基本不等式的证明习题

第一篇：基本不等式的证明习题

基本不等式的证明

重要不等式及其应用教案

教学目的

(1)使学生掌握基本不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3+b3+c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式.

(2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力.

教学过程

一、引入新课

师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法?它的理论依据是什么?

生：求差比较法，即

师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的.我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法.

如果a、b∈R，那么(a-b)2属于什么数集?为什么?

生：当a≠b时，(a-b)2>0，当a=b时，(a-b)2=0，所以(a-b)2≥0.即(a-b)2∈

R+∪{0}.

师：下面我们根据(a-b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法.

二、推导公式

1.奠基

师：如果a、b∈R，那么有

(a-b)2≥0.

①

把①左边展开，得

a2-2ab+b2≥0， ∴a2+b2≥2ab.

②

②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍.这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立.由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件.②式中取等号的充要条件是什么呢?

师：充要条件通常用“当且仅当”来表达.“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的.所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号).

以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法.以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式.现在让我们共同来探索.

2.探索

师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果.先考查三个实数.设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有

a2+b2≥2ab; b2+c2≥2bc; c2+a2≥2ca.

把以上三式叠加，得

a2+b2+c2≥ab+bc+ca

③

(当且仅当a=b=c时取“=”号).

以此类推：如果ai∈R，i=1，2，„，n，那么有

④

(当且仅当a1=a2=„=an时取“=”号).

④式是②式的一种推广式，②式就是④式中n=2时的特殊情况.③和④式不必当作公式去记，但从它们的推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法——迭代与叠加.

3.再探索

师：考察两个以上实数的更高次幂的和，又能得到什么有趣的结果呢?先考查两个实数的立方和.由于

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)，

启示我们把②式变成

a2-ab+b2≥ab，

两边同乘以a+b，为了得到同向不等式，这里要求a、b∈R+，得到

a3+b3≥a2b+ab2.

⑤

考查三个正实数的立方和又具有什么性质呢?

生：由③式的推导方法，再增加一个正实数c，对b、c，c、a迭代⑤式，得到

b3+c3≥b2c+bc2， c3+a3≥c2a+ca2.

三式叠加，并应用公式②，得

2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)

≥a·2bc+b·2ca+c·2ab=6abc.

∴a3+b3+c3≥3abc

⑥

(当且仅当a=b=c时取“=”号).

师：这是课本中的不等式定理2，即三个正实数的立方和不小于它们的积的3倍.同学们可能想到n个正实数的立方和会有什么结果，进一步还会想到4个正数的4次方的和会有什么结果，直至n个正数的n次方的和会有什么结果.这些问题留给同学们课外去研究.

4.推论

师：直接应用公式②和⑥可以得到两个重要的不等式.

⑦

(当且仅当a=b时取“=”号).

这就是课本中定理1的推论.

⑧

(当且仅当a=b=c时取“=”号).这就是课本中定理2的推论.

当ai∈R+(i=1，2，„，n)时，有下面的推广公式(在中学不讲它的证明)

⑨

(当且仅当a1=a2=„=an时取“=”号).

何平均数.⑨式表明：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.这是一个著名的平均数不等式定理.现在只要求同学掌握n=

2、3时的两个公式，即⑦和⑧.

三、小结

(1)我们从公式①出发，运用综合法，得到许多不等式公式，其中要求同学熟练掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧.它们之间的关系可图示如下：

(2)上述公式的证法不止综合法一种.比如公式②和⑥，在课本上是用比较法证明的.又如公式⑦也可以由①推出;用⑦还可以推出⑧;由⑦、⑧也可以推出②、⑥.但是不论哪种推导系统，其理论基础都是实数的平方是非负数.

四个公式中，②、⑦是基础，最重要.它们还可以用几何法或三角法证明.

几何法：构造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，222则a+b=c表示以斜边c为边的正方形的面积.而

+

如上左图所示，显然有

(当且仅当a=b时取“=”号，这时Rt△ABC等腰，如上右图).这个图是我国古代数学家赵爽证明勾股定理时所用过的“勾股方圆图”，同学们在初中已经见过.

三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°， AB=c， BC=a，AC=b，则

2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c2

=a2+b2 (∵sin2A≤1)

(当且仅当sinA=1，A=45°，即 a=b时取“=”号).

2三、应用公式练习

1.判断正误：下列问题的解法对吗?为什么?如果不对请予以改正.

a、b∈R+.若tgα、ctgα∈R+.解法就对了.这时需令α是第

一、三象限的角.]

