纵观近几年的中考试题, 我们可以发现归纳与猜想试题备受命题者青睐。这种题型重点考察学生的观察分析、猜想归纳的能力, 它的问题形式由“单纯的数学问题”逐步转变为“与实际请境、生活背景相结合”的综合性试题。题型也由最初的选择题、填空题逐步向“问题情境-建立模型-求解-解释与应用”模式的综合题转化, 在试题的选材上, 从单纯的“数与式规律探究”、“图形规律探究”逐步发展到“数与形结合、式与形结合的规律探究”。下面从近几年的中考题中选取几例, 分类说明这类题的解法。
1 数与式
例1:阳阳和明明玩上楼梯游戏, 规定一步只能上一级或二级台阶, 玩着玩着两人发现:当楼梯的台阶数为一级、二级、三级……逐步增加时, 楼梯的上法数依次为:1、2、3、5、8、13、21, …… (这就是著名的斐波那契数列) 。请你仔细观察这列数中的规律后回答:上十级台阶共有______种上法。
解析:过观察容易发现斐波那契数列的特征是从第3个数起, 每个数是相邻前两个数字的和。由此, 可以求出答案为89。
例2:利用计算机设计了一个计算程序, 输入和输出的数据如图1。
当输入数据为8时, 输出的数据为。
解析:
思路点拨:通过探6究5数或式中的关系, 意在考察学生的观察、推理、归纳能力, 是归纳与猜想试题中最简单的。
2 图形与规律
例3:将一个边长为1的正方形纸, 剪成四个大小一样的正方形, 然后将其中的一个按同样的方法剪成四个正方形, 如此循环下去, 观察图2和表1中的数据后填空。
解析:解本题的关键是先归纳总结出操作的次数与正方形个数之间的关系, 再猜想空格中的结果。操作的次数是10时, 正方形个数为31;操作的次数是n时, 正方形个数为1+3n。
例4:下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案, 每条边 (包括顶点) 有n (n>1) 盆花, 每个图案花盆总数为S, 按此规律推断, S与n的关系式是________。
解析:题目给出了“每条边 (包括顶点) 有n (n>1) 盆花”, 而三角形有三条边, 因此, 三条边上的花盆数量为3n, 但每个顶点上的花盆用了两次, 必须减去, 所以S=3n-3。
思路点拨:这类题目以一组图形为载体, 它要求学生根据图形的变化规律, 猜想其中具备的一般变量关系, 有效考察学生运用由特殊到一般的数学方法解决问题的能力。
3 数形结合规律探究
例5:如图4, 是用火柴棍摆出的一系列三角形图案, 按这种方式摆下去, 当每边上摆20 (即n=20) 根时, 需要的火柴棍总数为根。
解析:可试探S1=1×3, S2=1×3+2×3, S3=1×3+2×3+3×3, ∴S20=1×3+2×3+3×3+…+20×3=3× (1+2+3+…+20) =3×[ (20+1) + (19+2) + (18+3) + (12+9) + (11+10) ]=3×10×21=630 (根) , 还可猜测:Sn=3n (n+1) ÷2。
解析:通过式子与图形的对比, 不难发现, 式子恰好相当与对正方形的一个分割对应的面积求解。即第一次将正方形等分成两份, 得到一份2/1, 然后将剩下的一份等分, 得到其中的一份, 再将剩下的另一份等分。共得到2/1+4/1……, 按照上述方式继续进行, 第n次分割后共得, 易知, 即相当于正方形的面积减去第n次分割后所剩的面积:即。
总之, 如何将抽象的数或式通过一组图形具体化, 再从图形中抽象出数或式, 这就要求学生具备一定的抽象转化能力, 将问题定位到恰当的模型中, 充分体现了新课标中要求学生经历“问题情境-建立模型-求解-解释与应用”的基本过程这一要求, 引导学生关注生活, 增强“用数学, 做数学”的过程。求解规律探究型题的策略是:从简单情形入手, 通过观察已知 (特殊) 的数、式或图形, 类比出一般性规律 (结论) , 最后按题目的要求完成解答。
摘要：归纳是一种重要的推理方法, 是根据具体事实和特殊现象, 通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。猜想是一种直觉思维, 它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。猜想往往依据直觉来获得, 而恰当的归纳可以使猜想更准确。
关键词：归纳,猜想,规律和结论,图形,代数式