中考数学压轴题集锦

第一篇：中考数学压轴题集锦

中考数学压轴题整理

【运用相似三角形特性解题，注意分清不同情况下的函数会发生变法，要懂得分情况讨论问题】

【分情况讨论，抓住特殊图形的面积，多运用勾股定理求高，构造梯形求解】

【出现边与边的比，构造相似求解】

【当图形比较复杂的时候，要学会提炼出基础图形进行分析，如此题中可将两个三角形构成的平行四边形提取出来分析，出现两个顶点，结合平行四边形性质和函数图像性质，找出不变的量，如此题中N点的纵坐标不变，为-3，为突破口从而求解】

已知△ABC是等边三角形.

(1)将△ABC绕点A逆时针旋转角θ(0°<θ<180°)，得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O.

①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等?(填“是”或“否”)，∠BOE=度;

②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数;

【旋转，平移，轴对称的题目，要将动态转化为静态求解，运用全等和相似的方法】

【通过旋转把条件进行转移，利用与第一题相同的方法做辅助线，采用构造直角三角形的方法求解】

如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.

(1)表中第8行的最后一个数是_________，它是自然数_______的平方，第8行共有________个数;

(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是_______，最后一个数是_________，第n行共有个数__________;

(3)求第n行各数之和.

【利用三角函数求解】

如图所示，已知A点从(1，0)点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC=60°，又以P(0，4)为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t=_____________.

【提取基础图形，此题将三角形提取出来，构造直角三角形，利用30°所对的边是斜边的一半，设未知数求解】

【要求是否能构造成直角三角形，构造包含欲求三角形的三边的另外三个直角三角形，利用勾股定理求出三条边，再运用勾股定理，分三种情况求解】

如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是___________.

当遇到求是否构成等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形，直角三角形时，在坐标轴中，设未知数求解;如设点A为(x,y)或设点A为(0，m)，多寻找可用相似表示的边，运用相似的面积比，周长比，高之比，边之比求解

求坐标轴上有多少个图形能够构成面积为多少，周长为多少的三角形四边形等时，注意坐标点可能在正半轴或负半轴，注意加绝对值符号，计算多边形面积可采用割补法

第二篇：中考数学压轴题破解方法

近几年的中考，一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴试题涌现出来，其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角。不过这些传说中的主角，并没有大家想象的那么神秘，只是我们需要找出这些压轴题目的切入点。切入点一：构造定理所需的图形或基本图形

在解决问题的过程中，有时添加辅助线是必不可少的。对于北京中考来说，只有一道很简单的证明题是可以不用添加辅助线的，其余的全都涉及到辅助线的添加问题。中考对学生添线的要求还是挺高的，但添辅助线几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形。

切入点二：做不出、找相似，有相似、用相似

压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。学生往往不知道该怎样入手，这时往往应根据题意去寻找相似三角形。

切入点三：紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论

在图形运动变化时，图形的位置、大小、方向可能都有所改变，但在此过程中，往往有某两条线段，或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。切入点四：在题目中寻找多解的信息

图形在运动变化，可能满足条件的情形不止一种，也就是通常所说的两解或多解，如何避免漏解也是一个令考生头痛的问题，其实多解的信息在题目中就可以找到，这就需要我们深度的挖掘题干，实际上就是反复认真的审题。

总之，问题的切入点很多，考试时也不是一定要找到那么多，往往只需找到一两个就行了，关键是找到以后一定要敢于去做。有些同学往往想想觉得不行就放弃了，其实绝大多数的题目只要想到上述切入点，认真做下去，问题基本都可以得到解决。

第三篇：中考数学复习 几何证明压轴题

中考数学专题

几何证明压轴题

1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.

(1)

求证：DC=BC;

(2)

E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论;

(3)

在(2)的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值.

[解析]

(1)过A作DC的垂线AM交DC于M,

则AM=BC=2.

又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC.

(2)等腰三角形.

证明：因为.

所以，△DEC≌△BFC

所以，.

所以，

即△ECF是等腰直角三角形.

(3)设,则，所以.

因为，又，所以.

所以

所以.