改条件使a、b∈R+;②改变证法.a2+ab+b2≥2ab+ab=3ab.]

师：解题时，要根据题目的条件选用公式，特别注意公式中字母应满足的条件.只有公式①、②对任何实数都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正实数(事实上对非负实数也成立).

2.填空：

(1)当a________时，an+a-n≥________;

(3)当x________时，lg2x+1≥_________;

(5)tg2α+ctg2α≥________;

(6)sinxcosx≤________;

师：从上述解题中，我们可以看到：(1)对公式中的字母应作广义的理解，可以代表数，也可以代表式子.公式可以顺用，也可以逆用.总之要灵活运用公式.(2)上述题目中右边是常数的，说明左边的式子有最大或最小值.因此，在一定条件下应用重要不等式也可以求一些函数的最大(小)值.(3)重要不等式还可以用于数值估计.如

表明任何自然数的算术平方根不大于该数加1之半.

四、布置作业

略.

教案说明

1.知识容量问题

这一节课安排的内容是比较多的，有些是补充内容.这是我教重点中学程度比较好的班级时的一份教案.实践证明是可行的，效果也比较好.对于普通班级则应另当别论.补充内容(一般式，几何、三角证法等)可以不讲，例题和练习也须压缩.但讲完两个定理及其推论，实现教学的基本要求仍是可以做到的.还应看到学生接受知识的能力也非一成不变的.同是一节课，讲课重点突出，深入浅出，富有启发性，学生就有可能举一反

三、触类旁通，获取更多的知识.知识容量增加了，并未增加学生的负担.从整个单元来看，由于压缩了讲课时间，相应的就增加了课堂练习的时间.反之，如果学生被动听讲，目标不清，不得要领，内容讲得再少，学生也是难以接受的.由此可见，知识容量的多少，既与学生的程度有关，与教学是否得法也很有关系.我们应当尽可能采用最优教法，扩大学生头脑中的信息容量，以求可能的最佳效果.

2.教学目的问题

近年来，随着教改的深入，教师在确定教学目的和要求时，开始追求传授知识和培养能力并举的课堂教学效果.在培养学生的能力方面，不仅要求学生能够运用知识，更重要的是通过自己的思考来获取知识.据此，本节课确定如下的教学目的：一是在知识内容上要求学生掌握四个公式;二是培养学生用综合法进行推理的能力.当然，学生能力的形成和发展，绝不是一节课所能“立竿见影”的.它比掌握知识来得慢，它是长期潜移默化的教学结果.考虑到中学数学的基本知识，大量的是公式和定理，如能在每一个公式、定理的教学中，都重视把传授知识与开拓思维、培养能力结合起来，天长日久，肯定会收到深远的效果.

3.教材组织与教法选用问题

实现上述教学目的，关键在于组织好教材，努力把传授知识与开拓思维、培养能力结合起来.教材中对定理1和定理2的安排，可能是为了与前面讲的比较法和配方法相呼应.但这容易使人感到这两个定理之间没有什么内在联系，又似乎在应用定理时才能用综合法.事实上，可以用比较法证明两个数的平方和或三个数的立方和的不等式，但当n>3，特别对n是奇数时，用比较法就困难了(因为这时难以配方与分解因式).因此不具有一般性.而对综合法，学生在初中证几何题时已多次用过了(只是课本上没有提到这个名称).现行课本中两个不等式定理及其推论，是著名的平均值不等式：

和它的等价形式当

n=2，3时的特殊情况(当n=2时，ai的取值有所变化).在中学不讲一般形式，只讲特殊情况是符合大纲要求的.由于普遍性总是寓于特殊性之中，因此，这两个特例应是一般式的基础.同时，这两个特例之间应有紧密的联系，在推导方法上也应该与一般式的证明有共性.这就是本教案的设计思想，因而改变了现行课本的证法.

这里，我们用由定理1先推出一个辅助不等式

a3+b3≥a2b+ab2，

然后经迭代、叠加，推出不等式

a3+b3+c3≥3abc，

这种方法具有一般性.事实上，引入一个一般的辅助不等式

an+bn≥an-1b+abn-1(n>1)，

由迭代、叠加，再应用数学归纳法就可以证出公式

正因为上述证法具有一般性，即揭示了证法的本质(共性)，就必然有利于递推与探索.又由(a-b)2≥0非常容易推出a2+b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式.于

2ab，因此，凡能用配方法证明的问题，必能用基本不等式证明，反之亦真.可见配方法的重要作用.它的重要性应在上一节比较法中就予以强调.

