向量形式的基本不等式

第一篇：向量形式的基本不等式

三角形内心的向量表示形式

有这样一个高考题：

已知O，N，P在ABC所在平面内，且OAOBOC,NANBNC0，且PAPBPBPC，则点PCPAO，N，P依次是ABC的(

)

(A)重心 外心 垂心

(B)重心 外心 内心

(C)外心 重心 垂心

(D)外心 重心 内心

答案为C，即分别为外心、重心、垂心，通过此题我们可以发现三角形的这三个“心”的向量表示形式非常和谐美观。而三角形的“心”常见的有四个，我们不仅会想三角形内心的向量表示形式是什么呢?

内心的向量表示有三种常见的形式，网络以及资料上面，对于它们的证明往往不完整，下面我把内心的向量表示形式及其验证的完整过程给读者介绍一下.

(1)点I是ABC所在平面内一点，I是ABC内心的充要条件是

CACBBICI0

CACBABAC分析：此条件直观意义较强，如即分别为与AB、AC同

ABACAIABACABACBCBABCBA向的单位向量AM、AN的差向量MN，由条件可得MN与AI垂直，而MN为等腰AMN的底边，故AI为A的角平分线，同理可得BI、CI亦为角平分线，即I是ABC内心.

上面的条件直观意义较易发现，然而形式较为复杂，下面介绍一个较为简单的充要条件，你能做出证明吗?

(2)如图，ABC的边长分别为a、b、c,点I是ABC所在平面内一

点，I是ABC内心的充要条件是aIAbIBcIC0

证明：已知点I为ABC的内心，延长AI交BC于点D， 则BDcBDcac，所以，BD DCbBCbcbcAIABAIbccbc ，所以

acIDBDADabcabc连接BI,则有bcbcbccAD=(ABBD)(ABBC) 因此，AIabcabcabcbcbccbcbc(AB(ACAB))(ABAC) abcbcabcbcbcbcbcbcABAC ABACabcabcabcbcbc(abc)AIbABcAC

aAI(bABbAI)(cACcAI)bIBcIC

aIAbIBcIC0

反之，当aIAbIBcIC0时，可得点I为ABC的角平分线的交点，即为三角形的内心.

此题的证明需要利用角平分线的性质定理与比例的性质，在化简变形的过程中要特别注意. (2)若0为平面内任一点，则点I为ABC的內心的充要条件为abcOAOBOC

abcabcabc证明：由(1)知aIAbIBcIC0 OI a(OIOA)b(OIOB)c(OIOC)0  (abc)OIaOAbOBcOC

 从而有OIabcOAOBOC

abcabcabc上面我们提到的三角形的四个“心”非常奇妙，这一点从它们的向量表示形式上也能够体现出来，在平时的学习中要注意体会;同时向量法是研究几何图形性质的重要方法，而上面的证明过程也告诉我们把几何图形中的几何量用向量表示出来后，灵活运用平面几何中的比例关系及比例的性质是再进行向量运算的“先行军”.

第二篇：向量法证明不等式

向量法证明不等式高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况.设a，b是欧氏空间的两向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

规定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.

(注：a·b可记为(a，b)，表示两向量的内积)，有

由上，我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不等式及数量积的不等式建立一系列n元不等式，进而构造n维向量来证明其他不等式.

一、利用向量模的和与和向量的模的不等式(即

例1设a，b，c∈R+，求证：(a+b+c)≤++≤.

证明：先证左边，设m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，

则由

综上，原不等式成立.

点评：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式证明左边，利用向量数量积建立不等式证明右边.

作单位向量j⊥AC

j(AC+CB)=jAB

jAC+jCB=jAB

jCB=jAB

|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

即|CB|sinC=|AB|sinA

a/sinA=c/sinC

其余边同理

在三角形ABC平面上做一单位向量i,i⊥BC,因为BA+AC+CB=0恒成立，两边乘以i得i*BA+i*AC=0①根据向量内积定义，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得csinB-bsinC=0所以b/sinB=c/sinC类似地，做另外两边的单位垂直向量可证a/sinA=b/sinB,所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

步骤1

记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤3.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

第三篇：向量 不等式(高考题型与方法)

向量(高考题型与方法)

1.已知向量a=

1)，b=(0，-1)，c=(k

。若a-2b与c共线，则k=___________________。

2.已知向量a，b满足a1，b2， a与b的夹角为60°，则ab

3.已知平面向量,,1,2,(2),则2a的值是4.如图，在ABC中，AD

AB,BC,AD1,

则ACAD.

