数与形范文（精选8篇）
数与形 第1篇
小明平均每小时走:
根据学生的思考交流, 教师板书计算思路:
结合算式, 让学生思考并说说每步求的是什么。
3.观察思考, 小结算法:
观察:除法转化成了什么运算?什么没有变化?什么变了?是怎样变的?
强调:被除数没有变, 除法变成了乘法, 除数变成了它的倒数。
小结:整数除以分数可以转化为这个数的倒数来计算。
运用方法的迁移, 让学生小组内分析小红每小时所走的路程。
……
这只是一节比较普通的数学课, 可课后有老师却对我说, 他们教很多年的书, 只知道分数除法的计算方法是用被除数乘除数的倒数来计算, 但一直不知道为什么要这样算, 通过这节课的学习, 他们终于知道了为什么这样算了。或许是因为他们很少接触小学高年级的数学教程, 可从这个简单的事例中, 让我们进一步体会到数形结合的重要性。
数形结合是一种重要的数学思想, 把数与形结合起来解决问题, 可以使复杂问题变得更简单, 使抽象问题变得更直观。在小学数学教学中, 数与形相结合的例子很多。有时候, 图形中隐含着数的规律, 可利用数的规律来解决图形的规律, 例如连点成线段, 求线段总数, 就是利用数的规律来解决线段总数的问题。有的时候是利用图形来直观地解释一些抽象的数学原理与事实, 让人一目了然, 如上述的事例, 就是利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理, 还有利用长方形模型来理解分数乘法的算理等。然而尽管在以前的学习中, 出现很多有关数形结合的例子与练习, 学生结合“形”来分析问题也有一定的基础, 但由于教材中没有系统的教学数与形的内容, 所涉及的练习也比较分散, 所以学生对数形结合的概念比较模糊, 数形结合的数学思想在解决问题时意义不大。“数与形”是人教版数学六年级上册第107页内容, 是教材新增内容, 共有2个例题, 例2及后面编排的几道练习题都属于思考题甚至竞赛题。从内容的编排上看, 它突出了探索规律、运用规律的编排意图, 例如例1, 通过计算和观察1、1+3、1+3+5、1+3+5+7……既能发现加数的规律 (从1开始的连续奇数相加) , 又能发现和的规律 (都是连续的正方形数) , 例2也如此, 在发现规律的基础上, 通过推理, 再引导学生把规律应用于一般的情形, 解决问题。其次, 在利用数形结合解决问题的过程中积累基本的活动经验, 培养了学生基本的数学思想。例如例题中, 让学生通过计算1/2+1/4、1/2+1/4+1/8、1/2+1/4+1/8+1/16……发现和越来越趋向于1, 感受到什么叫作“无限接近”, 同时也使学生在这一过程中体会推理和极限的思想。在教学时, 我认为应该从以下几点进行思考:
1.把数与形有机结合起来, 相互印证, 体会数学之美。在教学例1时, 先让学生通过计算1=1, 1+3=4=22, 1+3+5=9=32……使学生发现得到的和都是“平方数”, 再把图形与算式结合起来, 即如果用1个小正方形、3个小正方形、5个小正方形……拼一拼, 可以拼出一些大小不一的大正方形, 再呈现这些由小正方形拼成的大正方形。让学生观察两个大正方形相差多少个小正方形, 例如, 边长是2的大正方形和边长是1的大正方形, 相差3个小正方形;边长是3的大正方形与边长是2的大正方形, 相差5个小正方形……相差的小正方形数正好是“┓”形中的小正方形的数, 使学生理解所看到的图中的小正方形数还可以分别表示成1, 1+3, 1+3+5, ……数形结合, 使学生很清楚地看到这些连续的奇数在图中的什么地方, 平方数代表的又是什么, 从而对规律形成了更直观的认识, 即每个大正方形中都隐藏着一个算式, 1+3+5+…+ (2n-1) =n的平方。像这样把图形与算式结合起来, 更能让学生体会到数学之美。
2.利用数形结合, 使学生感受极限的思想。在教学例2时, 学生在计算时很容易发现加数的规律, 即后一个加数是前一个的1/2;和也有规律, 即1/2+1/4=3/4, 1/2+1/4+1/8=7/8, 1/2+1/4+1/8+1/16=15/16……每次相加所得到和都等于1减去最后一个数, 加数的项数越多, 和越接近1。这些加数无限地加下去, 最后的和无限接近于1, 但这个“无限”接近于1的数到底是多少呢?“无限”的概念非常抽象, 学生不容易理解, 如果教师只是仅仅用举例的方法求出等比数列的有限和, 是很难证明无限多项相加的结果为1。此时教师可以出示一个圆、一条线段或者一个正方形表示单位“1”, 让学生根据分数的意义在图上表示出这些加数, 让学生直观地看到最终的结果是“1”, 这样一来, 学生不仅能感受到“化数为形”的直观、形象、简捷的特点, 也比较容易理解当一个数无限趋近于1时, 其结果就是1, 一个极其抽象的极限问题, 由于用图形来解决, 就变得十分简单了。
3.鼓励学生从不同的角度去寻找规律。小学阶段, 虽然不要求写出一个数列的通式, 但可以通过数形结合的方法, 利用图形的规律, 从不同的角度, 用自己的语言描述出数列的通用模式。如, 第109页第1题, 根据例1的结论, 很容易得到第n个图形中最外围的小正方形数为: (2n+1) 2- (2n-1) 2, 也可以从结果看到第一个图最外圈有8个小正方形, 第二个图最外圈有8×2个小正方形, 第三个图最外圈有8×3个小正方形……通过推理, 可知第n个图最外圈就有8×n个小正方形, 每一次都是在前一个图的基础上增加8个小正方形。还可以引导学生进一步思考:每次多的这8个小正方形都是怎么来的?使学生观察到是由于每边增加2个小正方形所产生的。