当学生在教师的指导下和教师一起探索问题时，这个探索本身就是培养学生今后独立去获取知识的过程.

第二篇：基本不等式的证明 教案

课题：基本不等式的证明(1)

斜桥中学肖剑

一、教材分析

不等式是高中的重点也是难点,而本节内容又是该章的重中之重，是《考试说明》中八个C级考点之一。基本不等式的证明方法(比较法、分析法、综合法)为我们证明不等关系提供了主要的方法及应用。用基本不等式求函数最值也是高考的一个热点。

二、教学目标

1.知识目标：⑴知道算术平均数和几何平均数的概念

⑵探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法;

⑶能利用基本不等式证明简单的不等关系。

2.情感目标：通过不等式基本性质的探究过程，培养学生合作交流的思维品质，渗透不等式

中的数学美，激发学生学习兴趣，陶冶学生的数学情操。

3.能力目标:⑴通过对基本不等式证明的理解，体会三种证明方法，能准确用三种证明中简

单的方法证明其它不等式问题。

⑵体会类比的数学思想方法，培养其观察、分析问题的能力和总结概括的能力

三、教学重、难点

以学生探索发现定理来得出重点，以学生小组讨论，教师点拨来突破难点。

四、教学方法

以学生自主探究为住，教师归纳总结，采用启发式教学。

五、教学过程

1、创设情境、导入新课

利用多媒体显示下面不等式，由学生完成比较大小。

34294

423

32222

2、问题探究、讲授新课

提出问题：能否发现什么规律?

通过比较，学生不难得出，两数和的一半大于两数积的算术平方根。从而得出数学表达式abab。从而得出本节课的第一个重点：基本不等式的定理。 这样由学生自主探索、

2发现新知，可让他们体会获得成功的愉悦感。在这里，如果学生漏掉a和b是正数，可对他们进行修正，并可扩充到a0，b0。同时讲明取“=”当且仅当的含义，接着可向学生讲

解算术平均数和几何平均数的概念。

得出这个定理后，下面我可利用多媒体生动地向学生展示该不等式的几何证明即不等式的几何意义同时强调取等号时的位置，这样可提高他们学习数学的兴趣。展示完后，我便可提问，刚才我们是从图中直观地看出这个不等式是正确的，但我们数学是需要严谨的逻辑证明，同学们可用哪些方法去证明呢?这便是本节课的第二个重点，也是难点。在此，可鼓励学生发挥集体的力量，一人不行两人，两人不行四人，大家一起探讨，这样以学生为主体，使他们全都参与到课堂中去，使课堂达到高潮。在学生的讨论过程中，我也深入到学生中去，并做适当的点拨。

通过学生的讨论，学生不难得出用作差的方法证明该不等式，对此，我对他们进行鼓励、肯定，竖立他们学习数学的自信心。同时向他们讲明作差比较是我们高中阶段证明不等式的重要方法之一。最后我用多媒体展示书写过程，帮他们再次强化该方法的书写步骤。对于分析法，我估计学生可能会想到思路，会说出大致的证明过程，但对该方法的理解还是很模糊的，在这里，我首先向他们介绍这就是分析法，是我们证明不等式的另一个重要方法，接着讲解该方法，即从结论出发，推到已知结论或恒等式或公理，最后由我在黑板上完成书写，帮他们学会规范的书写，即“要证，只要证”的形式

要证abab

2只要证2abab

只要证0ab2ab

只要证0ab 2

因为最后一个不等式成立，所以ab ab成立，当且仅当ab，即ab时取"" 2

对于综合法，在证明这道题时，如果学生没有先想到，就把本方法在最后的方法中讲，因为综合法在本题中不易想到从哪个式子开始证明，但有了比较法和分析法后，学生自然能想到从哪个式子开始证明，同时讲清综合法的特点，即由条件，推倒结论。

讲完三种证明方法后，留一定时间给学生，让他们自己去感悟一下三种方法的特点及书写过程，加深他们的印象。

b2a2

最后，我以巩固本节课所学知识为目的，让学生比较:与ab的大小(其中ab

a,bR)，在这里，我认为比较两个变量的大小，可引导学生利用我们上课一开始比较具体数大小的方法，代几个具体的数去比较。这种方法在我们以后做填空题中比较大小是一种捷径。而本题的证明可利用我们今天课上所讲的三种方法，我打算让两位学生在黑板板演，以检验他们掌握情况与书写格式是否合理。如时间还有剩余，可由学生完成例一，帮他们巩固基本不等式定理。

例一1.设a,b为正数，证明下列不等式成立：

ba12(2) a2 aba

162.已知函数yx，x(2,)，求此函数的最小值。 x2(1)

六、回顾反思：

本节课的最后，由学生思考今天所学到了哪些知识，这些知识可解决哪些问题?

