放缩法证明数列范文

第一篇：放缩法证明数列范文

放缩法证明数列不等式

基础知识回顾:

放缩的技巧与方法：

(1)常见的数列求和方法和通项公式特点：

① 等差数列求和公式：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。(关于错误!未找到引用源。的一次函数或常值函数)

② 等比数列求和公式：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。(关于错误!未找到引用源。的指数类函数) ③ 错位相减：通项公式为“等差错误!未找到引用源。等比”的形式

④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项

(2)与求和相关的不等式的放缩技巧：

① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小(应与所证的不等号同方向)

③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式;第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

(3)放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项(或等距离间隔项)

② 等比数列：所面对的问题通常为“错误!未找到引用源。常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足错误!未找到引用源。 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为错误!未找到引用源。的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误!未找到引用源。，即可猜想该等比数列的首项为错误!未找到引用源。，公比为错误!未找到引用源。，即通项公式为错误!未找到引用源。 。

注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响

(4)与数列中的项相关的不等式问题：

① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形

② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。(累乘时要求不等式两侧均为正数)，然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为错误!未找到引用源。，另一侧为求和的结果，进而完成证明 应用举例:

类型一：与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。满足：错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。为常数，且错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。).

(1)求错误!未找到引用源。的通项公式;

(2)设错误!未找到引用源。，若数列错误!未找到引用源。为等比数列，求错误!未找到引用源。的值; (3)在满足条件(2)的情形下，设错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，若不等式错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到引用源。的取值范围.

例2.记错误!未找到引用源。.对数列错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。的子集错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。，定义错误!未找到引用源。;若错误!未找到引用源。，定义错误!未找到引用源。.例如：错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。.现设错误!未找到引用源。是公比为3的等比数列，且当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。

(1)求数列的通项公式;错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 (2)对任意正整数，若，求证：;错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 (3)设，求证：.

类型

二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。满足：错误!未找到引用源。. (1)求证:错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。; (2)求证:错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。); (3)求证:错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。).

例4.已知错误!未找到引用源。是数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和，且对任意错误!未找到引用源。，有错误!未找到引用源。.其中错误!未找到引用源。为实数，且错误!未找到引用源。. (1)当错误!未找到引用源。时， ①求数列错误!未找到引用源。的通项;

②是否存在这样的正整数错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。成等比数列?若存在，给出错误!未找到引用源。满足的条件，否则，请说明理由. (2)当错误!未找到引用源。时，设错误!未找到引用源。， ① 判定错误!未找到引用源。是否为等比数列;

②设错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。恒成立，求错误!未找到引用源。的取值范围.

方法、规律归纳: 常见的放缩变形：

(1)错误!未找到引用源。， (2)错误!未找到引用源。

注：对于错误!未找到引用源。还可放缩为：错误!未找到引用源。 (3)分子分母同加常数：错误!未找到引用源。 (4)错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 可推广为：错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 实战演练: 1.【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。记数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。

(1)求证：数列错误!未找到引用源。为等比数列，并求其通项错误!未找到引用源。;

(2)求错误!未找到引用源。;

(3)问是否存在正整数错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。成立?说明理由.

2.【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列错误!未找到引用源。中， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。.

⑴ 求证：数列错误!未找到引用源。为等差数列;

⑵ 设错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，若当错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。为偶数时， 错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到引用源。的取值范围;

⑶ 设数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项的和为错误!未找到引用源。，试求数列错误!未找到引用源。的最大值. 【答案】⑴见解析⑵错误!未找到引用源。⑶错误!未找到引用源。

3.【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列

的前项和为，满足

，

.数列

满足(1)求数列(2)若和，，且.

的通项公式; ，数列的前项和为，对任意的

，(

，都有

，求实数的取值范围;

(3)是否存在正整数，，使，请说明理由.

)成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，，若不存在，4.已知数列错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。，其中， 错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。.

