点A, B的坐标在平移之后依次变为A1 (5, 3) , B1 (6, 7) , 但undefined的坐标仍为 (1, 4) , 事实上我们所研究的向量为自由向量, 无论如何平移所得向量的方向与长度不变, 即向量的坐标在平移前后始终保持不变.

正解 因为undefined, 按向量a= (3, 2) 平移, 得CD= (1, 4) , 故选C.

六、混淆向量共线与线段共线

例6 若A (-1, 1) , B (1, 5) , C (-2, -5) , D (4, 7) , 试判断两线段AB与CD是否共线.

undefined

∴线段AB与线段CD共线.

剖析 若undefined, 则undefined与undefined共线, 但线段AB与CD不一定共线, 本题中可得AB//CD, 还需有公共点才能共线.否则不共线.

undefined

即点C不在直线AB上, 同理, 点D也不在直线AB上.从而两直线AB与CD无公共点, 即AB与CD不共线.

“机械波”新题型易错点剖析 第7篇

分析近年的高考试题和各地模拟试题, 机械波的考查有向更加灵活、精细、纵深方向发展的趋势.尤其在学生平时容易出现错误或理解不到位的地方, 题目设计空间大, 因此备受命题者青睐, 应引起我们足够的重视.本文选择了几类比较新颖的但学生容易出错的题型进行剖析, 避免今后再犯类似的错误.

一、忽视应用波的前沿与波源起振方向相同的条件造成错误

根据机械波的形成原理, 介质中前面的质点振动带动后面的质点, 使振源的振动形式与能量向远处传播, 每个质点的振动都是由振源依次带动后面的质点而形成的, 因此每个质点起振的方向与波源开始振动的方向相同.而一些学生往往忽视应用这一结论, 仅凭直观现象简单作出判断造成错误.

例1 在均匀介质中选取平衡位置在同一直线上的9个质点, 相邻质点间的距离均为L, 如图1 (a) 所示.一列横波沿该直线向右传播, t=0时到达质点1, 质点1开始向下运动, 经过时间Δt第一次出现如图1 (b) 所示的波形, 则该波的 ( )

(A) 周期为Δt, 波长为8 L

(B) 周期为$\frac{2}{3}\Delta t$, 波长为8 L

(C) 周期为$\frac{2}{3}\Delta t$, 波速为$\frac{12\text{L}}{\Delta t}$

(D) 周期为Δt, 波速为$\frac{8\text{L}}{\Delta t}$

错解:由图 (b) 可以看出波长λ=8 L, 根据题意t=0时波传到质点1, 经时间Δt第一次出现图b的波形, 得周期T=Δt, 则波速$v=\frac{\lambda }{{\rm T}}=\frac{8\text{L}}{\Delta t}$, 选 (A) 、 (D) .

错因正解:由于波向右传播, 可判断出质点9此时向上运动, 题中告诉我们质点1开始向下运动, 这说明波的起振方向向下, 若波刚传播到质点9, 则质点9起振的方向应向下, 而图 (b) 中质点9此时向上振动, 这说明质点9已至少振动了半个周期, 波的前沿已传至距质点9之后半个波长处.可见凭直观印象判断出波刚好传到质点9是错因所在.故$\Delta t={\rm T}+\frac{{\rm T}}{2}$, 得${\rm T}=\frac{2}{3}\Delta t$, 则波速$v=\frac{\lambda }{{\rm T}}=\frac{12L}{\Delta t}$, 选项 (B) 、 (C) 正确.

二、计算质点振动的路程在非特殊情况下乱套公式造成错误

计算介质中的振动质点Δt时间内通过的路程, 要根据具体情况而定.若质点初位置在一些特殊位置, 如平衡位置或最大位移处, 并且Δt是$\frac{1}{4}{\rm T}$的整数倍, 则计算较为容易, 即路程$x=\frac{\Delta t}{{\rm T}}\times 4A$.若初位置不在特殊位置或Δt不是$\frac{1}{4}{\rm T}$的整数倍, 盲目套用上面公式则造成错误.