七、板书设计

基本不等式

一、定理

abab (a0，b0)

2二、证明方法

⑴作差法

⑵分析法

⑶综合法

三、探索 ab比较2a2b2的大小 2

如何证明

例一

第三篇：不等式的证明方法习题精选精讲

习题精选精讲

不等式的证明

不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。

注意a2b2ab的变式应用。常用2a2b2ab22 (其中a,bR)来解决有关根式不等式的问题。 

1、比较法

比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。

1 已知a,b,c均为正数，求证：111111 2a2b2cabbcca

2证明：∵a,b均为正数， ∴111b(ab)a(ab)4ab(ab)0 4a4bab4ab(ab)4ab(ab)

22(bc)(ca)1111110，0同理4b4cbc4bc(bc)4c4aca4ac(ac)

1111110 2a2b2cabbcca

111111∴ 2a2b2cabbcca三式相加，可得

2、综合法

综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。

2a、b、c(0,)，abc1，求证：a2b2c21

32a22b22c22ab2bc2ca

证：3(a2b2c2)1(abc)2∴3(a2b2c2)(abc)2(ab)2(bc)2(ca)20

4 3 设a、b、c是互不相等的正数，求证：a

证：∵ b4c4abc(abc) a4b42a2b2b4c42b2c2c4a42c2a2∴ a4b4c4a2b2b2c2c2a

2∵

∴ a2b2b2c22a2b2b2c22ab2c同理：b2c2c2a22bc2ac2a2a2b22ca2b a2b2b2c2c2a2abc(abc)

4 知a,b,cR，求证:

2a22b22c222a2(abc)22

2证明：∵ab

222ab2(ab)a2abb(ab)22即ab(ab)22，两边开平方得a2b222ab(ab) 22

同理可得

b

c

(bc)2

c

a

(ca)三式相加，得 2

a

b2

c2

a2(abc)

1

1(1)(1)9

xy5x、y(0,)且xy1，证：。

11xyxyyxyx

(1)(1)(1)(1)(2)(2)52()

xyxyxyxy5229 证：

6已知a,bR



11

1,ab1求证：11.ab9

a,bR,ab1

11

2着一个不等式ab. 策略:由于ab说明a,bR,ab1的背后隐含ab44ab

2

111ab1211

而 11111189.

ababababab1ab

证明：a,bR,ab1ab。

411119.ab

3、分析法

分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。

7已知a、b、c为正数，求证：

2(

ababcab)3(abc)2

32(

证：要证：即：c28

ababcab)3(abc)23只需证：2abc3abc

成立∴ 原不等式成立

ababc∵ cabab3cab3a、b、c(0,)且abc1，求证ab3。

证：

ab3(abc)3即：2ab2bc2ac

2∵2abab2bcbc2acac即2ab22(ab)(bc)(ac)2∴原命题成立

换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。

4、换元法

ab(1a2)(1b2)1b19，，求证：。

证明：令a

sin

k



k bsin

k



k

左10：x

sinsincoscossinsincoscos

2

2cos()1∴ ab(1a)(1b)

1y21，求证：2xy2

xycossin2sin(



22

证：由xy1设xcos，ysin∴

)[2,2]

∴

2xy2

11

4. abbcac

11知a>b>c,求证：

证明：∵a-b>0,b-c>0,a-c>0∴可设a-b=x,b-c=y (x, y>0) 则a-c= x + y, 原不等式转化为证明

114

xyxy

即证(x

11xyxy

y)()4，即证24∵2∴原不等式成立(当仅x=y当“=”成立)

xyyxyx

12知1≤x+y≤2，求证：

≤x-xy+y≤3.

22

证明：∵1≤x+y≤2，∴可设x = rcos，y = rsin，其中1≤r≤2，0≤<2. ∴x-xy+y= r-rsin2= r(1-

12

sin2)，∵

≤1-

12

sin2≤

32

，∴

r≤r(1-

22

12

sin2)≤

32

r，而

r≥

12

，

32

r≤3∴

12

≤x-xy+y≤3.

