第一篇:平行线判定提高练习
平行线性质判定提高讲义
【例题精讲】
例1.如图,AB∥CD,∠1=∠2,∠E=37°,求:∠F
例2.如图,CB⊥AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA
例3.如图,直线AD与AB、CD相交于A、D两点,EC、BF与AB、CD相交于E、C、B、F,如果∠1=∠2,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.
E F
D
例4. 如图9,∠D =∠A,∠B =∠FCB,求证:ED∥CF.
第1 页共4页
A
B
例5. 已知,如图,CD⊥AB,GF⊥AB,∠B=∠ADE,试说明∠1=∠2.
例6. 如图,AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D.证明:β=2α。
例7. 如图,AB∥EF,∠C=90°,则α、β、γ有何关系。
例8. 如图,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°。求征:AB∥EF.
例9.探究:
(1)如图a,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明为什么吗?
(2)反之,若∠B+∠D=∠E,直线AB与CD有什么位置关系?请证明;
(3)若将点E移至图b所示位置,此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明; (4)若将E点移至图c所示位置,情况又如何?
(5)在图d中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系? (6)在图e中,若AB∥CD,又得到什么结论?
【跟踪练习】
1.如图,已知∠ABE +∠DEB = 180°,∠1 =∠2,求证:∠F =∠G.
2.如图,AB∥CD, AC⊥BC,∠BAC=65°,求∠BCD度数.
4.已知如图BHDBACA
C F
D
E
5. 若直线AB∥ED
第二篇:平行线及其判定(提高)知识讲解
让更多的孩子得到更好的教育
平行线及其判定(提高)知识讲解
撰稿:孙景艳 审稿: 赵炜
【学习目标】
1.理解平行线的概念,会用作图工具画平行线,了解在同一平面内两条直线的位置关系; 2.掌握平行公理及其推论;
3.掌握平行线的判定方法,并能运用“平行线的判定方法”,判定两条直线是否平行. 【要点梳理】
要点
一、平行线的定义及画法
1.定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,如果直线a与b平行,记作a∥b. 要点诠释:
(1)平行线的定义有三个特征:一是在同一个平面内;二是两条直线;三是不相交,三者缺一不可;
(2)有时说两条射线平行或线段平行,实际是指它们所在的直线平行,两条线段不相交并不意味着它们就平行.
(3)在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种.特别地,重合的直线视为一条直线,不属于上述任何一种位置关系. 2.平行线的画法:
用直尺和三角板作平行线的步骤:
①落:用三角板的一条直角边与已知直线重合. ②靠:用直尺紧靠三角板另一条直角边. ③推:沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点. ④画:沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 要点
二、平行公理及推论
1.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
2.推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 要点诠释:
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”,而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质. (2)公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一. (3)“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 要点
三、直线平行的判定
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判定方法1:同位角相等,两直线平行.如上图,几何语言: ∵ ∠3=∠2 ∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
判定方法2:内错角相等,两直线平行.如上图,几何语言: ∵ ∠1=∠2 ∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
判定方法3:同旁内角互补,两直线平行.如上图,几何语言: ∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
要点诠释:平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形. 【典型例题】
类型
一、平行线的定义及表示
1.下列说法正确的是 (
)
A.不相交的两条线段是平行线. B.不相交的两条直线是平行线. C.不相交的两条射线是平行线.
D.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线. 【答案】D
【解析】平行线定义中三个关键词语:“同一平面内”,“不相交”,“两条直线”. 【总结升华】本例属于对概念的考查,应从平行线的概念入手进行判断. 类型
二、平行公理及推论
2.在同一平面内,下列说法:(1)过两点有且只有一条直线;(2)两条直线有且只有一个公共点;(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(4)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为:( ) A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 【答案】B
【解析】正确的是:(1)(3).
【总结升华】对平面几何中概念的理解,一定要紧扣概念中的关键词语,要做到对它们正确理解,对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别. 举一反三:
【变式】下列说法正确的个数是 (
)
(1)直线a、b、c、d,如果a∥b、c∥b、c∥d,则a∥d. (2)两条直线被第三条直线所截,同旁内角的平分线互相垂直. 地址:北京市西城区新德街20号4层 电话:010-82025511 传真:010-82079687 第2页 共5页
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(3)两条直线被第三条直线所截,同位角相等. (4)在同一平面内,如果两直线都垂直于同一条直线,那么这两直线平行. A.1个
B .2个
C.3个
D.4个 【答案】B
类型
三、两直线平行的判定
3. 如图,给出下列四个条件:(1)AC=BD; (2)∠DAC=∠BCA; (3)∠ABD=∠CDB;(4)∠ADB=∠CBD,其中能使AD∥BC的条件有
(
). A.(1)(2)
B.(3)(4)
C.(2)(4)
D.(1)(3)(4)
【思路点拨】欲证AD∥BC,在图中发现AD、BC被一直线所截,故可按同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,两直线平行补充条件. 【答案】C
【解析】从分解图形入手,即寻找AD、BC的截线.
