第三章量子力学导论

第一篇：第三章量子力学导论

量子力学导论 第十章 教案

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

第10章

定态问题的常用近似方法 §10.0 引言

§10.1 非简并定态微扰理论 §10.2 简并微扰理论 §10.3 变分法

§10.0

引

言

(一)近似方法的重要性

前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如： (1)一维无限深势阱问题; (2)线性谐振子问题;

(3)势垒贯穿问题;

(4)氢原子问题。

这些问题都给出了问题的精确解析解。

然而，对于大量的实际物理问题，Schrodinger 方程能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法(简称近似方法)就显得特别重要。

(二)近似方法的出发点

近似方法通常是从简单问题的精确解出发，来求较复杂问题的近似解。

(三)近似解问题分为两类

(1)体系 Hamilton 量不是时间的显函数——定态问题 1.定态微扰论;

2.变分法。

(2)体系 Hamilton 量显含时间——状态之间的跃迁问题 1.与时间 t 有关的微扰理论;

2.常微扰。 §10.1 非简并定态微扰理论

(一)微扰体系方程

(二)态矢和能量的一级修正

(三)能量的二阶修正

(四)微扰理论适用条件

(五)讨论

(六)实例

1 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(一)微扰体系方程

微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。

例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于其它行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。

可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。假设体系 Hamilton 量不显含时间，而且可分为两部分：

ˆHˆHˆ H0ˆ0所描写的体系是可以精确求解的，其本征值E(0) ，本征矢|(0)满足如下本征方Hnn程：

ˆ0|(0)E(0)|(0) Hnnnˆ是很小的(很小的物理意义将在下面讨论)可以看作加于Hˆ0上的微小扰另一部分H动。现在的问题是如何求解微扰后 Hamilton 量H的本征值和本征矢，即如何求解整个体系的 Schrodinger 方程：

ˆ|E| Hnnn(0)(0)当H0时，|n|n ; , EnEn(0)(0)当H0时，引入微扰，使体系能级发生移动，由En状态由|n En，|n。为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：

ˆW H其中λ是很小的实数，表征微扰程度的参量。

为明确起见，我们干脆将量子数n对应的能级和波函数分别写为En、|n ，请注意与教材中对应

因为En、|n都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而将其展开成λ的幂级数：

(0)(1)(2)EnEnEn2En|n|

(0)n|2

(1)n|2(2)n 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)(1)(2)其中En，En，2En，…分别是能量的0 级近似，能量的一级修正和二级修正等; (0)(1)(2)而||n，|n，2|n，…分别是状态矢量 0 级近似，一级修正和二级修正等。

代入Schrodinger方程得：

ˆW)(|(0)|(1)2|(2))(H0nnn(E乘开得： (0)nE(1)nE2(2)n)(|(0)n|(1)n|2(2)n)

(0)(0)ˆ|(0)00HEn|n0n1(1)(0)(0)(1)(1)(0)ˆH0|nW|n1En|nEn|n2ˆ2(2)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)H0|nW|nEn|nEn|nEn|n

33根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式: ˆ|(0)E(0)|(0) 0:H0nnnˆ|(1)W|(0)E(0)|(1)E(1)|(0) 1:H0nnnnnnˆ|(2)W|(1)E(0)|(2)E(1)|(1)E(2)|(0) 2:H0nnnnnnnn整理后得：

ˆE(0)]|(0)0[H0nnˆE(0)]|ψ(1)[WE(1)]|ψ(0)[H0nnnn (0)(2)(1)(1)(2)(0)ˆE]|[WE]|E|[H0nnnnnn(1)(2)上面的第一式就是H0的本征方程，第

二、三式分别是|n和|n|所满足的方程，由此可解得能量和态矢的第

一、二级修正。

(二)态矢和能量的一级修正

(0)现在我们借助于未微扰体系的态矢||n和本征能量En来导出扰动后的态矢

(0)|n和能量En的表达式。

(1)(1)能量一级修正En

3 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)根据力学量本征矢的完备性假定，H0的本征矢|n是完备的，任何态矢量都可按(1)其展开，|n 也不例外。因此我们可以将态矢的一级修正展开为：

|ψ(1)n|ψk1(0)kψ|ψ(0)k(1)n(1)(0)akn|ψk

k1(1)(0)(1)其中aknψk|ψn。

是一组完备基矢。 |k(0)(k1,2,,)代回前面的第二式并计及第一式得：

ˆE(0)]a(1)|(0)[WE(1)]|(0) [H0nknknnk1或写成

ak1(1)kn(0)(1)(0)[Ek(0)En]|k(0)[WEn]|n

(0)左乘n|, 有

k1(1)(0)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(0)akn[Ek(0)En]m|km|W|nEnm|n

考虑到本征基矢的正交归一性：

ak1(1)kn(0)(1)[Ek(0)En]mkWmnEnmn

(1)(0)(0)(1)amn[EmEn]WmnEnmn

考虑两种情况 1.mn

(1)(0)(0)EnWnnn|W|n

2.mn

a(1)mn(0)(0)Wmnm|W|n (0)(0)(0)(0)EnEmEnEm可以给出波函数的展开系数 准确到一阶微扰的体系能量：

4 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)(1)EnEnEn(0)(0)(0)Enn|W|n(0)(0)(0)Enn|W|n

