不等式的证明方法论文

小编精心整理了《不等式的证明方法论文(精选3篇)》，仅供参考，希望能够帮助到大家。【摘要】文章就融资租赁支付租金计算方法建立了数学模型,并对数学模型的解集进行了分析。指出不等额支付租金方法是融资租赁支付租金的内涵。在此基础上,对不等额支付租金的方法进行分类,为不等额支付租金方法的选择提供了依据。

第一篇：不等式的证明方法论文

用微积分证明不等式的技巧和方法

摘 要： 不等式的证明方法很多，其证明蕴涵了丰富的数学知识、逻辑推理和非常高的技巧，本文讨论了利用微积分知识证明不等式的技巧和方法。

关键词： 微积分 不等式 证明方法

不等式的证明是微积分应用的一个常见问题，通过解决这类问题，可以加深学生对微积分知识的理解，从而提高学生分析问题和解决问题的能力.本文通过各种题型分析解答，总结出用微积分证明不等式的一些常见基本方法.

1.利用函数的单调性证明不等式

例1：证明：当x>0时，x>sinx>x-.

证明：先证x>sinx，设f(x)=x-sinx，则f′(x)=1-cosx≥0，即f(x)是增函数.

而f(0)=0，故有当x>0时，x>sinx.

设g(x)=sinx-x+，则g′(x)=cosx-1+，g″(x)=x-sinx.而当x>0有g″(x)=x-sinx>0，故有g′(x)>0，即g(x)在(0，+∞)上单调上升.又g(0)=0，所以x>sinx>x-.

例2：证明不等式x-0).

证明：设f(x)=x--ln(1+x)

∵f′(x)=1-x-=<0

∴f(x)在(0，+∞)上单调下降

又∵f(0)=0

∴当x>0时，有f(x)=x--ln(1+x)<0，

即x-

2.利用微分中值定理证明不等式

例3：证明当x>0时，

证明：设f(t)=lnt，当x>0时，f(t)在[1，1+x]上满足拉格朗日中值定理条件，

∴?埚ξ∈[1，1+x]，使=，1<ξ<1+x

∵ln(1+x)-ln1=ln(1+x)，<<1

∴

例4：设a>e，0(cosx-cosy)alna.

证明：设f(t)=a，g(t)=cost.

由条件可知，f(t)，g(t)在[x，y]，(0

即=，0

∴a-a=a(cosx-cosy)lna/sinξ

>(cosx-cosy)alna>(cosx-cosy)alna

3.利用函数的最值证明不等式

例5：设0≤x≤1，p>1，证明不等式≤x+(1-x)≤1.

证明：设F(x)=x+(1-x)，则

F′(x)=px+p(1-x)(-1)=p[x-(1-x)]

F″(x)=p(p-1)x+p(p-1)(1-x)

令F′(x)=0，得x=;因p>1，所以有

F″()+p(p-1)[()+()]>0.

故F(x)在[0，1]上最大值是1，最小值是，即有

≤x+(1+x)≤1.

4.利用函数的凹凸性证明不等式

例6：证明xlnx+ylny>(x+y)ln，(x>0，y>0).

证明：设f(x)=xlnx，则对于x>0图形是凹的，于是对任意两点x和y，得

xlnx+ylny>(x+y)ln.

5.利用函数极限证明不等式

例7：证明：当x充分大时，xe

证明：因为=0，所以x充分大后，有<1，即xe

例8：设f(x)=asinx+asin2x+…+asinnx，并且|f(x)|≤|sinx|，a，a，…，a为实常数，求证：|a+2a+…+na|≤1.

证明：∵|f(x)|≤|sinx|

∴≤(x≠0)即

=a+a+…+a≤

上式两边令x→0，由重要极限=1

得|a+2a+…+na|≤1.

参考文献：

[1]费定晖，周学圣编译.吉米多维奇数学分析习题集题解[M].山东：山东科学技术出版社，2001.08.

[2]赵振威主编.中学数学教材教法[M].上海：华东师范大学出版社，2000.01.

[3]刘玉琏，傅沛仁编.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1997.12.