2、已知：如图，在□ABCD

中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G.

(1)求证：△ADE≌△CBF;

(2)若四边形

BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形?并证明你的结论.

[解析]

(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD

.

∵点E

、F分别是AB、CD的中点，

∴AE=AB

，CF=CD

.

∴AE=CF

∴△ADE≌△CBF

.

(2)当四边形BEDF是菱形时，

四边形

AGBD是矩形.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC

.

∵AG∥BD

，

∴四边形

AGBD

是平行四边形.

∵四边形

BEDF

是菱形，

∴DE=BE

.

∵AE=BE

，

∴AE=BE=DE

.

∴∠1=∠2，∠3=∠4.

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴2∠2+2∠3=180°.

∴∠2+∠3=90°.

即∠ADB=90°.

∴四边形AGBD是矩形

3、如图13-1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.

(1)如图13-2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想;

(2)若三角尺GEF旋转到如图13-3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，(1)中的猜想还成立吗?若成立，请证明;若不成立，请说明理由.

图13-2

E

A

B

D

G

F

O

M

N

C

图13-3

A

B

D

G

E

F

O

M

N

C

图13-1

A(

G

)

B(

E

)

C

O

D(

F

)

[解析](1)BM=FN.

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，

∴

∠ABD

=∠F

=45°，OB

=

OF.

又∵∠BOM=∠FON，

∴

△OBM≌△OFN

.

∴

BM=FN.

(2)

BM=FN仍然成立.

(3)

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，

∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF.

∴∠MBO=∠NFO=135°.

又∵∠MOB=∠NOF，

∴

△OBM≌△OFN

.

∴

BM=FN.

4、如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD=5。

(1)若，求CD的长;

(2)若

∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC(阴影部分)的面积(结果保留)。

[解析]

(1)因为AB是⊙O的直径，OD=5

所以∠ADB=90°，AB=10

在Rt△ABD中，

又，所以，所以

因为∠ADB=90°，AB⊥CD

所以

所以

所以

所以

(2)因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD

所以

所以∠BAD=∠CDB，∠AOC=∠AOD

因为AO=DO，所以∠BAD=∠ADO

所以∠CDB=∠ADO

设∠ADO=4x，则∠CDB=4x

由∠ADO：∠EDO=4：1，则∠EDO=x

因为∠ADO+∠EDO+∠EDB=90°

所以

所以x=10°

所以∠AOD=180°-(∠OAD+∠ADO)=100°

所以∠AOC=∠AOD=100°

5、如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.

(1)求证：点F是BD中点;

(2)求证：CG是⊙O的切线;

(3)若FB=FE=2，求⊙O的半径.

[解析]

(1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF

∴，∵HE=EC，∴BF=FD

(2)方法一：连接CB、OC，

∵AB是直径，∴∠ACB=90°∵F是BD中点，

∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO

∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′

方法二：可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分)

(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC

可证得：FA=FG，且AB=BG

由切割线定理得：(2+FG)2=BG×AG=2BG2

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2-BF2

由、得：FG2-4FG-12=0

解之得：FG1=6，FG2=-2(舍去)

∴AB=BG=

∴⊙O半径为2

6、如图，已知O为原点，点A的坐标为(4，3)，

⊙A的半径为2.过A作直线平行于轴，点P在直线上运动.

(1)当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标;

(2)设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由.

[解析]

解:

1点P的坐标是(2,3)或(6,3)

2作AC⊥OP,C为垂足.

∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1

∴△ACP∽△OBP

∴

在中,,又AP=12-4=8,

∴

∴AC=≈1.94

∵1.94<2

∴OP与⊙A相交.

7、如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，

C

A

B

D

O

E

DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，

垂足为点C.

求证：∠ACB=∠OAC.

[解析]

证明：连结OE、AE，并过点A作AF⊥DE于点F，

(3分)

∵DE是圆的一条切线，E是切点，

∴OE⊥DC，

又∵BC⊥DE,

∴OE∥AF∥BC.

∴∠1=∠ACB，∠2=∠3.

∵OA=OE，

∴∠4=∠3.

∴∠4=∠2.

