1 斜面抛体滚动模型的结构图和尺寸 (图1, 图2)
2 斜面抛体滚动模型的原理说明
质心定理说明刚体或质点系质心的加速度等于合外力除以总质量;质心系的特点是惯性力系对于通过质心的任一轴的力矩均为零, 故可以同在惯性系中一样地在质心系中处理刚体的转动问题, 不用管它是不是惯性系;柯尼希定理说明刚体的动能等于质心的动能与刚体绕过质心的某一轴转动的动能之和。据此, 可求解轴对称刚体沿倾斜面作平面平行运动的问题 (图3) 。
其中ε表示物体的角速度, C表示均匀滚球的质心, 表示斜面的摩擦力, 表示斜面对滚球的弹力, 表示滚球的重力, 建立质心坐标系, 如图所示。滚动物体在斜面上的运动情况, 根据接触处的光滑而有所不同。下面分三种情况讨论。
(1) 接触处是理想光滑的, 斜面对滚动物体的约束力与斜面垂直而通过物体的质心, 这种情况下, 物体上的作用力对质心的主矩等于零。因此, 它只能在斜面上滑下而不发生滚动。此时, 可以把物体作为质点处理而求得其平动加速度为g⋅sinα。
(2) 设钢球与斜面接触处相当粗糙, 就是说有足够大的摩擦阻力来阻止接触点A的相对滑动, 其中钢球与斜面接触处摩擦系数为f, 钢球的球半径为r。在此情况下, 滚动物体在斜面上作纯滚动, 其摩擦阻力F小于其极限值mF。
取x、y轴如图所示, 列出动力学方程, 有
此外, 由运动学知, 作纯滚动时, ac=rε。于是得:
令cρ为滚动物体对于其质心C的回转半径, 则
由于物体作纯滚动, F≤Fm, 而Fm=f N=fWcosα, 所以
上述关系式给出了滚动物体在斜面上作纯滚动的条件。在质心方向上受到力为即在质心上受到的力恒定。
(3) 设钢球与斜面接触处摩擦系数f并不满足上述条件, 即当时, 则物体在斜面上不能保持纯滚动而将连滚带滑地运动。在这个情况下, 将不存在ac=rε这个关系式, 但是, 满足另一关系式:F=fN。与动力学方程联立, 可以求得:
在质心方向上受到力为mg (sinα-fccosα) , 即在质心上受到的力也恒定。
3 斜面抛体滚动模型制作方法及实物图介绍
用直径分别为1cm, 1.5cm, 2cm的质量均匀钢球演示实验。
用80cm×78cm的长方形刨光平整木板作为斜面的长和宽, 用做曲线运动的平台。
在斜面的一边中点将一个长16.2cm, 宽1.7cm, 高2.4cm的小木块头尾通过钉子固定在斜面上, 其上用小型钉子固定长为的弹簧, 长方形斜面的两长边和底边均用高9.4cm的木板作为槽。
用两块上、下底边长为21.8cm, 27.0cm的相同梯形木板作为支撑板固定30ο的斜面, 作为此斜面的一组摆脚, 用两块上、下底边长为50.5cm, 59.2cm的相同梯形木板固定60°的斜面, 作为此斜面的另一组摆脚, 这样就可以得到30°和60°的斜面。
用大头钉将白纸平整地固定在木板斜面上, 用墨汁浸染钢球用于得到钢球的曲线轨迹。
4 斜面抛体滚动模型的使用说明
将斜面固定为30°角, 用钉子固定好装有弹簧的小木块的位置;将浸染墨汁的钢球放在固定有弹簧的木条上, 拉伸弹簧弹出钢球, 斜面上出现黑色的钢球运动轨迹;将斜面的角度调整为60°, 重复上述步骤, 得到另一条钢球的运动轨迹;再更换其他直径的钢球, 重复以上步骤, 得到钢球的曲线轨迹;将固定在斜面上的白纸拿出, 得到钢球的运动轨迹。
5 相关拓展知识
曲线运动的学习不仅仅是课堂上理论知识的学习和模型的演示, 学生们更加应该关注生活中的曲线运动, 对他们的思维有着开阔的作用。曲线运动在生活中相当的常见, 汽车的转弯, 摩天轮、花样滑冰等等, 其中球类运动是我们日常生活中最常见也最具代表性的, 有娱乐性的台球, 有奥运赛场上的乒乓球, 还有振奋人心的足球。对于这些球类的运动, 一般我们都理想化成是:它们在重力作用下做斜抛运动, 其轨迹是二维图像抛物线, 根据动力学知识可确定物体的位置、速度变化规律, 由此创造有利条件控制物体的运动。足球中的“香蕉球”、弧线球还有落叶球都是包含了物理中丰富的曲线运动知识, 很多人对这些球类艺术产生了浓厚的兴趣并着手研究, 这都有利于我们对曲线运动知识的了解, 将物理贯穿于学习与生活中。
摘要：基于对物体曲线运动的研究, 制作了“斜面抛体滚动”模型。此模型可以帮助中学生形象生动地演示物体的曲线运动, 方便学生对曲线运动的理解。本文详细介绍了此模型的原理及制作方法。
关键词：曲线运动,钢球,斜面抛体滚动,质心
参考文献
[1] 周衍柏.理论力学教程 (第3版) ][M].高等教育出版社, 2009.
[2] 漆安慎, 杜婵英.力学 (第2版) [M].高等教育出版社, 2005.