论文题目：加保序映射的WENO格式
摘要：本论文主要发展了加权本质无振荡（WENO）高精度数值格式。由于在求解双曲守恒律问题时,可以同时保持高分辨率和避免伪数值振荡,WENO格式在该领域广受欢迎。然而,当进行长时间模拟时,同时保持高分辨率和避免伪数值振荡似乎是一个甚为不同的问题,极具挑战。大量研究表明,现有绝大部分WENO格式在长时间模拟带间断问题时,要么出现严重的分辨率下降、要么产生剧烈的伪数值振荡。过去十年,此问题持续受到关注,但仍未有明确的线索为此问题的彻底解决提供方向。本论文首先系统的研究了多种加映射的WENO格式,发现映射前后权系数的相对大小顺序被改变,是造成此问题的关键原因。为此,我们提出了保序映射这个新的概念,据此可以设计全新的WENO格式或者改造现有的WENO格式,使之能够在长时间模拟方面获得显著改进。大量数值实验证明,采用保序映射的WENO格式,在长时间模拟带间断问题时能够既获得足够高的分辨率又避免发生伪数值振荡、在长时间模拟带高阶临界点的光滑问题时能够获得足够高的分辨率。此外,即使在短时间模拟中,它们也在多个方面获得了明显的性能提升,例如提高高频光滑波区域的分辨率、消除或显著抑制模拟带激波的二维问题时的波后数值振荡、大幅降低采用逐分量重构方法时的数值振荡等。上述工作为WENO格式的研究开辟了一条全新的路径。在此之前,我们先分别围绕提升分辨率和稳健性、提高计算效率两个方面开展了相关工作。首先,我们构造了与文献思路迥异的自适应映射函数,提供了一系列加自适应映射的WENO格式。通过大量数值实验,找到了一个表现突出的格式,它在长时间模拟带间断的问题时,能够在不产生伪数值振荡的前提下获得非常高的分辨率。其次,我们瞄准现有加映射的WENO格式相对WENO-JS格式会严重增加额外计算时间这个不足,提出了加近似常值映射的WENO格式。数值测试表明,该格式能够显著提高计算效率。事实上,这是首个能将相对WENO-JS格式的额外计算时间消耗降低到5%以内的加映射的WENO格式。具体来讲,本论文主要包括以下贡献。（1）提出了一系列加自适应映射的WENO格式。通过构造符号函数的一种近似函数和一系列的自适应控制函数,实现了对现有加映射的WENO格式的有效扩展,获得了可以选择更广泛的控制参数且具备自适应属性的一系列新格式。理论和数值结果表明,该系列格式在无论是否包含临界点的光滑区域均可以获得理想收敛精度。并且,其中一个推荐格式在长时间模拟带间断问题方面有着非常突出的表现,它不仅可以获得非常高的分辨率,同时还能避免产生伪数值振荡。（2）提出了高效的加近似常值映射的WENO格式。映射函数运算操作数过多,是造成加映射的WENO格式计算效率下降的根本原因。基于该认识,巧妙利用前述符号函数的近似函数,构造了一个近似常值映射函数。该映射函数满足已有映射函数的所有设计要求,但在绝大部分区域仅进行一次赋值操作。因此,相应的格式理论上在光滑区域可以达到理想收敛精度,且具备非常高的计算效率。数值测试表明,该格式相对WENO-JS格式的额外计算时间消耗小于5%,远低于其他加映射的WENO格式。（3）针对加映射的WENO格式,建立了保序映射这一全新概念,并具体构造了一类加保序映射的WENO格式。通过系统的分析,首次发现现有映射函数普遍会改变权系数在映射前后的相对大小顺序。这意味着,映射操作可能会使不光滑子模板的作用超过光滑子模板。显然,这对于格式的分辨率和稳健性都是不利的。特别是长时间模拟时,这种不利影响会进一步放大。因此,本文建立了保序映射的概念,并具体构造了一种满足保序映射要求的新格式。数值实验表明,该格式在长时间模拟带间断问题时,能够获得相当高的分辨率同时不产生伪数值振荡。（4）提出了对现有加非保序映射WENO格式改进的通用方法。建立了一种可以对现有映射函数进行改进的通用方法,改进后的映射函数满足保序映射要求。理论和数值实验表明,改进后的格式拥有和原格式一致的收敛性。关键是,改进后的格式能够解决原格式长时间模拟带间断问题时无法获得高分辨率同时不发生伪数值振荡的缺陷,并且还能解决原格式长时间模拟包含高阶临界点问题时分辨率严重下降的不足。