(1)求数列错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。的通项公式;

(2)是否存在自然数错误!未找到引用源。，使得对于任意错误!未找到引用源。有错误!未找到引用源。恒成立?若存在,求出错误!未找到引用源。的最小值;

(3)若数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。，求数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。.

5.【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，且满足错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。为常数.

(1)是否存在数列错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。?若存在，写出一个满足要求的数列;若不存在，说明理由. (2)当错误!未找到引用源。时，求证： 错误!未找到引用源。.

(3)当错误!未找到引用源。时，求证：当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。.

6.【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列

分别满足，其中(1)若数列(2)若数列①若数列②若数列

，设数列的前项和分别为的通项公式; ，使得

，称数列

. 都为递增数列，求数列满足：存在唯一的正整数“坠点数列”，求 为“坠点数列”，数列

为“坠点数列”.

为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值;若不存在，说明理由.

7.【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。成立. (1)分别判断数集错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。是否具有性质错误!未找到引用源。，并说明理由;

(2)求证： 错误!未找到引用源。 ;

(2)若错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。的最小值.

8.记等差数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。. (1)求证：数列错误!未找到引用源。是等差数列;

(2)若 错误!未找到引用源。，对任意错误!未找到引用源。，均有错误!未找到引用源。是公差为错误!未找到引用源。的等差数列，求使错误!未找到引用源。为整数的正整数错误!未找到引用源。的取值集合;

(3)记错误!未找到引用源。，求证： 错误!未找到引用源。.

9.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足 (n+1) bn=an+1错误!未找到引用源。，(n+2) cn=错误!未找到引用源。，其中n∈N*.

(1)若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式;

(2)若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列.

10.已知各项不为零的数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。.

(1)若错误!未找到引用源。成等比数列，求实数错误!未找到引用源。的值; (2)若错误!未找到引用源。成等差数列， ①求数列错误!未找到引用源。的通项公式;

②在错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。间插入错误!未找到引用源。个正数，共同组成公比为错误!未找到引用源。的等比数列，若不等式错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到引用源。的最大值.

放缩法证明数列不等式

基础知识回顾:

放缩的技巧与方法：

(1)常见的数列求和方法和通项公式特点：

① 等差数列求和公式：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。(关于错误!未找到引用源。的一次函数或常值函数)

② 等比数列求和公式：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。(关于错误!未找到引用源。的指数类函数) ③ 错位相减：通项公式为“等差错误!未找到引用源。等比”的形式

④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项

(2)与求和相关的不等式的放缩技巧：

① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小(应与所证的不等号同方向)

③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式;第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

(3)放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项(或等距离间隔项)

② 等比数列：所面对的问题通常为“错误!未找到引用源。常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足错误!未找到引用源。 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为错误!未找到引用源。的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误!未找到引用源。，即可猜想该等比数列的首项为错误!未找到引用源。，公比为错误!未找到引用源。，即通项公式为错误!未找到引用源。 。 注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响

(4)与数列中的项相关的不等式问题：

① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形

② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。(累乘时要求不等式两侧均为正数)，然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为错误!未找到引用源。，另一侧为求和的结果，进而完成证明 应用举例:

类型一：与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。满足：错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。为常数，且错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。).

(1)求错误!未找到引用源。的通项公式;

(2)设错误!未找到引用源。，若数列错误!未找到引用源。为等比数列，求错误!未找到引用源。的值; (3)在满足条件(2)的情形下，设错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，若不等式错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到引用源。的取值范围.

【答案】(1)错误!未找到引用源。(2)错误!未找到引用源。(3)错误!未找到引用源。

(2)由(1)知，错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。， 若数列错误!未找到引用源。为等比数列，则有错误!未找到引用源。， 而错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。， 故错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。，

再将错误!未找到引用源。代入错误!未找到引用源。，得错误!未找到引用源。，

例2.记错误!未找到引用源。.对数列错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。的子集错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。，定义错误!未找到引用源。;若错误!未找到引用源。，定义错误!未找到引用源。.例如：错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。.现设错误!未找到引用源。是公比为3的等比数列，且当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。