【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立,必须具备的是哪些条件,再看这些条件成立又需具备什么条件,直到追溯到已知条件为止. 举一反三:
【变式】一个学员在广场上驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是(
)
A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°
B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130°
C.第一次向右拐50°,第二次向右拐130°
D.第一次向左拐50°,第二次向左拐130° 【答案】A 提示:“方向相同”有两层含义,即路线平行且方向相同,在此基础上准确画出示意图.
图B显然不同向,因为路线不平行.
图C中,∠1=180°-130°=50°,路线平行但不同向.
图D中,∠1=180°-130°=50°,路线平行但不同向.
只有图A路线平行且同向,故应选A.
4. 如图所示,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°.试说明AB∥EF的理由.
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【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来.
【答案与解析】
解法1:如图所示,在∠BCD的内部作∠BCM=25°,在∠CDE的内部作∠EDN=10°.
∵
∠B=25°,∠E=10°(已知),
∴
∠B=∠BCM,∠E=∠EDN(等量代换).
∴
AB∥CM,EF∥DN(内错角相等,两直线平行).
又∵
∠BCD=45°,∠CDE=30°(已知),
∴
∠DCM=20°,∠CDN=20°(等式性质).
∴
∠DCM=∠CDN(等量代换).
∴
CM∥DN(内错角相等,两直线平行).
∵
AB∥CM,EF∥DN(已证),
∴
AB∥EF(平行线的传递性).
解法2:如图所示,分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点.
∵
∠BCD=45°,∴
∠NCB=135°.
∵
∠B=25°,
∴
∠CNB=180°-∠NCB-∠B=20°(三角形的内角和等于180°).
又∵
∠CDE=30°,∴
∠EDM=150°.
又∵
∠E=10°,
∴
∠EMD=180°-∠EDM-∠E=20°(三角形的内角和等于180°).
∴
∠CNB=∠EMD(等量代换).
所以AB∥EF(内错角相等,两直线平行). 【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种,选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取.
举一反三:
【高清课堂:平行线及判定403102经典例题2 】【变式1】已知,如图,BE平分ABD,DE平分CDB,且1与2互余,试判断直线AB、CD的位置关系,请说明理由.
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【答案】
解:AB∥CD,理由如下:
∵
BE平分∠ABD,DE平分∠CDB,
∴
∠ABD=2∠1,∠CDB=2∠2.
又∵
∠1+∠2=90°,
∴
∠ABD+∠CDB=180°.
∴
AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
【高清课堂:平行线及判定403102 经典例题4 】
【变式2】已知,如图,ABBD于B,CDBD于D,1+2=180°,求证:CD//EF.
【答案】
证明:∵ABBD于B,CDBD于D, ∴AB∥CD.
又∵1+2=180°, ∴AB∥EF. ∴CD//EF.
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第三篇:平行线的判定和性质练习题
平行线的判定定理和性质定理
[一]、平行线的判定
一、填空
1.如图1,若A=3,则∥;若2=E,则∥; 若+= 180°,则∥.c d A a E a 52 23 b B b C A B图4 图3 图1 图2
2.若a⊥c,b⊥c,则ab.
3.如图2,写出一个能判定直线l1∥l2的条件:.
4.在四边形ABCD中,∠A +∠B = 180°,则∥().
5.如图3,若∠1 +∠2 = 180°,则∥。
6.如图4,∠
1、∠
2、∠
3、∠
4、∠5中, 同位角有;内错角有;同旁内角有.
7.如图5,填空并在括号中填理由:
(1)由∠ABD =∠CDB得∥();
(2)由∠CAD =∠ACB得∥();
(3)由∠CBA +∠BAD = 180°得∥()
A D Dl1 14 5 3l2 C B C
图7 图5 图6
8.如图6,尽可能多地写出直线l1∥l2的条件:.
9.如图7,尽可能地写出能判定AB∥CD的条件来:.