此外,它们还能消除或明显减小原格式模拟带激波二维问题时产生的波后数值振荡、以及显著抑制采用逐分量重构方法时的数值振荡。（5）进一步建立了局部保序映射的概念,并提出了引入局部保序映射的通用方法。我们发现要求映射函数在整个映射区间上保序不是必要的甚至过于严苛,这会影响格式在高频光滑波区域的表现且严重限制保序思想在其他类型WENO格式中的适用性。于是,我们进一步提出了局部保序映射。据此,利用新提出的一种后验自适应技术,我们将局部保序映射用于对现有非保序映射函数的改进。相应的新格式除了成功获得第（4）点所得改进格式具备的各项性能提升外,还能够明显提高模拟高频光滑波时的分辨率。（6）实现了对其他类型WENO格式的改进。到目前为止,很少有学者专门讨论其他类型WENO格式的长时间模拟问题,事实上,它们同样普遍存在前述缺陷。为了解决该难题,基于大量数值观察,先提出从映射的视角看待其他类型WENO格式,建立广义映射的概念。然后,将前面的两种通用方法进行推广,获得了两类改进的广义加映射的WENO格式。大量数值测试结果表明,它们分别获得了与前述两类基于传统加映射WENO格式的改进格式完全一致的性能提升效果。
关键词：双曲守恒律;WENO格式;自适应映射;常值近似映射;保序映射
学科专业：计算数学
摘要
ABSTRACT
第一章 绪论
1.1 WENO格式回顾
1.1.1 概述
1.1.2 三类典型的(2r-1)阶WENO格式
1.2 存在的问题及研究现状
1.2.1 加映射的WENO格式的计算效率问题
1.2.2 长时间模拟中的分辨率下降或伪数值振荡问题
1.2.3 二维模拟中的波后数值振荡问题
1.2.4 采用逐分量重构法时的数值振荡问题
1.3 本文的目标
1.4 论文组织结构
第二章 准备知识
2.1 有限体积方法
2.2 典型C族格式
2.2.1 WENO-JS
2.2.2 WENO-ZS
2.2.3 WENO-η
2.2.4 WENO-NIS
2.2.5 WENO-MS
2.3 典型M族格式
2.3.1 WENO-M
2.3.2 WENO-PMk
2.3.3 WENO-IM(k,A)
2.3.4 WENO-PPMn
2.3.5 WENO-RM(mn0)
2.3.6 MWENO5
2.4 典型Z族格式
2.4.1 WENO-Z
2.4.2 WENO-Zη(τ_l)
2.4.3 WENO-Z+
2.4.4 WENO-Z+I
2.4.5 WENO-ZA
2.4.6 WENO-D和WENO-A
2.4.7 WENO-NIP
2.5 TVD Runge-Kutta时间离散方法
第三章 加自适应映射的WENO格式
3.1 自适应型映射函数
3.1.1 符号函数的一种近似函数
3.1.2 自适应控制函数
3.1.3 新映射函数
3.2 WENO-MAIMi格式
3.2.1 关于函数f_s~(MAIM)
3.2.2 映射函数的影响参数分析
3.2.3 收敛性分析
3.3 长时间模拟分析
3.4 数值实验
3.4.1 精度测试
3.4.2 一维欧拉方程组
3.4.3 二维欧拉方程组
3.5 本章小结
第四章 高效的加近似常值映射的WENO格式
4.1 近似常值映射函数
4.1.1 新映射函数
4.1.2 映射函数性质
4.2 新WENO格式
4.2.1 WENO-ACM格式
4.2.2 映射函数的影响参数分析
4.2.3 收敛性分析
4.3 数值实验
4.3.1 精度测试
4.3.2 一维欧拉方程组
4.3.3 二维欧拉方程组
4.3.4 计算效率比较分析
4.4 本章小结
第五章 保序映射思想及加保序映射的WENO格式
5.1 加包含间断的映射的WENO格式
5.1.1 包含间断的单调递增映射函数
5.1.2 MIP-WENO-ACMk格式
5.2 对已有加映射WENO格式权系数的分析
5.2.1 关于g'(0)对加映射WENO格式分辨率和稳健性影响的讨论
5.2.2 保序映射和非保序映射
5.3 保序映射函数
5.3.1 新映射函数
5.3.2 映射函数性质
5.4 新WENO格式
5.4.1 MOP-WENO-ACMk格式
5.4.2 收敛性分析
5.5 长时间模拟分析
5.5.1 包含高阶临界点
5.5.2 包含间断