5.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB3,BD1，则ABAD

6. 2011年高考山东卷理科12)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若11且2,则称A3，A4调和分割A1，A2 ,A1A3A1A2 (λ∈R)，A1A4A1A2(μ∈R)，

已知点C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是

(A)C可能是线段AB的中点(B)D可能是线段AB的中点

(C)C，D可能同时在线段AB上(D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上

b，(ac)(bc)0，7. (2011年高考全国新课标卷理科10)若a，且ab0，c均为单位向量，

则|abc|的最大值为

(A)21(B)1(C)2(D)2

8. (2011年高考四川卷理科4)如图，正六边形ABCDEF中，BACDEF=_____

9. 已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,ADC90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则

|PA3PB|的最小值为.9. 若等边ABC的边长为23，平面内一点M满足A.23B.2 C.2D. 2 11，则等于 33

10. ABC和点M满足MAMBMC0.若存在实n使得AMACnAM成立，则n

=

A.2B.3C.4D.5

11.(2010年高考全国卷Ⅱ理科7)△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若CB= a , CA= b , a= 1 ，b= 2, 则CD=

12213443a + b(B)a +b(C)a +b(D)a +b 33335555(A)

212.(2010年高考四川卷理科6)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC16，

ABACABAC，则AM

(A)8(B)4(C)2(D)1

不等式与推理证明(高考题型与方法)

yx1. 设m1,在约束条件ymx下，目标函数zx5y的最大值为4，则m的值为.

xy1

2.若变量x,y满足约束条件32xy9,则zx2y的最小值为.

6xy9

3.(2011年高考天津卷文科5)已知alog23.6,blog43.2,clog43.6,则

A.abcB. acbC. bacD. cab

4. (2011年高考广东卷文科4)函数f(x)1lg(x1)的定义域是() 1x

A.(,1)B.(1,)C.(1,1)(1,)D.(,)

5. (2011年高考陕西卷文科3)设0ab，则下列不等式中正确的是

ababb(B

)a22

ababb (C

)ab

a22(A)

ab

6.(2010山东文数)(14)已知x,yR，且满足xy1，则xy的最大值为. 34

第四篇：专题4 平面向量与不等式结合

考点动向：向量与不等式的交汇是当今高考命题的一个热点.自从新教材实施以来，在高考中，不时考查平面向量与不等式有关知识的结合。这些题实际上是以向量为载体考查不等式的知识，解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为不等式的问题，转化时不要把向量与实数搞混淆，一般来说向量与不等式结合的题目难度不大。

向量与不等式结合，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查。这类题目常常包括向量与不等式的性质、均值不等式、解不等式、求值包括(求最大值、最小值)的交汇等几个方面.可以预测到，明年仍至今后的高考中，还会继续出现向量与不等式结合的题目。

方法范例

例

1、(2005年，上海卷)已知函数f(x)kxb的图象与x,y轴分别相交于点A、B，

，函数g(x)x2x6。 22(,分别是与x,y轴正半轴同方向的单位向量)

(1) 求k,b的值;(2)当x满足f(x)g(x)时，求函数g(x)1的最小值。 f(x)

[解析] (1)通过交点坐标求出向量的坐标表示，列方程组，求k,b的值;(2)先由f(x)g(x), 得 2x4,再对1g(x)15，然后利用进行化简，得x2x2f(x)

不等式ab2ab求函数的最值.bbb2[答案](1)由已知得A(,0),B(0,b),则{,b}，于是 k,kkb2k1. b

2(2)由f(x)g(x),得x2x2x6, 即 (x2)(x4)0,得2x4,

g(x)1g(x)1x2x513， x25, 由于x20,则f(x)f(x)x2x2

其中等号当且仅当x+2=1，即x=-1时成立，∴g(x)1时的最小值是-3. f(x)

例

2、(2005年·黄岗模拟)已知二次函数f(x)对任意xR，都有f(1x)f(1x)成立，设向量a(sinx,2)，b(2sinx,)，c(cos2x,1)，d(1,2)，当x[0,]时，求不等式f(ab)f(cd)的解集.