10.如图8,推理填空:
(1)∵∠A =∠(已知), A
∴AC∥ED();
(2)∵∠2 =∠(已知), 2∴AC∥ED(); (3)∵∠A +∠= 180°(已知), B D C
∴AB∥FD(); 图8 (4)∵∠2 +∠= 180°(已知),
∴AC∥ED();
二、解答下列各题
11.如图9,∠D =∠A,∠B =∠FCB,求证:ED∥CF. DF
B图9(第1页,共3页)
第四篇:平行线及其判定与性质练习题
平行线及其判定
1、基础知识
(1)在同一平面内,______的两条直线叫做平行线.若直线a与直线b平行,则记作______. (2)在同一平面内,两条直线的位置关系只有______、______. (3)平行公理是: 。
(4)平行公理的推论是如果两条直线都与______,那么这两条直线也______.即三条直线a、b、c,若a∥b,b∥c,则______.
(5)两条直线平行的条件(除平行线定义和平行公理推论外):
①两条直线被第三条直线所截,如果______,那么这两条直线平行,这个判定方法1可简述为:______,两直线平行.
②两条直线被第三条直线所截,如果__ _,那么 ,这个判定方法2可简述为: ______,______. ③两条直线被第三条直线所截,如果_ _____那么______,这个判定方法3可简述为:
2、已知:如图,请分别依据所给出的条件,判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据. (1)如果∠2=∠3,那么____________.(____________,____________) (2)如果∠2=∠5,那么____________.(____________,____________) (3)如果∠2+∠1=180°,那么____________.(____________,____________) (4)如果∠5=∠3,那么____________.(____________,____________) (5)如果∠4+∠6=180°,那么____________.(____________,____________) (6)如果∠6=∠3,那么____________.(____________,____________)
3、已知:如图,请分别根据已知条件进行推理,得出结论,并在括号内注明理由. (1)∵∠B=∠3(已知),∴______∥______.(______,______) (2)∵∠1=∠D(已知),∴______∥______.(______,______) (3)∵∠2=∠A(已知),∴______∥______.(______,______) (4)∵∠B+∠BCE=180°(已知),∴______∥______.(______,______)
4、作图:已知:三角形ABC及BC边的中点D,过D点作DF∥CA交AB于M,再过D点作DE∥AB交AC于N点.
5、已知:如图,∠1=∠2,求证:AB∥CD.(尝试用三种方法)
6、已知:如图,CD⊥DA,DA⊥AB,∠1=∠2,试确定射线DF与AE的位置关系,并说明你的理由. (1)问题的结论:DF______AE.
(2)证明思路分析:欲证DF______AE,只要证∠3=______. (3)证明过程:
证明:∵CD⊥DA,DA⊥AB,( ) ∴∠CDA=∠DAB=______°.(垂直定义) 又∠1=∠2,( ) 从而∠CDA-∠1=______-______,(等式的性质) 即∠3=______. ∴DF______AE.(___________,___________)
7、已知:如图,∠ABC=∠ADC,BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,且∠1=∠3.求证:AB∥DC. 证明∵∠ABC=∠ADC,
11ABCADC.2∴2( ) 又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,
∴111ABC,2ADC.22( ) ∵∠______=∠______.( ) ∵∠1=∠3,( ) ∴∠2=______.( ) ∴______∥______.( )
8、已知:如图,∠1=∠2,∠3+∠4=180°,试确定直线a与直线c的位置关系,并说明你的理由. (1)问题的结论:a______c.
(2)证明思路分析:欲证a______c,只要证______∥______. (3)证明过程:
证明:∵∠1=∠2,( ) ∴a∥______,(_________,_________)① ∵∠3+∠4=180°
∴c∥______,(_________,_________)② 由①、②,因为a∥______,c∥______, ∴a______c.(_________,_________)
9、将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置,下列结论:(1)∠1=∠2;(2)∠3=∠4;(3)∠2+∠4=90°;(4)∠4+∠5=180°其中正确的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
10、下列说法中,正确的是( ). (A)不相交的两条直线是平行线.
(B)过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(C)从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离.
(D)在同一平面内,一条直线与两条平行线中的一条垂直,则与另一条也垂直.
11、如图5,将一张长方形纸片的一角斜折过去,顶点A落在A′处,BC为折痕,再将BE翻折过去与BA′重合,BD为折痕,那么两条折痕的夹角∠CBD= 度.