又∵点A是OB的中点，

∴点F是EC的中点.

∴AE=AC.

∴∠1=∠2.

∴∠4=∠2=∠1.

即∠ACB=∠OAC.

8、如图1，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为.

1求AO与BO的长;

2若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.

①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米;

②如图3，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点.若∠POP’=

，试求AA’的长.

[解析]

1中,∠O=,∠α=

∴,∠OAB=，又AB=4米，

∴米.

米.

--------------

(3分)

2设在中,

根据勾股定理:

∴

-------------

(5分)

∴

∵　　∴

∴

-------------

(7分)

AC=2x=

即梯子顶端A沿NO下滑了米.

----

(8分)

3∵点P和点分别是的斜边AB与的斜边的中点

∴，

-------------

(9分)

∴-------

(10分)

∴

∴

∵

∴

-----------------------

(11分)

∴-----

(12分)

∴米.

--------

(13分)

9.(重庆，10分)如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒.

(1)

求直线AB的解析式;(2)

当t为何值时，△APQ与△AOB相似?

(3)

当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位?

解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b

由题意，得

解得

所以，直线AB的解析式为y=-x+6.

(2)由AO=6，

BO=8

得AB=10

所以AP=t

，AQ=10-2t

1°

当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB.

所以　=

解得　t=(秒)

2°

当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB.

所以　=

解得　t=(秒)

(3)过点Q作QE垂直AO于点E.

在Rt△AOB中，Sin∠BAO==

在Rt△AEQ中，QE=AQ·Sin∠BAO=(10-2t)·=8

-t所以，S△APQ=AP·QE=t·(8-t)

=-+4t=

解得t=2(秒)或t=3(秒).

(注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分)

点拨：此题的关键是随着动点P的运动，△APQ的形状也在发生着变化，所以应分情况：①∠APQ=∠AOB=90○②∠APQ=∠ABO.这样，就得到了两个时间限制.同时第(3)问也可以过P作

PE⊥AB.

10.(南充，10分)如图2-5-7，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC上有一个动点P(不包括点A和点C).设AP=x，四边形PBCD的面积为y.

(1)写出y与x的函数关系，并确定自变量x的范围.

(2)有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与⊿PAD面积之和为常数”.请你说明此判断是否正确，并说明理由.

解：(1)过动点P作PE⊥BC于点E.

在Rt⊿ABC中，AC=10，

PC=AC-AP=10-x.

∵　PE⊥BC，AB⊥BC，∴⊿PEC∽⊿ABC.

故　，即

∴⊿PBC面积=

又⊿PCD面积=⊿PBC面积=

即　y，x的取值范围是0

(2)这个判断是正确的.

理由：

由(1)可得，⊿PAD面积=

⊿PBC面积与⊿PAD面积之和=24.

点拨：由矩形的两边长6,8.可得它的对角线是10，这样PC=10-x，而面积y是一个不规则的四边形，所以可以把它看成规则的两个三角形：△PBC、△PCD.这样问题就非常容易解决了.

第四篇：2013年安徽省中考数学压轴题赏析

安徽省太湖县晋熙中学(246400)朱记松汪本若

邮箱：ahthzys@163.com

一、原题呈现

我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”。其中∠B=∠C。

(1)在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可)。

(2)如图2，在“准等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C，E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：ABBE。

DCEC

(3)在由不平行于BC的直线截ΔPBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时(即图3所示情形)，四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么?若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何?写出你的结论(不必说明理由)

第23题图1第23题图2第23题图

3二、试题解答

(1)如图所示：(画出其中一种即可)

第23题(1)答案图

(2)证明：∵ AE∥CD， ∴∠AEB=∠C ， 又∵AB∥ED， ∴∠B=∠DEC，∴ △ABE∽△DCE。即：AEBE。 =CDEC

ABBE。 =CDEC又∠B=∠C，∴△ABE为等腰三角形，AB=AE。故

(3)解：过点分别作EF⊥AB，EG⊥AD，EH⊥CD，垂足分别为F，G，H(如图)