[解析] 二次函数图象开口方向不确定，要分类讨论. 由f(1x)f(1x)，知二次函1

2数f(x)关于直线x=1对称.先求出向量数量积ab与cd，

[答案]二次函数图象开口方向不确定，要分类讨论.由f(1x)f(1x)，知二次函数

f(x)关于直线x=1对称.当二次项系数A>0时，f(x)在[1,)上递增，当A<0时，f(x)在[1,)上递减.因为ab(sinx,2)(2sinx,)=2sin2x1≥1，cd(cos2x,1)(1,2)=

cos2x2≥1，所以

当A>0时，由f(ab)f(cd)，得2sinx1>cos2x2，即cos2x0，又因为0≤x≤，所以



3

4当A<0时，由f(ab)f(cd)，得2sinx1

3

或

3

当二次函数f(x)二次项系数A<0时，不等式的解集{x∣0≤x<或

44



例

3、(2005年，浙江卷)已知向量a≠e，|e|=1，对任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-

综上所述，当二次函数f(x)二次项系数A>0时，不等式的解集{x∣



e|，则().(A) a⊥e ，(B) a⊥(a-e)，(C) e⊥(a-e)，(D) (a+e)⊥(a-e). 

[解析] 对|a-te|≥|a-e|进行平方，化成关于t的二次不等式，利用二次函数性质，



得0恒成立，从而得ac1.



[答案]解：对任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，故两边平方得

222a2tacta2ac1,



即：t2tac2tac10.

又上式对任意t∈R，恒成立，即有：0恒成立.

2

2即=4(ac)(42ac1)(4ac1)0. 

故当ac1时，上式成立，本题应选 (C).

[规律小结]

(1)平面向量与不等式结合的问题，经常以向量为载体考查不等式的知识，解题的关键是利用向量的知识将问题转化为不等式的问题：解不等式，求最大值(最小值)，转化时不要把向量与实数搞混淆。

(2)向量与不等式的结合，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，这类问题的解决思路通常是将向量的数量积的运算与模用坐标运算后，转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式求解，基中涉及到的有关向量的知识有：①向量的坐标表示及加法、减法、数乘向量;②向量的数量积;③向量平行、垂直



的充要条件;④向量的模、夹角;⑤abab;若a(x1,y1),b (x2,y2)，有

(x1x2y1y2)2(x12x22)(y12y22);⑥向量不等式：aabab|，



||a||b|||ab||a||b|.(3)可能涉及不等式的内容有：

①解分式不等式fxaa0的一般解题思路：移项通分，分子分母分解因式，x的

gx系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回.

②含有两个绝对值的不等式：一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化

③解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论.注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集.④利用重要不等式ab2ab 以及变式ab()等求函数的最值时，务必注

意a，bR(或a ，b非负)，且“等号成立”时的条件是积ab或和a+b其中之一应是定值(一正二定三等).

(根据目标不等式左右的运算结构选22

2用) a、b、cR，abcabbcca(当且仅当abc时，取等号)



⑥比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法和放缩法.⑦含绝对值不等式的性质：

a、b同号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|;

a、b异号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|.⑧不等式的恒成立,能成立等问题

1).恒成立问题：若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上

fxminA;若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB.

2).能成立问题：若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,即fxA在区间

D上能成立 ,则等价于在区间D上fxmaxA;若在区间D上存在实数x使不等式

fxB成立,即fxB在区间D上能成立 ,则等价于在区间D上的fxminB.

考点误区分析：



(1)对于||a||b|||ab||a||b|，要注意：

 b同向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|; ①a、 b反向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|; ②a、

b不共线||a||b|||ab||a||b|.(这些和实数集中类似) ③a、

(2)解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示;不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.(3)有些取值范围、最值问题，虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。考生经常没想到而陷入困境.

(4)注意对“整式、分式、绝对值不等式”的放缩途径，“配方、函数单调性等”对放缩的影响.同步训练：

x2y

21的焦点为F1,F2，点P为其上的动点，当

1、(2000年，全国卷)椭圆9

4∠F1P F2为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。

2、(2005年，江苏卷)在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则



OA(OBOC)的最小值是.3、已知向量a=(2，2)，向量b与a的夹角为，且ab=-2.

osA，2cos2(1)求向量b;(2)若t=(1，0)且bt，c=(c

C

)，其中A、C是ABC

2的内角，若三角形的三个内角依次成等差数列，试求bc的取值范围.22

4、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P是圆(x-3)+(y-4)=4上的一动点，求PAPB的

2

2最大值和最小值.

