面面平行的证明方法

第一篇：面面平行的证明方法

证明面面平行的方法

证明面面平行的方法利用向量方法判断空间位置关系,其难点是线面平行与面面垂直关系问题.应用下面的两个定理,将可建立一种简单的程序化的解题模式.定理1设MA→、MB→不共线,pQ→=xMA→+yMB→(x,y∈R),则①p∈平面MABpQ平面MAB;②p平面MABpQ∥平面MAB.定理2设向量AB→、AC→不共线,DE→、DF→垂直于同一平面的两个平面互相平行

这个是错误的，比如立方体相邻三个面，两两垂直，显然不符合你说的平行条件，证明面面平行可以用垂直于同一直线来证，但垂直于同一平面是错的

2

1,线面垂直到面面垂直，直线a垂直于平面1，直线a平行与或包含于平面2，所以平面1垂直于平面2

2，(最白痴的一个)平面1垂直于平面2，平面1平行于平面3，所以平面3垂直于平面2

3，通过2面角的夹角，如果2面角的夹角是90度，那么两个平面也是垂直的

这些方法前面都要通过其他方法证明，一步步才能证到这儿，譬如方法1，要先证明线面垂直，所以你也得知道线面垂直的证法有哪些。学立体几何，重要的是空间感，没事多揣摩揣摩比划比划，把每个定理的内容用图形表示出来，并记在脑子中，这样考试的时候才能看到图和题就会知道用什么定理了，熟记并熟练掌握哪些定理的运用才行。还有像这样比较好，证明每个东西都有哪些方法，有几种途径，那么做题的时候想不起来用哪个就可以根据题目条件一步步排除，并选择对的方法，一般老师上课都会总结的。还是好好听课吧~~

3

判定：

平面平行的判定一如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

平面平行的判定二垂直于同一条直线的两个平面平行。

性质：

平面平行的性质一如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

平面平行的性质二如果一条直线在一个平面内，那么与此平面平行的平面与该直线平行。

这五个条件?哪五个?

判定一中：两条相交的直线是可以确定一个平面的，所以“两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。”

判定二中。如果一个直线垂直与一个平面，那么直线垂直于平面内的所有直线，则有垂直于同一条直线的两个平面平行。

4

线线平行证2条线成倍数就行，倍数属于R线面平行找面的法向量，它的法向量与线平行就OK面面平行先找两个面的法向量，只要2个法向量成成倍数就行

第二篇：面面平行证明题

1 如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且PE∶EABF∶FD，求证：EF//平面PBC.

2 如图，空间四边形

,平行于与的截面分别交、AC、CD、BD于E、F、G、

H.

求证：四边形EGFH为平行四边形;

3如图，∥∥，直线a与b分别交，，于点A，B，C和点D，E，F， 求证：

ABDE. BCEF第 7 页

4如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，Q分别是BC，C1D1，E，F，P，

AD1，BD的中点.

(1) 求证：PQ//平面DCC1D1. (2) 求PQ的长.

(3) 求证：EF//平面BB1D1D.

5 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别棱是CC1，C1D1，D1D，

CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足

时，有MN//平面B1BDD1.

6 如图，M、N、P分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD上的点，且AM∶MBCN∶NBCP∶PD.

求证：(1)AC//平面MNP，BD//平面MNP; (2)平面MNP与平面ACD的交线//AC.

第 8 页

7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD//平面CD1B1.

8 图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点. 求证：MN//平面PAD.

9如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，3，D是AC的中点.求证：B1C//平面A1BD.

10 .如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa,点E在棱PC上. 问点E在何处时，PA//平面EBD，并加以证明.

A

P

AE

C

B

第 9 页

第三篇：怎么证明面面平行

怎么证明面面平行线面垂直：1.一条线与平面内两条相交直线垂直

2.一条线在一个平面内，而这个平面与另外一个平面垂直，那么这条线与另外一个平面垂直

面面垂直：一条线与平面内两条相交直线垂直，且有一个平面经过这条线

2证明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β没有公共点

又a在平面α上，b在平面β上

∴直线a、b没有公共点

又∵α∩γ=a，β∩γ=b

∴a在平面γ上，b在平面γ上

∴a∥b.3用反证法

命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β

证明:假设AB不平行于β

则AB交β于点p，点p∈β

又因为p∈AB，所以p∈α

α、β有公共点p，与命题α∥β不符，所以AB∥β。

4【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个

5用反证法

命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β

证明:假设AB不平行于β

则AB交β于点p，点p∈β

又因为p∈AB，所以p∈α

α、β有公共点p，与命题α∥β不符，所以AB∥β。

6

线线平行→线面平行如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

线面平行→线线平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

线面平行→面面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

面面平行→线线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

线线垂直→线面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

线面垂直→线线平行如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

线面垂直→面面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

线面垂直→线线垂直线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。

面面垂直→线面垂直如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

三垂线定理如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。

第四篇：线面 线线面面平行垂直方法总结

所有权归张志涛所有

线线平行

1.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。(一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.)

