换元法应用中常见问题

换元法应用中常见问题（精选9篇）

换元法应用中常见问题 第1篇

一、利用换元法解方程问题

只要是数学的学习,就绝对离不开方程。在高中数学中,解方程是最基本的一种题型,但是实际练习过程中,有很多方程的解却十分复杂。为了让解题过程变得更加简单,或者让高次方程次数降低,就需要利用换元法寻找新元进行代换。例如:

例一:求解

解:将原方程变形得:，令,则有:

t2+t-2=0,解得t1=-2,t2=1

①当t1=-2时,有,即x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1。将-1代入原式子检验可知是原方程的解。

②当t2=1时,有,即x2-x+1=0,方程无解。

综上所述,原方程的解为-1。

通过这个例子可以看出,解方程的时候利用换元法,将高次方程化为了次数更低的方程,比如一元二次方程,从而使解高次方程的问题变成了解一元二次方程的问题,大大降低了解题的难度,极大地简化了解题的步骤。

二、利用换元法解决不等式证明问题

不等式的证明在高中数学学习中是难点,其原因在于学生在证明的时候不好找到切入点,且解题条件不是很明了。因此,在不等式证明过程中,利用换元法寻求新元进行代换,使证明不等式的切入点明朗化,以达到解决问题的目的。例如:

例二:已知,如果x+y-k>0恒成立,则求k的取值范围。

解:令,则有:x=1+3cosα,y=-l+sinα。将x和y代入x+y-k>0中,得:

3cosα+4sinα-k>0,从而得到3cosα+4sinα>k,又因为3cosα+4sinα=5sin (α+φ),所以有5sin (α+φ)>k,则得k<-5时,不等式恒成立。

在这个例子中,通过寻求新元,将原不等式的条件提炼出来,得到新的等量关系式,将新的等量关系式作为已知条件,运用到证明不等式的过程中,从而实现不等式的证明。这个过程简化了步骤,明确了证明方向,更加简单方便地找到了切入点,使得不等式的证明更加简单。

三、利用换元法解决化简问题

化简问题在高中数学中属于基础性的知识,往往都是通过合并同类项、同扩大、同缩小相同倍数、相互抵消等方法来实现。但是,对于一些比较复杂的式子来说,简单的合并同类项等方法显然不能够达到化简的目的,这个时候就需要寻求新元进行换元计算。例如:

例三:求的值。

解:令,则有,对两边同时平方,得:。即原式的值为0。

通过这个例子,利用换元法,寻求新元代换了原式中的一部分,从而在得到的新的等量关系式中得到新的已知条件,然后再应用到原式子中,从而使原式大大化简,最终实现求值的目的。

四、利用换元法求函数最值的问题

求函数的最值在高中数学中是最常见的一种题型,它主要是考察学生对函数定义域及值域的掌握程度。在解决这类问题的时候,需要有明确的取值范围作为基础,同时还需要自变量和函数值之间明朗的关系作为保障,才能较为轻松地解决最值问题。但是,很多最值问题的题目往往不具有这些特点,因此在解决这些题目的时候,就需要利用换元法,寻求适当的新元来降低解题难度。例如:

例四:已知函数关系式为,求此函数的最大值和最小值。

解:根据函数关系式,得函数定义域为1-x2≥0,从而得到定义域为-1≤x≤1，令sinα=x,显然,则原函数关系式为。由已知条件中α的取值范围可得,。所以,的最大值就是1,最小值就是,因此y的最大值就是,最小值就是-1。

在这个例子中,通过寻求新元换元,将原本较为混乱的自变量数学关系明朗化、将原本不清晰的取值范围简单化,从而大大降低了解题的难度,轻松求出了函数的最大值和最小值。

总之,利用换元法解数学题的关键问题是找准切入点、清晰思路、寻求适当的新元进行代换。通过换元法在高中数学中的应用,可以在很大程度上降低解题难度,帮助学生寻求更为合适的解题方法,从而为高中数学的学习提供服务。

