生产提前期范文

2024-06-18

生产提前期范文（精选6篇）

生产提前期第1篇

在ERP (Enterprise Resource Planning, 企业资源计划) 当中, MRP (Material Requirements Planning, 物料需求计划) 算法是重要的核心, 在生成传统MRP算法之前, 设定各个物料的提前期、订货批量等, 在计算过程中, 通过对预先设定的提前期、批量等进行运行, 从而做准确的结果进行获取。

其中, 一批数量的采购、无聊生产等, 就是批量, 主要是对最佳订购量进行体现。而提前期则是关于一批的时间, 也就是在一个批量的检验、采购、生产等过程中花费的时间。动态批量、静态批量是批量当中主要组成部分, 其中动态批量包括最低总成本法LTC、最低单位成本法LUC等, 静态批量包括固定批量法FOQ、定期批量发POQ等。在传统的MRP算法当中, 固定批量法较为常用, 也就是在计划数量中, 应当确保任何需求情况下, 保持在一个批量之上。

但现阶段市场需求不会一成不变, 同时不好确定批量的提前期、大小等, 所以, 一些企业在实施ERP的时候, 在生产计划生成中, 对传统MRP进行应用, 得到的结果也缺乏科学性。所以, 本文深入的探讨了MRP传统算法中关于提前期、批量等方面的内容, 并对一些新算法, 如根据日产量排产的方法进行计算。

二、MRP运算中提前期和批量的逻辑

在MRP算法当中, 对于物料的提前期、批量等, 都应提前进行设定。从生产型企业角度分析批量包含生产耗用量和检验损耗量, 提前期包含采购周期和检定周期等。在一定批量的基础上, 对提前期进行确定。基于升级情况, 越大的批量, 通常对应越长的提前期, 反之亦然, 不过, 线性关系并不能代表二者的关系。

1. 计算净需求量

(1) 以上层母件的数量为基础, 从MPS中得出 (MPS (MasterProduction Schedule, 主生产计划) ) , 利用BOM (Billof Material, 物料清单) , 对各个日期内, 当层子件的需求数量进行确定。

(2) 针对不同物品, 在日期t中, 对需求量Gt进行计算, 已有库存量, 在日期t当中, 是Qt-1。

(3) 在日期t当中, 基于已完成计划, 对物品预计完工数量St进行获取。

(4) 在日期t当中, 对物品差额数量进行计算, (净需求数量) Nt:Nt=Gt-Qt-1-St;

2. 新增计划数量Pt的确定

对于每一个物品得到一个新增计划数量Pt:只有当净需求数量Nt≤0时, Pt=0;否则, Pt>0。因为, 在Nt没有超过物品批量B的时候, 对于Pt和B相等的最小批量原则加以满足。如果Nt超过了B, 那么Nt和Pt相等。所以, 对于新增计划开工日期, 应减去提前期L, 即t-L, 完工日期为t。

3.计算日期t内每个物品的预计可用库存数量Qt:Qt=Qt-1+St+Qt-Gt。

4. 对以上的步骤进行重复, 能够对全物品新增计划进行获取。

在MRP运算中, 为了对物品新增计划进行获取, 基于运算逻辑, 在第2步中, 能够对新增计划进行获取, 同时也能够体现提前期、批量等作用。所以, 对于计划起止日期、预计数量等来说, 提前期、批量等, 其作用都十分重要。

三、固定批量和提前期对MRP计算结果的影响

需要设定提前期、批量, 才能够支持MRP的运行。基于MRP运算视角来分析运算结果中, 提前期、批量等造成的影响, 应当进行相应的假设。

在成品A当中, 具有A-B-C的层级结构, 同时, A为最终产品, B为半成品, C为原材料。逻辑关系为生产一个A需要QB个半成品, B是A的子集;生产一个B需要QC个原材料, C是B的子集。

A的批量为QA, 提前期为LA;B的批量为QA*QB, 提前期为LB;C的批量为QA*QB*QC, 提前期为LC。如果A、B、C是零的库存量, 从到货开始, 对材料资金占用进行计算。

在实际需求量大于批量、实际需求量小于批量、实际需求量等于批量等不同的情况下, 进行对比库存积压材料数量、材料资金占用时间、累计生产时间等。结果如下表所示。

从上表中可以看出三者的累计生产时间、材料资金占用时间相同, 但当实际需求数量比批量小时, 会造成库存积压, 积压数量为 (QA-N1) *QB*QC, 产生库存积压的原因是固定批量。在库存积压资金方面, 如果加上制造费用、人工等方面的资金, 将会进一步增加, 因而批量生产中控制成本的效果九难以得到更好的发挥。同时, 如果实际需求数量超过了批量很多, 计划将无法完成。

从上面例子可以看出, 成品批量的大小决定着提前期和批量的大小。因此, 在顾客需求变动较大的企业, 对于计划需求, 难以通过固定批量、固定提前期加以适应。

四、引入日产量对批量和提前期动态调整

固定批量和提前期的MRP运算结果是不太令人满意的。批量大小会随着需求的大小而变化, 应该设定多组批量和提前期。需求量在一定范围内变化时, 人工设定多组批量和提前期还可行, 但需求数量变化范围大时基础数据工作量急剧加大, 就不太具有可操作性了。因此论文提出一种利用日产量调整批量和提前期的改进MRP算法, 能够生成比较理想的计划。下面就对按日产量安排计划的新MRP算法做一些简单介绍:

假设需生产的物品最小经济批量为N及对应的提前期为L, 且当前没有该物品的在制品计划。设定该物品的日产量NR及对应的提前期LR, 日产量为在有生产计划的情况下一天可以生产多少该物品的数量。最后设定N=KNR+B的余数处理关系, 其中K∈ (1, 2, 3···) , B∈ (0, 1, 2, 3···) 。

计划生成, 按日产量排产MRP与传统MRP运算最大的区别在于生成净需求之后, 利用批量法则生成新增计划基础之上。以论文第二部分例子按日产量的MRP运算在步骤2是这样处理的:

当Nt≤0, 新增计划Pt=0;如果0<Nt≤N, 则Pt=N, 且Pt的计划开始日期为t-L, 总工期为t;如果Nt>N, 则采用余数处理方式这样运算:

(1) 设NM=Nt-N, 如果按照净需求排产则利用公式NM=KNR+B (NR>B>0;NR, B∈ (1, 2, 3···) ) , 计算出K, B的值;如果按照日产量排产则利用公式NM=KNR, 计算出K的值。

(2) 当B>0, 先安排一个计划, 计划开始日期为t-L=1, 即多用一天的时间完成余数, 计划数量为B。

(3) 当K>0, 需要安排K个计划, 第1个新增计划的开始日期为t-tB-LR, 计划完工日期为t-tB, 第K个计划的开始日期为t-tB- (K-1) -LR, 计划完工日期为t-tB- (K-1) , 计划数量都为NR。

五、按日产量排产与传统方法MRP运算的比较

传统的MRP中的批量和提前期是一次性设定, 且为固定不变的, 所以, 通常难以准确的确定提前期、批量等, 在MRP运算中, 也难以得到准确的计算结果。在基于日产量排产的MRP算法中, 可以对最小提前期、经济批量等进行设定, 然后以企业实际生产能力为基础, 对日产量进行确定。在此基础上, 可对提前期、批量等进行准确的确定, 对企业的生产提供更好的支持和依据。