第23题(3)答案图

∵AE平分∠BAD，∴EF=EG。

又ED平分∠ADC，∴EG=EH，∴EF=EH，

又∵EB=EC，∴Rt△BFE≌Rt△CHE，∴∠3=∠4，

又∵EB=EC，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠4+∠2，即∠ABC=∠DCB。

又∵四边形ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，

∴四边形ABCD为“准等腰梯形”。

当点E不在四边形ABCD内部时，有两种情况：

当E点在边BC上时，四边形ABCD是“准等腰梯形”，如下图(1)示：

EB =3 .0厘

2米

EC =3 .0厘2米

BAE =5 1.2°9

EAD =5 1.2°9

ADE =6 8.7°6

EDC =6 8.7°6

ABC =5 9.9°

4DCB =5 9.9°4

B

图(1)

当E点在四边形ABCD外时，四边形ABCD不一定是“准等腰梯形”，如图(2)(3)示，图(2)中的四边形ABCD不是“准等腰梯形”;图(3)中的四边形ABCD是“准等腰梯形”。

BAE = 53.96°

EAD = 53.96°

ADE = 68.98°

EDC = 68.98°

EC = 4.06厘米

BE = 4.06厘米

ABC = 55.52°

BCP = 58.59°

图(2)图(3)

三、深入研究

(一)规律探究

通过上述解析，我们发现，由于E点所处的位置在∠BPC的平分线上不能唯一确定，满足“在由不平行于BC的直线截ΔPBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB=EC”的条件下的四边形ABCD不一定是“准等腰梯形”。它何时为“准等

腰梯形”引发了笔者的思考。笔者经过探究发现：连接PE，无论E点在四边形ABCD内，或边BC上，或四边形ABCD外，若∠BPC的平分线PE⊥BC，则四边形ABCD是“准等腰梯形”。具体分析如下：

1、若PE⊥BC，无论E点在四边形ABCD内部，如图1—1;或 E点在边BC上，如图1—2所示;或E点在四边形ABCD外部，如图1—3所示。由∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，则PE为∠BPC的平分线。因为PE为BC的垂直平分线，由轴对称可知∠ABC=∠DCB。又∵四边形ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，∴四边形ABCD为“准等腰梯形”。

B

图1—1图1—

2B

图1—3图1—

42、若PE不与BC垂直，如图1—4所示，根据角的轴对称性可以作ΔPBM关于射线PM的对称图形ΔPNM，因∠NMC≠0，则NC≠0，即B、C不重合，∠ABC≠∠BCD。四边形ABCD不是“准等腰梯形”。

综上所述，在由不平行于BC的直线截ΔPBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，EB=EC，若直线PE⊥BC，则四边形ABCD是“准等腰梯形”。

(二)追根溯源

掩卷长思，不禁想起安徽省2008年中考试题的第22题，它们竟然如此相似，其本质是一样的，为了便于比较，特将原题摘录如下：

(2008 安徽)已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC。

(1)如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC。

第22题图1第22题图

2(2)如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC。

(3)若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗?请画图表示。

经过比较，发现这两道的本质是一致的，主要表现在：

1、已知的条件是一致的。

由(2008年第22题)的已知条件“O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等且OB=OC”，可以得到点O既在∠A(或∠A的邻补角)的平分线上，又在线段BC的垂直平分线上;由(2013年第23题)的已知条件“∠BAD与∠ADC的平分线交于点E， EB=EC”亦可得出E点在∠BPC的角平分线上，又在线段BC的垂直平分线上。

2、设置的问题是一致的。

(2008年第22题)设置了三个问题，根据O点的三种不同位置，探索AB、AC之间的数量关系;(2013年第23题)同样是根据E点的三种不同位置，探索∠ABC、∠BCD之间的数量关系，即转化成探索PA、PB之间的数量关系。

3、分析的思路是一致的。都要运用分类讨论的数学思想。

4、隐含的规律是一致的。(2008年第22题)无论O点是在三角形内，或BC边上，或三角形外，AB=AC成立的条件是“∠BAC平分线O A⊥BC”; (2013年第23题)无论E点在四边形ABCD内，或在边BC上，或在四边形ABCD外，四边形ABCD为“准等腰梯形”的条件是∠BPC的平分线PE⊥BC。

或许有老师说，前五年的中考题再次走进中考考场，这公平吗?