(1)求数列的通项公式;错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 (2)对任意正整数，若，求证：;错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 (3)设，求证：.【答案】(1)错误!未找到引用源。(2)详见解析(3)详见解析 【解析】

试题分析：(1)根据及时定义，列出等量关系，解出首项，写出通项公式;(2)根据子集关系，进行放缩，转化为等比数列求和;(3)利用等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。因此由错误!未找到引用源。，因此错误!未找到引用源。中最大项必在A中，由(2)得错误!未找到引用源。. 试题解析：(1)由已知得错误!未找到引用源。. 于是当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。. 又错误!未找到引用源。，故错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。. 所以数列错误!未找到引用源。的通项公式为错误!未找到引用源。. (2)因为错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。， 所以错误!未找到引用源。. 因此，错误!未找到引用源。.

综合①②③得，错误!未找到引用源。. 类型

二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。满足：错误!未找到引用源。. (1)求证:错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。; (2)求证:错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。); (3)求证:错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。). 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.

故错误!未找到引用源。， 则有：错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 例4.已知错误!未找到引用源。是数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和，且对任意错误!未找到引用源。，有错误!未找到引用源。.其中错误!未找到引用源。为实数，且错误!未找到引用源。. (1)当错误!未找到引用源。时， ①求数列错误!未找到引用源。的通项;

②是否存在这样的正整数错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。成等比数列?若存在，给出错误!未找到引用源。满足的条件，否则，请说明理由. (2)当错误!未找到引用源。时，设错误!未找到引用源。， ① 判定错误!未找到引用源。是否为等比数列;

②设错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。恒成立，求错误!未找到引用源。的取值范围. 【答案】(1)①错误!未找到引用源。;②不存在;(2)①当错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。时，数列错误!未找到引用源。是以错误!未找到引用源。为首项，错误!未找到引用源。为公比的等比数列，当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。，不是等比数列;②错误!未找到引用源。.

方法、规律归纳: 常见的放缩变形：

(1)错误!未找到引用源。， (2)错误!未找到引用源。

注：对于错误!未找到引用源。还可放缩为：错误!未找到引用源。 (3)分子分母同加常数：错误!未找到引用源。 (4)错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 可推广为：错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 实战演练: 1.【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。记数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。

(1)求证：数列错误!未找到引用源。为等比数列，并求其通项错误!未找到引用源。;

(2)求错误!未找到引用源。;

(3)问是否存在正整数错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。成立?说明理由. 【答案】(1)错误!未找到引用源。 (2)错误!未找到引用源。 (3)当错误!未找到引用源。为偶数时， 错误!未找到引用源。 都成立，(3)详见解析

(3)假设存在正整数错误!未找到引用源。 ，使得错误!未找到引用源。 成立， 因为错误!未找到引用源。 ， 错误!未找到引用源。 ， 所以只要错误!未找到引用源。

即只要满足 ①：错误!未找到引用源。 ，和②：错误!未找到引用源。 ， 对于①只要错误!未找到引用源。 就可以; 对于②，

当错误!未找到引用源。 为奇数时，满足错误!未找到引用源。 ，不成立，

当错误!未找到引用源。 为偶数时，满足错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。 令错误!未找到引用源。 ， 因为错误!未找到引用源。

即错误!未找到引用源。 ，且当错误!未找到引用源。 时， 错误!未找到引用源。 ，

所以当错误!未找到引用源。 为偶数时，②式成立，即当错误!未找到引用源。 为偶数时， 错误!未找到引用源。成立 . 2.【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列错误!未找到引用源。中， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。.

⑴ 求证：数列错误!未找到引用源。为等差数列;

⑵ 设错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，若当错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。为偶数时， 错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到引用源。的取值范围;

⑶ 设数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项的和为错误!未找到引用源。，试求数列错误!未找到引用源。的最大值. 【答案】⑴见解析⑵错误!未找到引用源。⑶错误!未找到引用源。

要使错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。为偶数恒成立， 只要使错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。为偶数恒成立， 即使错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。为正偶数恒成立，

错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，故实数错误!未找到引用源。的取值范围是错误!未找到引用源。; ⑶由⑴得错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 设错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。， 当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，

因此数列错误!未找到引用源。的最大值为错误!未找到引用源。.