例2 一列简谐横波沿x轴的正方向传播, t时刻的波形如图2中的实线所示, 此时波刚好传到p点.t+0.6 s时刻的波形如图中的虚线所示, 该时刻波刚好传到Q点, a、b、c、P、Q是介质中的质点, 以下说法正确的是 ( )

(A) 这列波的波速可能为116.7 m/s

(B) 质点a在这段时间内通过的路程等于30 cm

(C) 质点c在这段时间内通过的路程等于20 cm

(D) 在t+0.1 s时刻, 质点b、P的位移相同

错解:主要是 (B) 选项分析错误.波速$v=\frac{s}{t}=\frac{\overline{{\rm P}Q}}{0.6}=50m/s$, 由图可看出波长λ=40 m, 则周期${\rm T}=\frac{\lambda }{v}=0.8\text{s}$, 因此质点a在这段时间内的路程$x=\frac{\Delta t}{{\rm T}}\times 4A=\frac{0.6}{0.8}\times 40=30$cm. (B) 正确.

错因正解:质点a在t=0时, 没有在特殊位置而乱套公式是错误的根源.质点a在t=0时的位置为y=5 cm处, 并且向上运动, 根据振动离平衡位置越远, 振动的速度越小的特点, 质点在5 cm至10 cm的平均速度小于质点在0至5 cm的平均速度, 因此质点从5 cm至10 cm所需时间大于0.1 s, 而从0至5 cm所需时间小于0.1 s.又质点a从波峰振动到波谷的时间为$\frac{{\rm T}}{2}=0.4\text{s}$, 可见质点a从波谷向上振动在不足0.1 s内不能到达质点a初状态时的对称点y=-5 cm处, 故这段时间内通过的路程应小于30 cm, (B) 选项是错误的.

由于波的前沿传播到C点需历时$t{}_1=\frac{10}{50}=0.2\text{s}$, 因此质点C在这段时间内通过的路程为时间 (0.6-0.2) =0.4 s内的路程, C点开始在平衡位置, 因此在半个周期内的路程为20 cm, (C) 选项正确.b质点由波峰向下运动在0.1 s内的平均速度小于P质点由平衡位置向上运动在0.1 s内的平均速度, 因此质点b的位移小于质点P的位移, 选项 (D) 错.综合 (C) 正确.

三、质点由一状态振动到与另一质点状态相同的时间盲目由两状态质点的水平距离除以波速来计算造成错误

波源振动几个周期, 波就向外传播几个波长, 在同一均匀介质中波的传播是匀速的, 而波动中各质点都在平衡位置附近做周期性振动, 质点并不随波迁移.计算质点从某状态要达到与另一质点的状态相同所需时间, 一些学生不能深入思考而机械运用上述规律计算造成错误.

例3 一列简谐横波沿x轴正方向传播, 频率为5 Hz, 某时刻的波形如图3所示, 介质中质点A在距原点O为8 cm处, 质点B在距原点16 cm处, 从图象对应的时刻算起, 质点A的运动状态与图示时刻质点B的运动状态相同所需的最短时间为 ( )

(A) 0.08 s (B) 0.12 s

(C) 0.14 s (D) 0.16 s

错解:由图象知波长λ=20 cm, 则波速v=λf=1 m/s, 由于A、B的水平距离为8 cm, 因此由质点A的运动状态达到与质点B的运动状态相同所需的最短时间为$t=\frac{0.08}{1}=0.08\text{s}$, 选 (A) .

错因正解:由于波沿x轴正方向传播, 此时质点A向下运动, 质点B向上运动, 可以得到质点A达到与质点B的运动状态相同所需的最短时间大于半个周期即t>0.1 s (又一定小于一个周期) , 上面计算中, A、B间水平距离小于半个波长, 因此是错误的.为了便于分析, 我们在x=6 cm处取一质点C, 此时质点C也向下运动, 可以得到由质点C的状态达到与质点B的状态相同需至少半个周期$\frac{{\rm T}}{2}=0.1\text{s}$, 而由质点A的状态达到与质点C的状态相同需时间至少为$\frac{\overline{AC}}{v}=\frac{0.02}{1}=0.02\text{s}$, 则t=0.12 s, 选项 (B) 正确.

四、不注意相干波源振动方向的相位关系而草率判断加强点和减弱点造成错误

振动情况完全相同的两列波在空间某点P相遇时, 当P点到波源的路程差Δx=nλ (n=0, 1, 2, …) 时, 为振动加强点, 当$\Delta x=(2n+1)\frac{\lambda }{2}(n=0,1,2,\cdots )$时, 为振动减弱点.而对两列波的叠加问题, 只关心频率是否相同, 而不关心相位关系草率运用上述结论可能造成错误.

