极限运算在有理数集上不封闭, 在实数集上才封闭, 其根源在于实数集的连续性 (完备性) 。实数集的连续性是实数集有别于有理数集的重要特征, 也是实数集的优点。因此, 建立在实数集上的极限理论就有了坚实的基础。
众所周知, 描述实数集连续性有六大定理:确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理和柯西收敛准则, 且它们彼此互相等价, 在很多教材[1～3]中都有给出证明。有限覆盖定理的着眼点是闭区间的整体, 而其它几个定理的着眼点是一点的局部。因为它们形式上的这种区别, 所以在证明问题中也有不同的功用, 而且证明方法和难易程度也不尽相同。一般地, 但凡证明的结论涉及到闭区间的问题, 可以考虑使用有限覆盖定理, 凡是证明的结论涉及到一点的问题, 可以考虑使用其他几个等价定理。但是应用反证法时整体 (即闭区间) 与局部 (即一点) 又可以相互转化。在本文的最后一节, 我们将以致密性定理的证明为例来介绍这两个定理的应用区别。
由于实数完备性定理的应用向来是学生学习的一大难点。本文选取六大定理中的区间套定理和有限覆盖定理为例, 对定理的条件作深入分析:因为定理中“闭区间”换为“开区间”结论可能不成立, 那么考虑添加怎样的条件后, 可保证对“开区间”结论仍成立?我们得到较好的结果, 并以定理给出。
1 区间套定理的注记
区间套定理是实数完备性系列定理之一, 《数学分析》中许多定理的证明用到区间套定理, 如:聚点定理、有限覆盖定理、柯西收敛准则、连续函数的介值定理及根的存在性定理等的证明。它的主要特点是把整体性质收缩到某一点的任意邻域, 这样“化整为零”, 又利于极限方法的运用。
定理1.1若是一个闭区间套, 即:
则在实数系中存在唯一的一点使得。
注记1.1定理中要求区间套中各区间都为闭区间, 定理的结论才成立。对满足定理中条件 (1) 和 (2) 的开区间套, 定理结论不一定成立。见例 (1) 。但可减弱为下面定理1.2的条件。
例 (1) 满足定理2.1中区间套的条件1) 和2) , 但不存在属于所有开区间的公共点。
定理1.2若是一个严格开区间套, 即满足且, 则在实数系中存在唯一的一点, 使得证明
考虑闭区间套, 则有定理2.1知:
在实数系中存在唯一的一点, 使得
事实上。下面只要证明:
假设存在某个, 使得, 则有严格开区间套得:, 这与矛盾。故对任意的。
同理可证:对任意的。
2 有限覆盖定理的注记
有限覆盖定理是实数完备性定理中唯一一个反应整体性质的定理, 也是一个重要定理。它揭示了闭区间的一个本质性质:紧致性, 它在极限理论中特别是连续性问题中起着重要作用。
定义2.1设S为数轴上的点集, H为开区间的集合。若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内, 则称S为H的一个开覆盖, 或称H覆盖S。若H中开区间的个数是无限 (有限) 的, 则称H为S的一个无限开覆盖 (有限开覆盖) 。
定理2.1设H为[a, b]闭区间的一个无限开覆盖, 则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a, b]。
注记2.1定理中要求对“闭区间”的无限开覆盖才有有限开覆盖。对“开区间”的无限开覆盖不一定有有限开覆盖。见例 (2) 但条件减弱为下面定理2.2中的条件时, 结论仍成立。
例 (2) 开区间 (0, 1) 可由覆盖, 但不存在H中有限个开区间覆盖 (0, 1) 。
定理2.2设H是开区间 (0, 1) 的一个无限开覆盖, 对于任意小的 (可以与H有关的) , 使得都至多含于H的有限个开区间内, 则从中可选出有限个开区间来覆盖 (a, b) 。
证法一:反证法。假设定理结论不成立, 即不能用H的有限个开区间来覆盖 (a, b) 。将 (a, b) 等分为两个子区间, 则其中至少有一个不能用H的有限个开区间来覆盖, 记这个子区间为, 则。
再将等分为两个子区间, 则其中至少有一个不能用H的有限个开区间来覆盖, 记这个子区间为。
由于存在某个都至多含于H的有限个开区间内, 故经过有限次 (不妨设H次) 上述对分后, 一定可以得到闭区间, 不能用H的有限个开区间来覆盖。
再一直对分下去, 可以得到闭区间套, 所有不能用H的有限个开区间来覆盖。由闭区间套定理知:存在唯一的点:
。由于H是开区间 (a, b) 的一个无限开覆盖, 故存在开区间于是当n充分大时, 有, 这表明可以用H的一个开区间来覆盖, 与挑选时不能用H的有限个开区间来覆盖相矛盾。从而证得必存在H的有限个开区间来覆盖 (a, b) 。
证法二:用定理2.1.由题设可以被H覆盖, 由定理2.1知:存在H的有限开覆盖来覆盖, 又对于任意小的 (可以与H有关的) , 使得都至多含于H的有限个开区间内, 故都至多含于H的有限个开区间内, 从而可以从H中选出有限个开区间来覆盖 (a, b) 。
3 用区间套定理和有限覆盖定理证明致密性定理
本节我们以致密性定理的证明为例介绍区间套定理和有限覆盖定理的证明方法。
用区间套定理证明问题时, 关键是构造一个满足一定条件的区间套, 再由区间套定理套出一个“公共点”, 这个点一般就是满足要求的点。
当我们想把闭区间上每一点的局部性质扩充到整个闭区间上为整体性质时, 就可以考虑用有限覆盖定理。
例 (3) 利用有限覆盖定理证明:闭区间上连续函数的有界性。 (略)
定理3.1 (致密性定理) 有界数列一定有收敛的子列。
证法一 (用区间套定理) 设数列有界, 即存在M>0, 使-M
将区间[-M, M]等分为两个子区间, 则其中之一必含有无限多项, 记此子区间为, 。再将等分为两个子区间, 则其中之一必含有无限多项, 记此子区间为。依次下去可得闭区间套, 且每个无限多项。
摘要：本文对描述实数连续性的两个定理:区间套定理和有限覆盖定理的条件进行分析, 给出定理中条件“闭区间”换为“开区间”后, 怎样修改条件可使结论仍然成立。并以致密性定理的证明为例来介绍区间套定理和有限覆盖定理的应用区别。
关键词：实数连续性,区间套定理,有限覆盖定理,致密性定理
参考文献
[1] 华东师范大学数学系.数学分析 (上册) (第三版) [M].高等教育出版社, 2001.
[2] 欧阳光中, 朱学炎, 秦曾复.数学分析[M].上海:上海科学技术出版社, 1982.
[3] 刘玉琏, 等.数学分析讲义 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 1992.