【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用，涉及等差数列的判定与证明，其中证明(1)的关键是分析得到错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的关系式.

3.【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列满足，

，且

.

的前项和为，满足

，

.数列(1)求数列(2)若和的通项公式; ，数列的前项和为，对任意的

，(

，都有

，求实数的取值范围;

(3)是否存在正整数，，使，请说明理由.

【答案】(1)(2)

)成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，，若不存在，

(3)不存在

(2)由(1)得于是所以

，

，

两式相减得所以由(1)得因为对 即所以恒成立， ，都有，

，

， 恒成立，

， 记所以因为从而数列于是， ，

为递增数列，所以当.

(

)，使

成等差数列，则

，

时取最小值

，

，

(3)假设存在正整数即 ，

若为偶数，则若为奇数，设于是当时，为奇数，而为偶数，上式不成立. ，则

，

，

与

矛盾; ，即，此时

4.已知数列错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。，其中， 错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。.

(1)求数列错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。的通项公式;

(2)是否存在自然数错误!未找到引用源。，使得对于任意错误!未找到引用源。有错误!未找到引用源。恒成立?若存在,求出错误!未找到引用源。的最小值;

(3)若数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。，求数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。.

【答案】(1)错误!未找到引用源。;(2)存在， 错误!未找到引用源。;(3)错误!未找到引用源。. 【解析】试题分析：

(1)根据题设条件用累乘法能够求出数列{an}的通项公式.b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{bn}的通项公式.(2)bn=2n.假设存在自然数m，满足条件，先求出错误!未找到引用源。，将问题转化成错误!未找到引用源。可求得错误!未找到引用源。的取值范围;(3)分n是奇数、n是偶数两种情况求出Tn，然后写成分段函数的形式。

试题解析： (1)由错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。. 又错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。. 当错误!未找到引用源。时，上式成立，

因为错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。是首项为2，公比为2的等比数列， 故错误!未找到引用源。.

(3)当错误!未找到引用源。为奇数时， 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。; 当错误!未找到引用源。为偶数时，

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。. 因此错误!未找到引用源。.

点睛：数列求和时，要根据数列项的特点选择不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和等。

5.【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，且满足错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。为常数.

(1)是否存在数列错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。?若存在，写出一个满足要求的数列;若不存在，说明理由.

(2)当错误!未找到引用源。时，求证： 错误!未找到引用源。.

(3)当错误!未找到引用源。时，求证：当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。. 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析

当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，两式相减得错误!未找到引用源。，

即错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，

当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。，综上， 错误!未找到引用源。.

6.【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列的前项和分别为(1)若数列.

分别满足，其中，设数列都为递增数列，求数列的通项公式; (2)若数列①若数列②若数列满足：存在唯一的正整数“坠点数列”，求 为“坠点数列”，数列

，使得，称数列为“坠点数列”.

为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值;若不存在，说明理由. 【答案】(1)

.(2)①

，② 6.

7.【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。成立. (1)分别判断数集错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。是否具有性质错误!未找到引用源。，并说明理由;

(2)求证： 错误!未找到引用源。 ;

(2)若错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。的最小值. 【答案】(1)不具有(2)见解析(3)错误!未找到引用源。.