例4 如图4所示, 在双曲线$\frac{x{}^2}{16}-\frac{y{}^2}{9}=1$的两个焦点F1和F2上放置两个频率相同的波源, 它们激起的波长为4 cm.就图中A、B、C、D四个质点的振动, 下面说法中正确的是 ( )

(A) 若A、B振动减弱, 则C、D一定振动减弱

(B) 若A、B振动加强, 则C、D一定振动加强

(C) A、B、C、D一定振动加强

(D) A、B、C、D一定振动减弱

错解:由双曲线的基本性质可知, 其焦点到坐标原点的距离$c=\sqrt{a{}^2+b{}^2}=5$cm, 而双曲线是到两个焦点的距离之差为一定值的点的轨迹, 由数学知识可知该距离之差为2a=8 cm, 该值恰好为波长的两倍, 因此A、B为振动加强点.又y轴上各点到两焦点的距离之差为0, 因此C、D两点也为振动加强点, 故 (C) 正确.

错因正解:题中给出的波源仅指出频率相同, 并没有明确两波源的相位关系, 故不能确定A、B、C、D的振动情况.上面分析中套用相位相同时的结论, 因此是错误的.其实, 在最简单的两种情况下, 即当两波源为同相时各点均为振动加强点, 当两波源为反相时各点均为振动减弱点, 故 (A) 、 (B) 正确.

五、简单依据振动加强点、减弱点互相间隔的结论而判断加强点和减弱点造成错误

频率相同的两列波叠加, 使某些区域的振动加强, 某些区域的振动减弱, 加强点和减弱点的位置不变但质点的位移随时间周期性变化, 而且振动加强的区域和减弱的区域互相间隔.一些学生凭记忆套用加强点和减弱点互相间隔这一结论而不能仔细深入分析可能造成错误.

例5 如图5表示两列相干水波的叠加情况, 实线表示波峰, 虚线表示波谷, 设这两列波的振幅均为5 cm, 传播中在图示范围内振幅不变, 波速和波长均分别为1 m/s和0.5 m.C点是BE连线的中点, 下列说法正确的是 ( )

(A) C、D两点都保持静止不动

(B) 图示时刻, A、B两质点竖直高度差是10 cm

(C) 图示时刻, C点正处在平衡位置且向下运动

(D) 从此时刻起经0.25 s, B质点通过的路程为20 cm

错解:主要是C点为加强点还是减弱点的问题.由图中可看出, B质点处在两列波的波谷相遇处为加强点, E质点处在两列波的波峰相遇处为加强点, 根据加强点与减弱点互相间隔, 得C处为减弱点, 故 (A) 、 (D) 正确.

错因正解:由两列波的传播方向可以看出, 质点C再经时间$\frac{1}{4}{\rm T}$为两列波波谷相遇, 或再经时间$\frac{3}{4}{\rm T}$为两列波波峰相遇, 因此C处为振动加强点.可以得到A、B、C、E这一条线上各点均为振动加强点, 而旁边过D点的这一条线上各点均为振动减弱点, 可见加强点和减弱点究竟在哪个方向上互相间隔, 应具体问题具体分析, 上面盲目套用结论判断出C处为减弱点是错误的.图示中质点C处在平衡位置, 由波的传播方向可知C点向下运动, (C) 项正确;A质点处在两列波的波峰相遇处, 它的位移此时为2倍振幅, 即10 cm, B质点处在两列波的波谷相遇处, 图示时刻的位移为2倍振幅, 即-10 cm, 因此A、B两质点竖直高度差是20 cm, (B) 选项错误;依题意:${\rm T}=\frac{\lambda }{v}=0.5\text{s}$, 从图示时刻算起经0.25 s, 即经历半个周期, 质点B通过的路程为20 cm, (D) 选项正确, 综合 (C) 、 (D) 正确.

数列易错点剖析 第8篇

一、忽视角的概念, 误入陷阱

例1若α, β为第二象限角, 且α>β, 则 ()

A.si nα>si nβB.si nα

C.si nα=si nβD.以上都不对

错解:∵y=sinx在第二象限为减函数, 且α>β, ∴sinα

剖析:错解错在对角的概念理解不清, 误将象限角看成某一区间如 (, π) 内的角.

正解:不妨取, 则sinα=sinβ, 排除A, B;取, 则sinα≠sinβ, 排除C.故应选D.