ˆ|(0)E(0)(0)|Hnnn(0)ˆEnHnnˆ(0)|Hˆ|(0) 其中Hnnnn即能量的一级修正等于微扰 Hamilton 量在 0 级态矢中的平均值

(1)(2)态矢的一级修正|n

令|(1)n(1)akn|k(0)

k1为了求出体系态矢的一级修正，我们先利用扰动态矢|n的归一化条件证明上式展开(1)系数中ann0(可以取为0)

证：

基于|n的归一化条件并考虑上面的展开式

1n|n(0)(1)(0)(1)[n|n|][|n|n](0)(0)(0)(1)(1)(0)(1)(1)n|nn|nn|n2n|n(1)(0)(1)(0)1[aknn|k(0)akn*k(0)|n]2k1(1)(1)1[aknnkakn*kn]2k1(1)(1)1[annann*]

各级波函数都可以是归一的。由于归一，所以

(1)(1)[annann*]0

(1)(1)(1)0，[annann*]0Re[ann]0

(1)(1)(1)的实部为0。ann是一个纯虚数，故可令annanni(为实)。

5 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)(1)|n|nakn|k(0)k1(0)(1)(0)(1)|nann|nakn|k(0)kn(0)(0)(1)|ni|nakn|k(0)kn

(0)(1)(1i)|nakn|k(0)kn(0)(1)ei|nakn|k(0)kn(0)(1)(0)ei|a|knknkn最后两步用到公式eiλ1iλ。

(三)能量的二阶修正

(0)对|nei(|nakn(1)kn(0)|k)

(1)(0)上式结果表明，展开式中，ann|n项的存在只不过是使整个态矢量|n增加了(1)一个相因子，这是无关紧要的。所以我们可取 = 0，即ann0。这样一来，

(1)akn|k(0)kn(0)k(0)|W|n(0)|k(0)(0)EEknnk|n||(0)n(0)n(0)k(0)|W|n(0)||k (0)(0)EEknnkˆ|(0)(0)k(0)|H(0)n|n|k(0)(0)EnEkknHkn(0)|n(0)|k(0)(0)knEnEk(0)n(2)与求态矢的一阶修正一样，将|n按|n 展开：

(0)|(2)n|k1(0)k(0)k|(2)n(2)akn|k(0)

k1(1)与|n展开式一起代入关于 的第三式

2 6 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

ˆE(0)]a(2)|(0)[WE(1)]a(1)|(0)E(2)|(0) [H0nknknknknnk1k1[Ek1(0)kE]a(0)n(2)kn|(0)k(1)(0)(2)(0)[WE]akn|kEn|n

(1)nk1(0)左乘态矢m|得

[Ek1(0)kE]a(0)n(2)kn(0)m|(0)k(1)(0)aknm|W|k(0)k1

(1)(1)(0)(2)(0)(0)Enm|k(0)Enm|naknk1利用正交归一性，有

[Ek1(0)kE(0)n]a(2)knmkδak1(0)n(2)mn(1)knψ|W|ψ(0)m(0)kE(1)nak1(1)knmkδ(2)Enδmn

[E1. 当mn时

(0)mE]a(1)(1)(1)(2)aknWmkEnamnEnmn

k1(1)(1)(1)(2) 0aknWmkEnamnEnk1E(2)naWnkWnna(1)knk1(1)nnaWnk(1)knknWknWnk(0)(0)knEnEk*WknWkn|Wkn|2(0)(0)(0)(0)knEnEkknEnEk(1)

利用了aknWkn。 (0)EnEk(0)在推导中使用了微扰矩阵的厄密性

*(0)(0)(0)Wknk(0)|W|n*n|W|k(0)n|W|k(0)Wnk2. 当mn时

[E(0)mE]a(0)n(2)mn(1)(1)(1)aknWmkEnamn

k1 7 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(1)(1)aknWmkWnnamn(0)(0)(0)(0)EEEnEmk1nma(2)mnkn(0)[EnWknWmkWnnWmn(0)(0)(0)(0)2Em][EnEk(0)][EnEm]

可以给出波函数的展开系数。 能量的二级修正

E2(2)n(0)|Wkn|2|k(0)|W|n|2(0)(0)(0)(0)EEEEknknnknk

(0)(0)22ˆ||k|H|n||Hkn(0)(0)(0)EnEk(0)knknEnEk2在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：

EnE(0)nEE(1)n2(2)nE(0)n|2|Hkn(0) Hnn(0)knEnEk

(四)微扰理论适用条件

总结上述，在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：

|2|Hkn(0)EnEHnn(0)knEnEk

H(0)|n|n(0)kn(0)|k(0)knEnEk(0)n欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知道级数的一般项，无法判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是：

Hkn(0)(0)， EE1nk(0)(0)EnEk这就是本节开始时提到的关于H很小的明确表示式。当这一条件被满足时，由上式计算得到的一级修正通常可给出相当精确的结果。

上述微扰适用条件表明：

|k|H|n(1)Hkn(0)(0)(0)(0)要小，即微扰矩阵元要小;

(2)EnEk 要大，即能级间距要宽。

例如：在库仑场中，体系能量(能级)与量子数n成反比，即

2En

Z2e422n28

，n1,2,3,... 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

由上式可见，当n大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级(n大)的修正，而只适用于计算低能级(n小)的修正。

(五)讨论

(1)在一阶近似下：

|n|(0)nknHkn(0)| k(0)(0)EnEk(0)表明扰动态矢|n可以看成是未扰动态矢|k的线性叠加。

(2)展开系数

Hkn(0)表明第k个未扰动态矢|对第n个扰动态矢|n的贡k(0)(0)EnEk(0)献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态|k混合的也越强。因此态矢一阶修正无须计算无限多项。