22

13已知x-2xy+y≤2，求证：| x+y |≤

.

2，0≤

<2.

证明：∵x-2xy+y= (x-y)+y，∴可设x-y = rcos，y = rsin，其中0≤r≤∴| x+y | =| x-y+2y | = | rcos+2rsin| = r|14解不等式解：因为(

5sin(+ractan

12

)|≤

r≤.

5xx1>

12

，+

x)2(x1)2=6，故可令 5x = sin

6 sin

12

+

-

x1=6 cos cos

，∈[0，

2

]

则原不等式化为 由∈[0，

6 cos

>

12

所以

6 sin

>

12

2

]知

6 cos>0，将上式两边平方并整理，得48 cos2+46 cos

-23<0

解得0≤cos<

28224

-x≤

所以x=6cos2-1<

24472447

} .，且x≥-1，故原不等式的解集是{x|-1≤x<

1212

15：-1≤

x2

2.

证明：∵1-x≥0，∴-1≤x≤1，故可设x = cos，其中0≤≤.

则

x2

-x =

cos2-cos= sin-cos=

-x≤

2sin(2.

-

3)，∵-≤-≤

4444

，

∴-1≤

2sin(-

2

)≤2，即-1≤x4

增量代换法

在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简. 16a，bR，且a+b = 1，求证：(a+2)+(b+2)≥

证明：∵a，bR，且a+b = 1，∴设a =

252

.

12

+t，b=

12

-t， (tR)

112

+t+2)+(222522

∴(a+2)+(b+2)≥.

则(a+2)+(b+2)= (

-t+2)= (t+

52

)+(t-

52

)= 2t+

22

252

≥

252

.

利用“1”的代换型

111

已知a,b,cR,且 abc1, 9.abc17策略：做“1”的代换。

证明：

5、反证法

反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。 18若p>0，q>0，p+q= 2，求证：p+q≤2.证明：反证法

假设p+q>2，则(p+q)>8，即p+q+3pq (p+q)>8，∵p+q= 2，∴pq (p+q)>2. 故pq (p+q)>2 = p+q= (p+q)( p-pq+q)，又p>0，q>0

111abcabcabc3bacacb32229



abacbcabcabc. p+q>0，

∴pq>p-pq+q，即(p-q) <0，矛盾.故假设p+q>2不成立，∴p+q≤2.

19已知a、b、c(0，1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a，不能均大于

4。

证明：假设(1a)b，(1b)c，(1c)a均大于4

∵

(1a)，b均为正∴

(1a)b1

1(1a)b24

2(1b)c11(1c)a1(1a)b(1b)c(1c)a111

(1b)c24222222222同理∴

33

22不正确∴ 假设不成立∴ 原命题正确

∴

20已知a,b,c∈(0，1)，求证：(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a 不能同时大于

。

证明：假设三式同时大于

14

∵00 ∴

(1a)b



1a)b

1142

21a、b、cR，abc0，abbcca0，abc0，求证：a、b、c均为正数。

abc0a、b、c两负一正

证明：反证法：假设a、b、c不均为正数又 ∵ 不妨设a

0，b0，c0又 ∵ abc0∴ c(ab)0同乘以(ab)∴ c(ab)(ab)即

acbcab(a2abb2)0，与已知abbcca0矛盾

∴ 假设不成立∴

6、放缩法

放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大(或缩小)3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩 22已知a、b、c、d都是正数，求证：1<

a、b、c均为正数

bc

+

abcbcd

+

dcda

+

a

<2.

dabccd

，

证明：∵

b

abcd

<

<

bbc

<，

abcababcd

<

<

cbcd

<

d

abcddcdadcd

，

a

abcd

<

aa

<，

dabab

+

将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1<

bc

+

abcbcddcda

+

a

<2.

dab

2

3nN

*

2(n11)1

，求证：

1

2

13



1n

2n

1。

证明：∵



2k1n



21

2(kk1)

1k



2kk



2kk1

2(k1k)

1

∴

12



1n

12(21)2(32)2(nn1)

2n1

1

12

2(21)2(2)2(n1n)

2(n11)

