有一道高数题, 解法挺有新意。题目是这样的:设f (x) 在x=0连续, 且, 证明:f' (0) =a。
显然, 由在这两个前提, 我们可以得到:f (0) =0。接下来, 会有这样几种解法:
第一种解法:
所以可得:f' (0) =a。
有这种想法的同学对于函数极限的运算性质不熟悉, 因为在极限的四则运算中, 必须两个极限同时存在时, 和差的极限才等于极限的和差。即:
若lxi→m∆f (x) 和lxi→m∆g (x) 都存在时, 有如下结论:
lxi→m∆ (f (x) ±g (x) ) =lxi→m∆f (x) ±lxi→m∆g (x)
证明非常简单, 任一本高数教材都可以找到证明过程。
但是如果两个极限同时不存在, 和差的极限也有可能存在, 例如lxi→m∞sinx极限不存在, 但是lxi→m∞ (sinx-sin x) =lxi→m∞0=0, 可是这个过程不能这样写:lxi→m∞ (sinx-sin x) =lxi→m∞sinx-lxi→m∞sinx=0。用这个反例可以说明第一种解法是错误的。
第二种解法:
如果对高数中上述四则运算性质比较熟悉的话, 会得出如下结论:因为不一定同时成立, 故f' (0) 不一定存在。若对一般的情形此分析是正确的, 在研究生入学考试中, 这也是经常遇见的问题。但是具体到这个问题就是错误的。正确解法就是我们给出的第三种解法。这种解法很有新意, 关键是得到的级数是收敛的。
第三种解法:正确的解法。
文章编号:1672-3791 (2011) 02 (c) -0196-01
可得:
同理:
由于是等比级数, 且公比q=, 故收敛。所以上式相加, 可得:
右
令n→∞, 因为f (x) 在x=0连续, 有:
通过这道题就告诉我们, 具体问题应该具体分析, 尤其是对于初学者, 应该避免出现前两种错误。
摘要：通过一个具体例子, 纠正了两种常见错误, 并且给出一种很有新意的解法。
关键词：极限,导数,,换元,级数收敛
参考文献
[1] 同济大学应用数学系.高等数学 (第5版, 上册) [M].北京:高等教育出版社, 2002.
[2] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2000 (第2版) .
[3] 马铭福, 亓健, 费祥历.高等数学 (第3版, 上册) [M].东营:中国石油大学出版社, 2008.