(0)(0)(3)由EnEn加上微扰Hnn可知，扰动后体系能量是由扰动前第n态能量En(0)Hamilton量H在未微扰态|n中的平均值组成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。

(4)对满足适用条件

Hkn(0)Ek(0) 1，En(0)(0)EnEk0 就需要微扰的问题，通常只求一阶微扰其精度就足够了。如果一级能量修正Hnn求二级修正，态矢求到一级修正即可。

(5)在推导微扰理论的过程中，我们引入了小量λ，令：HW只是为了便于将扰动后的定态Schrodinger方程能够按λ的幂次分出各阶修正态矢所满足的方程，仅此而已。一旦得到了各阶方程后，λ就可不用再明显写出，把W理解为H即可，因此在以后讨论中，就不再明确写出这一小量。

(六)实例

例1.一电荷为 e 的线性谐振子，受恒定弱电场ε作用。电场沿 x 正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。

解：(1)电谐振子Hamilton 量

9 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

2d21ˆH22x2ex 22dx将 Hamilton 量分成H0H两部分，在弱电场下，上式最后一项很小，可看成微扰。

ˆ2d212μω2x2H022μdx Hˆexε(0)(2)写出 H0 的本征值和本征函数E(0), n

(0)nNne2x2/2Hn(x)

，Nn n2n!(0)，n0,1,2, En(n12)(1)(3)计算En

E(1)nHnn(0)*n(0)(0)*(0)ˆHndxenxndx0

上式积分等于 0 ，是因为被积函数为奇函数所致。 (4)计算能量二级修正

矩阵元。 欲计算能量二级修正，首先应计算HknHkn(0)*k(0)(0)*(0)ˆHndxekxndx

利用线性谐振子本征函数的递推公式：

xn1[nn1n1n1] 22eHkn(0)n1(0)]dxk(0)*1[nn122n1(0)*(0)(0)n1e[kn1dxk(0)*n1n1dx] 22e[nk,n1n1k,n1]22将上式代入能量二级修正公式，得

10 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

E(2)nkn|2|Hkn(0)EnEk(0)

|e[nk,n1n1k.n1]|222(0)(0)knEnEk11n1(e)2n(0)(0)(0)(0)2EnEn2EE1nn1对谐振子有;

(0)(0)(0)(0)EnEn1, EnEn1

(2)En(e)2[n1n11](e)21222 (2) 22e22由此式可知,能级移动与n无关,即与扰动前振子的状态无关. (1)nknHkn(0)k(0)(0)EnEkkne[nk,n1n1k,n1]22(0)k(0)EnEk(0)

n11(0)(0)en1n1n1(0)(0)(0)(0)2En2EnEE1nn11(0)1(0)enn1n1n221e123(0)(0)n1nn1n1(5)讨论----- 电谐振子的精确解

实际上这个问题是可以精确求解的，只要我们将体系Hamilton量作以下整理：

22d22ˆH12xex22dx2d21ee2e2222[x2x()]22222dx22d12[xe]2e2dx222222222

2d2e2ε2221μωx222μdx2μω2 11 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

其中xxeε，可见，体系仍是一个线性谐振子。它的每一个能级都比无电场时2μωeεe2ε2的线性谐振子的相应能级低，而平衡点向右移动了距离。 22μω2μω由于势场不再具有空间反射对称性，所以波函数没有确定的宇称。这一点可以从下式扰

(0)(0)(0)动后的波函数n已变成n,n1,n1的叠加看出。

(0)(0)1[n1nn1n1] 32(0)(1)(0)nnnne01c0 例2.设Hamilton量的矩阵形式为：Hc300c2(1)设c<<1，应用微扰论求H本征值到二级近似; (2)求H 的精确本征值;

(3)在怎样条件下，上面二结果一致。 解：

(1)c<<1，可取0级和微扰Hamilton量分别为：

1000c0H0030，Hc00

00200cH0是对角矩阵，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为：

(0)(0)E1(0)1，E23，E32

由非简并微扰公式

(1)EnHnn|2 (2)|HknEnE(0)E(0)knnk得能量一级修正：

0E1(1)H11(1)0 E2H22(1)cE3H33能量二级修正为：

12 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

E(2)11|2|2|2|Hk|H31|H211c2 (0)(0)(0)2Ek(0)E1(0)E2E1(0)E3knE1kn(2)3E(2)22|2|2|2|Hk|H32|H121c2 (0)(0)(0)(0)2E2Ek(0)E2E1(0)E2E3E3|2|2|2|Hk|H13|H23(0)(0)(0)0 (0)(0)(0)EEEEEEkn3k3132准确到二级近似的能量本征值为：

E11c21212E232c E32c(2)精确解：

设 H 的本征值是 E，由久期方程可解得：

1Ec0c03E00 0c2E(c2E)(E24E3c2)0

解得：

E21c212E221c E2c3(3) 将准确解按 c(<<1)展开：

E21c211c21c428121214E221c32c8c E2c3比较(1)和(2)之解

13 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

E11c2E21c2121212E232c，E221c E2c3E32c可知，微扰论二级近似结果与精确解展开式不计c及以后高阶项的结果相同 §10.2 简并微扰理论

(一)简并微扰理论

(二)实例

(三)讨论

(一)简并微扰理论

(0)(0)假设En是简并的，那末属于H0的本征值En有k个归一化本征函数:

4|n1，|n2，……，|nk n|n

(0)为描述方便，我们将量子数n对应的能级和k重简并波函数分别写为En、|n ，请注意与教材中的|n对应

显然它们满足本征方程：

ˆE(0)]|n0，1,2,3,,k [H0n共轭方程

ˆE(0)]0，1,2,3,,k n|[H0n在用微扰论求解问题时，需要知道0级近似波函数，但我们不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作为波函数的0级近似。所以在简并情况下，首先要解决如何选0级近似波函数的问题，然后才是求能量和波函数的各级修正。

0级近似波函数肯定应从这k个|n中挑选，而它应满足上节按幂次分类得到的方程：

ˆ(0)E(0)]|(1)[HˆE(1)]|(0) [Hnnnn

14 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)根据这个条件，我们选取0级近似波函数|n的最好方法是将其表示成k个|n的线性组合，因为反正0级近似波函数要在|n(1,2,3,,k)中挑选。

(0)n|c|n

1k(0)|n已是正交归一化，系数c由 一次幂方程定出

ˆ(0)E(0)]|(1)[HˆE(1)]c|n[Hnnn1(1)ˆ|nEnc|ncHkkk

11左乘n|得：

ˆ(0)E(0)]|(1)E(1)cn|ncn|Hˆ|nn|[Hnnn1kkk1Ek(1)n1ccH1k

(1)]c[EnH1ˆ(0)E(0)]0) (由n|[Hnˆ|n。 n|H其中H得：1k(1)En[H]c0。

上式是以展开系数c为未知数的齐次线性方程组,它有不含为零解的条件是系数行列式为零，即

(1)EnH11H21H12(1)EnH222Hk1Hk(1)EnHkk(1)0

(1)解此久期方程可得能量的一级修正En的k个根：En(=1,2,...,k)，因为(0)(1)(1)所以若这k个根都不相等,则一级微扰就可以将k度简并完全消除;若EnEnEnEn有几个重根,则表明简并只是部分消除,须进一步考虑二级修正才可使能级完全分裂开来。

15 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(1)为了确定能量En所对应的0级近似波函数，可以把En之值代入线性方程组从而解得一组c(=1,2,...,k)系数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的 0 级近似波函数。

(1)为了能表示出c 是对应与第个能量一级修正En我们在其上加上角标的一组系数，而改写成c。这样一来，线性方程组就改写成：

1k(1)En[H]c0，1,2,,k

(1)则对应En修正的0级近似波函数改写为：

k|

(二)实例

例1. 氢原子一级 Stark 效应 (1)Stark 效应

(0)nc|n

1氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为 Stark 效应。

我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，造成第n 个能级有n度简并。但是当加入外电场后，由于势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark 效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。

(2)外电场下氢原子 Hamilton 量

2ˆHˆHˆ H0ˆ22e2H02r Hˆerezercos取外电场沿 z 正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多，例如,强电场≈107 伏/米，而原子内部电场≈1011伏/米，二者相差 4个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。

(3) H0 的本征值和本征函数

e4n1,2,3,En22 2n(rnlm)Rnl(r)Ylm(,)

16 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

下面我们只讨论 n=2 的情况，这时简并度 n2=4。

2e2，a0 En22e88a0e4属于该能级的4个简并态是：

1200R20Y00412(a1)3/2(2ar)er/2a0000002210R21Y10412(a1)3/2(ar)er/2acos3211R21Y1181()13/2ra0a00()e0r/2a0sine0i

4211R21Y1181(a1)3/2(ar)er/2asinei其中，|2，1,2,3,4。 即

1|21ψ2001|21ψ200(4)求H在各态中的矩阵元

1|21ψ2004|24ψ211

由简并微扰理论知,求解久期方程,须先计算出微扰Hamilton量H’在以上各态的矩阵元。

ˆ|eR|r|RY|cos|Y1|HH12220210010ˆ|eR|r|RY|cos|Y 2|HH21121201000我们碰到角积分Ylm|cos|Ylm需要利用如下公式：

22(l1)2m2lm cosYlmYY(2l1)(2l3)l1,m(2l1)(2l1)l1,m于是

Ylm22(l1)2m2lm|cos|YlmYlm|Yl1,mYlm|Yl1,m(2l1)(2l3)(2l1)(2l1)22(l1)2m2lm(2l1)(2l3)ll1mm(2l1)(2l1)ll1mm欲使上式不为 0，由球谐函数正交归一性要求量子数必须满足如下条件：

ll1lll1ll1 mmm0mm 17 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

，H21不等仅当l1，m0时，H的矩阵元才不为0。因此矩阵元中只有H12于0。

因为Y10|cos|Y00所以

3H21eR20|r|R21H123e(1)3/2(2r)er/2a0r1(1)3/2(r)er/2a0r2dra0a0302a032a0e(1)4(2r)er/a0r4dr24a00a0

r/a044e1()[2erdrrer/a0r4dr]00a24a005e(1)4[a04!(25)]24a03ea0这是微扰矩阵元的表达式 (5)能量一级修正

将H的矩阵元代入久期方程：

(1)E23ea0(1)E2000(1)E20000(1)E23ea000解得 4 个根：

0

0(1)E21(1)E22(1)E23E(1)243ea03ea000(0)

由此可见，在外场作用下，原来 4 度简并的能级E2在一级修正下，被分裂成 3 条能级，简并部分消除。当跃迁发生时，原来的一条谱线就变成了 3 条谱线。其频率一条与原来相同，另外两条中一条稍高于一条稍低于原来频率。见下图：