当实际需求量比批量小时, 由于各物品设定了最小经济批量和较短的提前期, 避免了库存积压过多的资金。如果对每个物品进行汇总, 可以看做批量等于需求量, 每个物品的提前期相当于延长了k天的k条计划, 从而保证了生产计划的顺利完成。

此外, 在日产量MRP中, 能够降低库存资金占用时间, 在过去的MRP算法库存占用时间为LA+LB+LC, 而基于日产量的排产的MRP计划的库存占用时间为LA+LB+1, 如果需求数量是最小经济批量的K倍时, 很容易的算出传统MRP算法、日产量排产MRP算法之间, 对于资金占用的不同天数差异。

在实际应用中, 能够发挥出如此良好的作用, 是由于在传统MRP中, 通常具有一一对应的计划和需求, 一个计划, 是由一个需求产生的, 因此需要一次到达原材料。在日产量排产MRP当中, 计划和需求之间, 转变为一对多的关系, 多个生产计划, 都能被一个需求所对应, 因此, 能够分多次到达原材料, 对于原材料资金的占用时间, 自然会有所减少, 从而使资金流转速度进一步得到优化。

六、结语

本文提出的按日产量对MRP中的批量和提前期进行动态调整的方法, 是新生成的MRP更加切合生产实际, 降低材料资金占用时间。该方法已成功应用在需求变化比较大、按日排产的企业当中, 并已收到很好的效果。

参考文献

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[2]Richatd BChase, Nicholas JAquilano.Pruduction and OperationsManufacturing and Services (Eighth Edition) [M].北京:机械工业出版社, 1998.647-649.

[3]周如意.基于可用库存量的MRP运算及其逆运算[J].计算机与网络, 2006 (10) :123-124.

[4]李必强.企业生产组织的均衡性、弹性[M].武汉:华中理工大学出版社, 2014.77-78.

生产提前期第2篇

采购提前期是指从供应链节点发出采购需求到产品在节点的下游可以获得的时间间隔。销售提前期是指从顾客发出订单到接收到产品的时间间隔, 是销售商向顾客承诺的提前期。较长的采购提前期会导致较高的产成品安全库存水平, 而较短的采购提前期则会导致单位采购成本的增加。较长的销售提前期会导致需求的缩减, 而较短的销售提前期期则会带来需求的增加。对于销售商来说, 合理安排好销售提前期、采购提前期以及销售价格, 对增加利润、改善顾客服务水平等有重要意义。

在控制提前期的问题上, 很多学者都做了研究和探索, Liao和Shyu最早分析了提前期作为决策变量的连续补货库存模型[1], 此后Bendaya和Raouf[2]、Ouyang等[3]、Pan和Yang[4]等学者从不同角度探讨了如何有效地缩短提前期的问题。Bibo和Joseph[5]提出了销售商两种不同的库存策略PEND和SEND, 并证明了最优决策时销售提前期为0或者等于采购提前期的结论。尽管如此, 前人的研究中缺少对销售提前期敏感商品采购提前期压缩的研究。本文基于Bibo和Joseph关于PEND库存策略的假设及关于销售提前期的最优结论, 将可以通过额外赶工来加以控制的采购提前期引入模型, 进一步探讨了最优决策时采购提前期压缩问题及确定合理销售提前期和销售价格, 以确保销售商利润最大化。

2 模型建立及求解

2.1 模型假设及符号定义

本文所研究问题假设如下 (假设①至假设⑦引自文献[5], 假设⑧、⑨引自文献[3]) :

①销售商所面对的市场需求是变化的, 其需求一般来说随着销售价格和销售提前期的增大而减小。

②销售商按照 (Q, r) 连续检测库存控制策略对库存进行补给, 即当库存降低到再订货点r时向上游发出Q量订单。

③允许销售商在承诺的销售提前期内存在一定量的缺货。

④销售商只采购一种产品提供给顾客。

⑤销售商采购成本为采购提前期的函数, 其值随采购提前期缩短而增加。

⑥不考虑从销售商到顾客之间的运输时间及运输成本。

⑦不考虑由于缺货而带来的惩罚成本。

⑧采购提前期是可控制的, 其包括n个相互独立的操作时段, 每个操作时段均有一个最长持续时间和一个最短持续时间。

⑨缩短采购提前期, 则增加应变成本;应变成本与操作时间段呈线性关系, 其系数与该段的操作有关。

符号定义如下:

本文所采取与文献[5]及文献[3]相同的符号定义。

D (p, Ls) :年平均需求量 (产品价格和销售提前期的函数) ;

ρ:周期服务水平, 在采购提前期内无缺货的最小概率;

K:单次固定订货成本;

h:年单位库存持有成本;

cp (Lp) :单位采购成本 (采购提前期的函数) ;

μ:单位时间增量内的期望需求;

σ:单位时间增量内的需求的标准方差;

k:安全库存系数;

p:销售商提供的产品价格;

Ls:销售商承诺的销售提前期;

L0:销售商销售提前期最大值;

Lp:销售商采购提前期;

Lup:采购提前期基值;

Q:订货量;

ai:采购提前期第i个操作段的最大持续时间, i=1, 2, …, n;

bi:采购提前期第i个操作段的最短持续时间, i=1, 2, …, n;

ci:缩短第i个操作段单位时间需要增加的应变成本, 设c1≤c2≤c3≤…≤cn;

L0p:采购提前期的最长持续时间, 即 $L_{p}^{0} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ ;

L1p:采购提前期所能被压缩的最短时间, $L_{p}^{1} = \sum_{i = 1}^{n} b_{i}$ ;

Lpi:采购提前期中第1到i份都充分压缩下的提前期长度。因此

$\begin{array}{l} L_{p i} = \sum_{j = 1}^{i} b_{j} + \sum_{j = i + 1}^{n} a_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{j} - \sum_{j = 1}^{i} (a_{j} - b_{j}) \\ = L_{p}^{0} - \sum_{j = 1}^{i} (a_{j} - b_{j}) \end{array}$

2.2 模型的建立

销售商的利润由年销售收益、年采购成本、固定订货成本、年库存持有成本、年赶工成本 (包含到年采购成本内) 几部分构成 (其中①到④根据文献[5]得出, 而⑤的成本代数式来自文献[3]) 。

①年销售收益。

单位销售价格为p, 因此, 销售商销售收益为p·D (p, Ls) 。

②年采购成本。

单位采购成本为cp (Lp) , 因此, 销售商采购成本为cp (Lp) ·D (p, Ls) 。

③固定订货成本。

由于销售商单次固定订货成本为K, 每次订货量为Q, 因此年固定订货成本为 $\frac{D (p, L s)}{Q} Κ .$

④年库存持有成本。

销售商采用PEND库存策略, 则再订货点r为 $μ (L_{p} - L_{s}) + k σ \sqrt{(L_{p} - L_{s})^{+}}$ , 其中 (x) +代表的含义为 (x) +=max{x, 0}, 系统平均库存为 $\frac{(Q + k σ \sqrt{(L_{p}^{u} - L_{s})^{+}} - μ L_{s})^{2}}{2 Q}$ , 因此年库存持有成本为 $h \frac{(Q + k σ \sqrt{(L_{p}^{u} - L_{s})^{+}} - μ L_{s})^{2}}{2 Q}$ 。

⑤年赶工成本。

当Lpi≤Lp≤Lp (i-1) 时, $c_{p} (L_{p}) = c_{0} + \sum_{j = 1}^{i - 1} c_{j} L_{j} + c_{i} (L_{p (i - 1)} - L_{p})$ 。