2.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 3.【定义】同一平面内，两直线无公共点，称两直线平行

3.【公理】平行于同一直线的两条直线互相平行.(空间平行线传递性) 4.【定理】同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行. 5.平行线分线段成比例定理的逆定理

线面平行

1.面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内(如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。)

2.面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外

3.如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行 4.证明线面无交点

5.反证法(线与面相交，再推翻)

6.空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0) 7.【定义】直线与平面无公共点，称直线与平面平行

8.X7【定理】如果两个平面平行，那么其中一平面内的任一直线平行于另一平面.

面面平行

1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

2.若两个平面所夹的平行线段相等，则这两个平面平行. 3.【定理】一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行. 4.【定义】两平面无公共点，称两平面平行. 5.【公理】平行于同一平面的两个平面互相平行.(空间平行面传递性)

6.【定理】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

线线垂直

1如果一条直线垂直于一个平面，则这个平面上的任意一条直线都与这条直线垂直。 2.三垂线定理：如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这

所有权归张志涛所有

条直线垂直于斜线。

线面垂直

1.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

2.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

面面垂直

1.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

2.【性质】X2逆定理、X

4、X6及垂直关系性质

主要性质

1.X1【定理】空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.(等角定理)

1.X2【定理】三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.(平行线分线段成比例定理)

直线在平面内判定方法

1.【定义】直线与平面有无数个公共点，称直线在平面内. 2.【公理】如果一条直线上两点在一平面内，那么这条直线在此平面内. 3.【公理】任意两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面;两相交直线、两平行直线确定一平面. 4.【性质】X3及垂直关系性质

5.X3【定理】过平面内一点的直线平行于此平面的一条平行线，则此直线在这个平面内. 直线在平面外判定方法

1.【定理】平面外一直线与平面内一直线平行，则该直线与此平面平行. 2.【性质】X

5、X7及垂直关系性质

主要性质

3.X4【定理】一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 4.X5【定理】平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面.

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【性质】

1.【性质】X8逆定理、X9及垂直关系性质

2.X8【定理】夹在两个平行平面间的平行线段相等. 3.X9【结论】经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(存在性与唯一性)

第五篇：线面平行证明的常用方法

湖北民族学院学报(自然科学版)20081

2线面平行证明的常用方法

摘要：立体几何在高考解答题中每年是必考内容，线面平行的证明经常出现,很多同学总觉得证明方法很多很繁,在这里给大家用作辅助线的常用方法及空间坐标系的方法进行阐述。

关键词：找平行线;找第三个点;作平行平面;建立空间坐标系

立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题;证明的内容包括以下内容：平行与垂直(线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等)，我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：

在线面平行这节里有三个重要的定理：

直线与平面平行的判定性定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条

直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平

面和这个平面相交，那么这条直线和这个交线平行。

平面与平面平行的性质定理：如果两个平面是平行，那么在其中一个平面内的直

线和另一个平面平行。

从前面两个定理不难发现：要证线面平行(那么这条直线一定是平行于这个平面的),由性质定理可以得到这样一个结论：只要过这条直线作一个与平面相交的平面，那这个直线一定是与交线平行得。这样我们就可以找到与平面内的直线平行的直线。那么关键是怎样作一个平面与已知平面相交且过直线的平面。下面给大家介绍

方法一：两平行线能确定一个平面，过已知直线的两个端点作两条平行线使它们

与已知平面相交，关键：找平行线，使得所作平面与已知平面的交线。

(08浙江卷)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=90,AD=3,EF=2。求证：AE//平面DCF.分析：过点E作EG//AD交FC于G， DG就是平面

与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。

证明：过点E作EGCF交CF于G，连结DG， 可得四边形BCGE为矩形，

又ABCD为矩形，

∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形， 所以AD 故AE∥DG.

因为AE平面DCF，DG平面DCF，

所以AE∥平面DCF.

方法二：直线与直线外一点有且仅有一个平面，关键：找第三个点,使得所作平

面与已知平面的交线。

(06北京卷)如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC. 分析：由D、P、B三点的平面与已知平面AEC的交线最易找，第三个点选其它的点均不好找交线.

证明：连接BD，与 AC 相交于 O，连接

∵ABCD 是平行四边形，∴O 是 BD 的中点又 E 是 PD 的中点∴EO∥PB.

又 PB平面 AEC，EO平面 AEC，

∴PB∥平面 AEC.

方法三：两个平面是平行

, 其中一个平面内的直线和另一个平面平行,关键：作

平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面

(08安徽卷)如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，



ABC, OA底面ABCD, OA2,M为OA的中点，N为BC的中

点，证明：直线MN‖平面OCD 分析：M为OA的中点,找OA(或AD)中点,再连线。

证明：取OB中点E，连接ME，NE

ME‖AB,AB‖CD，ME‖CD

又NE‖OC,平面MNE‖平面OCD MN‖平面OCD

方法四：(向量法)所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系

(或找空间一组基底)及平面的法向量。

(07全国Ⅱ•理)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形， 侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点.证明EF∥平面SAD;

分析：因为侧棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。

证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz.

0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)，设A(a，

Eaa，0

，F0ab222， 

EFba，0

2.

因为y轴垂直与平面SAD，故可设平面的法向量为n

=(0，1，0)

则：EFnba，0

2

(0，1，0)



=0 因此EFn

所以EF∥平面SAD.