5.6 数值实验
5.6.1 精度测试
5.6.2 计算效率测试
5.6.3 数值通量影响分析
5.6.4 二维欧拉方程组
5.7 本章小结
第六章 对已有加映射WENO格式的改进
6.1 一种引入保序映射的通用方法
6.1.1 已有映射函数的一种统一表达式
6.1.2 新映射函数
6.1.3 映射函数性质
6.2 改进的WENO格式
6.2.1 MOP-WENO-X格式
6.2.2 收敛性分析
6.3 长时间模拟分析
6.3.1 包含高阶临界点
6.3.2 包含间断
6.4 数值实验
6.4.1 精度测试
6.4.2 与中心WENO格式的比较
6.4.3 强间断问题模拟
6.4.4 二维欧拉方程组
6.4.5 采用逐分量重构法的表现
6.5 本章小结
第七章 加后验自适应局部保序映射的WENO格式
7.1 后验自适应局部保序映射函数
7.1.1 局部保序映射
7.1.2 引入后验自适应局部保序映射的通用方法
7.1.3 映射函数性质
7.2 新WENO格式
7.2.1 LOP-WENO-X格式
7.2.2 收敛性分析
7.3 长时间模拟分析
7.3.1 包含高阶临界点
7.3.2 包含间断
7.4 数值实验
7.4.1 精度测试
7.4.2 包含高频光滑波问题
7.4.3 激波与涡相互作用问题
7.4.4 采用逐分量重构方法的表现
7.5 本章小结
第八章 对其他类型WENO格式的改进
8.1 新视角下的Z族格式
8.1.1 从映射关系的角度分析Z族格式的权系数
8.1.2 广义加映射的WENO格式
8.1.3 广义加映射的WENO格式非保序特征的理论分析
8.2 引入保序映射的Z族格式
8.2.1 新的Z族格式
8.2.2 临界点的收敛性
8.2.3 长时间模拟分析
8.2.4 数值实验
8.3 引入后验自适应局部保序映射的Z族格式
8.3.1 新的Z族格式
8.3.2 临界点的收敛性
8.3.3 长时间模拟分析
8.3.4 数值实验
8.4 采用逐分量重构法的表现
8.4.1 一维爆炸波相互作用问题
8.4.2 强间断问题
8.4.3 激波与涡相互作用问题
8.5 本章小结
第九章 总结与展望
参考文献
附录A 第二章的补充内容
A.1 引理2.4的证明
A.2 推论2.1的证明
A.3 WENO-PPMn格式的构造细节
附录B 第三章的补充内容
B.1 性质3.3和定理3.1的补充结果
B.2 定理3.2的补充结果
附录C 第六章的补充内容
C.1 定理6.3的若干推论
C.2 算例6.1的补充结果
C.3 算例6.2和算例6.3的补充结果
C.4 算例6.4的补充结果
C.5 算例6.5的补充结果
C.6 算例6.11的补充结果
C.7 算例6.13的补充结果
附录D 第七章的补充内容
D.1 算例7.2的补充结果
D.2 算例7.3的补充结果
D.3 算例7.6的补充结果
D.4 算例7.7的补充结果
D.5 算例7.9的补充结果
D.6 算例7.10的补充结果
附录E 第八章的补充内容
E.1 算例8.2的补充结果
E.2 算例8.3的补充结果
E.3 算例8.6的补充结果
E.4 算例8.7的补充结果
E.5 算例8.9的补充结果
E.6 算例8.10的补充结果
E.7 算例8.15的补充结果
E.8 算例8.16的补充结果
E.9 算例8.17的补充结果
E.10 算例8.21的补充结果
附录F 采用逐分量分析法的其他补充结果
F.1 色散和耗散属性分析
F.2 精度测试一: 算例8.4
F.3 精度测试二: 算例7.4
F.4 Sod激波管问题: 算例4.5
F.5 Lax激波管问题: 算例4.6
F.6 Shu-Osher等熵波相互作用问题: 算例3.6
F.7 Titarev-Toro等熵波相互作用问题: 算例3.7
F.8 计算效率分析: 一维欧拉算例
F.9 斜激波反射问题: 算例8.18
F.10 双马赫反射问题: 算例3.9
F.11 前台阶流动问题: 算例3.10
F.12 计算效率分析: 二维欧拉算例
致谢
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