摘要：利用换元法解数学题是高中数学教学中经常运用的一种方法,现在的高中数学解题越来越灵活,要求学生具有较强的基础知识应用能力和很好的观察分析问题能力。高中数学中利用换元法解数学题是一个基本的方法,同时也是实际运用过程中的难点。分析利用换元法解数学题的本质,从根本上寻求利用换元法解数学题的关键问题,讨论其在高中数学中的应用,为今后的高中数学教学及学生应用提供参考。

关键词：换元法,数学题,关键问题,高中数学,应用

参考文献

[1]曹庆.浅谈换元法在求解某些高中数学问题中的应用[J].都市家教, 2011(12):226-227.

[2]谢刚.浅谈换元法在数学解题中的应用[J].南京广播电视大学学报, 2010(02):146-147

[3]李春峰.浅析“换元法”在含有根式函数一阶求导过程中的应用[J].河西学院学报,2009(05):381-382.

[4]郑建秋.浅谈解决数学问题中“换元法”的“换元”[J].考试·高考数学版,2011(03):241-242.

换元法及其应用探讨 第2篇

换元法及其应用探讨

主要系统地介绍了有关换元法的基本知识及换元法在代数、几何、三角三个方面的应用.在简述换元法的概念、基本思想、总目的`和注意点之后,尽量采用不同形式的换元形式的例题并以此讲述换元法的应用.

作 者：陈颖 作者单位：南京晓庄学院,江苏,南京,211171刊 名：现代商贸工业英文刊名：MODERN BUSINESS TRADE INDUSTRY年，卷(期)：200921(12)分类号：G623.5关键词：换元法 代换 应用

换元法在椭圆问题中的运用 第3篇

我们在解决椭圆问题时往往因为运算量大, 而感觉问题变得很难。其实, 在椭圆方程中, 令a=b=r, 则椭圆方程变为圆方程;在椭圆面积公式S=πab中, 令a=b=r, 则椭圆面积公式变为圆的面积公式.以上说明圆可以看作是特殊的椭圆, 它们有很多相似的性质, 从而椭圆的有些问题就可以用圆的知识来处理.下面分类举例, 予以说明.

求椭圆的中点弦方程

例1:已知椭圆, 定点P (m, n) (mn≠0) 在椭圆内, 求以P (m, n) 为中点的弦所在的直线方程.xy

评析:本题也可用韦达定理或“点差法”解决, 但运算较繁琐, 而以上解法通过换元法将椭圆转化为圆, 再运用圆的性质轻松求解, 可谓方法独特.

求椭圆上的动点到定直线 (或定点) 的距离的最值

例2:在椭圆上求一点, 使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最短, 并求此距离.xy

评析:此类问题还可用函数法、判别式法、导数法和参数法求解, 而通过换元法将椭圆和直线 (或定点) 转化为相应的圆和直线 (或定点) , 运用圆的性质和平面几何知识使问题易于理解, 又可避免较为繁琐的计算过程.

求椭圆方程

例3:已知椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 离心率为姨22, 过点M (0, 2) 作直线l与椭圆交于A、B两点, 设N为AB的中点, 且KON=14, |MA||AB|=32, 求椭圆的方程.

不等式证明四(换元法) 第4篇

教材：不等式证明四（换元法）

目的：增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。

过程：

一、提出课题：（换元法）

二、三角换元：

证一：证二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可设x

则2sin,2ycos2 11212(1cot2)(1tan2)22xysincos

3(2cot2tan2)32

2例三：若x2y21，求证：|x22xyy2|2

证：设xrsin,yrcos,(0r1)，1则|x22xyy2||r2cos22r2cossinr2sin2|

r2|cos2sin2|2r2cos22r22 4

例四：若x > 1，y > 1，求证：xy1(x1)(y1)

证：设xsec2,ysec2,(0,)2)2

小结 若x2y21，则可令x = sec, y = tan(02)。

)。2

若xR，则可令x = tan()。22若x≥1，则可令x = sec(0

三、代数换元：

例六：证明：若a > 0，则a2112a2 2aa

1证：设xa,aya2

21,(a0,x2,y2)2a2121则x2y2aa22 aa

xya11a2222（当a = 1时取“=”）

aa

四、小结：

五、作业：

换元法在解题中的灵活应用 第5篇

例1已知函数f (1-cosx) =sin2x, 求f (x) .