18 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

6)求 0 级近似波函数

(1)分别将E2 的 4 个值代入方程组：

kE)c0(H (1)n11,2,k得 四 元一次线性方程组

(1)E2c13ea0c20(1)03ea0c1E2c2(1)0E2c30000000000

(1)E2c40(1)(1)将E2E213ea0代入上面方程，得：

c1c2 c3c40(0)所以相应于能级E23ea0 的0级近似波函数是：

1(0)1[12]1[200210]

22(1)(1)将E2E223ea0代入上面方程，得：

c1c2 c3c40(0)所以相应于能级E23ea0的0级近似波函数是：

19 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)21[12]1[200210]

22(1)(1)(1)将E2E23E240，代入上面方程，得：

c1c20 0的常数c3和c4为不同时等于(0)因此相应与E20的0级近似波函数可以按如下方式构成：

(0)(0)3(4)c33c44c3211c4211

我们不妨仍取原来的0级波函数(经常这样处理)，即令：

c31c40(0)3211则(0)。 4211orc30 c41(7)讨论

(0)上述结果表明，若氢原子处于 0 级近似态1, 2, 3, 4，那末，氢原子就

(0)(0)(0)好象具有了大小为3ea0的永久电偶极矩一般。对于处在1, 2态的氢原子，其电矩取

(0)向分别与电场方向平行和反平行;而对于处在3, 4态的氢原子，其电矩取向分别与电

(0)(0)(0)场方向垂直。

例2.有一粒子，其 Hamilton 量的矩阵形式为：HH0H，

其中

2000H0020，H0002000，1 00求能级的一级近似和波函数的0级近似。

解：H0的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。

(1)(1)求本征能量

由久期方程HEI0得：

E(1)00E(1)00E(1)0

E(1)E(1)20 2 20 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

解得：E(1)0,。 记为：

(1)0，E1(1) E1(1)，E2故能级一级近似：

E1E0E1(1)2(1) E2E0E22(1)EEE2303简并完全消除

(2) 求解 0 级近似波函数 将E1(1)代入方程，得：

0000由归一化条件：

c1(c1c3)c1c3c0c0 22c20c(cc)133c则ψ1(0)*1c1*0c102|c1|21取实解：c11

2c1110。

21将E20代入方程，得： (1)00由归一化条件：

00000c1c3c2000c1c30 cc3100c2*0c2|c2|21取实解：c21

0 21 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

则2(0)01。 0(0)如法炮制，得3110

21

(三)讨论

(1)新 0 级波函数的正交归一性 1.正交性

对处理λ一次幂所带来的系数公式

E]c0[H(1)n1k(1)

取复共厄

)[(H1k*(1)*Enc0 ]ˆ的厄米性，有 由于Hˆ|n*n|Hˆ|n)*n|H(Hˆ|nHn|HE]c0 [H(1)n*1k

改记求和指标

， 

(1)*En[H]c0k(2)

1由前知E]c0[H(1)n1k(1)

k(1)c(2)c *11(1)*E]cc[HEn[H]cc0

(1)n*kkkkk1111上式合起来可写为

22 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

kk[EE]cc0 (1)n(1)n*11或[E(1)n*E]cc0 (1)nk1(1)(1)对于EnEn的根，

k*c0c(3)

1(0)(1)(0)(1)对应于EnEnEn和EnEnEn的 0 级近似本征函数分别为：

kk|(0)nc|n1|(0)nc|n

1(0)n|(0)n*ccn|nkk11kk**cccc0k

111利用了(3)式cc0。 *1k上式表明，新 0 级近似波函数满足正交条件。 2.归一性

由于新 0 级近似波函数应满足归一化条件，对于同一能量，即角标，则上式变为：

(0)n|(0)n*cc1k(4)

1Eq.(3)和Eq.(4)合记之为：

cc*1k(5)

(2)可以证明在新 0 级近似波函数n为基矢的 k 维子空间中，H’从而 H的矩阵形式是对角化的。

证：

(0) 23 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

kk(0)nˆ|(0)c*cn|Hˆ|n|Hn11kkccHccH**kk11k*11k

cEcE(1)nk(1)n11*cc1(1)Enk第2-3步用到了(1)式

E]c0。 [H(1)n1上式最后一步利用了Eq.(5)关系式。所以 H’在新0级近似波函数为基矢的表象中是对角化的。

[证毕] 因为 H0在自身表象中是对角化的，所以在新0级近似波函数为基矢的表象中也是对角化的。当时，上式给出如下关系式：

(1)(0)ˆ(0)Enn|H|n

也就是说，能量一级修正是 H’在新 0 级波函数中的平均值。这一结论也是预料之中的事。

求解简并微扰问题，从本质上讲就是寻找一么正变换矩阵 S，使 H’从而 H 对角化。 求解久期方程和线性方程组就是寻找这一么正变换矩阵的方法。 例如：前面讲到的例 2

