高二数学正弦定理复习

第一篇：高二数学正弦定理复习

高二数学正弦定理强化训练 9.3王平

1. 在△ABC 中，b = 8，c =8，S△ABC =3，则∠A 等于()

A. 30 ºB. 60ºC. 30º 或 150ºD. 60º 或120º 2. 在△ABC中，若a = 2b sin A，则∠B为()

A.

π3B.π

6C.

π6或5π

6

D.

π2π

3或3

3、已知△ABC中，a=4，b=43，∠A=30°，则∠B等于()

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

4、已知△ABC中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，则△ABC的面积为() A.9B.18C.9D.18

5、在△ABC中，A=60°，B=75°，a=10，则c=()A.52B.102C.63D.6

6、△ABC中，AB=3，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于

()

A.3

323

4

C.

33D.2或34

7、若△ABC满足下列条件：

① a = 4，b  10，A  30;② a  6，b  10，A  30; ③ a  6，b  10，A  150;④ a  12，b  10，A  30; 则△ABC存在且恰有一个的是()

A. ①④B. ③④C. ④D. ②④

8、已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b= 3，A+C=2B，则求sin A

9、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，b=2，sin B+cos B=2，则

求角A的大小

10、锐角△ABC中，若A=2B，则求a

b

第二篇：正弦定理和余弦定理的复习

第十九教时

教材：正弦定理和余弦定理的复习《教学与测试》7

6、77课

目的：通过复习、小结要求学生对两个定理的掌握更加牢固，应用更自如。 过程：

一、复习正弦定理、余弦定理及解斜三角形 解之：x62 22(622)3bca13622 当c时cosA222

二、例一 证明在△ABC中asinA=bsinB=csinC=2R，其中R是三角形外接圆半径

证略 见P159 注意：1.这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明) 2.正弦定理的三种表示方法(P159) 例二 在任一△ABC中求证：a(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)0

证：左边=2RsinA(sinBsinC)2RsinB(sinCsinA)2RsinC(sinAsinB)

=2R[sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB]=0=右边

例三 在△ABC中，已知a3，b2，B=45 求A、C及c

解一：由正弦定理得：sinAasinB3sin453b22 ∵B=45<90

即b

当A=60时C=7

5 cbsinC2sinsinB7562sin452 当A=120时C=15

cbsinC2sin156sinBsin4522 解二：设c=x由余弦定理 b2a2c22accosB 将已知条件代入，整理：x26x10

22bc22622(31)22从而A=60

C=75

当c622时同理可求得：A=120 C=15

例四 试用坐标法证明余弦定理 证略见P161

例五 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程x223x20的两个根，且

2cos(A+B)=1 求 1角C的度数 2AB的长度 3△ABC的面积

解：

1cosC=cos[

(A+B)]=

cos(A+B)=

12 ∴C=120

2由题设：ab23ab2

∴AB

2=AC2

+BC

2

2AC•BC•osCa2b22abcos120

a2b2ab(ab)2ab(23)2210 即AB=10

3S1113△ABC=2absinC2absin12022232

例六 如图，在四边形ABCD中，已知AD

CD, AD=10, AB=14,

BDA=60BCD=135

求BC的长

D

C

解：在△ABD中，设BD=x

则BA2BD2AD22BDADcosBDA

A

B

,

即142x2102210xcos60 整理得：x210x960

解之：x116 x26(舍去) 由余弦定理：

BCBD16sin3082

∴BCsinCDBsinBCDsin135

例七 (备用)△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，

1求最大角 2

求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。 解：1设三边ak1,bk,ck1 kN且k1

a2b2c2k4∵C为钝角 ∴cosC0解得1k4

2ac2(k1)∵kN ∴k2或3 但k2时不能构成三角形应舍去

1当k3时 a2,b3,c4,cosC,C109

42设夹C角的两边为x,y xy4

1515(x24x) 44SxysinCx(4x)当x2时S最大=15

三、作业：《教学与测试》7

6、77课中练习

a2b2b2c2c2a20 补充：1.在△ABC中，求证：

cosAcosBcosBcosCcosCcosAD A

2.如图ABBCD=75

BC CD=33 BDC=45

ACB=30

求AB的长 (112)

B

C

第三篇：高一数学《正弦定理的应用》教案

湖南省长沙市第一中学 数学教案 高一(下) 第五章 平面向量

正弦定理的应用

教学目标

(一) 知识与技能目标

会利用正弦定理求解简单的斜三角形边角问题.

(二) 过程与能力目标

(1)通过用向量的方法证明正弦定理，体现向量的工具性，加深对向量知识应用的认识.

(2)通过启发、诱导学生发现和证明正弦定理的过程，培养学生观察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力.

(三) 情感与态度目标

通过三角函数、正弦定理、向量数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 教学重点

正弦定理的应用. 教学难点

正弦定理在解三角形时的应用思路. 教学过程

一、复习

正弦定理： abc2R sinAsinBsinC变 式

(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;

(3) S ABC111absinCbcsinA acsinB 222正弦定理可以解决三角形问题：

1. 两角和任意一边，求其它两边和一角;

2. 两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.

二、应用

例 1. 在ABC中，已知a20,b28,A40, 求B(精确到1)和c(保留两个有效数字).例 2. 在ABC中，已知a60,b50,A38, 求B(精确到1)和c(保留两个有效数字).湖南省长沙市第一中学 数学教案 高一(下) 第五章 平面向量

归纳：在△ABC中，已知a, b和A时解三角形的各种情况： 1. 当A为锐角时：

Ca

b

AB

a

CbAaBCbAB2aaB1CbAab一解aBa=bsinA一解bsinA

CabAab无解BCbAaBa > b一解练习

在ABC中，已知A30,b4,试分别讨论下列情况的解的个数 (1)a1, (2)a1, (3)a3,(4)a4, (5)a5.例 3. 在ABC中, 若a2tanBb2tanA, 试判断这个三角形的形状.