其实不然，这道题还确实体现了中考的公平。理由是：“准等腰梯形”是一个新的几何图形的定义，几乎所有的教辅资料上都没有见过，属于原创，且表述简洁，明了能较好地考察学生自主阅读、自主学习新知识、并运用新知识分析并解决一些简单问题的能力，这正是新课标所倡导的;考察了核心知识和基本的数学思想，关注了学生的基本经验，紧扣课程标准，试题不偏不难，也没有繁杂的推理和计算，尤其值得一提的是，该题第(1)、(2)小问比较基础，只要学生平时认真学了，绝大部分考生都可以得到一定的分数，从这个角度看，作为本卷的压轴题同样也体现了中考命题的公平公正。

四、几点启示

1、平时教学中，要引导学生用联系的观点看问题，尤其在复习的过程中，要将相关知识点进行有机整合，串联起来，建立知识网络，形成能力;

2、加强例习题的教学，挖掘出例习题所蕴含的基本数学思想和方法，引导学生进行解题后的反思。做到在解题中训练，在反思中欣赏，在欣赏中提升;

3、应加强对课标，考题的研究。教师研究的范围要广，不仅要研究它考查的内容，考察的深度，难度及解题思路，还应加强对考题的变式研究，提倡“陈题新编，陈题新做”，切忌“拿来主义”，用研究的成果来指导教学实践，使教学的针对性更强，训练的效果更好。

第五篇：2010年全国各地中考数学压轴题专集一几何证明题

外国语中学中考数学压轴题专集

1.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.

(Ⅰ)若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标;

(Ⅱ)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

2.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.

(1)当∠B=30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长;

(2)若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值;

1(3)若tan∠BPD=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.

3B C P B C P B C

图

1图2(备用) 图3(备用)

3.已知：如图①，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上.另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°.现有两动点P，Q分别从A，O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.(1)求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围;

(2)在等边△OAB的边上(点A除外)存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标;

(3)如图②，现有∠MCN=60°，其两边分别与OB，AB交于点M，N，连接MN.将∠MCN绕着C点旋转(0°<旋转角<60°)，使得M，N始终在边OB和边AB上.试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化?若没变化，请求出其周长;若发生变化，请说明理由.

P

5.如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a

1、b

1、c1.

(1)若c=a1，求证：a=kc;

(2)若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a

1、b

1、c1都是正整数，并加以说明;

(3)若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1，使得k=2?请说明理由.

A

c

1C B1C11

6.如图1，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，在△ABC上画一条直线，若这条直线既平..分△ABC的面积，又平分△ABC的周长，我们称这条线为△ABC的“等分积周线”.

(1)请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC的“等分积周线”;

(2)在图1中过点C能否画出一条“等分积周线”?若能，说出确定的方法;若不能，请说明理由;

(3)如图2，若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要说明确定的方法.

C图2 图1

7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P以一定的速度沿AC边由A向C运动，点Q以1cm/s的速度沿CB边由C向B运动，设P、Q同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s).

(1)若点P以3cm/s的速度运动

4①当PQ∥AB时，求t的值;

②在①的条件下，试判断以PQ为直径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由.

(2)若点P以1cm/s的速度运动，在整个运动过程中，以PQ为直径的圆能否与直线AB

相切?若能，请求出运动时间t;若不能，请说明理由.

A

备用B

8.如图

1、2是两个相似比为1 :2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.

(1)在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4.

求证：AE +BF =EF ;

(2)若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE +BF =EF 是否仍然成立?若成立，请给出证明;若不成立，请

说明理由;

D A B A D

图2 图3 图

1A D B A F

图4 图

5(3)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长?若能，指出三角形的形状，并给出证明;若不能，请说明理由. D ;

F

C

9.(河南省) 222222B B

(1)操作发现·

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗?说明理由.

(2)问题解决 保持(1)中的条件不变，若DC=2DF，求

(3)类比探究

保持(1)中的条件不变，若DC=n·DF，求

AD的值. ABAD的值; AB