假设采购提前期Lp取基值Lup时, 不存在年赶工成本, 销售商的利润函数为

$\begin{array}{l} π (p, L_{s}, Q) = D (p, L_{s}) [p - c p (L_{p}^{u}) - \frac{Κ}{Q}] \\ - h \frac{(Q + k σ \sqrt{(L_{p}^{u} - L_{s})^{+}} - μ L_{s})^{2}}{2 Q} (1) \end{array}$

Bibo和Joseph通过数学证明, 得出一条重要结论:当需求函数D (p, Ls) 在给定任意价格下都是销售提前期的凸函数时, 销售商利润函数关于销售提前期Ls的最优解存在, 且L*s∈{0, Lup, L0}。也就是说, 最优解为采用严格的MTS系统、等于采购提前期, 或者不运作该系统 (L*s=L0) 。

通过对Q求导, 可以得到最优订购批量, 然后再代入式 (1) 中, 从而得到Ls=0和Ls=Lp两种不同情况下的销售商利润函数。设 $\tilde{D}$ 0 (p) 代表Ls=0时价格p的期望需求函数, $\tilde{D}$ u (p) 代表当Ls=Lup时价格p的期望需求函数。则两种情况下利润函数为:

$\begin{array}{l} π (p, 0) = \tilde{D}_{0} (p) (p - \bar{c}_{p}) - \sqrt{2 Κ \tilde{D}_{0} (p) h} - h k σ \sqrt{L_{p}^{u}} (2) \\ π (p, L_{p}^{u}) = \tilde{D}_{u} (p) (p - \bar{c}_{p} + h L_{p}^{u} / Τ) - \sqrt{2 Κ \tilde{D}_{u} (p) h} (3) \end{array}$

本文通过将文献[3]中可通过额外赶工分段线性压缩的采购提前期引入到Bibo的PEND库存策略当中, 并应用其关于销售提前期的最优化结论, 用赶工成本⑤代替式 (1) 中的单位采购成本, 同时以采购提前期、销售价格为决策变量, 则建立了销售商关于采购提前期的利润函数模型, 目标为销售商利润最大化。

(1) Ls=0的情况

对于采购提前期的第i个可压缩间隔Lp∈[Lpi, Lp (i-1) ], 则有销售商利润函数如下:

$\begin{array}{l} π (p, L_{p}) = \tilde{D}_{0} (p) [p - c_{0} + \sum_{j = 1}^{i - 1} c_{j} L_{j} + c_{i} (L_{p (i - 1)} - L_{p})] \\ - \sqrt{2 Κ \tilde{D}_{0} (p) h} - h k σ \sqrt{L_{p}} (4) \end{array}$

(2) Ls=Lp的情况

对于采购提前期的第i个可压缩间隔Lp∈[Lpi, Lp (i-1) ], 则有销售商利润函数如下:

$\begin{array}{l} π (p, L_{p}) \\ = D (p, L_{p}) [p - c_{0} + \sum_{j = 1}^{i - 1} c_{j} L_{j} + c_{i} (L_{p (i - 1)} - L_{p}) + \frac{h L_{p}}{Τ}] \\ - \sqrt{2 Κ D (p, L_{p}) h} \end{array} (5)$

2.3 模型求解

对模型的求解也按照Ls=0和Ls=Lp两种情况分别进行。

(1) Ls=0的情况

观察式 (4) , 求解该利润函数最大化时, c0, cj, Lj, Lpj均为已知变量, 所以去掉不含有Lp的表达式, 将函数进行简化。令函数

$F (p, L_{p}) = \tilde{D}_{0} (p) c_{i} L_{p} - h k σ \sqrt{L_{p}}, L_{p i} \leq L_{p} \leq L_{p (i - 1)} (6)$

则模型求解问题实际上转变成:

$\max_{L_{p i} \leq L_{p} \leq L_{p (i - 1)}} {\tilde{D}_{0} (p) c_{i} L_{p} - h k σ \sqrt{L_{p}}} (7)$

式 (7) 最大化的形式由两部分组成, 前一项为采购提前期的线性函数, 后一项连同负号为凸函数, 因而其和仍为凸函数。根据凸函数性质, 其函数最大值一定存在于Lp的分段端点之中。之后通过求解含有价格的EOQ问题[6]便可以解出在每一个采购提前期端点值处的最优销售价格和最大利润。最后对各个端点处求得的最大利润进行比较, 从而决定最优采购提前期。

进一步思考, 并非压缩提前期就能带来利润的增加, 为了保证给定价格下至少有0.1个时间段的减少能带来利润的增加, 有以下采购提前期可压缩的经济性条件:

$c_{1} \leq \frac{10 h k σ \sqrt{L_{p}^{0}}}{\tilde{D}_{0} (p)} (1 - \sqrt{\frac{L_{p}^{0} - 0.1}{L_{p}^{0}}}) (8)$

当L0p≥0.2时, 式 (8) 右端圆括号项内的值不会高于0.3, 前一项为最大采购提前期下所要求的安全库存水平与年平均需求的比值, 在高需求量且 (Q, r) 策略的系统下, 该值都比较小。因此不等式左端的c1要更小。其物理意义:当Ls=0时, 只有单位采购提前期压缩成本充分小的时候, 采取额外赶工的方式压缩采购提前期才具有经济性。

(2) Ls=Lp的情况

该情况下问题变得要比Ls=0的情况要复杂, 因为此时的年平均需求函数变成销售价格p和采购提前期Lp二者的函数, 式 (5) 中的c0, cj, Lj, Lpj均为已知变量, 通过变换原问题变换为:

$\begin{array}{l} \max_{L_{p i} \leq L_{p} \leq L_{p (i - 1)}} {D (p, L_{p}) (p + (c_{i} - h / Τ) L_{p} \\ - (c_{0} + c_{p}^{i}) - \sqrt{2 Κ D (p, L_{p}) h}} (9) \end{array}$

式中, $c_{p}^{i} = c_{i} L_{p (i - 1)} + \sum_{j = 1}^{i - 1} c_{j} L_{j} .$

观察式 (9) , 如果将Lp也看作是一维价格的话, 则它可以看成一个含有二维价格的EOQ问题。在线性需求的情况下, 对p和Lp分别求一阶偏导, 可以得到给定销售价格p下, 目标函数为采购提前期Lp的凹-凸函数[7]; 同样给定采购提前期Lp下, 目标函数为价格p的凹-凸函数。这说明, 给定价格p时, 有一个 $\hat{L} p$ 使得当 $L_{p} \leq \hat{L}_{p}$ 时函数为凹, $L_{p} \geq \hat{L}_{p}$ 时函数为凸。对于价格p亦有相似结论。因此只需要考虑函数关于Lp凹段的驻点以及分段的端点来决定此时每一段的最优采购提前期。

另外一个较为实际一些的方法, 在很多情况下, 采购提前期压缩的值都是离散的 (如根据小时、天、周等来计算) 。这样就可以建立一个采购提前期的离散可行集合, 设为Τp, 则在Ls=Lp的情况下, 只需要对每一个Lp∈Τp求解含有价格的EOQ问题, 便可以解出对应的最优价格和最大利润。一般采购提前期的选择都是按照基本的任务期长度 (本文采用0.1天) 的整数倍来进行。