判别式法

222

yxyz2yzcosA2xzcosB2xycosC。 ABCxz24A、B、C为的内角，、、为任意实数，求证：

证明：构造函数，判别式法令

f(x)x2y2z2(2yzcosA2xzcosB2xycosC)

x22x(zcosBycosC)(y2z22yzcosA)为开口向上的抛物线

4(zcosBycosC)24(y2z22yzcosA) 4(z2sin2By2sin2C2yzcosBcosC2yzcosA)

4[z2sin2By2sin2C2yzcosBcosC2yz(cosBcosCsinBsinC)]

4[z2sin2By2sin2C2yzsinBsinC] 4(zsinBycosC)20

无论

y、z为何值，0∴ xRf(x)0∴ 命题真

构造函数法

构造函数法证明不等式24 设0≤a、b、c≤2，求证：4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca. 证明：视a为自变量，构造一次函数

f(a)= 4a+b2+c2+abc-2ab-2bc-2ca = (bc-2b-2c+4)a+(b2+c2-2bc)，由0≤a≤2，知

f(a)表示一条线段.又f(0)= b2+c2-2bc = (b-c)2≥0，f(2)= b2+c2-4b-4c+8 = (b-2)2+(c-2)2≥0，

可见上述线段在横轴及其上方，∴

f(a)≥0，即4a+b2+c2+abc≥2ab+2bc+2ca.









n≤|m|·构造向量法证明不等式根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系m·|n|，

就能避免复杂的凑配技巧，使解题过程简化.应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握. 25 设a、b∈R，且a+b =1，求证：(a+2)+(b+2)≥







22

25



.

证明：构造向量m= (a+2，b+2)，n= (1，1).设m和n的夹角为，其中0≤≤. ∵|m| =



(a2)2(b2)2





，|n| =



2n= |m|·，∴m·|n|cos=



(a2)2(b2)2

2·cos;

n另一方面，m·

所以

= (a+2)·1+(b+2)·1 = a+b+4 = 5，而0≤|cos|≤1，

(a2)2(b2)2

≥5，从而(a+2)+(b+2)≥

22

25

.

构造解析几何模型证明不等式

如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决.

26设a>0，b>0，a+b = 1，求证：

2a1+2b1≤2.

≤2.这可认为是点

证明：所证不等式变形为：

2a12b1

A(

2a12b1)到直线 x+y = 0的距离.

2a1)2+(2b1)2= 4，故点A在圆x2+y2= 4 (x>0，y>0)上.如图所示，AD⊥BC，半径AO>AD，即有：

≤2，所以

但因(

2a12b1

2a1+2b1≤22.

第四篇：不等式证明的基本依据·例题

例5-2-1 求证：

(1)若x≠1，则x4+6x2+1>4x(x2+1); (2)若a≠1，b≠1，则a2+b2+ab+3>3(a+b); (3)若a

(x4+6x2+1)-4x(x2+1) (作差) =x4-4x3+6x2-4x+1 (变形) =(x-1)>0 (判断正负) 4所以 x4+6x2+1>4x(x2+1) (2)(a2+b2+ab+3)-3(a+b)

所以 a2+b2+ab+3>3(a+b) (3)(a3-b3)-(ab2-a2b)=(a3-ab2)+(a2b-b3) =a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a+b)2(a-b) 而a0，所以

注 用比差法时，常把差变形为一个偶次方或几个偶次方的和的形式;有时把它变形为几个因式的积的形式，以便于判断其正负.

例5-2-2 若a>0，b>0，c>0，求证：

- 1

(2)因10

又由0(lgx)2>lg(lgx) (3)因1

- 3

又|ab|=|a|·|b|<1，故1+ab>0。于是，最后不等式成立，从而原不等式成立。

例5-2-5 证明：

(1)若a>0，m，n∈N，且m>n，则

(2)若a>0，b>0，n∈N，且n≠1，则

当且仅当a=b时取“=”;

(3)对于n∈N，若α>-1，则(1+α)n≥1+nα。 解 (1)原不等式可等价地变为

- 5

又当n=1时，原不等式成为等式，故对一切n∈N，都有 (1+α)n≥1+nα

注 (3)中的不等式一般是利用二项式定理或数学归纳法证明。这里引进一个简单不等式给出的简捷证法，别有风味。读者不妨仿此证明(2)中的不等式。

例5-2-6 已知a>0，b>0，求证：对任意r，s∈R+，若r>s，则 ar+br≥ar-sbs+asbr-s 当且仅当a=b时取等号。

解 因为a，b，r，s∈R+，且r-s>0，所以由幂函数的单调性可知，as-bs与ar-s-br-s当a>b时同为正数;当a

(ar+br)-(ar-sbs+asbr-s) =(ar-ar-sbs)-(asbr-s-br) =ar-s(as-bs)-br-s(as-bs) =(as-bs)(ar-s-br-s)≥0 所以 ar+br≥ar-sbs+asbr-s 当且仅当a=b时取等号。