200H00200020H0000001

应用简并微扰论解得的新 0 级近似波函数是：

1(0)11021(0)20103(0)110

21这是新 0 级近似波函数在原简并波函数i，i = 1,2,3.为基矢所张开的子空间中的矩阵表示，即

cii

(0)i13 24 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

我们求解

i13E(1)li)ci0(Hlil1,2,3

就是为了寻找一个么正变换 S，使原来的 H = H0 + H’ 在以i为基矢的表象中的表示变到(0)为基矢的表象中，从而使 H 对角化。

根据表象理论，若(0)在以i为基矢的表象中的形式由下式给出，

1(0)(0)11021(0)20103(0)110

21则由表象到表象的么正变换矩阵为：

12S012其逆矩阵为

0100 121212~*1SSS012H’从表象到(0)0100 1212表象由下式给出：

S1HSHS0100α1221000001α001022000000012012010120 12§10.3 变分法

微扰法求解问题的条件是体系的 Hamilton 量 H可分为两部分

ˆHˆHˆ H0 25 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

其中 H0 的本征值本征函数已知有精确解析解，而 H’很小。如果上面条件不满足，微扰法就不适用。这时我们可以采用另一种近似方法—变分法。

(一)能量的平均值

(二)< H >与 E0 的偏差和

(三)如何选取试探波函数

(四)变分方法

(五)实例

(一)能量的平均值

设体系的 Hamilton 量 H 的本征值由小到大顺序排列为：

试探波函数的关系

E0E1E2......En......012......n......

上式第二行是与本征值相应的本征函数，其中E0 、0分别为基态能量和基态波函数。

为简单计，假定H本征值是分立的，本征函数组成正交归一完备系，即

ˆH|nEn|n|nn|1nm|nmnn0,1,2,

设是任一归一化的波函数，在此态中体系能量平均值：

ˆ|H，则必有EE EH|H0证： 插入单位算符|nnn|1，则

ˆ||Hˆ||EH|HnnnEn|nn|n

E0|nn|E0|E0n即HE0。

26 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

这个不等式表明，用任意波函数计算出的平均值 总是大于(或等于)体系基态的能量，而仅当该波函数等于体系基态波函数时，平均值 才等于基态能量。

若未归一化，则

ˆ||HHE0

|基于上述基本原理，我们可以选取很多波函数: : (1)，(2)，…，(k)，…称为试探波函数，来计算

HH1,H2,Hk

其中最小的一个就最接近基态能量 E0，即

Min[H1,H2,Hk]E0

如果选取的试探波函数越接近基态波函数，则 H 的平均值就越接近基态能量 E0。这就为我们提供了一个计算基态能量本征值近似值的方法。

使用此方法求基态能量近似值还需要解决以下两个问题： (1)试探波函数与0之间的偏差和平均值 (2)如何寻找试探波函数。

(二)< H >与 E0 的偏差和试探波函数的关系

由上面分析可以看出，试探波函数越接近基态本征函数， 就越接近基态能量 E0

.那末，由于试探波函数选取上的偏差0会引起[-E0]的多大偏差呢?

为了讨论这个问题，我们假定已归一化的试探波函数为：

< H > 与 E0之间偏差的关系;

||0||1

其中是一常数，是任一波函数，满足0所满足的同样的边界条件。 显然|有各种各样的选取方式，通过引入|就可构造出在0附近的有任意变化的试探波函数。能量偏差：

27 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

ˆE|HE0|H0ˆE0|*|H0|0|ˆE||HˆE| 0|H0000ˆE|||2|HˆE|*|H000ˆE|||2|H0ˆ|E|) (利用了Hnnn可见，若是一小量，即波函数偏差0|

是一阶小量，那末

ˆE| HE0||2|H0是二阶小量。

这也就是说， 是小量，与0很接近，则< H >与 E0更接近。当且仅当0时，才有< H > = E0。

[结论] 上述讨论表明，对本征函数附近的一个任意小的变化，本征能量是稳定的。因此，我们选取试探波函数的误差不会使能量近似值有更大的误差。

(三)如何选取试探波函数

试探波函数的好坏直接关系到计算结果，但是如何选取试探波函数却没有一个固定可循的法则，通常是根据物理上的知觉去猜测。

(1)根据体系 Hamilton 量的形式和对称性推测合理的试探波函数; (2)试探波函数要满足问题的边界条件;

(3)为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个或多个待调整的参数，这些参数称为变分参数;

(4)若体系Hamilton量可分成两部分H=H0+ H1，而H0 的本征函数已知有解析解，则该解析解可作为体系的试探波函数。

例：一维简谐振子试探波函数 一维简谐振子Hamilton 量：

22dˆH12x2 222dx其本征函数是：

28 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

n(x)Nne22x/2Hn(x)

下面我们根据上面所述原则构造试探波函数。 方法 I：

试探波函数可写成：

c(2x2)(x)0|x|

|x|显然，这不是谐振子的本征函数，但是它是合理的。

1.因为谐振子势是关于 x = 0 点对称的，我们的试探波函数也是关于 x = 0 点对称的; 2.满足边界条件，即当|x| →∞ 时，ψ→ 0; 3.含有一个待定的λ参数。 方法 II:

亦可选取如下试探波函数：

(x)Aex2

A ——归一化常数， 是变分参量。这个试探波函数比第一个好，因为 1. (x)是光滑连续的函数;

2.关于 x = 0 点对称，满足边界条件，即当 |x|→∞ 时，ψ→ 0;