注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”

作者：罗世尧

第二篇：融资租赁不等额支付租金计算方法

【摘要】 文章就融资租赁支付租金计算方法建立了数学模型,并对数学模型的解集进行了分析。指出不等额支付租金方法是融资租赁支付租金的内涵。在此基础上,对不等额支付租金的方法进行分类,为不等额支付租金方法的选择提供了依据。

【关键词】 融资租赁; 数学模型及解集; 不等额支付及分类; 融资费用

租赁是指在约定的期间内,出租人将资产使用权让与承租人以获取租金的协议。在市场经济条件下,越来越多的企业把通过租赁取得相关资产的使用权作为本企业融资的一种重要形式并给予了高度的关注,积极加以推动,其业务需求有日益增长之势。在租赁业务中,承租人取得资产的使用权是以支付租金为代价的。承租人向出租人支付的租金中,包含了本金和利息两个部分,这就需要将未确认的融资费用按一定的分摊方法确认为当期融资费用。

按照租赁准则的规定,承租人在分摊未确认的融资费用时,应当采用实际利率法。实际利率法的实施,使得租赁业务中未确认融资费用的分摊建立在公允价值的基础之上,其确认更为合理、计量更加规范。这为企业租赁业务向多元化方向发展,支付租金方式向多样化需求探索,提供了应遵循的原则和思路。

目前,租赁业务中承租人在租期内采用的是等额支付租金的方法。然而,承租人在技术、资金、人力资源等方面实力不同,在项目生产、营销、盈利等方面能力也不尽相同。实务中会经常遇到不等额支付租金的需求,对这种需求必须给予正面回应。本文以融资租赁业务实际利率法为依据,试图建立起融资租赁支付租金方法的数学模型,并以模型为依托,深入分析不等额支付租金方法的可行性,及其广泛的实用性。以此解决融资租赁支付租金方式多样化的实际需求,从而进一步积累和丰富租赁业务支付租金方式的内涵和外延。这对于企业融资决策开阔视野、拓宽思路,无疑将是一种有益的尝试和探索。

一、不等额支付租金方法可行性分析

(一)建立融资租赁支付租金方法的数学模型

要探索不等额支付租金方法是否具有可行性,就需要深入揭示租赁业务支付租金方法的实质和其内在的规律。笔者以融资租赁为例,对不等额支付租金方法进行可行性分析。在此基础上,对融资租赁支付租金的方法进行分类。

租赁准则对融资租赁在实际利率的选择上是有条件、分层次的(内含、合同、银贷利率);对“融资租入固定资产”入账金额也有相关规定,有关论述从略。

例1:甲承租人租入一项固定资产,租期n年,每年末支付租金为A万元,租赁合同利率为r,最低租赁付款额的现值为M万元,租赁固定资产公允价值为G万元,且G≥M。

假如认定本例满足融资租赁标准。

首先确定:“融资租入固定资产”入账金额为M万元。(M与G孰低确定)

等额支付租金方法下,各年支付租金A万元,其现值需满足下式:

A/(1+r)+……+A/(1+r)n=M (1)

而不等额支付租金方法下,设各年支付租金序列为:A1…At…An,其现值也必须满足下式:

A1/(1+r)+……+An/(1+r)n=M(2)

而当At=A时,(2)式=(1)式。这就意味着(2)式已涵盖了(1)式,或言之融资租赁支付租金的方法可以利用(2)式求解来确定。从上述推论可知,不等额支付租金方法并没有改变融资租赁业务的实质:即各年所支付租金的折现额等于“融资租入固定资产”入账金额。

从(2)式中知道,系数1/(1+r)……1/(1+r)n,在每一个确认的实际利率(内含、合同、银贷)r下,都是一个确定的常数。而At作为未知数是一个变量。如果用ft来表示At的系数1/(1+r)t,变量xt来表示At的金额,这样上式就是一个标准的n元线性应用方程:f1x1+f2x2+……+fn-1xn-1+fnxn=M。本文将这一n元线性方程作为探寻融资租赁支付租金方法的数学模型。这样,把A1…At…An的确认计量过程,看成n元线性方程求解的过程。线性代数推导可以证明,该方程可有无数个不同的解,而实务中每一个解就一一对应一种支付租金的方法。其任意解α可表示成:α=α0+k1η1+k2η2+……+kn-1ηn-1,其中α0是非齐次线性方程FX=M的一个特解,η1,η2……ηn-1是齐次线性方程FX=0的基础解系。解α具体表现形式为:α=(A1…At…An)。即使考虑到At≥0,仍有大量的符合实际应用的解可选用,本文将其称为支付租金方法方程的实用解集(简称解集)。从数学模型建立到求解过程来看,用解集代表全部融资租赁支付租金的方法(等额、不等额),从理论上讲是可行的,也是可靠的。这就为寻求融资租赁多样化、差异化的支付租金方法提供了坚实的数理基础。