由式 (9) 可以看出, 销售商利润函数不再包含安全库存成本项, 可以通过减少采购提前期从而增加顾客需求量, 这就给压缩采购提前期提供了动力。但这要求顾客需求必须是对提前期高度敏感的, 否则提前期的缩减带来收益的增加不足以弥补赶工增加的额外成本时, 就没有赶工的必要了。数学上可以看出-当需求对提前期不敏感的时, D′ (p, Lp) =0, 式 (5) 对Lp的一阶偏导数变为:π′ (p, Lp) =D (p, Lp) (ci+h/T) , 这表明函数在Lp上为非减函数, 随着采购提前期的缩短, 目标利润只能是减少的。因此, Ls=Lp时, 顾客需求对提前期敏感是采购提前期压缩的经济性条件。

2.4 采购提前期连续可压缩的情况

在一般性的情况下假设采购提前期可以连续压缩, 单位采购成本函数是一个连续光滑的函数。重新定义提前期采购成本函数:

$c_{p} (L_{p}) = c_{0} (L_{0} / L_{p})^{θ} ‚ θ > 0 (10)$

幂函数曲线可以看成对分段线性曲线分段数目较多时的拟合。当提前期Lp≤L0时该函数为一严格单调递减的凸函数, 随着对参数θ的不断修正, 它可以代表一系列不同情形下单位采购成本随提前期压缩量增大而增大的凸函数。

(1) Ls=0的情况

得到如下销售商利润函数:

$\begin{array}{l} π (p, 0) \\ = \tilde{D}_{0} (p) [p - c_{0} (L_{0} / L_{p})^{θ}] - \sqrt{2 Κ \tilde{D}_{0} (p) h} - h k σ \sqrt{L_{p}} \end{array} (11)$

省略掉式 (11) 中与Lp无关的项, 然后将最大化问题转化为极小化问题, 则最大化利润π变成:

$\min_{0 \leq L_{p} \leq L_{0}} {\tilde{D}_{0} (p) c_{0} (L_{0} / L_{p})^{θ} + h k σ \sqrt{L_{p}}} (12)$

令式 (12) 大括号中的项为H (Lp) , 通过H (Lp) 对Lp求二次导数得到:

$Η^{″} (L_{p}) = θ (θ + 1) \tilde{D}_{0} (p) c_{0} (L_{0})^{θ} L_{p}^{- θ - 2} - \frac{1}{4} h k σ L_{p}^{- \frac{3}{2}} (13)$

令H″ (Lp) ≥0, 得到

$θ (θ + 1) \geq h k σ \sqrt{L_{p}} / (4 \tilde{D}_{0} (p) c_{0} (L_{0} / L_{p})^{θ}) (14)$

可以看出, 式 (14) 右端项在Lp=L0时取最大值。因此只要保证:

$θ (θ + 1) \geq \frac{h k σ \sqrt{L_{p}}}{4 \tilde{D}_{0} (p) c_{0}} (15)$

则一定有H (Lp) 函数为凸函数, 其最小值存在。式 (15) 是一个很弱的条件, 只要系统的需求量较大, 即使很小的θ值也能满足目标函数的凸性。利润函数最大化问题转为一个凸函数求最小值的问题。令H (Lp) 函数对Lp的一阶导数等于0得到:

$\begin{array}{l} Η^{'} (p, L p) \\ = - θ \tilde{D}_{0} (p) c_{0} (L_{0})^{θ} (L_{p})^{- θ - 1} + \frac{1}{2} h k σ (L_{p})^{- \frac{1}{2}} \\ = 0 \end{array} (16)$

解出

$(L_{p})^{θ + \frac{1}{2}} = 2 θ \frac{\tilde{D}_{0} (p) c_{0}}{h k σ} (L_{0})^{θ} (17)$

从结果表达式可以看出, 最优采购提前期值随着最大提前期值和θ增大而增大, 而这两个变量的增大也是促使采购提前期压缩成本增大的原因。同时也可以看到采购提前期随单位安全库存持有成本的增大而减少, 这说明较高的安全库存成本也会促使人们使用较短的采购提前欺, 销售商不能通过压缩采购提前期的方式降低安全库存水平。通过对等式重新调整得到:

$c_{0} (\frac{L_{0}}{L_{p}})^{θ} \tilde{D}_{0} (p) = \frac{1}{2 θ} h k σ \sqrt{L_{p}} (18)$

式 (18) 的驻点条件暗示了年采购成本 (左边项) 等于年库存持有成本乘以 $\frac{1}{2 θ}$ (右边项) 。在实际当中往往年采购成本要远大于安全库存持有成本, 因此要满足实际情况要求, θ必须取很小的值, 这也是采购提前期压缩的经济性条件。同样, 求解销售价格p的问题转化为求解含有价格的批量订货问题。

(2) Ls=Lp的情况

将Ls=Lp以及单位采购成本函数代入到等式 (3) 中, 同时把Lp作为决策变量, 得出了销售商利润函数:

$\begin{array}{l} π (p, L_{p}) \\ = D (p, L_{p}) [p - c_{0} (\frac{L_{0}}{L_{p}})^{θ} + \frac{h L_{p}}{Τ}] - \sqrt{2 Κ D (p, L_{p}) h} \end{array} (19)$

问题变为求maxπ (p, Lp) 在[0, L0]上的最大值问题。同样可以将该问题可以看成含有二维价格的EOQ问题, 或者采取构造Lp离散可行集的方法来求解最优价格p.

3 数值分析

3.1 采购提前期分段可压缩

假定需求函数为销售价格p和销售提前期Ls的线性函数, D (p, Ls) =α-βLs-γp式中α、β、γ均为正数。需求随销售提前期Ls增大而减小, 同样也随销售价格p的增加而减小。各参数具体设置如表1。

由表1可以看到采购提前期最短L1p为11.5天, 而采购提前期最长L0p为21天, 设定c0为40。

(1) Ls=0的情况

Lp最优解存在于分段线性函数的各个端点处, 计算出Lp取各端点值时的最优价格以及最大利润如表2所示。

由表2和和图1可以看出来L*p=17.1天为最优解, 此时的最优价格p为72.040, 最大目标利润π为67599。当Lp<17.1和Lp>17.1时, 目标利润都相应减少, 而对应的价格则都呈上升趋势。

本文的基础数据中ci选取的数值较小。根据前序讨论, 如果ci比较大, 则采购提前期没有压缩的必要。假设ci都大于0.10, 如表3, 其他数据不变。则可以得到一组Lp取各分段端点时的最优决策如表4。

由表2、表3、表4比较可以看出, 只有当单位压缩成本很小的时候, Ls=0时进行采购提前期压缩才是有必要的, 这也验证了Ls=0时的经济性条件。实际上, 当Ls=0时, 采购提前期对需求量不再产生影响, Lp能不能被压缩实际上就是不确定性减小带来的安全库存成本的减少与采购提前期压缩带来的采购成本的增加之间的平衡问题。

(2) Ls=Lp的情况

本文采用构造采购提前期的离散可行集的方法, 设Lp的最小分割单位为0.1天。重新为ci赋值如表5。从前述讨论中得知, 当Ls=Lp时采购提前期压缩的经济性条件为需求对销售提前期高敏感, 修改需求函数中提前期敏感系数β值为120。得到Ls=Lp的情况下的Lp最优决策结果如表6和图2。

由表6和图2可以看到, 当Lp取15.6时, 目标利润函数有最大值, 此时的最优价格为63.712。实际上当Ls=Lp时, Lp一方面引起了需求的变化, 另外一方面也引起了采购成本的变化。当Lp增大时需求减少, 但采购成本也降低, 因此二者之间必然有一个点使得目标利润最大。当需求对提前期敏感性不强时, 压缩采购提前期带来的额外赶工成本较大, 将选择不额外赶工。