(2)因为集合错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。，所以对错误!未找到引用源。而言，存在错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。，又因为错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，同理可得错误!未找到引用源。，将上述不等式相加得： 错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。. (3)由(2)可知错误!未找到引用源。，又错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，

所以错误!未找到引用源。，构成数集错误!未找到引用源。，经检验错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。，故错误!未找到引用源。的最小值为错误!未找到引用源。. 点睛：本题是一道新定义的迁移信息并利用信息的信息迁移题。求解第一问时，直接运用题设条件中所提供的条件信息进行验证即可;解答第二问时，先运用题设条件中定义的信息可得错误!未找到引用源。，同理可得错误!未找到引用源。，再将上述不等式相加得： 错误!未找到引用源。即可获证错误!未找到引用源。;证明第三问时，充分借助(2)的结论可知错误!未找到引用源。，又错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。可得错误!未找到引用源。，因此构成数集错误!未找到引用源。，经检验错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。，进而求出错误!未找到引用源。的最小值为错误!未找到引用源。. 8.记等差数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。. (1)求证：数列错误!未找到引用源。是等差数列;

(2)若 错误!未找到引用源。，对任意错误!未找到引用源。，均有错误!未找到引用源。是公差为错误!未找到引用源。的等差数列，求使错误!未找到引用源。为整数的正整数错误!未找到引用源。的取值集合;

(3)记错误!未找到引用源。，求证： 错误!未找到引用源。. 【答案】(1)见解析(2)错误!未找到引用源。(3)见解析

解：(1)设等差数列错误!未找到引用源。的公差为错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，从而错误!未找到引用源。，所以当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，即数列错误!未找到引用源。是等差数列. (2)因为的任意的错误!未找到引用源。都是公差为错误!未找到引用源。，的等差数列，所以错误!未找到引用源。是公差为错误!未找到引用源。，的等差数列，又错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，显然， 错误!未找到引用源。满足条件，当错误!未找到引用源。时，因为错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。不是整数，综上所述，正整数错误!未找到引用源。的取值集合为错误!未找到引用源。. (3)设等差数列错误!未找到引用源。的公差为错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，即数列错误!未找到引用源。是公比大于错误!未找到引用源。，首项大于错误!未找到引用源。的等比数列，记公比为错误!未找到引用源。.以下证明： 错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。为正整数，且错误!未找到引用源。，因为错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，当错误!未找到引用源。时，因为错误!未找到引用源。为减函数， 错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，综上， 错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。. 9.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足 (n+1) bn=an+1错误!未找到引用源。，(n+2) cn=错误!未找到引用源。，其中n∈N*.

(1)若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式;

(2)若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列. 【答案】(1)cn=1.(2)见解析.

10.已知各项不为零的数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。.

(1)若错误!未找到引用源。成等比数列，求实数错误!未找到引用源。的值; (2)若错误!未找到引用源。成等差数列， ①求数列错误!未找到引用源。的通项公式; ②在错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。间插入错误!未找到引用源。个正数，共同组成公比为错误!未找到引用源。的等比数列，若不等式错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到引用源。的最大值.

【答案】(1)错误!未找到引用源。(2)错误!未找到引用源。(3)错误!未找到引用源。

(3)错误!未找到引用源。，在错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。间插入错误!未找到引用源。个正数，组成公比为错误!未找到引用源。的等比数列，故有错误!未找到引用源。，

即错误!未找到引用源。，

第二篇：放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证明数列不等式

主要放缩技能： 1.11111112 nn1n(n1)nn(n1)n1n

1144112()

22n4n1(2n1)(2n1)2n12n1n24

2.  2

)

 







 4.

2n2n2n1115. n (21)2(2n1)(2n2)(2n1)(2n11)2n112n16.

n22(n1)n11 n(n1)2n1n(n1)2n1n2n(n1)2n1

x2xn*c(nN)例1.设函数y的最小值为，最大值为，

且abnnn2x1

(1)求cn;(2)证明：

例2.

