响应的求解是贯穿《信号与系统》课程中的重要内容, 系统的全响应可分解为零输入响应与零状态响应。零状态响应又称受激响应, 是指当系统的储能状态为零时, 由外加激励信号 (输入) 产生的响应, 一般用yzs (t) 表示。在系统分析与求解中常遇到在两类常用信号的激励下系统所产生的响应, 分别称为冲激响应与阶跃响应。冲激响应是指储能状态为零的连续时间系统, 在单位冲激信号δ (t) 作用下产生的零状态响应, 记为h (t) 。阶跃响应是指储能状态为零的连续时间系统, 在单位阶跃信号ε (t) 作用下产生的零状态响应, 记为s (t) 。
下面通过一个例题探讨一阶连续系统零状态响应的求法。
1 例题求解
设有一阶方程, 试求其冲激响应h (t) 和阶跃响应s (t) 。
1.1 套用公式法
对于一阶系统方程, 设x (t) 在t=0时加入, 则系统的零状态响应为:
注意:此题中的
当f (t) =δ (t) 时, 所求响应为冲激响应;
当f (t) =ε (t) 时, 所求响应为阶跃响应。
通过分部积分计算可得:
1.2 据LTI (线性时不变) 系统特性法
一般而言, 若描述LTI系统的微分方程为:
求该系统的冲激响应h (t) 可分两步进行[2]:
(1) 选新变量y1 (t) , 使它满足的微分方程在等号右端只含有f (t) , 即1y (t) 满足方程
令式 (2) 系统的冲激响应为h1 (t) 。
(2) 根据线性时不变系统零状态响应的线性性质和微分特性, 即可求得式 (1) 系统的冲激响应为:
本题中:选新变量h1 (t) , 使它满足,
根据冲激信号的采样性质, 可得, 则冲激响应:
类似地:选新变量s1 (t) , 使它满足, 则阶跃响应
1.3 利用傅立叶变换法
根据傅立叶变换的微分性质和线性性质, 可将微分方程两边取傅立叶变换, 得:
由傅立叶逆变换可知:冲激响应
类似地:当
利用部分分式展开法求傅立叶逆变换, 可得阶跃响应为:
1.4 利用拉普拉斯变换法
利用拉普拉斯变换的时域微分特性和线性性质, 可将微分方程两边取拉普拉斯变换, 得:
由拉普拉斯逆变换可知:冲激响应
类似地:当f (t) =ε (t) 时, ,
由拉普拉斯逆变换可知:阶跃响应
补充说明:在2.1、2.2、2.3、2.4中, 阶跃响应可用类似求解冲激响应的方法求得。另外, 也可根据阶跃响应与冲激响应之间的关系:, 将冲激响应h (t) 求积分后可得阶跃响应s (t) 。
2 结语
通过对一线性时不变一阶连续系统的零状态响应的求解分析, 探讨了用时域和变换域中不同方法求解, 说明对于同一个系统在求解时可灵活选用合适的方法。这些方法也可推广到高阶系统的求解中, 离散系统的求解也可有相应的时域和变换域求解方法。在教学中, 除了讲清零状态响应、冲激响应、阶跃响应等概念外, 通过引导学生利用不同的知识点和方法对同一题目进行分析, 将《信号与系统》的内容融会贯通, 提高教学质量。
摘要：通过对一阶线性时不变连续系统零状态响应的分析, 分别用时域和变换域中的不同方法对同一个例题的冲激响应和阶跃响应的解法进行了探讨, 在具体求解时可根据应用知识点的熟练程度选择合适方法。
关键词：零状态响应,冲激响应,阶跃响应
参考文献
[1] 周昌雄.信号与系统[M].西安:西安电子科技大学出版社, 2008, 5.
[2] 杨林耀.信号与系统[M].北京:中国人民大学出版社, 2000, 4.