感悟:复习时要强化对各类角的概念的记忆和理解, 尤其要注意区间角、象限角、终边相同的角这三者的区别与联系.

二、忽视定义域, 劳而无功

例2判断函数的奇偶性.

∴f (x) 是奇函数.

剖析:错解没有考虑原函数的定义域, 若定义域不关于原点对称, 则函数不具备奇偶性.

正解:∵1+sinx+cosx≠0,

∴f (x) 的定义域不关于原点对称, 故函数f (x) 是非奇非偶函数.

感悟:处理函数问题时一定要牢记“定义域优先”的解题原则.

三、忽视隐含条件, 画蛇添足

例3已知t anα, t anβ是方程的两根, 且α, β∈ () , 求α+β的值.

剖析:错解中忽视了隐含条件:t anα, t anβ是方程的两个负根.

感悟:三角求值或求角的大小时, 不仅要注意已知的角的范围, 还要结合有关角的三角函数值 (或式) 把角的范围缩小到尽可能小的范围内, 不然容易产生增解.

四、忽视有界性, 生搬硬套

例4已知2α+β=π, 求y=cosβ-6sinα的最小值.

剖析:错解生搬硬套二次函数的最值, 而忽视了sinα的有界性.事实上, 当2时, sinα=, 显然不成立.

正解:由原函数得, 又sinα∈[-1, 1],

∴当sinα=1时, 函数有最小值-5.

感悟:解决与正、余弦函数有关的值域、最值、参数取值等问题时, 一般要考虑三角函数的有界性.

五、忽视等价变形, 强行论证

例5已知sinα=2sinβ, t anα=3t anβ, 求cos2α的值.

因此错解中漏掉一解.

感悟:三角变形时, 要注意检验以下两点:1.所使用的三角公式成立的前提条件是否满足;2.变形前后的两个式子是否等价.

算法中的易错点剖析 第9篇

一、 关于判断条件

1. 循环结构中的判断条件

一般地,当整个算法程序中遇到某段子程序需要重复进行时,便会出现循环结构.循环结构对应循环语句.循环结构的核心就是循环体,它是循环结构中反复进行的操作部分.

在循环背景下,如何判定给定的条件p是否成立呢?为了帮助同学们突破这个问题,我们先看一个熟悉的案例.

引例 等差数列{an}中,a=22,公差d=-2,试问数列{an}中从第几项开始后面每一项都小于0?

解析 估计很多同学都会这样求解:数列{an}的通项公式为an=24-2n,令an<0,即24-2n<0,得n>12,故数列{an}从第13项开始后面每一项都小于0.

应该说这个结论是正确的.那么是否也可以说从第14(或15等)项开始每一项都小于0呢?这就涉及到对问题的准确理解和定位了.

不难看出数列{an}是递减数列,本问题的实质是需要确定从哪一项,且只能是从这一项开始后面每一项都小于0,因此应考虑建立不等式组an≥0,an+1<0来确定.由24-2n≥0,24-2(n+1)<0,得n≤12,n>11,故n=12,n+1=13,故数列{an}从第13项开始后面每一项都小于0.

再来看下面一个问题.

例1 按流程图(图1)进行运算.规定:程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算.

(1) 若x=5,则运算进行______次才停止;

(2) 若运算进行k(k∈N*)次才停止,则x的取值范围是_____.

解析 (1) 当x=5时,由于5×3-2=13<244,13×3-2=37<244,37×3-2=109<244,109×3-2=325>244,故运算进行4次即停止.

(2) 由于运算进行k(k∈N*)次停止,因此当k=1时,则3x-2>244,即x>82;当k≥2时,第k-1次时仍然不满足条件,故有3k-1x-2(3k-2+3k-3+…+3+1)≤244,3kx-2(3k-1+3k-2+…+3+1)>244,解得1+35-k

小结 由此我们可以看出,循环结构中为什么循环、对谁循环并不难理解,其关键是对判断条件的把握.判断条件把握准确了,那么输出的结果以及运行的次数也就迎刃而解了.

例2 设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法.图2中给出了程序的一部分,则在横线(1)上不可以填入下面的哪些数?________.

①13;②13.5;③14;④14.5.

解析 由伪代码语句可知S,I的值是这样变化的:I=3,S=1×3,I=5,S=1×3×5,I=7,S=1×3×5×7,I=9,S=1×3×5×7×9,I=11,S=1×3×5×7×9×11,I=13,S=1×3×5×7×9×11×13.据此可知横线(1)上不可以填②、③、④.

