1 引言和引理
在现行的《高等数学》教材中, 一般都把曲线的切线定义成“切线是曲线割线的极限位置”, 这个定义撇开了曲线与其切线在几何上的位置关系问题。由于圆、椭圆、抛物线等曲线的切线与曲线本身只有一个交点, 且切线总是位于曲线的某一侧, 学生在学习中受已有的曲线及其切线几何位置关系知识的影响, 总认为曲线的切线在切点处都是不穿过曲线而位于曲线的某一侧的, 而穿过曲线的直线都不是曲线的切线。实际上, 这种认识是错误的, 而教材一般也不涉及此问题, 本文对这个问题给大家一个明确的解答。
引理1:f (x) 有二阶连续导数, 若在 (a, b) 上u=f (x) 的图形是光滑的凸弧, 则在 (a, b) 上f″ (x) ≤0, 若在 (a, b) 上u=f (x) 的图形是光滑的凹弧, 则在 (a, b) 上f″ (x) ≥0ㄢ
证明:反证法。设在 (a, b) 上y=f (x) 的图形是光滑的凸弧, 且存在点x0∈ (a, b) , 使得。因y=f (x) 的图形是光滑的凸弧, 则在 (a, b) 内f (x) 有二阶连续导数, 故存在x0的某邻域 (x0-h, x0+h) 使得当
时。
另一方面, 由拉格郎日中值定理得：
将上两式相减得:
对f′ (t) 在区间 (x0-θ2h, x0+θ1h) 上再利用拉格郎日中值定理得：, 其中。
故, 此与凸弧的定义:
, 矛盾, 故定理结论成立。
在 (a, b) 上y=f (x) 的图形是光滑的凹弧的情况的证明类同。
2 主要结论
定理1:若切线的切点位于光滑曲线 (a, b) 的凸弧上, 则在切点附近的曲线位于切线下侧。反之亦然。
证明:设切点x0位于y=f (x) 的凸弧 (a, b) 上, x∈ (a, b) , 由f (x) 的二阶泰勒展式得, 其中ζ介于x与x0之间, 而切线的方程是, 。因切点x0在凸弧上, 由引理1知在 (a, b) 上则, 故在切点附近的曲线位于切线的下侧;证明过程可逆推。
定理2:若切线的切点位于光滑曲线 (a, b) 的凹弧上, 则在切点附近的曲线位于切线的上侧。反之亦然。
证明类同定理1ㄢ
定理3:若切线的切点是连续曲线的拐点, 则切线在切点处穿过曲线, 反之不成立。
证明:因拐点是凸弧与凹弧的分界点, 由定理1, 在凸弧切点的附近曲线的切线位于曲线的上侧, 由定理2, 在凹弧切点的附近曲线的切线位于曲线的下侧, 故拐点处的切线在拐点处穿过曲线。反之是不成立的, 例如曲线在切点 (0, 0) 处的切线穿过曲线, 但切点 (0, 0) 不是拐点。
定理4:若曲线在尖点处有切线, 则其切线可能位于曲线某一侧, 也可能在切点处穿过曲线。
例如曲线在尖点 (0, 0) 处的切线穿过曲线, 而曲线在尖点 (0, 0) 点处的切线是x=0位于曲线的一侧的。
3 结语
对于复杂曲线与其切线几何位置关系的认识有助于我们进一步了解函数的特性, 有助于我们学习定积分的有关内容, 为重积分的学习打下良好的基础。
摘要：对曲线与其切线在几何上的位置关系问题进行了探讨, 指出了曲线的切线在切点附近位于曲线的某一侧, 也可能切点处穿过曲线。
关键词：曲线,切线,切点,凸 (凹) 弧
参考文献
[1] 同济大学数学教研室.高等数学[M].北京高等教育出版社, 2002, 9.
[2] 潘鼎坤.高等数学教材中的常见瑕疵[M].西安交通大学出版社, 2006, 4.