3.2 采购提前期连续可压缩

根据上文数学分析可知, 要使采购提前期的压缩具有经济性, 则θ值一定要很小, 各参数值设置如表7。

Ls=0情况下, 对Lp的求解按照式 (18) 进行, 最优销售价格和最大利润见表8、图3及图4。

由表8、图3及图4可以看出, 随着θ值的增加, 压缩难度越来越大, 最优采购提前期的值也越来越大。最优价格经历了逐渐变大又逐渐变小的过程, 而最大利润经历了逐渐变大又逐渐变小的过程。这是因为最优采购提前期的增大导致了安全库存成本的增大的同时却降低了采购成本。

(a) 最优价格p随θ变化折线图 (b) 最大利润π随θ变化折线图

Ls=Lp情况时, 对Lp求解结果如表9、图5和图6。

随着θ值的增加, 压缩越来越难以进行, 由表9、图5和图6可以看出, 最优采购提前期的值也越来越大。通过与表8相比可知, 当Ls=Lp时的最优价格和最大利润都较低。这是由于Ls=Lp带来安全库存节约的同时也造成需求量的减少, 而此时安全库存成本的节约不足以弥补需求缩水导致的收益缩减。

4 总结

本文研究了对于提前期敏感的商品, 如何合理安排采购提前期的问题。首先假设采购提前期可以通过额外赶工进行分段压缩, 分别讨论了采购提前期等于零及采购提前期等于销售提前期 (即Ls=0和Ls=Lp) 两种情况下的最优采购提前期、最优销售价格和最大利润。然后又假设采购提前期可以连续压缩, 同样也分Ls=0和Ls=Lp两种情况进行了讨论。通过算例的分析, 验证了数学推导的结论。本文在文献[3]的基础上, 研究了同时存在销售提前期和采购提前期的采购提前期压缩问题, 并对其进行了延伸, 拓宽了可控提前期的研究范围, 未来可在此基础上增加不确定性因素等, 研究不同库存策略下的提前期优化问题。

摘要：研究提前期敏感商品的销售商采购提前期压缩与库存优化问题。分别假设单位采购成本函数为分段线性函数和光滑幂函数, 应用国外研究关于销售提前期的结论, 建立了销售商的最大利润函数数学模型。通过数学推导及证明的方法得到最优采购提前期, 又通过问题的转化求解最优采购提前期下的最优价格和最大利润。最后通过数值实验的方法对销售商采购提前期及库存决策进行分析, 数据分析得到了一些销售商提前期和库存最优决策的规律。

关键词：采购提前期,库存优化

参考文献

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生产提前期第3篇

随着经济全球化的发展,企业之间由传统的单一竞争演变成供应链之间的竞争。顾客需求的不确定性,企业生产环节的不确定性,导致了供应链上的企业需持有一定的库存[1]。库存的存在和客户服务水平的提高之间存在着背反现象:库存的存在可以一定程度上满足客户的不确定需求,提高客户的满意度,但是过多的库存会占用企业的大量资金;如果库存减少,在一定程度上无法满足客户的需求,又会降低客户的满意度。所以大多数学术研究都旨在从库存成本的最小化与客户服务水平之间寻求最佳的平衡。

20世纪80年代以来,竞争环境发生了巨大变化,使得企业越来越关注时间因素的竞争,其竞争重点是压缩产品研发、生产和销售在内的整个生产运作中每个环节的时间,以获取竞争优势[2]。提前期作为供应链运作中的时间因素,通过压缩订单提前期可以提高供应链的反应速率,降低安全库存量,提高企业的服务水平和竞争力,相对应的会增大订货频率,从而引起额外成本的增加,所以应该进行权衡考虑。在关于库存的研究中,大多数文献将提前期看作是常数或随机分布函数变量,没有考虑到提前期的可控性,对于其研究较少。

2 相关理论文献概述

提前期是指从发出订单到接到货物的时间长度,提前期的长短直接影响顾客服务水平、安全库存水平和企业的竞争力。在实际生产活动中,提前期可以以增加额外赶工成本为代价来进行压缩和控制。供应链提前期的压缩有着巨大的潜在价值和实际价值,可以带来供应链绩效的全面提高,可以提高客户服务水平,降低安全库存,改进对生产计划变动的响应能力。

在文献方面,Liao&Shyu研究了连续补货库存模型并将提前期看作是唯一决策变量[3]。Bendaya&Raouf考虑将提前期和订货量全部看作为决策变量的库存模型[4]。Ouyang et al研究了允许缺货存在的库存模型,并将缺货分为缺货后补和缺货损失两部分[5]。李怡娜,徐学军等研究了提前期可控的库存模型,考虑了允许缺货后补的分散决策和联合决策两种情形[6]。计明军,靳志宏研究了需求随机条件下的连续盘点库存模型,考虑了提前期可控和服务水平约束,在允许缺货存在的情形下建立库存模型,设计求解最优订货量和最优提前期[7]。桂华明研究了在一个供应商与零售商组成的供应链中,其补货提前期通过费用进行压缩,缺货可以补充,建立了分散决策和集中情形下的库存模型[8]。

从以上文献可以看出,大多数文献对于缺货方面大多考虑缺货后补,但是在实际情况中,缺货分为两个部分,缺货后补和缺货损失。为此,本文在前人的基础上,研究了缺货分为缺货后补和缺货损失两种情况的可控提前期的库存模型。

3 模型的建立

3.1 模型的假设

符号定义

Q:订货量;r:在订货点;k:安全库存因子;D:每年的平均需求;μ:单位时间的平均需求;σ:单位时间需求的平均差;h:每年每单位产品库存成本;q:提前期内允许缺货的概率;ai:提前期的第i个成分正常作业时间;bi:提前期的第i个成分充分赶工下的最短作业时间;ci:单位赶工成本;L:提前期长度;Li:有i个成分充分赶工时的提前期的长度;M:订货的固定成本;N:每单位产品的缺货成本;N0:每单位产品的缺货损失;α:缺货期间缺货量允许补充比例;X:提前期内的需求量。

模型假设

①假设每天需求量服从均值为μ、标准差为σ的正态分布,对于X则应服从均值为μL、标准差为的正态分布。

②当库存降到在再订货点r时进行订货,有无限补货能力。

③再订货点,其中为安全库存,满足P(X>r)=P(Z>k)=q。

④假设c1≤c2≤…≤cn,令L0=∑nj=1aj,因此Li=∑nj=1ai-∑ij=1(aj-bj)(i=1,2,…,n),在已知提前期L∈[Li,Li-1],总赶工成本C(L)=ci(Li-1-L)+∑i-1j=1cj(aj-bj);当L=L0时,则C(L0)=0。

⑤期望缺货量为,其中f(x)为服从正态分布的提前期内需求的概率密度函数,B(k)=φ(k)-k[1-φ(k)],其中φ(k)为标准正态分布密度函数,φ(k)为标准正态分布的累积分布函数,且B(k)>0。

⑥发生缺货时,期望的补货量为αA(r),期望缺货量为(1-α)A(r)。

3.2 模型构成

从以上的假设可以求出:

由于期望成本=订货成本+库存维持成本+缺货成本+提前期赶工成本,所以

3.3 模型求解

对式(1)求出一阶偏导数和二阶偏导数,可知对于确定的L,式子对于Q来说是凸函数,而对于确定的Q,式子对于L来说是凹函数,所以式子E(Q,L)在Q是确定时在Li或者Li-1取得最小值,对Q求一阶偏导数并令其等于零可得