解:令1-cosx=t, t∈[0, 2],

点评:此题采用了整体换元的方法, 但必须注意换元后“新元”的范围.一般已知f (g (x) ) 的解析式求f (x) 的解析式时, 常令g (x) =t去求解.

二、用换元法求函数值域或最值

例2求函数的值域.

点评:本题通过整体换元去根号, 将求原函数的值域转化为求二次函数的值域.一般形如y=ax+姨cx+d的函数, 可令t=姨cx+d (t≥0) 将无理函数求值域的问题转化为有理函数求值域的问题.

三、用换元法判断函数的单调性

例3求函数的单调区间, 并指出在每一个单调区间上函数的单调性.

分析:本题是关于x的复合函数单调性的判断问题, 应先求函数的定义域, 其次转化为判断几个常见函数的单调性问题, 最后根据复合函数单调性“同增异减”的原理得出结论.

解:由x2-4x+3>0, 得函数的定义域为 (-∞, 1) ∪ (3, +∞) ,

因为函数的定义域为 (-∞, 1) ∪ (3, +∞) 且为减函数,

点评:本题易忽略函数的定义域而出错, 一般求函数的单调区间时, 应先考虑定义域.

四、用换元法证明不等式

证明:令b+c=x, c+a=y, a+b=z, x, y, z均为正数,

当且仅当x=y=z时取等号, 即当且仅当a=b=c时等号成立.

点评:本题的特点一是变量多, 二是它们间的关系不明显, 突破口不易找到, 但是通过局部换元可使“新元”间的关系明朗化.

例5若x+y+z=a, 且x, y, c∈R, 求证

几种换元法在解题中的应用 第6篇

一、整体换元法

将欲证或待求的式子用一个未知量表示, 然后根据题设条件求出该未知量, 使问题获得解决.

【例1】若0≤x≤2, 则函数的最值是____.

解析:原式可变形为

即

令2x=t, 则问题转化为

即y=12 (t-3) 2+12 (1≤t≤4)

根据二次函数区间最值, 可知当t=3, 即2x=3时, 函数取得最小值, 最小值为1/2;当t=1, 即x=0时, 函数取得最大值, 最大值为5/2.

填最大值5/2、最小值1/2.

注:这是一个复合函数的最值问题, 通过整体换元化函数的二次函数, 再由二次函数在区间上的单调性确定最值而得解.切记在换元过程中, 一定要明确中间变量t的取值范围.注意所换“元”取值范围的制约作用.

二、“1”的代换法

在解题中, 进行“1”的代换常能起到化难为易, 化隐为显的作用.

三、三角换元法

将代数问题通过三角代换转化为三角问题称为三角换元法.

【例3】求函数的值域.

解析:函数的定义域为[0, 1], 故可设x=sin2θ,

则原函数化为

注:若a2+b2=1, 可想到a=cosθ, b=sinθ;若出现可考虑到若a2-b2=1, 则可考虑a=secθ, b=tanθ, 与此类似的有很多, 同学们不妨自己归纳一下.1-a%姨

四、均值换元法

我们知道, 对于任意实数a, b, 有则a=p+q, b=p-q, 这种代换称为和差代换.特别地, 若a=p+q, 可设 (t为参变量) 进行代换, 这种代换称为均值代换.

五、常值换元法

当题中的常值特征比较特殊、规律不明显时, 若用字母来代替常值, 往往能使题中所隐含的规律明朗化, 从而获得简解.

六、比 (或等) 值换元法

当题中出现等比 (值) 的形式时, 我们往往令该比 (或值) 为k, 从而化分式为整式.

【例6】设a, b, c都是正数, 且3a=4b=6c, 则以下正确的是 () .