3. (x)是高斯函数，高斯函数有很好的性质，可作解析积分，且有积分表可查。

(四)变分方法

有了试探波函数后，我们就可以计算< H >

ˆ|H|H

ˆ()|H|()H()H()能量平均值是变分参数λ的函数，欲使< H(λ)>取最小值，则要求：

dH()dH()0 dd上式就可定出试探波函数中的变分参量λ取何值时 有最小值。

(五)实例

对一维简谐振子试探波函数，前面已经给出了两种可能的形式。下面我们就分别使用这两种试探波函数，应用变分法求解谐振子的基态近似能量和近似波函数。

29 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

方法I 使用第一种试探波函数：

c(2x2)(x)01.首先定归一化系数

|x|

|x|c*dx1

*dx00dxc2(2x2)2dx00dx2155。 160165c(x)dxc11522222

2.求能量平均值

H()2ˆdx*H222d2122c(x)x(2x2)dx222dx 222222221c(x)2x(x)dx5221224143.变分求极值

dH()523120 d27235。

2代入上式得基态能量近似值为：

52H42135520.5976

351421410.5，比较二式可以看出，近似结果还2我们知道一维谐振子基态能量 E0不太坏。

方法II 使用第二种试探波函数：

1. 对第二种试探波函数定归一化系数：

(x)Aex

30

2量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

1(x)*(x)dx|A|2e2x2dx|A|2 2|A|22。

2.求能量平均值

H()2ˆdx|A|2*Hx22ˆex2dxexH2222x2d1|A|e[x]edx2dx2222 22x2212222x22|A|edx|A|[]xedx2|A|222221212|A|[]2242带入|A|22，得

21H()21

283.变分求极值

dH()21220 d28121， 2代入上式得基态能量近似值为：

21121H2

2282这正是精确的一维谐振子基态能量。这是因为若将

代入试探波函数，得：

1 2(x)Aex21/4ex2/20(x)

31 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

正是一维谐振子基态波函数。此例之所以得到了正确的结果，是因为我们在选取试探波函数时要尽可能的通过对体系物理特性(Hamilton量性质)的分析，构造出物理上合理的试探波函数。

作业

p309 10.1、10.

3、10.6 32

第二篇：艺术导论作业 第三章

一;什么是集体无意识?

答：集体无意识是瑞士心理学家，分析心理学创始人荣格的分析心理学用语。指由遗传保留的无数同类型经验在心理最深层积淀的人类普遍性精神。人的心理活动可分为意识和无意识两个层次，而实际上无意识心理活动又可分为两个层次：第一个层次就是弗洛伊德所说的无意识，它是与个人生活经验相联系的不被人所意识到的心理活动，如遗忘的记忆、不愉快的经验、潜抑的愿望与动机等等。这种无意识可以称为个体无意识;与之相对应的是，在人类的无意识中还有一部分是超越了个人后天生活经验的不依赖于个人经验而存在的带有超越个体乃至民族、种族的具有全人类的普通性与集体性的心理活动，这就是集体无意识。 集体无意识是指“有史以来沉淀于人类心灵底层的、普遍共同的人类本能和经验遗存”,这遗存既包含了人类先天的生理学意义上的遗存,也包含了人类后天的社会生活意义上的遗存。简单地说, 无意识就是一种“没有意识到的意识”,或者说是一种“不自觉的意识”。

荣格认为，艺术家就是“集体无意识”的工具。他认为，《浮士德》代表了一种人类的集体无意识。这种集体无意识是能感染所有人的最基本，最深层的存在。这种存在需要一种意象或形象表现出来，也就是说，当这种意象变成艺术形象时，就唤醒了人们的集体无意识。集体无意识是以生物学遗传的方式，从远古一代一代在人类身上积淀下来的。集体无意识是由人类的集体经验在漫长的岁月里积淀下来的心理结构，也就是一种精神。

集体无意识的内容主要是各种原型。原型，实际上是心理活动的基本模式，它是人类远古社会生活的遗迹，是人们在社会生活中重复了亿万次的那些典型经验的积淀和浓缩。人是从其祖先那里继承而来的意象，即继承了与祖先相同的把握世界和作出反映的先天倾向。这种先天倾向通过脑组织世代相传。荣格称之为“原始意象”或“心灵的虚象”，正如我们的生理结构带有许多祖先遗传下来的痕迹，我们的心理结构同样如此。人类心理的发展实际上就是意识从集体无意识中逐渐升起并不断扩展的过程。

集体无意识存在于人类精神生活的最深处与最底层，因而在人的一生中很难被意识到。但它仍然可以通过各种形式表现在个人生活与社会文化中。首先，它可以在神话与童话中表现出来。神话是处于启蒙期的原始人类意识状态的真实写照，那时人类的意识刚刚从无意识中诞生，无意识的力量仍相当强大并直接影响人类的意识。所以未经过后人加工处理的原始而质朴的神话往往是人类无意识特别是集体无意识的直接表现。其次，集体无意识可以通过人的梦表现出来。梦是通向无意识深处的一扇窗户。梦中的内容住往是无意识的直接表现，其中就包括集体无意识。此外，集体无意识还会在某些精神分裂症患者身上表现出来。精神分裂症实际上是一种意识状态的瓦解而使得无意识的内容不受阻碍地汹涌而出并主宰了个体的人格与行为，其中就有许多集体无意识的内容。

第三篇：第十三章第三节摩擦力学案

初三物理第十三章第三节《摩擦力》学案

班级：姓名：

预习课本，回答下列问题：

1、摩擦力发生在两个的物体之间，是在两个物体做时，在上产生的阻碍物体的力。

2、二力平衡的条件是、。

3、举出生活中的有益摩擦： 举出生活中的有害摩擦：。

4、小实验：请你用手轻压桌面，手在桌面上滑动，然后用力重压桌面再做一次，体会两次感觉有什么不同?保持压力相同，使手分别在光滑的桌面和粗糙的桌面上滑动，体会两次感觉有什么不同。