《数与形》教案6 第2篇
教 学 设 计
执讲教师：高凤琴
教学内容：新人教版六年级数学上册107页第八单元《数学广角——数与形》例1及相关习题。
教学目标：
1.使学生通过自主探究发现图形中隐藏着的数的规律，并会应用所发现的规律解决问题。
2.体会数与形的联系，进一步积累数形结合解决问题的活动经验，培养学生数形结合的数学思想意识。
3.体验数形结合方法的价值，激发学生用数形结合的方法去解决问题，感受数学的魅力。
教学重点：体会数与形的联系，培养学生数形结合的数学思想意识。
教学难点：借助数形之间的联系发现解决问题的方法 教、学具准备：多媒体课件、正方形卡片若干 教学过程：
一、课前游戏，调节气氛，缓解紧张
师：同学们，大家早上好！新的一周开始了，很高兴看到精神焕发的你们。你们喜欢做游戏吗？（喜欢）那我们来玩个游戏，游戏的名字叫“说反话”。什么意思呢？比如，我说“我看天”，你就回答“我看地”；我说“我朝左”，你就回答“我朝右”。听懂了吗？谁想来试一试？（请一名男生）准备好了吗？
① 我看天②我朝左③我张嘴④我越活越年轻⑤我是大美女
师：谁还想试一试。
① 我站着②我举左手③我是女生④我越来越漂亮
师：有的同学可能觉得不公平了，刚才游戏中有个人总占便宜，谁呀？（老师）想不想反过来？你们先说，我再说。（想）说来试一试。
二、探究新知 1.过渡导入
师：同学们开心吗？（开心）快乐吗？（快乐）带着开心、放松的心情，我们开始上课好吗？（好。上课！）今天这节课，让我们一起走进数与形的世界。请看。（播放课件，课件出示松果螺线排列图、玫瑰花、海螺）植物果实顺时针、逆时针两条螺线的交错排列，让我们感叹大自然中数与形的完美结合，玫瑰花瓣的排列绽放着数与形合璧的美丽，海螺平滑的弧线中蕴藏着数与形结合的神奇与奥妙。在数学学习之旅中，数与形的结合是我们的好助手。一年级学习“100以内数的认识”，小棒和计数器给了我们很多帮助。三年级分数的初步认识以及我们刚刚学习的分数乘除法，直观的形使抽象的分数问题变得一目了然。线段图的使用让复杂的数量关系清晰可见。无论是生活中还是学习中，数与形总是一对形影不离的好朋友、好搭档！那在今天的数学课堂，数与形又将进行怎样的对话？我们去一同去探究。（板书：数与形）2.探究例1。
① 师：老师带来几幅图形。依次出示：
图1 图2 图3 师：根据颜色，你能用数或算式表示出各图中小正方形总个数吗？
生：
1、1+3=4、1+3+5=9。（要求学生边指边说，从形中抽象出数）
② 师：如果老师继续往下摆，（师在黑板板依次摆出1、3、5的小正方形）猜一猜，第4个图形至少再添上几个这样的小正方形就能拼成更大的正方形？ 生：至少再填7个。问：为什么是7个。
生可能：因为我看到前面几幅图，后一个加数总比前一个多2，比5多2是7，所以至少添7个小正方形。生也可能：我发现前面的加数都是1、3、5连续的奇数，所以这次应该添7个。
师：我们摆摆看（教师依次摆出7个绿色的），的确是这样。你们真善于观察！好样的！
师：根据颜色，你能像刚才一样用算式表示这幅图中小正方形的总个数吗？等于多少？ 生：1+3+5+7=16 ③ 师：想一想，接着往下摆，下一幅图一共需要多少个这样的小正方形？也能列个算式吗？ 生：1+3+5+7+9= 问：再下一个呢？（+11）再下一个呢？（+13，教师一直写到黑板边）写不下了，就写到这儿。这一列数，他们的和事多少？敢不敢和老师比一比，看谁算得快？（敢）3 好，开始！老师算出来了。（老师说得数）唉？老师为什么算得这么快呢？想不想知道为什么？（想）直接告诉你们就没意思了，但我可以告诉你们我是图和算式结合起来观察，发现的方法。可这一列数对应的图形摆起来很？（麻烦）大家研究起来也很不方便，怎么办呢？（可提示：我们能不能利用化繁为简的数学思想从前面简单的图和算式中发现方法呢？能）想不想试一试？（想）生可能：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23= ④请听要求：4人一组，小组合作，交流讨论，观察左边的图和右边的算式有什么关系？把你们的发现写在记录单上。
小组合作，教师巡视。⑤全班交流
师：找到计算的方法了吗？哪个组来汇报？请派代表到黑板前边指图边讲解。其他组的同学，请带着三个问题来听汇报，一他们的想法你听懂了吗？二他们的想法你赞同吗？三你还有补充吗？准备好了吗？请开始讲吧。生：我们发现图2中，按颜色看1个红色加3个黄色共有4个小正方形；按行列看，每行每列都有2个，可以用2×2=4，也能算出一共用了4个小正方形。（如果学生说不到，提示：这个乘法算式也是算得这个图中小正方形的总个数，所以它和前面的加法算式是？想等到，板书等号）图3也是如此，按颜色1+3+5=9，还可以按行列看，每行每列3个小正方形，所以3×3=9。图4，按颜色1+3+5+7=16，按行列看，每行每列有4个，4×4=16，也算 4 出一共有16个小正方形。（如果学生说道边长×边长，教师顺势引导“也就是每行每列都有2个小正方形，所以用2×2”。）
师：这里第一个图形，1=1×1。
师：他们的想法你听懂了吗？同意吗？（同意）还有补充吗？（再请一名学生叙述方法，能说出平方最好，说不出教师引导。2×2还可以写成什么形式？2。依次板书3、4）
师：从刚才你们的发现中，你们找到快速计算的方法了吗？