注 本例给出的不等式概括了很多不等式，应用较为广泛。例如不

- 7

第五篇：《 基本不等式的证明》教学设计

【教材分析】

不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。而基本不等式是本章重要的一个单元，它是证明不等式、求解某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛。基本不等式是高中数学的重要内容之一，在高考说明中等级要求为C级。在不同的章节中都有应用，是培养学生逻辑推理能力和数学应用意识的好素材。本教材特别强调基本不等式的代数与几何背景以及在求最值中的应用。

【学情分析】

学生对函数中求最值，在一元二次不等式中都已经学过接触过有不等式的问题，因此提到不等式最值问题学生也不会陌生。在两个数的算术平均数和几何平均上，我们可以以两个数的等差中项和等比中项来引用这两个概念。这样对两个数据形式上就不会陌生，在初步了解大小关系后在给出概念。但由于学生的基础薄弱，可以预见在探索基本不等式时，寻找不等关系也有一定的困难。

【教学目标】

知识目标：

1、知道算术平均数和几何平均数的概念并且能求出两个数的算术平

均数和几何平均数。

2、理解基本不等式的证明过程。

技能目标：

1、掌握基本不等式的取等条件，并能用此方法求函数最大值。

2、通过对基本不等式证明的理解，体会三种证明方法，能准确用三种证明中简单的方法证明其它不等式问题。

3、体会类比的数学思想方法，培养其观察分析问题的能力和总结概括

的能力

情感目标：通过不等式基本性质的探究过程，培养学生合作交流的思维品质，渗透不等式中的数学美，激发学生学习兴趣，陶冶学生的数学情操。

【教学重点】

1、如果a，b是正书，则为a、b的算术平均数;为a、b的几何平均，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”。即定理(

)(当且仅当

时取

)

，

2、上面公式中“当且仅当的含义是：当时取等号，即

;

仅当时取等号，即，综合起来就

充要条件。 【教学难点】

是的

1、不等式求函数最值时的取等条件

2、对于公式的变形可求的最大值

【教学方法】

启发学生探究，多媒体辅助教学

【教具准备】 多媒体电脑课件 【教学过程】

一、设置问题情境： (展示并介绍古代弦图)

同学们现在看到的是中国古代数学中著名的一副图，叫做弦图。它是由我国三国时期的数学家赵爽设计的。早在1300多年以前，这位数学家就巧妙的利用弦图中的面积关系证明了勾股定理，这是世界上最早证明勾股定理的方法之一。弦图不仅造型美观，而且蕴藏着很多玄机。

(展示24届国际数学家大会会标)

大家现在看到的是2002年在我们北京召开的第24届国际数学家大会的会标。这个会标设计源于古代弦图。它的色调明暗相间，使它看上去象一个风车，这不但

象征中国人民的热情好客，同时也充分展现了中国古代数学对世界所做出的重大贡献。今天咱们也来研究一下弦图。

问题1.请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不等关系?(让学生分组讨论)

形的角度 (利用多媒体展示会标图形的变化,引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积。) 问题2. 数的角度 若设直角三角形的两直角边分别为a、b,应怎样表示这种不等关系?

学生讨论结果：

。

问题3.大家看，这个图形里还真有点奥妙。我们从图中找到了一个不等式。这里a、b的取值有没有什么限制条件? 不等式中的等号什么时候成立呢?(师生共同探索)

咱们再看一看图形的变化，(教师演示) (学生发现)a、b为正数，当a=b四个直角三角形都变成了等腰直角三角形，他们的面积和恰好等于正方形的面积，即等式，当且仅当

时等号成立。

。 探索结论：我们得到不

二、数学建构

问题1：若设直角三角形的两直角边分别为系?

,应怎样表示这种不等关

如果把它变形，我们能得到什么?