5、若a(cos,sin),b(cos,sin)，且k(k0,kR)

(1)试用k表示;



(2) 求的最小值，并求出此时a与b的夹角的大小.[参考答案]

1、[解析]解决与角有关的一类问题，总可以从平面向量数量积入手，通过坐标运算列出不等式。F1(-,0)F2(,0),设P(3cos,2sin)，F1PF2为钝角



2-5+∴

PF =9cosPF(3cos,2sin)3cos,2sin)12

22

4sin=5 cos-1<0，解得：

5cos∴点P横坐标的取值范围是5

5(

335

,)

55

2图

[答案] (

353) ,

55



2、[解析]如图设|OA|x,则|OM|2x，( 0x2)M为BC的中点，OBOC2OM，

OA(OBOC)OA2OM2(x2x)cos180

22x24x(2x1)2(0x2), 当x1时，取最小值2.[答案]-2.

3、[解析](1)设b=(x,y)，由ab=-2，得2x2y=-2，即xy=-1① 因为向量b与a的夹角为，a=2222=22， 所以b=

2ab

==1，因此x2y2=1.② 2acos22

42

x1,x0,

或.所以b=(-1，0)或b=(0，-1). y1y0

联立①、②，解得

(2)根据题意，得B=

2，A+C=，由于t=(1，0)且bt，故b=(0，-1)，

3

32

2b+c=(cosA，cosC)，bc=cosA+cosC

=1+

1112

(cos2Acos2C)+1+cos2Acos2A=1+cos(2A)， 22323

因为0

25

1，所以<2A+<，-1≤cos(2A)<， 333233

. ,因此，bc,，bc2422

[答案](1) b=(-1，0)或b=(0，-1);

15

25

25 ,(2)

22



4、[分析]利用向量把问题转化为求向量OP的最

值。设已知圆的圆心为C，由已知可得

：



OA{1,0},OB{1,0}，OAOB0, OAOB1，由中点公式得222PAPB2PO，所以PAPB(PAPB)2PAPB

2 =(2PO)2(OAOP)(OBOP)

222

=4PO2OAOB2OP2OP(OAOB)=2OP2，又因为OC{3,4} 点P

在圆(x-3)+(y-4)=4上, 所以OC5,CP2,且OPOCCP ，所以



OCCPOPOCCPOCCP，即3OP7

2222

2故20PAPB2OP2100，所以PAPB的最大值为100，最小值为20.[答案] 最大值为100，最小值为20.



5、 [解析](1)∵a(cos,sin),b(cos,sin)，∴1，

22

又∵k(kab)3(akb)

整理，得

11

(k)(k0). 4k

11111

(k)(k0)，∴(k)，取“=”当且仅当k=14k4k211

，∴cos22

(2)由(1)知

时，当k=1时，

1

∵又0，∴ ，因此当且仅当k=1时，取最小值，此时，a与b的夹

角为

 3

11(2). (k)(k0);4k3

[答案] (1)

第五篇：Minkowski不等式的证明(积分形式)

闵可夫斯基不等式

在数学中，闵可夫斯基不等式(Minkowski不等式)表明Lp空间是一个赋范向量空间

。设是一个 度量空间

，

，那么

如果，等号成立

当且仅当，

或者

，我们有：

闵可夫斯基不等式是中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：

对所有

实数 ，这里

是的维数;改成复数同样成立，没有任何难处。

值得指出的是，如果以变为。

积分形式的证明 ，

，则可

我们考虑

的次幂：

(用三角形不等式展开

)

用 赫尔德不等式(见下文) 继续运算可得

(利用

，因为)

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项，除以最后那个表达式的后面那个因子，我们得到

:

因为，我们最终得出：

这就是我们所要的结论。

对于序列的情况，证明是完全类似的。

赫尔德(Holder)不等式

设ai,bi1in是2n个正实数，

0,0,1,

n

a则

i1



i

bi





aibii1i1

n

n

i

n



n



.

[证明] 令Aa

i1

,B

b

i1

i

那么



n

A



B



a

i1



i

bi



aibi

i1AB

n



lg

aiA

lg

biB

lg



ailg

bi

lg



ai

bi







aibi

利用Jensen不等式有AB

n



aiA



bi

B成立



i1

aibi

AB

n







n

i

aA

i1





n

i

bB

i1

1



即

a

i1



i

bi



AB



aibi

,得证。

i1i1

n



n

易知积分形式也成立