导数是解决有关数学问题的有力工具, 它的综合应用是多方面的, 导数除求某点切线斜率、判断函数的单调性, 求函数单调区间及函数的极值与最值等问题外, 也常用在求参数或参数范围, 不等式证明、数列向量。解析几何应用题等方面, 下面举例展示导数的工具作用。
1 导数在函数的应用
例1:已知函数f (x) =x3+ax2+x+1 a∈R, 讨论函数f (x) 的单调区间。
解:f′ (x) =3x2+2ax+1判别式
2 导数在不等式中的应用
3 导数在数列中的应用
例3:二次函数y=f (x) 的图象经过点 (0, 10) 导函数f′ (x) =2x-5当x∈ (n, n+]1 (n∈N+) 时, f (x) 的函数值为整数的个数记为了an, 求数列{an}的通项公式。
4 导数在平面向量中的应用
5 导数在解析几何中的应用
例5:求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离。
解:由题意可知, 与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短, 设切点坐标为
6 解应用题
例6:某商品每件成本9元, 售价30元, 每星期卖出432件, 如果降低价格, 销售量可以增加, 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位:元, 0≤x≤30) 的平方成正比, 已知商品单价降低2元时, 一星期多卖出24件。
(1) 将一个星期的商品销售利润表示成x的函数; (2) 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?
解: (1) 设商品降价x元, 则多卖的商品数为kx2, 若记商品在一个星期的获利为f (x) , 则依题意有:
故x=1 2时f (x) 达到极大值, 因为f (0) =9072;f (12) =11264, 所以定价为30-12=18元, 能使一个星期的商品销售利润最大。
摘要：导数是解决有关数学问题的有力工具。本文通过实例说明了导数在函数、数列、不等式、向量、解析几何、应用题等方面的应用, 展示了以导数为工具解决一些问题的方法。
关键词：导数,函数,应用