将L0,L1,…,Ln分别代入式子(2),算出相对应的Qi;将对应的(Qi,Li)代入式(1)中,算出相应的期望成本;将所有算出的期望成本做比较,则最小的期望成本对应的Q*,L*就是最优的订货量和提前期。

3.4 算例验证

一个企业年平均需求为600件,订货成本为200元,单位库存成本为20元,需求的标准差为7件/周,缺货概率为0.2,单位缺货成本为50元,单位销售损失为150元,允许缺货损失比例为0.5,提前期数据如表1所示:

根据缺货概率为0.2,由P(Z>k)=q,可以从正态分布分布表中得出k=0.845,将相关数据代入式(1)和式(2),算出的结果如表2所示:

由上表可以得出,当缺货损失比例为0.5时,期望成本最小为3408.93,此时相对应的最优的订货量为158,提前期为4。

4 结论

本文提出允许缺货情况的存在,并将缺货分为缺货后补和缺货损失两种情形下,以期望成本最小化为目标来研究订货量和提前期的最优化,建立了相应的可控提前期库存控制数值算式,数值计算结果验证该算式的可行性。

参考文献

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[4]Ben-Daya M,Raouf A.Inventory Models Involving Lead Time as Decision Variable[J].Journal of the Operational Research Society,1994,45:579-582.

[5]Ouyang L Y,Yen N C,Wu K S.Mixture Inventory Model with Backorders and Lost Sales for Variable Lead Time[J].Journal of the Operational Research Society,1996,47:829-832.

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[7]计明军,靳宏志.基于可控提前期的库存优化模型[J].大连海事大学学报,2011.

生产提前期第4篇

基于时间的竞争是20世纪90年代后的一种主流的竞争模式,时间越来越成为竞争优势的一个关键资源[1],具体在供应链运作中则表现为基于提前期压缩的快速顾客响应。

提前期影响到市场的需求预测偏差[2],一般来说,预测的时间跨度越大,预测的误差也越大,提前期的压缩则可以缩短时间跨度,降低需求预测误差,提高了预测精度。

但是,在供应链环境下,提前期的压缩并非对成员都有利,对于销售商来说,提前期压缩可以减少商品残余量和库存量,改善顾客服务质量,但制造商的收益却在减少,正如Poter[3]和Iyer[4]指出,供应链上提前期压缩并非人人都是赢家,零售商降低预测误差所带来的收益恰恰是制造商所不希望的。在这种情况下,供应链可以采取一定的契约来进行协调。

本文在文献[5]研究的基础下,寻求与其提出的线性补偿机制不一样的协调机制,本文提出基于提前期压缩的利益共享契约,并给出了收益分配因子的可行区间,最后引入风险效用函数,可以对具体的分配因子进行求解,实现供应链收益的任意划分。

2模型描述

考虑单一制造商和单一销售商组成的二级供应链,产品具有短生命周期,在生产和销售过程中,销售商只有一次订货机会,假设销售商从提交订单到收到货物的时间为T,若销售商希望制造商将提前期压缩为t,则供应链提前期的压缩量为T-t,一般的随着提前期的压缩,销售商收集的销售信息量会越来越充分,对市场需求预测的偏差会越来越小[6]。

生产提前期第5篇

关键词：生产提前期,WITNESS仿真,牛鞭效应,测度研究

1 引言

生产提前期就是指企业生产过程中产品以及零部件在各工艺加工阶段投入的时间,比产品完全出产时所提前的时间[11]。合理并准确地确定多计划期的提前期对企业的计划以及控制都有非常重大的意义,因而提前期研究成为热点领域。学者Azaron[1]利用不间断的Markov链来获取了所需要的分布函数。学者Azaron等[2]提出了使用最长路径法来推导出提前期的分布公式,并使用多目标规划法进行优化分析;学者Amir[3]进一步深化了Azaron在文献[2]的研究,提出利用STEM方法来解决多目标优化的问题;而后Azaron在文献[4]中对文献[2,3]中的工作做了深入研究,提出利用遗传算法对多目标问题进行优化。文献[5]研究了具有随机时间和随机需求有一个供应商和一个零售商两级供应链利用补货订单方差放大对其的牛鞭效应进行量化。文献[6]讨论建立多级供应商的单品种库存系统的模型。该模型获得提前期是随机变量,允许延期交货,缺货成本计算不仅考虑每单位的缺货还有单位缺货时间。文献[7,8]对随机变量模拟随机性,语义模糊和不完全信息引起的度量的不精确性即为模糊性作出了一定的探讨。

以往的文献都只是对提前期进行优化分析,但很少考虑随机、模糊因素的影响,这种做法有点欠妥。笔者已在文献[9]中证实了其存在性,并创造性提出了“通过时间综合症”现象,并以此角度深入地探讨了此现象对生产与控制工作带来的困扰。现实生活中的生产系统一般都会比较复杂,其着重表现如下:不确定性[7,8]、资源共享以及并发性等问题。采用仿真建模都能够在一定程度上地解决以上问题,并可为系统的评估分析、性能分析等方面提供坚实的理论依据。如文献[10]中笔者已经采用Petri网建模对对单计划期产品生产波动进行了测度。一些学者对Witness仿真也进行了一定的研究,文献[11]探讨了Witness仿真在生产系统的生产线规划上的应用研究。文献[12]利用Witness仿真对多单元柔性制造系统进行建模与仿真分析。而本文将使用Witness对生产系统进行建模分析以测度多计划期提前期放大效应,为相关的研究尽一份力。

2 提前期牛鞭效应的形成机理

为了更好的研究提前期,笔者在文献[9]中对其形成机理做过一定的分析,本文将在其基础上做简要分析。产品生产一般都是由一些各种各样的工艺以及工序构成,并且这些工艺一般分布很广泛,甚至会在时间和空间上相距很远,但是各个工艺阶段都可能存在着很大的影响。在实际生产中,尤其是在订单生产方式下,更是面临着不确定性因素[7,8]:订单组合方式的不确定性、交货期需求的不确定性、工艺路线变更的不确定性以及各种表现各异的随机扰动因素的存在都将加剧不确定性。不确定性因素的存在往往会使得波动会沿着工序、工艺之间甚至不同的计划期阶段间逐层传递、产生逐步放大效应,称其为“生产提前期牛鞭效应”[10]。

在企业生产计划的制定及其控制方面中,笔者在文献[9]着重分析了“通过时间综合症”对提前期牛鞭效应的影响;如果将任务提前投产,则容易引起生产等待变长并且大大增加了生产系统的生产压力,加工等待以及作业周期也会大大增长且生产偏差变得更大。将产生其严重后果是任务脱期非但没有改善,反而愈演愈烈。除非采用特殊措施才有可能确保那些很重要的任务生产,而很难顾及到普通加工任务。从纵向分析,如果历史生产任务产生脱期,那么在编制新计划时,又必须加大保险期,从而增长了生产周期,又一次陷入了恶性循环,致使提前期很难保持稳定。而本文主要研究的是不同计划期传递的牛鞭效应。

3 生产系统描述及建模

3.1 系统描述及模型介绍

假定产品P一个生产计划期都需要经过毛坯加工、零件加工、装配与检验四个工序的操作,每个工序都有一个机器组来加工,执行完每步操作后工件通过充当运输器和缓存器的输送链传送至下一步的操作;经过检验后成品脱离模型;与此同时也至少有人员控制机器的活动。系统模拟情况如上图1假设生产系统不间断工作的情况下,来仿真365*8=175200min时间的工作,分别计算产品正常投入和提前一定时间投入的情况下产品在队列中的平均总等待时间和作业总平均等待时间等。