解析:设3a=4b=6c=k, 则k>0且k不等于1, 两边同时取对数得a=log3k, b=log4k, c=log6k,

七、增量换元法

对于实数, 若a≥b, a=b+m (m≥0) , 则称m为增量.用增量换元可将不等量变为等量, 将不等关系化为相等关系.

【例7】若-4<x<1, 则

A.有最小值1B.有最大值1

C.有最小值-1D.有最大值-1

解析:设x+m=1, 则x=1-m (0<m<5) ,

f (x) =x2-2x+22x-2= (x-1) 2+12 (x-1) =12 (-m-1m) (0<m<5) .

换元法在数学教学中的应用 第7篇

利用换元法解数学题的关键在于适当地选择“新元”, 引进适当的代换, 找到较容易的解题思路, 能使问题简化。使用换元法时要注意“新元”的范围, “新元”所受的限制条件还要注意根据题设条件验证结果。换元的总目的是化繁为简, 具体地说是:化超越为代数, 化无理为有理, 化分式为整式, 化高次为低次等等。

运用换元法解题时, 要引入什么样的“新元”和怎样引入“新元”, 不同的问题有不同的方法和技巧。换元中的“元”一般作为变量理解, 但也可以作更为广泛的理解, 如“元”可以表示常数、代数式、函数等。事实上所“换元”的不同形式, 有各种各样的代换方法:代数换元法、三角换元法、常量换元法、比值换元法、参数换元法、参变量换元法、标准量换元法、多元换元法等。下面阐述换元法在中学数学中的应用:

一、代数换元法

(1) - (2) 得:t=2代入 (2) 得:2x2-3x-2=0解之得:经检验知:x1=2和均为原方程的解。

小结:例1小结:通过换元避免了常规解法中两次平方的复杂运算, 使问题更加容易解决。此曰:代数换元法。例2通过换元使问题更加明朗。再用均值证明不等式。

二、常量换元法

例3:已知f (x) =2x5+3x3-x2-4x+12, 求的值。

小结:利用常量换元法构造零因子, 使计算量大大减小。充分体现常量换元法在解题中的精妙作用。

三、增量换元法

例4:求证:对任意实数a>1, b>1有不等式

证明:设a=1+x, b=1+y, x, y∈R则

当且仅当x=y=1, 即a=b=2时取等号。

此题解法为增量换元法。所谓增量换元法就是用相关变量x代换m+t, 其中m为恰当的常数, 因此严格地说起来, 未必一定是增量;另外从本质上讲这种代换仍然是线性的, 这样像上面例11中的1-2y=t的基本代换也是线性代换或增量代换。又如:

例5:求函数的最大值和最小值。

解得4≤x≤5, 即函数的定义域是:4≤x≤5, 所以x是4与5之间的一个变化的量。

小结:此例既是三角换元法, 又属增量换元法。通过换元后转化为三角知识使问题得到了巧妙的解决。

四、参数换元法

例6:已知x2+4y2+8x4+7=0, 求x2+y2的最小值且求相应的x、y的值。

所以:当cosθ=1时, (x2+y2) min=1, 此时x=-1, y=0当cosθ=-1时, (x2+y2) max=49, 此时x=-7, y=0

小结:对于条件是圆锥曲线所对应二元二次方程, 同时求两个变量x、y的结构式F (x, y) 的最值都可以用参数换元法去解决。

综上所述, 换元思想方法在数学解题中有着不可低估的作用。总结解题的规律和技巧, 强化思维训练, 对提高学生分析问题、解决问题的能力将是十分有益。也能全面提高学生素质, 培养和提高学生创造能力。因此, 我们更有必要对数学方法进行再认识, 全面提高教学质量。

参考文献

[1]《数学思想方法以及教学示例》肖柏荣、潘娉姣主编.