图6
12、图(6)是由五个同样的三角形组成的图案,三角形的三个角分别为36°、72°、72°,则图中共有___ 对平行线。
13、下列说法正确的是 ( ) (A)有且只有一条直线与已知直线垂直
(B)经过一点有且只有一条直线与已经直线垂直 (C)连结两点的线段叫做这两点间的距离
(D)过点A作直线l的垂线段,则这条垂线段叫做点A到直线l的距离
14、同一平面内的四条直线满足a⊥b,b⊥c,c⊥d,则下列式子成立的是( ) A.a∥b B.b⊥d C.a⊥d D.b∥c
平行线的性质 1.基础知识
(1)平行线具有如下性质
①性质1:______被第三条直线所截,同位角______.这个性质可简述为两直线______,同位角______. ②性质2:两条平行线______,______相等.这个性质可简述为____________,______. ③性质3:____________,同旁内角______.这个性质可简述为____________,______.
(2)同时______两条平行线,并且夹在这两条平行线间的____________叫做这两条平行线的距离. 2.已知:如图,请分别根据已知条件进行推理,得出结论,并在括号内注明理由. (1)如果AB∥EF,那么∠2=______,理由是_____________________________________. (2)如果AB∥DC,那么∠3=______,理由是____________________________________. (3)如果AF∥BE,那么∠1+∠2=______,理由是_______________________________. (4)如果AF∥BE,∠4=120°,那么∠5=______,理由是________________________.
3.已知:如图,DE∥AB.请根据已知条件进行推理,分别得出结论,并在括号内注明理由. (1)∵DE∥AB,( ) ∴∠2=______.(___________________) (2)∵DE∥AB,( ) ∴∠3=______.(___________________) (3)∵DE∥AB( ),
∴∠1+______=180°.(____________________) 4.已知:如图,∠1=∠2,∠3=110°,求∠4. 解题思路分析:欲求∠4,需先证明______//______. 解:∵∠1=∠2,( ) ∴______//______.(__________________) ∴∠4=_____=_____°.(__________________) 5.已知:如图,∠1+∠2=180°,求证:∠3=∠4. 证明思路分析:欲证∠3=∠4,只要证______//______. 证明:∵∠1+∠2=180°,( ) ∴______//______.(_________________) ∴∠3=∠4.(_________,_________) 6.已知:如图,∠A=∠C,求证:∠B=∠D.
证明思路分析:欲证∠B=∠D,只要证______//______. 证明:∵∠A=∠C,( ) ∴______//______.(_________,_________) ∴∠B=∠D.(_________,_________) 7.已知:如图,AB∥CD,∠1=∠B, 求证:CD是∠BCE的平分线.
证明思路分析:欲证CD是∠BCE的平分线, 只要证______//______. 证明:∵AB∥CD,( ) ∴∠2=______.(_________,_________) 但∠1=∠B,( ) ∴______=______.(等量代换)即CD是____ ________. 8.已知:如图,AB∥CD,∠B=35°,∠1=75°,求∠A的度数. 解题思路分析:欲求∠A,只要求∠ACD的大小. 解:∵CD∥AB,∠B=35°,( ) ∴∠2=∠______=______°(_________,_________) 而∠1=75°,
∴∠ACD=∠1+∠2=______。 ∵CD∥AB,( ) ∴∠A+______=180°.(_________,_________) ∴∠A=______=______. 9.已知:如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,∠B=50°.求∠D的度数. 分析:可利用∠DCE作为中间量过渡. 解:∵AB∥CD,∠B=50°,( ) ∴∠DCE=∠______=______°(_________,_________) 又∵AD∥BC,( ) ∴∠D=∠______=______°(_________,_________) 想一想:如果以∠A作为中间量,如何求解? 解法2:∵AD∥BC,∠B=50°,( ) ∴∠A+∠B=______.(_________,_________) 即∠A=______-______=______°-______°=______. ∵DC∥AB,( ) ∴∠D+∠A=______.(_________,_________) 即∠D=______-______=______°-______°=______.
10.已知:如图,已知AB∥CD,AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,求∠APC的度数. 解:过P点作PM∥AB交AC于点M. ∵AB∥CD,( ) ∴∠BAC+∠______=180°( ) ∵PM∥AB,
∴∠1=∠______,( ) 且PM∥______。(平行于同一直线的两直线也互相平行) ∴∠3=∠______。(两直线平行,内错角相等) ∵AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,( ) 111______,4______22( ) 11BACACD9022( ) 14∴∠APC=∠2+∠3=∠1+∠4=90°( ) 总结:两直线平行时,同旁内角的角平分线______。
11.已知:如图,已知DE∥BC,∠D∶∠DBC=2∶1,∠1=∠2,求∠E的度数.
