在初中教材中, 对二次函数作了较详细的研究, 由于初中学生基础薄弱, 又受其接受能力的限制, 这部份内容的学习多是机械的, 很难从本质上加以理解。进入高中以后, 尤其是高三复习阶段, 要对他们的基本概念和基本性质 (图象以及单调性、奇偶性、有界性) 灵活应用, 对二次函数还需再深入学习。
1 进一步深入理解函数概念
初中阶段已经讲述了函数的定义, 进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射, 接着重新学习函数概念, 主要是用映射观点来阐明函数, 这时就可以用学生已经有一定了解的函数, 特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A (定义域) 到集合B (值域) 上的映射:A→B, 使得集合B中的元素y=ax2+bx+c (a≠0) 与集合A的元素X对应, 记为 (x) =ax2+bx+c (a≠0) 这里ax2+bx+c表示对应法则, 又表示定义域中的元素X在值域中的象, 从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识, 在学生掌握函数值的记号后, 可以让学生进一步处理如下问题:类型 (1) :已知 (x) =2x2+x+2, 求 (x+1) , 这里不能把 (x+1) 理解为x=x+1时的函数值, 只能理解为自变量为x+1的函数值。类型 (2) :设 (x+1) =x2-4x+1, 求 (x) , 这个问题理解为, 已知对应法则下, 定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1, 求定义域中元素X的象, 其本质是求对应法则。
2 二次函数的单调性, 最值与图象
在高中阶阶段学习单调性时, 必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间 (-∞, ]及[, +∞) 上的单调性的结论用定义进行严格的论证, 使它建立在严密理论的基础上, 与此同时, 进一步充分利用函数图象的直观性, 给学生配以适当的练习, 使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型 (3) :画出下列函数的图象, 并通过图象研究其单调性。
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示, 然后画出其图象。
类型 (4) :设 (x) =x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t) 。
求:g (t) 并画出y=g (t) 的图象。
首先要使学生弄清楚题意, 一般地, 一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值, 但当定义域发生变化时, 取最大或最小值的情况也随之变化, 为了巩固和熟悉这方面知识, 可以再给学生补充一些练习。
如:y=3x2-5x+6 (-3≤x≤-1) , 求该函数的值域。
3 二次函数的知识, 可以准确反映学生的数学思维
类型 (5) :设二次函数 (x) =ax 2+bx+c (a>0) 方程 (x) -x=0的两个根x1, x2满足0
(Ⅰ) 当X∈ (0, x1) 时, 证明x< (x)
解题思路:本题要证明的是x< (x) , (x)
二次函数, 它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数, 可以以它为代表来研究函数的性质, 可以建立起函数、方程、不等式之间的联系, 可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题, 考查学生的数学基础知识和综合数学素质, 特别是能从解答的深入程度中, 区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
摘要：从中学数学教材中看, 二次函数占有重要的地位, 学生应该具备灵活运用二次函数的能力。这就需要学生进一步理解函数的概念和性质, 从而提高学生的解题能力。
关键词：二次函数,表达式,单调性,最值,函数图像,数学思维