生1：我们发现，有几个数相加的和就等于几乘几。生2：有几个数相加的和就等于几的平方。（教师板书）问：还有补充吗？（如果说不到，提示：什么样的一列数能用这个方法解决？任意几个数相加都能用这个规律吗？同桌讨论一下。）
师：谁来说说你是怎么想的？为什么？
生1：不能，必须是连续奇数相加。这几个算式都是连续的奇数相加。
师：嗯，很好！还有补充吗？
生2：不能，还必须是从1开始的连续奇数相加，如果没有从1开始就不能拼成正方形，就不能等于每行每列小正方形个数的平方了。（教师可以结合图指一指）
师：看来必须是从1开始的连续奇数相加的数列才适用这条规律。（板书：从1开始，连续奇数）综合以上发现，你能用一句话总结我们的快速计算的方法吗？ 25 生：从1开始，几个连续的奇数相加就等于几的平方。（板书）⑥验证方法
问：接下来的图中都有这样的规律吗？我们在大屏上摆摆看。（课件出示）这是之前1+3+5+7,4个从1开始的连续奇数相加等于4；接着摆，又摆了几个小正方形？（9个）几个加数相加？（5个）每行每列有几个小正方形？（5个）小正方形的总个数就等于5。以此类推往下看。接着往下摆，也同样具有这个规律吗？（有，课件出示规律）。全班读一读。
师：如果有n个数从1开始的连续奇数相加就等于？ 生：n。
师：说得太好了，同学们真善于观察和总结！
⑥师：由几的平方得到的数，像1、4、9、16等等这样的数，数学上把它们叫做平方数，或正方形数。
二、练习提升
1.师：这回我们可以解决这道题了。（手指之前列出的那一场列数。）利用规律算一算，检验老师做对了吗？（学生在练习本上完成）
师：谁来说说你是怎么算得？老师做对了吗？
2.利用规律试着填填这道题。出示：（）9
（学生独立完成在练习本上后全班交流）师：为什么这样列式，你是怎么想的？
生：看到9，我就想到了是从1开始的7个连续奇数相加。（如果学生说不到，提示：看到9，你想到的是怎样
2226 的一列数？）
2.完成108页“做一做”第1题。
师：算一算这道题。（出示：1+3+5+7+5+3+1=,先独立完成，教师巡视，再全班交流。）
（如出现1+3+5+7+5+3+1，把5+3+1写成9，1+3+5+7+9就是5个从1开始连续的奇数相加，等于5，等于25。教师要予以表扬，真有想法，一变通仍然使用了规律。真棒！）
小结：刚才我们结合形解决了数的复杂计算，也就是在以形助数。（板书：以形助数）反过来，我们也借助数的计算求出了各图中小正方形的总个数，这是“借数解形”。（板书）
3.①过渡：下面这道题书异性的结合又会给我们带来什么帮助呢？请看。（课件出示：教材108页“做一做”第2题）请一位同学读一读要求。（学生开始数，课件出示数量，再出示第一个问题）
② 打开数学书108页，“做一做” 第2题，仔细观察，想一想，也可以写一写、算一算。你有什么发现？做完后和你的同桌交流一下。（学生独立试做）
③全班交流：
生1：我发现第几个图形就有几个红色正方形，蓝色正方形从8开始依次多2个。所以第6个图形有6个红色的小正方形，有14+2+2=18个蓝色小正方形。问：听懂了吗？还有其他方法吗？ 7 生2：我也发现第几个图形就有几个红色的小正方形，还发现每增加1个红色小正方形就会增加2个蓝色小正方形，左右各3个蓝色的小正方形始终不变。也就是红色的小正方形个数×2+6=蓝色的小正方形。师：能举个例子吗？（学生举例）
师：如果第n个图，有几个红色小正方形？（n个）有几个蓝色小正方形？（2n+6）真聪敏！拥有大智慧啊！
四、课堂小结
1.师：同学们，通过这节课的学习，你有什么收获？ 可能：
《数与形》教学实录与评析 第3篇
【关键词】数与形 教学实录 评析
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）07A-
0065-03
《数与形》是新人教版数学六年级下册第八单元的内容，其教学目标主要是让学生经历观察、操作、归纳等活动，帮助学生借助“形”来直观感受与“数”之间的关系；体会“形”与“数”有时能互相解释，并能借助“形”解决一些与“数”有关的问题和借助“数”解决一些与“形”有关的问题；让学生通过数与形结合来分析思考问题，从而感悟数形结合的思想，提高解决问题的能力。
为了帮助学生掌握教学重点和突破难点，执教教师通过自学网站平台，课前给学生提供微视频和交流平台，让学生在课前进行充分的预习；通过小组合作探究，让学生经历观察、操作、归纳等活动，以及借助课件动态直观演示，帮助学生借助“形”来直观感受与“数”之间的关系。以下是教学过程描述和评析：
一、拍手游戏，引入课题
师：同学们，在上课之前我们一起玩个拍手游戏好不好？游戏规则：屏幕上出现数字几，我们就拍手几下。听明白了吗？
屏幕上依次出现数字：1、3、5（学生按规则拍手）……
再出现数字9。（学生整齐拍手9下）
师：刚才你一共拍手几下？
学生回忆、思考。
师：看来一下子很难说出来，我们先把求和算式写出来。首先我们拍1下，然后拍3下……（学生集体补充完整，教师板书）
板书：1+3+5+7+9=
生1：我一共拍手25下。
师：那么快就得出答案了！请你来说一说你是怎么算的？
生1：我用凑十法，1+9=10，3+7=10，所以1+3+5+7+9=（1+9）+（3+7）+5=25。
师：很好，这位同学是用凑十的办法快速求出算式的和，今天老师有一种更奇妙的方法教给大家，想不想学？像这样的求和算式，我们可以借助图形来研究，今天我们就一起来研究《数与形》。（板书课题：《数与形》）
【评析】将拍手游戏引入课堂，活跃了课堂气氛，而抛出的问题正好切入本课主题，过渡自然。