为了计算简便,假设每个机器组只有有1台机器,产品原料投入生产的间隔时间服从均值为50的指数型随机变量。从图2可清晰的看到Prdouct的工艺路线图。假如任务在指定时间进入生产系统后,不能找到空闲的机器,该作业就需要排队等候;假设直到完成所有的任务,加工才可能会停止。假设制订的机器的工序加工时间符合二阶Erlang分布,其均值主要有作业类别和机器组别来决定。

3.2 生产系统建模

3.2.1 元素定义。本系统元素定义如表1所示。

3.2.2 建模元素设计

产品Product的加工路径设计如图2所示。

其中Test.action on finish 为Output=Output+1

3.2.3 模型运行及分析。

仿真钟可以使用默认的1:1min,运行时间,使用report工具。得到下列统计报表3,4,5。

从表3统计信息可以得出,产品完成加工的平均时间为187.35min,进而可得出产品Product提前期的均值为187.35min。由于系统中产品的实际加工时间为50+40+20+30=140分钟,所以产品在系统中的等待运输等时间为47.35分钟,占产品在系统中的平均时间的23.35%。再从表4中可以看出机器1、2是瓶颈,开动率达到79%以上。

当生产计划人员将产品生产任务提前10﹪的时间投产,即利用上述模型在仿真运行365×8×60×(1+10﹪)=192720仿真时间单位分析可得到结果如下表6所示。

由上表7可知当生产计划人员将产品生产任务提前百分之十的时间投产时,可得产品在系统中的平均时间为226.69分钟>187.35*(1+10%),而且能够较易获得产品的非作业时间占总时间的产品38.24%。由此说明任务提前10%投产,由于加工等待序列变长,产品等待时间延长等致使产品的生产周期非但没有缩短,反而变长。

当生产计划人员将产品生产任务提前20﹪的时间投产,即利用上述模型在仿真运行365×8×60×(1+20﹪)=210240仿真时间单位分析可得到结果如下表7所示。

由表8可知当生产计划人员将产品生产任务提前百分之二十的时间投产时,可得产品在系统中的平均时间为269.78分钟>187.35*(1+20%),能够较易获得产品的非作业时间占总时间的48.11%。由此说明任务提前20%投产,由于加工等待序列变长,产品等待时间延长等致使单个产品的生产周期非但没有缩短,反而变长。

由此可以证明任务的提前投产,则容易引起生产等待变长并且大大增加了生产系统的生产压力,加工等待以及作业周期也会大大增长且生产偏差变得更大。导致其严重后果是任务脱期不能得到很好的改善,情况很有可能变糟。

4 总结

本文首先对提前期牛鞭效应的形成机理进行较为详细的分析,然后利用WITNESS建立生产系统模型,测定出产品的生产提前期,得到前一计划期生产波动会引起后续计划期更加严重波动情况,并且波动会沿着不同计划期阶段逐层传递,从而造成了提前期的牛鞭效应。此外本文推出以下结论:如果将任务分别提前10﹪和20﹪的时间投入生产很容易引起生产等待变得很长并且会大大增加生产系统的生产压力,加工等待以及作业周期也会大大增长且生产偏差变得更大。其导致的严重后果是任务脱期不能得到很好的改善,情况很有可能变糟。由于时间仓促,本文的建模研究可能仍有待改善的地方。预期提前期的控制研究将会是未来的主要研究方向。这些工作的开展将有助于企业更好更快的发展。

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生产提前期第6篇

另一方面,Ben-Daya M,Hariga M[5]研究了随机库存系统中提前期缩短的问题,为提前期的管理与控制指出了一个可行的方向;Ryu S W等[6]建立了随机提前期和确定需求的两供应商模型;Lee W C等[7]研究了提前期可控状态下,具有订货费用可降、延迟交货折扣现象的库存问题,并给出了最优库存策略的求解步骤;Chang H C等[8]探讨了一个带有模糊总需求、模糊随机提前期内需求的同时具有销售损失和延迟交货两种现象的混合库存问题。然而,以上学者无论是在随机还是模糊环境下,都仅仅讨论了单一节点提前期问题,并未涉及提前期对供应链的影响。林勇等[9]讨论了短生命周期产品市场中面对随机需求和随机生产提前期的供应链决策问题,得出供应链节点间应加强信息共享的结论。但是,面对模糊需求和模糊提前期的现实市场,少有讨论短生命周期产品供应链的最优决策问题。鉴于此,本文考虑由一个制造商和一个分销商组成的易逝品二级供应链的模糊决策。由于中国学者Liu B D等[10]指出:在模糊环境下,与概率论相对应的应该是可信性理论,而不是可能性理论。故本文应用可信性理论解决该模糊决策问题。

1 可信性理论基础

首先给出文献[10]中涉及的模糊事件A的可能性、必要性、可信性测度及模糊变量期望值的有关理论。

定义1令ξ为模糊变量,隶属函数为μ(x),则模糊事件{ξ≤r}的可能性、必要性及可信性测度分别为

定义2令Φ(r)=Cr{ξ≤r},r∈(-∞,+∞),则称Φ(r)为模糊变量ξ的可信性分布函数。

定义3设ξ为模糊变量,Φ(r)为ξ的可信性分布函数。若函数φ:(-∞,+∞)→[0,+∞)对所有的实数r满足,则称φ为ξ的可信性密度函数。因此,φ可以描述为

为模糊变量ξ的期望值。

引理1若Lebegue积分有限,则模糊变量ξ的期望值还可表述为,其中φ是ξ的可信性密度函数。

定义5设模糊变量ξ隶属函数为,其中L和R是实数域到[0,1]的函数,并且L(ξm)=R(ξm)=1,L(x)和R(x)分别为严格递增、严格递减函数。则称模糊变量ξ为LR型模糊变量,记为ξ=(ξl,ξm,ξu)LR。

定理1设ξ=(ξl,ξm,ξu)LR为LR型模糊变量,隶属函数为,则其可信性密度函数及模糊期望分别为

证由定义1,{ξ≤r}的可能性、必要性分别为

因此,模糊事件{ξ≤r}的可信性为

故模糊变量ξ的可信性分布函数为

Φ(r)=Cr{ξ≤r}。

由定义3,对可信性分布函数Φ(r)求导,便得模糊变量ξ的可信性密度函数

据引理1,易证其模糊期望为

2 模型描述及参数说明

面对模糊市场需求,分销商以供应商制定的价格(有折扣或无折扣)订购一定量的产品并进行销售,供应商面对自身的模糊生产提前期,以一定的成本按订单生产(MTO)。分散决策时,分销商将根据自身的成本结构及模糊市场需求确定最优订货量,以期使其利润最大。若最终销售产生存货,剩余商品将以残价处理;若最终销售产生缺货,分销商将付出一定的缺货成本。当分销商确定订货量后,制造商在一定的许诺时间内提供准确数量的产品。若制造商提前完成订单,则自行负责产品的存储费用;若推迟完成订单,制造商将不得不向分销商补偿一定的惩罚费用,因此,制造商将结合自身成本结构及订单要求确定最优的生产提前期,以期使其利润最大。(现假设无论提前完成订单还是推迟交货时间,市场需求量将不发生变化,因而分销商保持原最优订货量仍将使自身利润最大。)