证明：161

例3.已知正项数列an的前n项的和为sn，且an

2(1)求证：数列sn是等差数列; 11117 444c14c2c3cn417 12sn，nN*; an

(2)解关于数列n的不等式：an1(sn1sn)4n8

(3)记bn2sn,Tn

2 331111Tn

，证明：1 2b1b2b3bn

例4. 已知数列an满足：n2anan1; 是公差为1的等差数列，且an1nn

(1) 求an;(2

2 例5.在数列an中，已知a12,an1an2anan1;

(1)求an;(2)证明：a1(a11)a2(a21)a3(a31)an(an1)3

2n1an例6. 数列an满足：a12,an1; n(n)an22

5112n

(1)设bn，求bn;(2)记cn，求证：c1c2c3cn 162n(n1)an1an

例7. 已知正项数列an的前n项的和为sn满足：sn1,6sn(an1)(an2);

(1)求an;

(2)设数列bn满足an(2n1)1,并记Tnb1b2b3bn， b

求证：3Tn1log2n

(a3)(函数的单调性，贝努力不等式，构造，数学归纳法)

例8. 已知正项数列an满足：a11,nan1(n1)an1 ， anan1

记b1a1,bnn[a1

(1)求an;

(2)证明：(1

2111](n2)。 222a2a3an11111)(1)(1)(1)4 b1b2b3bn4

第三篇：利用放缩法证明数列不等式的技巧“揭秘”

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利用放缩法证明数列不等式的技巧“揭秘” 作者：顾冬生

来源：《新高考·高三数学》2013年第06期

数列型不等式的证明题，常常需要用放缩的方法来解决，但放缩的技巧让人目不暇接，极具思考性和挑战性，能全面而综合地考查同学们的潜能与后继学习能力，常常成为高考压轴题及各级各类竞赛题命题的极好素材.同学们往往觉得就像魔术师在玩魔术，忽有忽无，变幻莫测，很精彩，但不知道怎么玩的，无法抓住其中的关键处.现在让我们一起来“揭秘”，发现这些放缩变形的本质.

第四篇：用放缩法证明与数列和有关的不等式

湖北省天门中学薛德斌

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力.本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和.

一.先求和后放缩

例1.正数数列an的前n项的和Sn，满足2Snan1，试求：

(1)数列an的通项公式;

(2)设bn11，数列bn的前n项的和为Bn，求证：Bn 2anan

1解：(1)由已知得4Sn(an1)2，n2时，4Sn1(an11)2，作差得：

22所以(anan1)(anan12)0，又因为an为正数数4anan2anan12an1，

列，所以anan12，即an是公差为2的等差数列，由2S1a11，得a11，所以an2n1

(2)bn11111()，所以 anan1(2n1)(2n1)22n12n1

Bn111111111(1) 23352n12n122(2n1)

2注：一般先分析数列的通项公式.如果此数列的前n项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式.求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列(这里所谓的差比数列，即指数列{an}满足条件an1anfn)求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和.

二.先放缩再求和

1.放缩后成等差数列，再求和

例2.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且anan2Sn.

2an2an12(1) 求证：Sn;

4(2)

第 1 页 共 4 页

解：(1)在条件中，令n1，得a1a12S12a1，a10a11 ，又由条件

22anan2Sn有an1an12Sn1，上述两式相减，注意到an1Sn1Sn得

(an1an)(an1an1)0an0an1an0∴an1an

1所以， an11(n1)n，Sn

n(n1)

n(n1)1n2(n1)2anan1

所以Sn 

2224

(2)因为n

n(n1)n1，所以

n2



n(n1)n1

，所以 

22

S1S2Snn23n22

Sn112

1223n(n1)23n1

 

222222

S2Sn

1222

n2n(n1)22

Sn2



;S1

2.放缩后成等比数列，再求和

例3.(1)设a，n∈N*，a≥2，证明：a2n(a)n(a1)an;

(2)等比数列{an}中，a1，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列.设

a1bnn，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn<.

31an

解：(1)当n为奇数时，an≥a，于是，a

2n

(a)nan(an1)(a1)an.

当n为偶数时，a-1≥1，且an≥a2，于是

a2n(a)nan(an1)(a21)an(a1)(a1)an(a1)an.