二、探究新知
（一）初步引导
师：这里有个小正方形，（把小正方块摆到黑板上）我们可以用数字几来表示？
学：（齐答）1！
师：如果这里有个算式“1+3”，我们又应该用几个小正方形来表示算式的和呢？（板书：1+3=）
生：（齐答）4个！
师：（把4个小正方块摆到黑板上）这几个小正方形可以拼成哪些形状呢？
生：……
师：如果是“1+3+5”呢？用几个小正方形来表示？可以摆成哪些形状呢？
学生各抒己见。
【评析】通过初步引导环节，明确用小正方块来表示算式，小正方块的个数就是算式的和，为下一个环节的小组合作学习做好铺垫，初步渗透数形结合思想。
（二）小组合作，动手探究
师：下面请小组长把学习任务卡和学具拿出来，按照学习任务卡的要求，我们一起来动手摆一摆。（课件出示学习任务卡，引导学生明确小组合作学习要求，教师巡视，个别指导）
【评析】任务卡设计简要明了，重点突出，能有效引领学生进行小组合作学习。用微信上传小组合作成果，充分发挥了现代信息技术在教学中的辅助作用，既让每个小组都可以上传合作学习成果，获得成功的喜悦感，又大大节省了上传成果的时间，有效提高了课堂教学效率。
（三）汇报结果
师：（老师打开微信学习群，和学生一起浏览每个小组上传的成果，并选择有代表性的进行汇报）在这么多形状中，哪一种形状能让我们快速算出算式的和呢？为什么？
生1：正方形。因为正方形很容易算出小正方形的个数。
师：（在微信学习群中选正方形形状的图片，放大，请摆成这图片的小组汇报）你们摆这个形状是表示哪个算式呢？
汇报小组1：我们摆的图形表示“1+3+5”的和。
师：（板书：1+3+5=）1在哪？“3”在哪？“5”又在哪呢？
汇报小组1：用黄色部分表示1，红色部分表示3，蓝色部分表示5。
师：你们有什么发现？
汇报小组1：我们发现这个图形是3行3列的正方形，所以一共有“3×3=9”个小正方形。也就是说，1+3+5=3×3=9。
师：“3×3”我们可以写成32（教师边补充边完整板书：1+3+5=3×3=32）
师：非常不错，谢谢你们，请大家把掌声送给这个小组。
师：（在微信学习群中，选择更大的正方形，并放大），这个图形是哪个小组摆的呢？请和大家分享一下你们的收获。
汇报小组2：我们摆的图形表示“1+3+5+7”的和。为了清楚表示每个加数，我们用不同颜色来区分。这个图形共有4行4列，共有“4×4=16”个小正方形。也就是说，1+3+5+7=4×4=42。
（教师根据学生回答，进行板书：1+3+5+7=4×4=42）
师：汇报得很全面，掌声送给他们！通过刚才的小组合作学习，我们发现了两个加法算式的简便求和规律。同样，刚才上面“1+3”算式，四个小正方形可以摆成一个2行2列的大正方形，共有“2×2=4”块，也就是说1+3=2×2=22（补充板书：1+3=2×2=22）。
【评析】教师通过引导式提问，引导学生汇报关键要点并比较、择优，选择性汇报，为本节课教学重点服务。同时，教师能及时地对学生进行表扬，让学生获得成功的喜悦的同时，活跃了课堂气氛，又激励了其他学生在下一个环节中产生表现的欲望。
（三）验证结论
师：如果加数越来越多，结果是不是也符合这样的规律呢？我们一起来看一看。（课件出示图形）
师：这里有一个大的正方形，谁能快速说出它一共由几个小正方形组成呢？
生1：它是一个5行5列的正方形，共有“5×5=25”个小正方形。
师：很好，这位同学是用乘法来算出一共有几个小的正方形，如果按照相同颜色部分一份一份地加，你们能用加法算式来算出小正方形的个数吗？
生2：1+3+5+7+9。
师：大家看，这个算式不就是我们拍手游戏中的求和算式吗？乘法算式和加法算式都表示这个图形小正方形的个数，也就是说1+3+5+7+9=5×5=52（边讲边补充板书：1+3+5+7+9=5×5=52）
师：如果正方形再大一些呢？它一共有几个小正方形？（课件出示图形）
生1：它是一个6行6列的正方形，共有“6×6=36”个小正方形。
师：如果按照相同颜色部分一份一份地加，它所对应的加法算式又是什么？
生2：1+3+5+7+9+11。
师：同样，乘法算式和加法算式都表示这个图形小正方形的个数，也就是说1+3+5+7+9+11=6×6=62。
【评析】利用课件演示验证过程，充分发挥了信息技术辅助教学的作用，通过用乘法算式和加法算式来表示图形中小正方块的个数，进而得出加法算式的简便求和规律，时刻渗透数形结合的思想。
（四）归纳总结
师：同学们来观察黑板和大屏幕上面的算式，你们有什么发现？（课件出示刚才计算的算式）
1+3=（2）2
1+3+5=（3）2
1+3+5+7=（4）2
1+3+5+7+9=（5）2
1+3+5+7+9+11=（6）2
生1：加数都是奇数，和分别是2、3、4……的平方，每次依次多1。
生2：有几个奇数相加，和就是几的平方。
生3：……
师：（老师根据学生汇报，归纳）由1开始的连续几个奇数相加，和就是几的平方。
师：像这样的例子你能举一个吗？
生：……
【评析】让学生经历规律的初步形成与完善的过程，培养了学生的观察、概括能力，再通过师生一起验证和学生举例，加深了学生对规律的理解。
三、知识运用
师：请小组长把练习卡发给大家，我们一起来完成练习卡上面的第一部分。（课件出示练习题，学生做题，教师巡视，个别辅导）
师：（微信群中打开学生已经上传的课堂练习的图片，放大）请你说说你的计算思路。
生1：……
师：第四题谁来说？（有点难，学生会出错，教师可以问到正确答案为止，然后叫答对的同学解释）
生2：1+3+5+7+…+99=502=2500。