(二)融资租赁支付租金方法的分类

从融资租赁支付租金方法方程的解集构成来分类,融资租赁支付租金方法可分为:等额、不等额支付租金两种基本类型。而从支付租金方法的还本能力来分类,融资租赁不等额支付租金类型首先可分为:较大能力还本(各年支付租金序列中,还本按较大支付能力计算)、较小能力还本(各年支付租金序列中,还本按较小支付能力计算)支付租金两种基本方式。其次,等额还本支付租金方法(各年支付的租金序列中,还本按相等能力计算,即等本约束条件下的特定解)是较大能力和较小能力还本支付租金方式的平衡点和临界点,其地位特殊,本文将其升列为支付租金基本方式。而等额支付租金类型(等额约束条件下的特定解)是租赁的常规方法,按还本能力分应归属于较小能力还本支付租金方式。这样,融资租赁支付租金的两种基本类型按还本能力为标准就可细分为:较大能力还本(简称较大本)、等额还本(简称等本)、较小能力还本(简称较小本)支付租金三种基本方式。这里,笔者将解集中具有同质性支付租金方法(解)组成的子集称为支付租金的一种方式。

二、不等额支付租金类型未确认融资费用的确认与计量

假设解αk满足不等额类型支付租金方式,则其各年支付租金序列为:αk=(A1…At…An),第t年支付租金额为:At。

(一)融资费用分摊率的确定

由于αk是方程的解,则有:A1/(1+r)+……+An/(1+r)n

=M,融资费用分摊率(实际利率)为合同利率r(下同)。

(二)未确认融资费用的分摊

设第1年初本金额为C0=M(下同),第t年末应付本金减少额为Ct(下同),融资费用为Lt(下同),应付本金减少额为Bt(下同)。

应付本金余额的确认与计量:

融资费用的确认与计量:Lt=Ct-1r

应付本金减少额的确认与计量:Bt=At-Lt

其中,等本方式未确认融资费用的分摊:

假设解αj满足等本支付租金方式(特解),则其各年支付租金序列为αj=(A1…At…An),则有:

At=M/n+Mr[1-(t-1)/n]

Ct=Ct-1(1+r)-At=M(1-t/n)

Lt=Mr[1-(t-1)/n]

Bt=M/n

不等额支付租金类型的解αk(包括αj)都可通过下式直接转化成等额支付租金类型下的解αi=(A1…At…An),At=A。

总之,较大本、等本、较小本支付租金的方式是按还本能力进行的分类,这样分类在很大程度上可以满足融资租赁业务支付租金方式多样性的需求,可作为融资租赁在支付租金方式上创新的参考。

三、融资费用差异分析

假设例1中,租期n=5年,M=5 000万元,r=6%(下同)。为了便于比较,本文从较大本支付租金方式中選取最大能力还本(最大本)和中等较大能力还本(中大本)两种支付租金方法(特解)来编制未确认融资费用分摊表。

最大本:A1=5 000(1+6%)=5 300万元,A2=……=A5=0(分摊表略)

租金合计:5 300万元,融资费用合计:300万元,应付本金减少额合计:5 000万元

中大本(具体见表1):A1=1 600万元,A2=1 400万元,A3=1 200万元,A4=1 000万元,A5=595万元

等本(具体见表2):A1=1 300万元,A2=1 240万元,A3=1 180万元,A4=1 120万元,A5=1 060万元

从较小本支付租金方式中选取等额、中等较小能力还本(中小本)和最小能力还本(最小本)三种支付租金方法(特解)来编制未确认融资费用分摊表。

等额(具体见表3):A1=1 187万元,A2=1 187万元,A3=

1 187万元,A4=1 187万元,A5=1 187万元

中小本(具体见表4):A1=400万元,A2=594万元,A3=

1 076万元,A4=1 828万元,A5=2 332万元

最小本:A1=A2=A3=A4=0,A5=5 000(1+6%)5=6 691万元 (分摊表略)

租金合计:6 691万元,融资费用合计:1 691万元,应付本金减少额合计:5 000万元

未确认融资费用分摊表中,从各年支付租金额来看:较大、等本与等额相比,前期支付租金额较大,后期支付租金额逐年较小。虽然前期支付压力大,但后期压力逐年减轻。而较小本前期支付租金额较小,后期支付租金额逐年增大,因而其后期支付風险加重。从各年承担融资费用来分析:虽三种支付方式第一年承担费用相等,且后期承担费用有逐步减小之趋势,但与等额相比,较大、等本年承担费用的环比率下降显著,而较小本年承担费用环比率下降较小。下面本文以还本率、费用率两个指标对上述方式的还本强度和费用水平给予综合评价(见表5)。其计算公式为:费用率=确定的融资费用总额/租金总额,还本率=应付本金减少总额(本金)/租金总额=1-费用率。