5、下列做法中，目的是为了减少摩擦的是

A.短跑运动员穿上钉鞋

B.足球守门员戴上手套

C.篮球表面上印有花纹

D.旱冰鞋安装上滚轮。

6、判断题

(1)自行车刹车时，用力捏紧自行车刹车闸是为了增大压力来增大摩擦力……… ()

(2)在接触面之间加润滑油，可以消除摩擦……… ()

(3)物体只有在运动时，才会受到摩擦力的作用…… ()

(4)物体运动越快，受的摩擦力就越大…………()

(5)物体静止时，就一定没有受到摩擦力……… ……()

(6)如果没有摩擦，我们就寸步难行…………… ……()

7、笨重的箱子放在水平地而上，我们推不动它是因为()

A、这物体的惯性很大

B、这物体受到的推力小于摩擦力

C、这物体受到的推力和摩擦力平衡

D、以上说法都不对

第四篇：政治经济学练习-辨析题(导论-第三章).（大全）

政治经济学练习

辨析题

要求：先说明对错,再说明理由，如果是错误的请改正。不说明对错判断，一律不得分。

1.商品供不应求，物价就上涨。供过于求，物价就下降，所以，商品的价格是由商品的供求关系决定的。

2.价值是凝结在商品中的一般人类劳动，所以劳动产品都有价值。

3.人们的生产活动从来就具有二重性，既是具体劳动，又是抽象劳动。

4.提高部门劳动生产率可以增加单位时间内生产的商品数量和价值量。

5.资本主义工资是劳动的价格或价值。

第五篇：量子力学与经典力学的主要区别

经典物理是几乎独立地处理粒子的运动以及粒子群或场的波动，但量子力学却必须统一处理粒子和波动。

2、经典物理认为粒子与波动是两个层次的东西，根本不是一回事儿;而量子力学却认为两者是密不可分的一个整体，此即著名的“波粒二象性”，由此引发了一系列量子力学所特有的奇异结果：如测不准原理、观测量的不连续性(此即量子)、统计诠释(即单粒子的行为在本质上也是不能完全确定的，这不同于经典统计力学)、量子态的非定域性(这与相对论有冲突，但实验又似乎肯定了这种非定域性——有某种意义上的超光速现象存在，至今尚无定论)……

经典力学是对宏观物体和低速物体进行的力学研究，量子力学是对微观物体和高速物体的力学研究，宏观和微观的界限在原子层面，高速和低速的界限在近光速层面，最主要的区别是经典力学里物体的能量是连续的，量子力学中物体的能量是不连续的，呈跳跃型，这个些连续的能量就称为量子。联系在于两者互为极限情况。

经典力学和量子力学不能在宏观微观或者高速低速方面来区分。

牛顿的力学体系，麦克斯韦的电磁学，爱因斯坦的相对论都属于经典力学范围。 量子力学是由波尔为首的一些科学家建立的另一种对立的力学体系。 二者的区分在三个方面。

经典力学：连续性，确定性，因果性

量子力学：不连续性，不确定性，不因果性

不连续性：物质和能量都有最小的单位，是一份一份的。

不确定性:人们无法同时给定物质所有的参数，一个知道的越详细，另一个就越不准确。 不因果性：即使你知道所有参数(虽然理论上不能)，你得到的也只是个概率的结果。

形象一点，经典物理认为这个世界是“和谐”的，宇宙是有物理定律严格确定的，如果知道一个时刻的参数，便可以推论出宇宙任何时刻的样子。存在客观的物质世界。

量子物理就不一样，它认为这个世界是“自由”的。宇宙充满了不确定性，你无法准确知道物质的所有参数。物质不能由物理定律来束缚。不存在绝对的客观世界。

相对论与量子理论的区别

相对论讲的是从宏观到微观。

量子理论讲的是从微观到宏观。

它们的区别是研究问题是从两端开始，最后目标接近对方。

经典物理学的局限性: 到19世纪末，以麦克斯韦方程组为核心的经典电磁理论的正确性已被大量实验所证实，但麦克斯韦方程组在经典力学的伽利略变换下不具有协变性。而经典力学中的相对性原理则要求一切物理规律在伽利略变换下都具有协变性。

而相对论和量子力学解决了这些问题，

狭义相对论(Special Relativity)是主要由爱因斯坦创立的时空理论，是对牛顿时空观的改造。

爱因斯坦的第二种相对性理论(1916年)。该理论认为引力是由空间——时间几何(也就是，不仅考虑空间中的点之间，而是考虑在空间和时间中的点之间距离的几何)的畸变引起的，因而引力场影响时间和距离的测量.

广义相对论：爱因斯坦的基于科学定律对所有的观察者(而不管他们如何运动的)必须是相同的观念的理论。它将引力按照四维空间—时间的曲率来解释。

广义相对论(General Relativity‎)是爱因斯坦于1915年以几何语言建立而成的引力理论，统合了狭义相对论和牛顿的万有引力定律，将引力改描述成因时空中的物质与能量而弯曲的时空，以取代传统对于引力是一种力的看法。因此，狭义相对论和万有引力定律，都只是广义相对论在特殊情况之下的特例。狭义相对论是在没有重力时的情况;而万有引力定律则是在距离近、引力小和速度慢时的情况。

经典物理学在微观和高速下不适用，相对论在解释宏观高速运动的现象时非常圆满，而量子力学在微观世界时更加得心应手。当然相对论完全可以替代经典力学的应用领域，经典力学是相对论在低速环境下的近似表达方式，在解决一般问题是，经典力学还是很好用的