师：你是怎样想的？
生2：1、2、3…到100，一共有100个数？奇数的个数占一半，所以奇数的个数是100÷2=50个，100就是99的下一个数，也就是99+1.（老师视学生的回答情况进行补充）
师：也就是说共有几个连续的奇数，实际上不用数，可以用（尾数+1）÷2算出来。（教师用此方法和学生一起验证刚才的计算结果，然后找两个之前答错的同学，叫他们再解释一次，看他们是否弄明白）
【评析】练习设计从正向和逆向考查了学生对规律的掌握情况，既注重基础，又注重知识的延伸。在计算1+3+5+7+…+99=（ ）之前，同学们都是用数的办法来找奇数的个数，然而当用数的办法很麻烦的时候，有没有更好的办法来解决这个问题？教师借此把规律进行了提升。在探究出规律后，依然采用逐一验证的办法来检验规律的正确性，培养了学生验证的好习惯。点评过后再次浏览学生上传的课堂练习，既能让做对的学生获得成功的喜悦，又能帮助出错的学生及时进行查缺补漏。
师：（课件出示问题）下面每个图形中各由多少个小的三角形组成？谁来说说？
生1：分别是1、4、9和16个。
师：你是怎么算的？
生1：我一个一个地数出来的。
生2：我从上到下一层一层地数，用加法计算出来的。第二个图是“1+3”，第三个是“1+3+5”，第四个是“1+3+5+7”。
师：哦，这些算式不就是我们刚才研究的加法求和算式吗？也就是说第一图形是12，第二图形是22，第三图形是32……如果照着这样的规律画下去，第6个图形有多少个三角形？第十个呢？
生3：第6个图形有62=36个，第10个图形有102=100个。
师：很好，找出规律后，问题就容易解决了。在学习中，我们不但可以利用图形来发现数的计算规律，还可以利用数的计算规律来发现图形排列规律，数与形是相辅相成的。
【评析】此题出得很巧妙，从表面上看，是寻常的找图形规律题，其实它隐藏着本课研究的加法算式的求和，通过此题让学生再一次重复了从“1”开始的连续几个奇数的求和规律，达到进一步加深巩固的效果，同时也再一次渗透了以“数”解“形”的数形结合思想。
四、能力拓展
师：下面老师要出两道难题考考大家，有没有信心？
练习三：根据规律算一算。
1+3+5+7+5+3+1=
1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=
（课件出示题目，让学生在练习卡上完成，教师巡视，适当指导，观察不同算法，为汇报环节做好准备；选择不同算法分别汇报，教师点评）
【评析】通过让学生计算这两道题，达到了巩固本节课计算规律的效果，又能让学生复习了加法结合律和平方的计算，提高了学生的综合解决问题能力。同时一题呈现多种解法，培养了学生的发散思维。
五、知识回顾
师：今天通过图形来研究数的运算规律，也通过数的规律来研究图形的规律，这是一种数形结合的思想。通过数形结合来解决问题，可以使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。在前面的学习中，我们也多次用到数形结合的思想来解决问题，哪个同学来说一说？
生1：分数加减法。
生2：分数乘除法。
生3：画线段图来分析等量关系……
师：在以后的学习中，我们还会经常用到，如数轴、函数图像……
【评析】回顾小学阶段我们曾经用数形结合的思想来解决的问题，再一次渗透数形结合的思想。同时对未来将要学到的数形结合的例子进行列举，让学生了解数形结合无处不在，进而能在今后的学习中，利用数形结合的思想来解决问题。
六、课堂小结
通过这节课，你学到了什么？请大家用一分钟时间，利用微信语音在微信群里分享你的收获。课后大家还可以在微信群里交流你这节课的心得，分享你的收获。由于时间关系，这节课就上到这里。
【评析】利用微信语音分享学习收获，既能让每个同学都同时发言，又大大地节省了反馈时间，同时课后师生还可以一起在微信群中探讨问题，把学习延伸到课堂之外。
【总评】“数形结合”是一种非常重要的数学思想，把数与形结合起来解决问题，可使复杂的问题变得更加简单，使抽象的问题变得更加直观。本课利用从“1”开始的连续几个奇数的和与大正方形中包含的小正方形个数相结合，来感受数与形之间的密切关系。为了让学生对数与形有更多的理解与认识，教师在课前通过自学网站平台，给学生提供微视频，以及相应的图片和文字资料，帮助学生在课前进行充分的预习；通过微信学习群和学生互动，了解学生的预习情况，并针对性地进行二次备课，从而以学定教。
在小组合作学习中，教师给学生准备了精美的学具和精练的学习任务卡，让学生通过学习任务卡的引领，进行小组合作学习。在本环节中，教师充分放手给学生，基本上能做到人人参与，发现了很多不同的想法。本课紧紧围绕数形结合为主题进行设计，算式能借助有意思有规律的图形来解释，图形也能通过数的规律来解答，体现了“数”与“形”紧密结合的思想。利用信息技术辅助教学，提高课堂教学效率和学生学习效率是本节课又一重要亮点。信息技术辅助教学在本节课得到淋漓尽致的体现，几乎每一个环节都利用到信息技术，并都能够达到优化课堂的效果。
注：该课例在2015年全区中小学信息技术与学科教学深度融合优秀课例展示观摩评选活动中荣获一等奖，在2015年“新媒体新技术教学应用研讨会暨第八届全国中小学互动课堂教学实践观摩活动”中荣获二等奖。
勾股定理,数与形的完美结合 第4篇
数学家华罗庚认为, “数缺形时少直观, 形少数时难入微”.在运用勾股定理解题时, 若能正确地把握数形结合的思想方法, 则可使思路更开阔, 方法更简便快捷.