模型中各参数和变量定义如下模糊市场需求,LR型模糊变量,记,隶属函数

p-分销商单位产品售价,即市场需求价;

k-制造商单位产品售价;

v-分销商未售出产品残值;

s-产品不足时,分销商的单位缺货费;

c-制造商单位生产成本;

h-提前完成订单时,制造商单位存储费;

r-推迟交货时间时,制造商单位惩罚费;

Q-决策变量,分销商订货量;

T-决策变量,制造商提前期;

E-模糊期望利润函数。

此外,文中参数上标C表示集中决策,DN表示无数量折扣契约时分散决策,DC表示有数量折扣契约时分散决策。参数下标s、r及t分别表示制造商、分销商及供应链整体的模糊期望利润。

由定义2及定理1,计算易得LR型模糊需求及模糊提前期的可信性分布函数F(x)、Φ(t)和相应的密度函数f(x)、φ(t)。

3 无数量折扣时分销商和制造商决策模型

3.1 分散决策模式下分销商和制造商决策模型

在分散决策模式下,分销商不考虑制造商的盈利情况,仅依据模糊市场需求和自身成本结构确定最优订货量,以使其达到最大利润。根据定理1的LR型模糊变量模糊期望计算公式,分销商的模糊期望利润为

式中QDN,为分散决策时的订货量决策变量,2个积分式分别表示订购量大于市场需求及小于市场需求时的分销商模糊期望盈利。易见上述问题为模糊报童问题,类似于文献[11]的分析步骤,可得分销商利润最大的最优订货量QDN*满足

对应于QDN*,分销商的最大模糊期望利润为

式中E(x)表示的模糊期望值。

当制造商得到分销商的最优订货量QDN信息后,结合自身的模糊提前期及成本结构,决定使利润最大的最优提前期。其模糊期望利润为

式中TDN为无数量折扣分散决策时的提前期决策变量。易得使其利润最大的最优提前期TDN*满足

对应于TDN*,制造商的最大模糊期望利润为

式中E(t)表示的模糊期望值。由此得到了分散决策时供应链的最优决策(QDN*,TDN*)。

在分散决策时,供应链整体的期望利润函数为

3.2 集中决策模式下分销商和制造商决策模型

在集中决策模式下,制造商与分销商信息共享,并作为一个整体在市场中定位。因此,两者不再以自身利润最大化为目标,而是期望供应链整体利润最大。从而,当制造商推迟交货时间时,其供应链内部的惩罚费用将不再发生。所以,分销商通过确定最优订货量及制造商通过确定最优生产提前期,使整个供应链达到利润最大状态。

供应链整体模糊期望利润为

式中Qc和Tc分别为集中决策模式下的订货量和提前期决策变量。

将式(8)分别对提前期Tc和订货量Qc求一阶、二阶偏导,有

式(10a)及(10b)说明期望利润函数EtC是关于提前期TC及订货量QC的凹函数,且(9a)表明期望利润函数EtC还是关于提前期TC的递减函数。因此,制造商最优提前期TC*应为TC*=Tl。

令式(9b)等于零,结合TC为制造商所采取的最优控制提前期TC*,而TC*=Tl,故得最优订货量QC*为

由此可得集中决策时供应链的最优决策(QC*,TC*)。将最优决策代入式(8),得供应链总利润为

综上所述,无数量折扣时,分散、集中决策相比,针对模糊市场需求分销商订购量下降,即QDN*

4 渠道协调的数量折扣契约设计

为避免供应链中产生双边际化效应,改善系统服务水平,众学者试图通过数量折扣契约设计来实现这一效果。由于折扣形式设计不同,得到结论也不同。基于刘斌等[1]却得出单价格数量折扣并不能实现系统完美协调的结论,构建如下可视作离散极限形式的连续数量折扣,表达式为

其中α>0,供应商对该形式数量折扣契约下的α及Q0描述为:以无数量折扣分散决策最优订购量QDN*为起点,当分销商的产品订购量Q至少为Q0时,可享受最低折扣率r=e-α。其利润表达式可表述为

在此数量折扣形式下,分销商确定使其自身利润最大的最优订购量,即满足

因此易得该数量折扣下分销商的最优订货量满足

若要改善该数量折扣形式下的供应链服务水平,即QDC*=QC*,则需使F(QDC*)=F(QC*),即

化简上式,便得使供应链服务水平上升至集中决策系统服务水平的数量折扣参数α及Q0应满足

命题1 当供应商数量折扣形式参数α及Q0满足上式时,供应链服务水平得到改善,即QDC*=QC*。

当该形式数量折扣参数α及Q0函数关系确定后,易得当销售商订购量为QC*时的α具体数值,此时销售商可享受最低折扣率r=e-α。制造商再依据此订购量决定自身的最优生产提前期。此时,制造商模糊期望利润函数为

分析易得其最优提前期仍要满足

至此,得到了有如上形式数量折扣分散决策时供应链的最优决策(QDC*,TDC*)。据此带入模糊利润函数可得出制造商与分销商各自的利润。

5 算例分析

某制造商生产一类新型饰品,而某分销商从制造商处订购该产品供应市场需求。设分销商对市场需求主观估计为模糊变量,语言描述为“需求大约为1 000,不少于900也不多于1 200”;而制造商对分销商的许诺提前期为模糊量,即“提前期约为5天,至早3天至晚7天”。为简化计算,上述两模糊量用三角形模糊数表示,即和。已知该产品各参数分别为p=98,k=48,v=15,s=20,c=25,h=5,r=15。求此时制造商与分销商的最优决策。

根据前述理论,计算得模糊需求和模糊提前期T軌的可信性密度函数为

据式(2)(11),易得无数量折扣分散决策与集中决策时分销商的最优订货量分别为QDN*=1072,QN*=1 161。若要改善系统服务水平,其数量折扣形式应设计为

因此,最低订购量Q0与享受最低折扣率r=e-α之间关系,如图1实线所示。图中虚线为两点间连接直线。此时分销商订购量将上升至无折扣集中决策时订购量,且享受96.52%的折扣率(α=0.0354)。

无折扣分散和集中决策、有折扣分散决策模式下,制造商与分销商的最优决策及各方利润计算结果,如表1所示。

由表1计算结果可以看出,有数量折扣分散决策与无折扣分散决策相比,虽然制造商利润有所下降,但分销商与供应链利润都有不同幅度的增加。这说明单凭数量折扣并不一定能使制造商和分销商绩效同时得到改善。但是,双方可通过制定相应的其它辅助契约或协调利润分割方案分享超额利润,使得两者利润都有增加。

6 结论

本文考虑了由单制造商和单分销商组成的易逝品两级供应链系统,构建了一类新的数量折扣形式,研究了其在分散决策下制定数量折扣,以改善供应链服务水平,最终得到了改善服务水平的条件。

进一步的研究工作可以围绕模糊环境下易逝品供应链整体超额利润的分配问题而展开,通过研究与该形式数量折扣结合使用的利润分割方案,使供应链能够实现集中决策时的协调效果。

摘要：对LR型模糊变量,基于可信性理论,给出了其期望值计算式。针对模糊市场需求及模糊生产提前期,考虑了由一个制造商和一个分销商组成的易逝品两级供应链系统,分别建立了无数量折扣分散决策与集中决策模型。构建了一类新的数量折扣形式,并研究了其在分散决策下如何制定数量折扣,改善供应链服务水平。

关键词：供应链,易逝品,模糊变量,可信性,服务水平

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