这个不等式 就是今天我们要研究的重点内容，我们把它叫做基本不等式。

我们常把 叫做正数 的几何平均数， 叫做正数的算术平均数。基本不等式说明两个正数的算术平均数不小于其几何平均数。

问题2：这个不等式怎么证明呢?请与同学讨论一下。

求证：基本不等式 ，()(当且仅当时取)

证法一：

作差

= 变形

= 判断符号

当且仅当，即时取 取等条件

学生容易忽视取等“=”时的情况，出现这种情况可以让学生仔细从证明问题中注意“”号，进而提示学生没有完成。该过程可以提高学生对问题的细心程度，可以培养学生对周围事物的观察力，善于发现问题的能力。 证法二：

要证

只要证

只要证

只要证

因为最后一个不等式成立，所以时取

成立，当且仅当，即问题3：本证明方法有什么特点?平时有没有遇到过? 生：从结论出发，逐步反推已知。在初中几何中遇到过。

有了第一种证明方法此时学生已经不会忽视取“=”条件。证法2的方法我们称之为“分析”，其特点是从结论出发(出发点让学生总结)，形式是“要证……，只要证……只要证……”(形式让学生自己总结)，从本质上看，只是对问题做尝试的探索的过程(即执果索因)。当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的。

探究：对基本不等式再研究

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?(教师演示，学生直观感觉)

易证Rt△ACD∽Rt△DCB，

那么CD2=CA·CB 即CD=

. 这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.

，其中当且仅因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”

这正象著名数学家华罗庚说的:数无形时少直观,形无数时难入微,数形结合千般好,数形分离万事非.可见，数与形真的是密不可分呀。

问题4：前面，我们刚刚学习了数列， 和 在数列中代表什么?

学生：等差中项·等比中项

基本不等式说明两个正数的等差中项不小于他们的等比中项。

三、要点训练 例1 设为正数，证明下列不等式成立：

(1)

(2)

注意：

要说明不等式中等号成立的条件。这两道例题在讲授时以提问学生为主，让学生自己说，老师在前面板书。 练习：课后练习2题

例2 已知函数，，求此函数的最小值。

注意：

要说明什么时候取得最小值。这是证明基本不等式在函数上的第一个应用，要让学生能够结合基本不等式和函数综合解决最值的问题。

四、课堂练习：练习2题，4题

五、课堂小结：请大家想一想，这节课你有哪些收获?

1.知识：基本不等式

2.思想方法：数形结合，转化与化归数学思想

六、课后作业 巩固升华 课本第100页，习题3.4A组

1、2

七、板书设计

基本不等式的证明 基本不等式内容

证法2

例1

例2

证法1

八、教学反思

1、导入新课采用学生比较感兴趣的变换的几何图形为背景，并且，配以解说，使学生从方方面面感受弦图的玄妙，容易被学生接受，从而产生兴趣，迅速激发学习动机。兴趣是驱使学生探究的良方，教学过程中，时刻应注意照顾学生的学习兴趣，推动学生动手动脑去探究。

2、在建立新知的过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步应用所学的知识来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构。每个问题在设计时，充分考虑了学生的具体情况，力争提问准确到位，便于学生思考和回答。使思考和提问持续在学生的最近发展区内，学生的思考有价值，对知识的理解和掌握在不断的思考和讨论中完善和加深。但实施落实的可能还不到位，有待改进。

3、本节的教学中要求学生对基本不等式在数与形两个方面都有比较充分的认识，特别强调数与形的统一，教学过程从形得到数，又从数回到形，意图使学生在比较中对基本不等式得以深刻理解。“数形结合”作为一种重要的数学思想方法，不是教师提一提学生就能够掌握并且会用的，只有学生通过实践，意识到它的好处之后，学生才会在解决问题时去尝试使用，只有通过不断的使用才能促进学生对这种思想方法的再理解，从而达到掌握它的目的。

4、本课的设计是想通过师生课上的探索、互动学习，达到理解掌握知识的目的。在教师的引导和启发下，学生自己寻找、探求解决问题的途径是本节教学所采用的教学方式。课上学生学习热情很高，师生的互动非常好，出现了很多讨论问题的高潮。学生能够针对教师的问题进行充分的分析和讨论，而且通过讨论,学生对知识点的理解得到了深化，达到了掌握知识的目的。

九、对本节教学设计的说明

新课程的理念倡导学生积极主动地探索知识的发生、发展，但这必须是在教师的引领之下，否则学生很容易误入歧途。教师应该尽力做好学生探究活动的引路人。在设计这节课的教学时，课堂上采取让学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、引导者和服务者，为了让学生的探究活动积极有效，主要设想以问题立意，始终围绕基本不等式的发现、发展这一中心问题并渗透数型结合、转化与化归思想。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学教学理念。