换元法在珠算乘法教学中的应用 第8篇

一、预备知识

1. 位数的概念

乘积的定位是以被乘数和乘数的位数为依据。因此, 为了学习乘法定位法, 必须掌握数的位数。它共分三类:

(1) 正位:一个数有几位整数, 就叫做正 (+) 几位。

例:1为正 (+) 1位;32为正 (+) 2位;128.03为正 (+) 3位;1, 000为正 (+) 4位。

(2) 负位:一个纯小数, 小数点到第一个有效数字之间夹几个“0”, 就叫做负 (-) 几位。

例:0.025为负 (-) 1位;0.0031为负 (-) 2位;0.00016为负 (-) 3位;0.000071为负 (-) 4位。

(3) 零位:一个纯小数, 小数点到第一个有效数字之间没有夹“0”, 就叫做零 (0) 位。

例:0.1;0.25;0.142;0.704, 以上4个数均为零 (0) 位。

2. 大九九口诀

四字一句, “得”和“十”字, 都换成0, 0要占位。前两个数字表示乘数与被乘数, 后两位数字表示乘积。例如, 2×3=6, 念作“二三06”;4×5=20, 念作“四五20”。

3. 空盘前乘法

在乘法运算中, 两数相乘, 用乘数乘被乘数。从乘数的首位开始依次到末位, 与被乘数首位相乘依次到末位, 按照这种运算顺序计算出乘积。由于这种乘法乘数和被乘数均不入盘, 眼看乘数默记被乘数, 依次直接拨积入盘, 因此叫做空盘前乘法。它的优点是:速度快、准确率高、易学易会。

4. 换元法

解数学题时, 把某个式子看成一个整体, 用一个变量去代替它, 从而使问题得到简化, 这叫换元法。换元的实质是转化, 关键是构造元和设元, 理论依据是等量代换, 目的是变换研究对象, 将问题移至新对象的知识背景中去研究, 从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化, 变得容易处理。

二、例证

以教材列举的四种情况来说明通用定位公式的应用。

(1) 当积的首位数 (有效数字, 非0) 大于两因数中任一因数的首位时:

例:5.6×0.12→0672 (盘上数) , 把0672看成一个整体, 它有4位整数, 根据m+n=1+0=1, 小数点的位置应该落在第一位整数的后面, 即5.6×0.12=0.672。

(2) 当积的首位数小于两因数中任一因数的首位数时, 通用定位公式自然成立。

例:8436×90→75924 (盘上数) , 根据m+n=4+2=6, 得8436×90=759240。

(3) 当积的首位数 (有效数字, 非0) 与两因数的首位数相同时:

例:950×9.6→912 (盘上数) , 根据m+n=3+1=4, 得950×9.6=9120。

例:120×1.5→018 (盘上数) , 把018看成一个整体, 它有3位整数, 根据m+n=3+1=4, 结果为0180, 但习惯上首位0省略不写, 所以120×1.5=180。

(4) 当积的各位数与两因数的各位数都相同 (称为大齐) 时:

例:100×100→01 (盘上数) , 把01看成一个整体, 它有2位整数, 根据m+n=3+3=6, 结果为010000, 但习惯上首位0省略不写, 所以100×100=10000。

三、结论

由上述四种情况可见, 积的定位公式可由m+n来唯一确定。但必须强调的是, 运算中要使用大九九口诀, 0要占位, 如2×3=06, 而非6, 把06看成一个整体 (也叫换元) , 使用唯一的公式m+n进行定位, 可以免除选择的困扰。

摘要：本文通过不同类型的实例, 论证了珠算乘法定位其实只用一个通用公式, 就可以代替教材上叙述的分别要用两个公式来对珠算乘积进行定位的方法, 化解了珠算乘法教学中的难点。

关键词：珠算教学,乘积定位,通用公式

参考文献

[1]詹友堂.实用计算技术[M].北京:中国劳动社会保障出版社, 1998: 36—37.

换元法应用实例 第9篇

求极限问题

求不定积分

求定积分问题及证明

求解常微分方程

求重积分

摘要：着重论述了利用换元思想, 进行极限、不定积分、定积分、常微分方程、重积分的计算以及其它的应用等。

关键词：换元法,极限,积分,应用

参考文献

[1]同济大学.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 1987.