2. 选择结构中的判断条件

判断条件不仅仅局限于循环结构(或循环语句),在条件结构中也是很重要的一环.只有条件是否满足确定了,才能确定进行哪一种操作.

例3 (2010年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一))已知{an}是等差数列,设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|(n∈N*).某学生设计了一个求Tn的部分算法流程图(如图3),图中空白处理框中的操作是用n的表达式对Tn赋值,则空白处理框中应填入:Tn←______.

解析 就题设第一句而言,Tn是等差数列前n项的绝对值的和.而从所给流程图来看,当n≤5时,Tn=

-n2+9n.故可得|a1|=8,|a2|=6,|a3|=4,|a4|=2,|a5|=0,因此a1=8,公差d=-2,或者a1=-8,公差d=2.而这两种情况下的Tn是一样的.

因此当n≥6时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an)=2(a1+a2+…+a5)-(a1+a2+…+an)=2×20-8n+×(-2)=n2-9n+40,故应填写n2-9n+40.

二、 关于输出结果

任意一个问题的算法都必须有结束的时候(有限性),任意一个算法都必须有输出结果.循环结构中变量从初始值经过一系列反复运算后,我们最关心的是输出的结果是什么,这就需要关注循环的次数,以及是循环结束后输出,还是每循环一次就输出一次.同样,对循环结束的条件的把握也是非常重要的.

例4 (2010年福建理科卷改编)阅读流程图4,若运行相应的程序,则输出的i的值等于_____.

解析 由流程图可知其功能是输出使和S=1•21+2•22+3•33+…+i•2i>11的i的最小值加1后的值,因为1•21+2•22=10<11,1•21+2•22+3•33>11,所以使S>11的最小的i=3,故输出的i是4.

小结 注意这里循环结束是用当i=3时的和S来判断的,即用俗称的“上一次(循环)的结果”来判断的,并不是用当次循环的结果来判断的,因此当循环结束时,输出的i的值应该是4.这是极易出错的地方.

你能看出下面一题与例4的区别吗?

(2010年全国高考宁夏卷改编)如果执行图5的框图,输入N=5,则输出的数等于______.

答案为.解答过程略.

例5 如图6,该程序运行后输出的结果是______.

解析 有相当多的同学认为结果是1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6=873.

实际上这个结果是错误的.为什么会出现这种情况呢?

分析一下这个语句的结构.这里有嵌套的两个循环语句,并且在两个循环语句之间又插入了另外两个语句:“S←0”和“a←0”.这就意味着当变量K从2至I循环结束后得到的S的值在变量I取下一个值之后立刻被清空为0了.就外层循环而言,上一次循环的结果不再带入下一次循环.因此,就本题而言,实际上只需要考虑变量I取6时的情况就可以了.

事实上,当I=6时,变量K从2至6,循环后,a=1×2×…×6=720,S=0+a=720,因此该程序运行后输出的结果是720.

例6 如图7,该程序中,最后输出的k和i的值分别是_____和_____.

解析 实际上,教材中介绍“For语句”的时候(包括书中所配的例题),只是强调了在循环的次数已经确定的情况下可以利用“For语句”来实现,却没有讲清楚什么时候(或什么条件下)退出循环.

就本题而言,许多同学认为:变量i的值在从1到20之间,其初值是1,步长是3,因此循环的次数是7,变量i最多取到19,故最后输出的k和i的值分别是7和19.

事实上,正确的答案应该是7和22.因为“For语句”的意思是变量从初值开始,逐次加上步长,当它在初值与终值之间(可以等于初值或终值)时,就执行循环;当它不在初值与终值之间时,才退出循环.因此图7中的“For语句”可以改为图8中的“While语句”.实际上,把图7中的20改为19或21,本题的结果都不变.

1. (2010年天津理科卷改编)阅读程序框图9,若输出的S的值为-7,则判断框内不可填写_____.

①i<3;②i<4;③i<5;④i<6.

2. 阅读图10所示的程序框图,若输入的m=5,n=3,则输出的i=______.

3. 要使For循环“For kFrom m To 88 Step 5”执行8次,则整数m的最大值为______.

4. 图11是一个算法的流程图,最后输出的n=______.

参考答案

1. ①②③. 提示:由程序框图知S=2-1-3-5-…,要使输出的S的值为-7,即S=2-1-3-5,只需i≤5.