12.问题探究:(1)如果一个角的两条边与另一个角的两条边分别平行,那么这两个角的大小有何关系?举例说明.
(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直,那么这两个角的大小有何关系?举例说明.
13.已知:如图,AB∥CD,试猜想∠A+∠AEC+∠C=?为什么?说明理由.
14.如下图,AB∥DE,那么∠BCD=( ). (A)∠2-∠1 (B)∠1+∠2 (C)180°+∠1-∠2 (D)180°+∠2-2∠1 15.如图直线l1∥l2,AB⊥CD,∠1=34°,那么∠2的度数是______.
(15题) (16题)
16.如图,若AB∥CD,EF与AB、CD分别相交于点E、F,EP与∠EFD的平分线相交于点P,且∠EFD=60°,EP⊥FP,则∠BEP=______度.
17.王强从A处沿北偏东60°的方向到达B处,又从B处沿南偏西25°的方向到达C处,则王强两次行进路线的夹角为______度.
18.已知:如图,AE⊥BC于E,∠1=∠2.求证:DC⊥BC.
19.如图,AB∥CD,FG⊥CD于N,∠EMB=,则∠EFG等于( ). (A)180°- (B)90°+ (C)180°+ (D)270°-
20.已知:如图,CD⊥AB于D,DE∥BC,EF⊥AB于F,求证:∠FED=∠BCD.
21.以下五个条件中,能得到互相垂直关系的有( ). ①对顶角的平分线 ②邻补角的平分线 ③平行线截得的一组同位角的平分线 ④平行线截得的一组内错角的平分线 ⑤平行线截得的一组同旁内角的平分线 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (4)4个
22.如图,AB∥CD,若EM平分∠BEF,FM平分∠EFD,EN平分∠AEF,则与∠BEM互余的角有( ). (A)6个 (B)5个
(C)4个 (D)3个
23.把一张对边互相平行的纸条折成如图所示,EF是折痕,若∠EFB=32°,则下列结论正确的有( ).
(1)∠C′EF=32° (2)∠AEC=148°
(3)∠BGE=64°(4)∠BFD=116° (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
24.如图,AB∥CD,BC∥ED,则∠B+∠D=______.
25.如图,DC∥EF∥AB,EH∥DB,则图中与∠AHE相等的角有__________________. 26.如图,BA⊥FC于A点,过A点作DE∥BC,若∠EAF=125°,则∠B=______.
(24题)
(25题)
(26题) 27.已知:如图,AC∥BD,折线AMB夹在两条平行线间.
图1 图2 (1)判断∠M,∠A,∠B的关系;
(2)请你尝试改变问题中的某些条件,探索相应的结论。 建议:①折线中折线段数量增加到n条(n=3,4……) ②可如图1,图2,或M点在平行线外侧.
28.已知:如图,∠B=∠C,AE∥BC,求证:AE平分∠CAD. 证明:
26.已知:如图,AB∥DE,CM平分∠BCE,CN⊥CM.求证:∠B=2∠DCN.
27.已知:如图,∠FED=∠AHD,∠HAQ=15°,∠ACB=70°,∠CAQ=55.求证:BD∥GE∥AH.
28.已知:如图,AD∥BC,∠BAD=∠BCD,AF平分∠BAD,CE平分∠BCD.求证:AF∥EC.
29.已知:如图,CD⊥AB于D,DE∥BC,∠1=∠2.求证:FG⊥AB.
30.已知:如图,AB∥CD,∠1=∠B,∠2=∠D.判断BE与DE的位置关系并说明理由.
31.已知:如图,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.
第五篇:初一数学平行线的判定练习题
选择题
1、如图,能判定DE∥BC的条件是( ) A、∠E=∠DCA B、∠DCE=∠E C、∠E=∠CDE D、∠BCE=∠E
2、如图,下列说法正确的是( ) A、如果∠1=∠2,那么AD∥BC B、如果∠3=∠4,那么AB∥DC C、如果∠3=∠5,那么AD∥BC D、如果∠3=∠5,那么AB∥DC
3、如图,下列条件中,不能判断AD∥BC的是( ) A、∠1=∠3 B、∠2=∠4 C、∠EAD=∠B D、∠D=∠DCF
4、下列说法中,正确的是( ) A、经过一点,有且只有一条直线与已知直线平行 B、两条直线被第三条直线所截,同位角相等 C、垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D、两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,则两直线平行