例 4. 在ABC中，若B30，AB23，AC2，求ABC的面积 .

课堂小结：

已知三角形的两边及其中一边的对角，其解的6种情况. 作业：

1.阅读教材139页至 144 页; 2.教材第144页习题5.9第3题; 3 . 《优化设计》第113~115页.

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一、教材地位与作用本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系与判定三角形的全等也有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。因此，正弦定理的知识非常重要。

二、学情分析

作为高一学生，同学们已经掌握了基本的三角函数，特别是在一些特殊三角形中，而学生们在解决任意三角形的边与角问题，就比较困难。

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 根据我的教学内容与学情分析以及教学重难点，我制定了如下几点教学目标

教学目标分析：

知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。

能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论。

情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。

三、教法学法分析

教法：采用探究式课堂教学模式，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际

为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。

学法：指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，动手尝试相结合，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，锲而不舍的求学精神。

四、教学过程

(一)创设情境，布疑激趣

“兴趣是最好的老师”，如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半，本节课由一个实际问题引入，“工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，∠A=47°，∠B=53°，AB长为1m，想修好这个零件，但他不知道AC和BC的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗?”激发学生帮助别人的热情和学习的兴趣，从而进入今天的学习课题。

(二)探寻特例，提出猜想

1.激发学生思维，从自身熟悉的特例(直角三角形)入手进行研究，发现正弦定理。

2.那结论对任意三角形都适用吗?指导学生分小组用刻度尺、量角器、计算器等工具对一般三角形进行验证。

3.让学生总结实验结果，得出猜想：

在三角形中，角与所对的边满足关系

这为下一步证明树立信心，不断的使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。

(三)逻辑推理，证明猜想

1.强调将猜想转化为定理，需要严格的理论证明。

2.鼓励学生通过作高转化为熟悉的直角三角形进行证明。

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3.提示学生思考哪些知识能把长度和三角函数联系起来，继而思考向量分析层面，用数量积作为工具证明定理，体现了数形结合的数学思想。

4.思考是否还有其他的方法来证明正弦定理，布置课后练习，提示，做三角形的外接圆构造直角三角形，或用坐标法来证明。

(四)归纳总结，简单应用

1.让学生用文字叙述正弦定理，引导学生发现定理具有对称和谐美，提升对数学美的享受。

2.正弦定理的内容，讨论可以解决哪几类有关三角形的问题。

3.运用正弦定理求解本节课引入的三角形零件边长的问题。自己参与实际问题的解决，能激发学生知识后用于实际的价值观。

(五)讲解例题，巩固定理

1.例1：在△ABC中，已知A=32°，B=81.8°，a=42.9cm.解三角形。

例1简单，结果为唯一解，如果已知三角形两角两角所夹的边，以及已知两角和其中一角的对边，都可利用正弦定理来解三角形。

2.例2：在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形。

例2较难，使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能。要求学生熟悉掌握已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形。完了把时间交给学生。

(六)课堂练习，提高巩固

1.在△ABC中，已知下列条件，解三角形。

(1)A=45°，C=30°，c=10cm(2)A=60°，B=45°，c=20cm

2.在△ABC中，已知下列条件，解三角形。

(1)a=20cm，b=11cm，B=30°(2)c=54cm，b=39cm，C=115°

学生板演，老师巡视，及时发现问题，并解答。

(七)小结反思，提高认识

通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法?你对此有何体会?

1.用向量证明了正弦定理，体现了数形结合的数学思想。

2.它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系。

3.定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运用分类讨论的思想。

(从实际问题出发，通过猜想、实验、归纳等思维方法，最后得到了推导出正弦定理。我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。在强调研究性学习方法，注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。)

(八)任务后延，自主探究

如果已知一个三角形的两边及其夹角，要求第三边，怎么办?发现正弦定理不适用了，那么自然过渡到下一节内容，余弦定理。布置作业，预习下一节内容。

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第五篇：高中数学《1.1.1 正弦定理》教案 新人教A版必修5 (2)（大全）

1.1.1 正弦定理

●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

教学过程：

一、复习准备：

1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些?(三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数)如何解直角三角形?那么斜三角形怎么办?

2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系?(内角和、大边对大角) 是否可以把边、角关系准确量化? →引入课题：正弦定理

二、讲授新课：

1. 教学正弦定理的推导：

ab①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sinA= sinB= sinC=1 即

ccc=abc. sinAsinBsinC② 能否推广到斜三角形? (先研究锐角三角形，再探究钝角三角形)

当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有CDasinBbsinA,则

abac. 同理， sinAsinBsinAsinC121212③*其它证法：

证明一：(等积法)在任意△ABC当中S△ABC=absinCacsinBbcsinA. 两边同除以abc即得：12cab==. sinAsinBsinCaaCD2R， sinAsinDCabAOBD证明二：(外接圆法)如图所示，∠A=∠D，∴

ccb同理 =2R，=2R. sinCsinB证明三;过点A作单位向量jAC， C 由向量的加法可得 ABACCB

则 jABj(ACCB) A B ∴jABjACjCB

jABcos900A0jCBcos900Cac∴csinAasinC，即sinAsinC

bc同理，过点C作jBC，可得 sinBsinC

a从而 sinAsinBsinC

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推导)

④ 正弦定理内容：

bccab===2R sinAsinBsinC简单变形; 基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边;已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题：

① 例1：在ABC中，已知A450，B600， a=10cm，解三角形.

② 例2：ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C.

讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量?思考后见(P8-P9 ) 3. 小结：正弦定理的探索过程;正弦定理的两类应用;已知两边及一边对角的讨论.