评价表中,从相对数字来看:融资费用率越高,还本能力越弱;反之,融资费用率越低,还本能力越强。从绝对数字来看,等本与较大本及较小本与等本相比,等本、较小本多支付的租金额就是其融资费用的增加额。融资费用的增加使其资金使用成本随之提高。这也进一步说明,还本能力的降低是融资资金使用成本上升的内因。而最大本、最小本方法的提出,为承租人在不等额支付租金类型中选择适当的方法时,指明了参考区域。这为承租人的融资决策提供了应用空间,有着较强的指导性和实用性。

相对于等额支付租金方法而言,有一定支付租金能力的承租人,选择等本方式是较为合理的;而对于支付租金具有很高保证度的承租人,优选较大本方式是较为理想的。虽然较小本方式承担了较高的融资费用,但是对于融资租赁项目前期资金紧张、后期收益预期显著增加的承租人来说,也不失为一种备用选择。总之,融资租赁支付租金方法决策应重视提高还本能力,这是降低承租人费用负担的治本之策。

四、结论

本文通过建立融资租赁支付租金方法的n元线性方程数学模型,将等额、不等额支付租金方法统归于方程的解集之中,并深入分析了各支付方式还本及融资费用之差异。这使得融资租赁支付租金方式的内涵更为充实、外延更加丰富。如果不等额支付租金方法代表的是支付租金方法的普遍性,那么等额等支付租金方式、方法就代表的是支付租金方式的特殊性。普遍性寓于特殊性之中,特殊性因普遍性而存在。这些支付租金的方式和方法从内涵上讲,就是通过租金以实际利率逐期折现的方式,实现了或支付了“融资租入固定资产”的入账价值M。从外延上讲,不等额支付租金方法,不仅各期支付的租金不同,租金中所含的应付本金减少额和所应承担的融资费用也不相同,而且,其支付的总租金额和承担的总融资费用也各不尽相同。正是不等额支付租金方法的引入,极大丰富了融资租赁支付租金方法的外延,才使得支付租金方法的数学模型的存在成为一种现实的可能;或者说,也正是因为支付租金方法的数学模型,能够满足融资租赁市场对支付租金方式个性化发展的需要,才能使其具有生机和活力。当然,对于承租人选择的支付租金方式,只有出租人对承租人的信誉、财务盈利性、偿债能力、还本风险、保证措施等方面进行综合评估认可后,方能达成协议。●

【主要参考文献】

[1] 企业会计准则讲解[M].人民出版社,2006.

作者：董 玫

第三篇：火镜原理新的证明方法与马克思主义哲学的发展观

摘要:本文提出火镜原理的新的证明方法。这个证明方法科学、清晰、简练,较数学史上狄俄克利斯的欧氏平面几何方法先进,并有时代感。新证法充分说明了马克思主义哲学的发展观和方法论在自然科学研究过程中的指导作用。

关键词:发展观 火镜原理 新方法

Fire mirror methods and principles of a new proof of the Marxist Philosophy concept of development

Qiao Yunhong Qu Baiyou Guo Jianping

马克思主义哲学的发展观作为普遍真理,不仅运用于社会科学领域,而且表现在自然科学领域。火镜原理新的证明方法的出现以及火镜原理的实践,就充分的说明了这一点。

传说阿基米德和其他人曾用旋转抛面反射面镜使敌人舰船着火,后人就把这种面镜叫做火镜。这个故事的真实性尚须考证,但是我们应该看重它反映的道理:就是旋转抛面的反射面镜可以聚焦。

人民教育出版社高级中学数学教科书第二册(上)把这个道理归纳成为”圆锥曲线的光学性质”作为简单介绍,本文对此作粗略的探讨。

公元前230年前后,希腊的小亚细亚南部小城波哥出生了一个小孩,名叫阿波罗尼乌斯,这个小孩从小聪明勤奋,经过多年的刻苦努力,他终于完成了一部八卷本的数学巨著《圆锥曲线》。这部代表古希腊数学发展顶峰的著作有七卷传了下来。和他同时代的另位数学家狄俄克利斯通过研究,首先给出了圆锥曲线的一种即旋转抛物面母线抛物线的焦点性质:抛物线上任一点的切线和该点与焦点的连线的夹角等于此切线与平行轴的直线的夹角,这也就是火镜的原理。

犾俄克利斯用欧氏几何方法来证明抛物线的焦点性质,证明是这样的:

已知以BW为轴的抛物线,在BW上作线段BE,且BE的长度等于抛物线参数P,取点D为BE中点,则D即是抛物线焦点(focus),它到顶点B之距是P2,在抛物线上任取一点K,过点K作切线AC,AC与WB的延长线交于点A,再过K作平行于轴的直线KS,连接DK,则有∠AKD=∠SKC(图1)

要证明这一结论,先过点K作一条垂直于轴的直线垂足为G。由《圆锥曲线》卷1命题33知:AB=BG;再过作AK的垂线,这垂线交轴于Z,由KG2=AG×G Z,同时KG2=P×BG

又AG=AB+BG=2BG

∴GZ=P2

又GZ=BE

∴GB=EZ,AB=EZ,

从而AD=DE。

而D是Rt△AKZ斜边中点,

那么AD=DK=DZ

因此∠DZK=∠DKZ,

又AZ∥KS

则∠ZKS=∠DKZ。

再从∠AKD=90°-∠DKZ=90°-∠ZKS,

∴∠AKD=∠SKC。

犾俄克利斯最后指出:以AE为轴旋转曲线LMB后得一曲面,将此曲面内侧镀铜便可制成所谓的“火镜”。这就是阿基米德火镜所利用的原理。[1]

在这里,狄俄克利斯用欧氏平面几何方法证明了抛物线的焦点性质也就是火镜的原理,但这种方法显然是落后于数学史前进步伐的。

数学史的车轮前前进到了17世纪,法国数学家皮埃尔•德•费马与勒内•笛卡尔创立了在坐标系内研究几何问题的方法,也在这个世纪伊萨克•牛顿,戈特弗里德•莱布尼兹创立了微积分学,这两种学说将几何命题的证明方法推进到一个斩新的高峰,使数学科学研究别开生面。以下我们就用他们创立的方法来证明这个命题。

在抛物线y2=2PX(P>0)上取一点Q′(X0+△X,y0+△y)且Q(X0,y0)也在抛物线上,则有(y0+△y)2=2P(X0+△X),

又有,y20=2px0,

∴y02+2y0△y+△y2=2Px0+2P△X

从而2y0△y+△y2=2p△x△y△x=2p(2y0+△y)

当△X→0时 有△y→0这时过Q的抛物线的切线的斜率为

K=lim△x→02p2y0+△y=py0

∴从而过Q的抛物线的切线方程为:

y-y0=py0(x-x0)

从而y0y=p(x+x0)

在y=0时此式也适用(如图2)。

F(p2,0)是这抛物线焦点,过Q的切线L到FQ的角为α1,那么

tanα1=2y02x0-p-py01+2y02x0-p×py0=y20+p2(2x0+p)y0=2px0+p2(2px0+p)y0=py0

当Q在X轴的下方时,tanx1=-py0

可见α1为锐角。

α2是直线y=y0到L的角,那么,tanα2=py0-01+py0×0=py0,当Q在X轴下方时tanα2=-py0,可知α2也是锐角。综上可知:α1=α2,于是π2-α1=π2-α2,

π2-α1与π2-α2互为入射角、反射角(图3)。

即从抛物线焦点发出的光线(微波幅射线也可)经抛物线反射的反射线平行于抛物线对称轴;平行于轴光线(微波幅射线也可)经抛物线反射后,汇聚于焦点。

火镜的原理用新法证明好理解得多。

本文作者经过多年研究终于攻克道道难关,制成了能准确体现火镜原理,光路线性非常清晰的仪器。有利于对火镜原理的直观学习。

依火镜原理,人们发明了微波发射天线﹑微波接收天线﹑太阳能集热器﹑探照聚光灯、某些现代化医疗器械等许多种科技产品。这些科技产品在社会科学、自然科学、工农业生产、日常生活等领域里有着广泛的重要的用途。

08年北京奥运会奥运女神采集圣火时用的也是火镜。

自然科学在发展着,自然科学的研究方法也在发展着,用马克思主义哲学的方法论作为指导,必将为我们的研究开拓更广阔的思路。

随着数学史的脚步,数学方法也不断更新,可望在不远的将来有更好的研究方法出现。

作为数学工作者,我们还企盼在书店能买到更多的数学史方面的读物;在网上能查到更多的数学史的信息;在数学教师的评定职作时能否出台一些有关数学史修养要求的政策;在数学活动中为提高学习者的兴趣,增强学习者的信心讲一些数学史知识,这也是我们的建议。

参考文献

[1] 李文林、胥鸣伟等译著.《数学史通论》,高等教育出版社出版,2004年4月版

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

作者：乔运鸿 曲百友 郭建平