例题苏科版教材八上第78页图3-1.
【解析】书上利用方格, 运用“割”和“补”两种方法计算以AB为一边的正方形面积, 发现:以AB为一边的正方形面积等于以BC为一边的正方形面积与以AC为一边的正方形面积的和.并让学生自己在方格纸上操作设计任何一个直角三角形, 进一步发现, 以直角三角形的各边为一边的正方形之间都有这样的数量关系.把图中3个正方形的面积表达成边的平方, 即得AC2+BC2=AB2.
从勾股定理的验证过程中, 学生体验了从小方格的数量到正方形的面积、从正方形的面积到正方形的边长、从正方形的边长到三角形的形状的转换过程, 进行了形到数、数到形的联想, 感悟到数与形的内在联系.
如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积, 那么从面积的角度来说, 勾股定理还可以进行推广.
变式一:如图1, 以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形, 则这三个等边三角形的面积S1, S2, S3之间有何关系?
【解析】等边三角形的面积S1, S2, S3的表示均与直角三角形的边长有关:
变式二:如图2, 以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆, 则这三个半圆的面积S1, S2, S3之间有何关系?
通过这两题根据勾股定理得到的结论, 我们可以猜测若以直角三角形的三边为边长向外作正多边形, 以直角三角形的两条直角边为边长的正多边形面积之和等于以斜边为边长的正多边形的面积.再次通过勾股定理感受到数与形的完美结合.
变式三:如果将变式二的图中斜边上的半圆沿斜边翻折180°, 成为图3, 请验证:“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积.”
【解析】图中阴影部分的面积是S1+S2+S△ABC-S3, 且由上面的结论S1+S2=S3, ∴S阴影=S△ABC (此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”) .
例题拓展如图4, 是一株美丽的“勾股树”, 其中所有的四边形都是正方形, 所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3, 5, 2, 3, 则最大正方形E的面积是 () .
A.13 B.26
C.47 D.94
【解析】由勾股定理可知SM=SA+SB, SN=SC+SD, 所以SE=SM+SN=32+52+22+32=47.故应选C.
变式在直线l上依次摆放着七个正方形 (如图5所示) , 已知斜放置的三个正方形的面积分别是1, 2, 3, 正放置的四个正方形的面积依次是S1, S2, S3, S4, 则S1+S2+S3+S4=_______.
【解析】此题不可能分别求出S1, S2, S3、S4, 但我们可以分别求出S1+S2, S3+S4.例如S3+S4可用以下方法求得:
易知Rt△ABC≌Rt△CDE,
∴S3+S4=3, 同理S1+S2=1,
数与形评课稿 第5篇
观看了李彬然老师讲的《数与形》这节课，感到受益匪浅，实际上这个知识点有点难度，且又是新增的内容，李老师上课教态大方，表述清楚，精神饱满，应变能力强，胸有成竹。课堂气氛活跃和谐。教材与学情分析准确、全面；教学目标明确、具体、可观测、可操作、可评价，体现三维目标整体要求；重点、难点处理符合学生认知规律；情境与活动设计指向问题解决。教学环节相对完整、过程流畅、结构清晰；课堂容量适当，时间布局合理。为我们搭建了一个互相学习和共同探讨的平台，下面我就谈谈我的一点感受。
数与形这节课主要让学生经历观察、操作、归纳等活动发现规律。通过这一系列活动帮助学生借助形来直观感受数之间的联系。借助形式与形的关系，并能把数形结合的思想迁移运用到解决类似问题上，帮助学生积累经验。
一上课，老师出示一图片，让学生欣赏图片，问看到什么，什么形状，然后老师指出，从1开始的几个连续奇数相加的和是多少，然后出示一组数，引领学生观察这组算式的特点，发现这些算式是从1开始的连续几个奇数相加的算式。从而激发起了学生的好奇心和学习的欲望。这个质疑环节与本课内容相关密切，为本课教学激起了多层浪，同时，又犹如戴着神秘的面纱，引人很想通过本节课的学习掌握这神奇的计算方法。
在生活中体验，让学生逐渐体会数学知识的产生，形成发展的过程，获得积极的情感体验。感觉老师说得过多，并且反反复复问，留给学生思考的空间太小，留给学生交流的时间太少。能否在学生列出了计算方法后，直接抛出讨论的几个问题，老师在这之前不要讲解和过多引导。让学生小组讨、汇报交流的环节中多花一点时间，这样更能体现出小组合作的价值和意义，关注起点，回到原点问题。
老师能够面向全体、注重差异，学生参与面广；突出学生主体性和教学互动性。老师熟练、合理地应用信息技术手段，应用信息技术支持学生学习、课堂交流和教学评价，应用数字资源改变教学内容呈现方式，帮助学生理解、掌握和应用知识。
数与形的统一在高中数学中的应用 第6篇
关键词:思想与方法 抽象和形象 理性和感性 结合?摇根 交点个数
统观高中数学教材,对数形结合思想的理解大致有下列几种:
(1)在集合这一章中用韦恩图、数轴可以导出集合的性质。(2)函数这一章中,关于图像的变换,数形结合的思想可以从“形”的方面刻画函数的变化规律,表示量与量之间的依存关系;另一方面,在处理二次函数问题中,可结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系。同样它在幂函数、指数函数、对数函数中也发挥着极其重要的作用。(3)在《三角函数》的图像和性质中,需要让学生熟练地画出正弦、余弦、正切的图像,并从图像中观察出它们的某些性质,如定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等。(4)立体几何这一章更不用说了,整个内容都是由例题图形展开,在这一章节的学习中,特别要让学生注意提高空间想象能力,即人们对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新能力。在解题教学中一般分为三段:①审题:将文字语言转换成图形(即空间观念的形成阶段);②判断:能借助图形来反映并思考未知空间形状(即空间直感的培养阶段);③推导:能从复杂的图形中逻辑的分析出基本图形和基本关系,并借助直感展开联想与猜想,进行推理计算(即空间想象能力的发展阶段)。(5)除上述几章节,数形结合的思想也在平面向量、解析几何、不等式、数列等章节中有所体现,当然中间也可能会穿插分类讨论、方程的思想方法来解决问题。
下面结合一个例题来谈一谈我对数形结合的思想是怎么理解的。
例题:已知f(x)=x2+■,证明:当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个不同的实数根。
(证法一)代数法:
直接通过求根,再判断根不相等来证到结论。纯粹由解方程得到三个根的方法思路非常明显,但求解的过程却非常繁琐,特别是解出三个根之后,还要去检验三个根不相等。这一步学生在解题时容易忘记检验,而且费时多,容易出现错误。
归纳:我们解题时常常会发现数学中大量“数”的问题后面都隐含着“形”,我们可以将抽象、复杂的数量关系形象、直观地揭示出来,以达到“形帮数”的目的,让理性的数多一些感性。同时我们可以利用数形互检确保我们的正确率。
(证法二)几何法:
分析:方程根的个数多半可以转化为图像交点的个数问题,因此讨论方程的根就可以图像交点的个数相互转化,充分体现数形结合的思想。
由f(x)=f(a),得到x2+■,即■=-x2+a2+■,在同一坐标系内作出f1(x)=■和f2(x)=-x2+a2+■的图像,其中f1(x)的图像是以坐标轴为渐近线的双曲线,f2(x)的图像是以(0,a2+■)为顶点,开口向下的抛物线,因此可以f1(x)与f2(x)在第三象限有一个交点,只需要它们在第一象限有两个交点就可以了,也就是在f1(x)上找到一个正点位于与f2(x)下方即可,求f1(2)和f2(2)得到f2(2)-f1(2)=a2+■-8,在a>3时,肯定大于0,即f2(2)>f1(2)。因此,可下结论,图像在第一象限有两个交点,在第三象限有一个交点,即有两个正根,一个负根。
总结:证法二巧妙地运用数形结合的思想方法,借助两个函数的交点的个数说明方程根的个数,这是一种常用的思想,但是需要我们结合图像把理由说清楚,在数学表达及推理上要下一番工夫。因此,在学习本节内容时,可让学生在经历在二次函数中把数量关系的问题转化为图形特征的问题及把图形特征的问题转化为数量关系的问题的探索过程,体会数与形的密切联系,从中感悟数形结合在解题中的应用,增强数形结合的意识,通过应用数形结合思想解决问题,提高学生的解题能力,增强学好数学的自信心。
数与形 第7篇
一、确定数形结合思想方法的载体
首先, 结合人教版小学数学实验教材, 在“数与代数”领域, 按数的认识、数的运算、常见量、规律、解决问题等方面进行整理, 确定哪些知识可以作为渗透数形结合思想方法的载体。
其次, “以形助数”“以数助形”两条线索开始初步的探索与实践, 努力形成可操作的研究范例。
二、“以形助数”帮助学生理解抽象数量关系
“形”具有形象、直观的优点, 能体现较多具体的思维, 能帮助学生理解抽象数量关系, 使枯燥的数学趣味化, 让学生体验“有趣的数学”, 将兴趣转化为动力。
例如, 在教学《生活中的大数》时, 我利用几何图形和动画制作, 形象直观地把个、十、百、千、万计数单位以及“十进制关系”表现出来。
学生结合小立方体的点、线、面、体的变化, 理解了计数单位之间“十进制关系”, 计数单位在学生脑海里建立了表象, 为后面数的大小比较、数的计算打下了良好的基础。
又如, 在教学习题:一个长方形花坛长8 米, 重修后长增加了4 米, 面积增加了24 平方米。请问花坛原来的面积是多少?时, 大多数学生并不能理解题意, 而引导学生画图来理解数量关系后, 很多学生很容易就解决了问题。
再如, 在教学《积的变化规律》时, 我让学生写出所有的乘法算式 (如黑板上类似的算式) , 让学生发现困难, 然后我让学生用画一画、写一写或图形去表示积的变化规律。学生写出的规律, 让我无比欣喜。
三、“以数助形”, 促进学生有效建模
学生在建立数学模型过程中, 经历了形象、表象、抽象三个阶段, 表象是形象思维与抽象思维的“桥”, 它是形象思维向抽象思维的跨越与提升。
在教学五年级下册《数学广角》“打电话”问题时,
出示:一个合唱队共有15 人, 暑假期间有一个演出, 老师需要尽快通知到每一个队员, 如果用打电话的方式, 每分钟通知一个人, 请帮助老师设计一个打电话方案。
让学生设计出形形色色的形中, 我还设计了表格, 让学生在“直观世界”里理清思路, 及时形成抽象, 以此类推可以用算式计算所得。
数与形 第8篇
那么, 在小学数学课堂教学中, 如何实现生本课堂?本文结合人教版小学数学六年级上册《数与形》的研课经历, 从“读懂教材, 读懂学生;留白时间, 主动探究;面向全体, 重视差异”三个方面进行阐述。
一、读懂教材, 读懂学生
研读教材、读懂教材是实现生本课堂的前提。读懂教材是教师必备的基本功, 也是使用教材、进行有效教学的基础。新版本的数学教材给了教师更大的研读教材的空间, 同时也是挑战。教材上的每幅图都有其深刻的含义和目的, 教师只有把它研读透彻才能明白其中真谛。
《数与形》教材安排了两个例题, 例1 是通过一组图形, 让学生观察图形和算式的关系。例2 是一道分数加法题, 也就是一个等比数列。初读教材发现, 例2 的目标非常的明确, 当学生碰到复杂的计算时, 可以借助图形来研究, 这样就更加直观、更加简单。而例1 的编排意图, 是不是让学生借助计算解决图形的问题呢?细读教材, 笔者发现例1 的教学是要让学生感受到同一个图形可以用不同的算式表示, 隐藏着算式的规律, 而不同的算式可以找到对应的图形, 数与形之间有着密切的联系。例1如果从计算的角度去找规律, 即使不借助图形, 学生也可以直接从数字上观察去发现规律, 难度并不大。但是这样的教学完全和教学目标是脱节的, 这样的理解肯定是错误的。所以, 研读教材不仅仅是研究一道题目, 关键是要让学生体会到数形结合的思想方法。
研读教材, 真正的目的是要让教师明确“我们要引领学生到哪里去, 课堂的目标在哪里”, 这是实现生本课堂的最最基础的环节。当然, 要实现生本课堂, 在研读教材时还要努力做到在尊重教材的基础上“能超越教材, 能科学地处理教材”。同时, 教师要读懂学生, 要努力挖掘学生的学习起点。这样教师才能更好地在课堂上展开教学, 学生也会学得更加轻松, 才能得到不同的发展。当然, 读懂学生不一定要在课前, 也可以在课堂的探究中, 也可以在课后的反馈反思评价中。
二、留白时间, 主动探究
开放课堂活动空间, 已经成为生本课堂成功的一个重要方面。生本理念下的学习方式要做到放手让学生大胆去想象、放手让学生提出问题、放手让学生亲自实践探究、放手让学生相互评价。这样, 学生在学习的天地里更加“开放”, 更加“自由”。所以, 在读懂教材、读懂学生的基础上留出时间进行深入探究更能体现出课堂价值。当一堂课有探究价值, 但是学生主动探究发现又有困难的时候, 教师一定要给学生提供一个探究的支点, 留白时间, 使学生能顺利地去探究发现。
对于《数与形》这堂课的教学的探究环节, 其实在研究的过程中也经历了一个思考变化的过程。到底这堂课的例1环节要不要进行探究?因为, 让学生从不同的角度来独立观察并列出不同的算式困难很大。有些规律是显而易见的, 像一行一行的数和一列一列的数。而有的规律比较隐蔽, 如L形观察的时候困难较大。于是, 在研课时就有了以下两次不同的教学过程:
这样的探究活动更加充分开放, 为学生个性化的学习提供了平台, 学生在实践、分享中逐步积累操作性的经验和思维型的经验, 真正地将数与形融合起来, 数中有形, 形中有数。所以, 生本课堂要求解放学生的探究自主权和自由度, 使学生有属于自己的时空, 是很有必要的。
三、面向全体, 关注差异
《数与形》这堂课, 笔者在多次的试教中发现程度不同的班级, 所表现出来的情况是完全不同的, 比如让学生说一说1+3+5+7 这组数有什么特点的时候, 程度好的学生能说出这是一组等差数列, 程度差点的连说出“连续奇数”都显得困难。教学例2时, 程度好点的学生一看到算式就知道结果, 有些甚至会用先加上再减去来解决。程度差点的全部用通分解决。所以, 在实现生本课堂时关注每一位学生、关注学生的个性差异是非常有必要的。
首先, 做到全员参与, 一个都不能少。在本堂课的教学中, 观察由16个小正方形拼成的大正方形, 让学生从不同的角度数一数并用不同的算式来表示的研究环节, 让每位学生都动手去画一画、写一写, 对数与形的感知是非常有帮助的, 学生在探究、画、写的过程中有了学习的体验和收获。尽管每一个探究活动的材料是相同的, 但是学生在探究的过程中思维的层次可以是多样的, 教师要充分尊重学生的个体差异。探究时可以要求学生在练习纸的背面画一画草图并用算式研究, 给学生提供更大的选择空间。层次低点的学生可以通过画一画草图, 指着图画来列算式, 程度好点的学生可以在头脑中想象出草图, 研究并写出算式。
其次, 充分展示, 对比分析。通过对比将学生的个性差异相互沟通, 达到共同提高的效果。教师在巡视学生操作时, 要将不同学生的思维暴露出来。在教学例2 时, 让学生选择喜欢的材料, 画一画并解决问题时, 有学生把一个长方形平均分成32份, 运用了在图形上通分的方法来解决。在图形上通分其实也是数形结合的过程, 但是思维层次完全是不一样的。这个时候, 教师就要把这两种思维方式进行比较分析, 让思维层次低的学生体会哪一种方法更好, 从而尊重了学生的个性差异。