(2)∵A9A7a8a9，A8A9a9，a8a9a9，∴公比q

a91

.a82

∴an(). bn

n

1n11()n



11

.nnn

4(2)32

11

(12)

11111(11)1.∴Bnb1b2bn

1323223332n32n12

3.放缩后为差比数列，再求和

例4.已知数列{an}满足：a11，an1(1

n

)an(n1,2,3).求证： 2n

an1an3

n1

n1

n

)an，所以an1与an同号，又因为a110，所以an0， n2

证明：因为an1(1即an1an

n

an0，即an1an.所以数列{an}为递增数列，所以ana11， 2nnn12n1

即an1annann，累加得：ana12n1.

22222

12n1112n1

令Sn2n1，所以Sn23n，两式相减得：

2222222

11111n1n1n1Sn23n1n，所以Sn2n1，所以an3n1， 22222222

n1

故得an1an3n1.

4.放缩后为裂项相消，再求和

例5.在m(m≥2)个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤iPj(即前面某数大于后面某数)，则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列(n1)n(n1)321的逆序数为an，如排列21的逆序数a11，排列321的逆序数

a36.

(1)求a

4、a5，并写出an的表达式; (2)令bn

ana

n1，证明2nb1b2bn2n3，n=1,2,…. an1an

n(n1)

.

2解(1)由已知得a410,a515，ann(n1)21

(2)因为bn

anann2nn2

n122,n1,2,， an1ann2nn2n

所以b1b2bn2n.nn2222,n1,2,， n2nnn2

11111

1)] 所以b1b2bn2n2[()()(

1324nn2

222n3.=2n3

n1n2

又因为bn

综上，2nb1b2bn2n3,n1,2,.

注：常用放缩的结论：(1)

1111111

2(k2) kk1k(k1)kk(k1)k1k

2kk1

1k

2kk1

2(

1k1

1k)(k2)

(2).2(

1k



1k1

)

在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式.如例2要证明的结论

n23n22

、

n(n1)22

为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数

11

)为等比数列求和结果的类型，则把通n

32

n1

项放缩为等比数列，再求和即可;如例4要证明的结论3n1为差比数列求和结果的类

22型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可;如例5要证明的结论2n3为n1n2

列，再求和即可;如例3要证明的结论(1

裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可.

虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求和，若不能直接求和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩.如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列求和之间的关系，则仍然容易找到解决这类问题的突破口.

13

《高中数学教与学》2007年第8期刊号ISSN 1007—1830

第五篇：证明数列前n项和 不等式的定积分 放缩法

摘要：本文深入分析数列与函数之间的联系，结合高等数学中数项级数[4]的观点研究高考证明数列前n项和不等式的相关问题。本着“数形结合”的重要数学思想，抓住数列的本质是数值函数这一特点，另辟蹊径，利用分析学“定积分”这一工具，探究对数列前n项和不等式进行放缩的方法。关键词：数列;不等式;定积分;数形结合。

数列，高考的重中之重。而对于数列前n项和不等式的证明更是天津高考的难点。这类问题大致可以分为两种：如果这样简单分类的话，那么显然第二种题型会比第一种更复杂[2]。对于第一种题型，题目中已然给出了我们要证明的“对象”，即便我们对原数列“无从下手”，也可以根据“式”的偶性，将不等号右边的式子也看作是某一数列的“和”，再通过“和转项”的方式找到其对应的“项”，从而我们不妨逐项比较，最后累加达到目的。此外，山穷水复之时，数学归纳法也是个不错的选择。所以，对于第一种题型来说，有多种比较成熟的应对方法，这里就不逐一列举。然而，对于第二种题型，“和转项”与归纳法则不再适用。题目中要求寻找的，类似于这个数列前n项和的“极限”，而这个“极限”则是一个常数。在处理这一类问题时，我们通常要将原数列的通项进行一定程度的放缩与变形，处理成为一个能够求和的数列，并且由变形后数列的“和”可以进一步证明我们想要的结论(如果将变形后数列的前n项和看作一个函数，那么待证明的常数C通常是这个函数的极限)。显然，这执行起来十分困难，要求学生有足够的“数学远见”，并且要记一些常用的方法和结论，无疑是“雾里看花”。因为，即使在这些结论上下了很大功夫，题目稍加变化后，学生们仍是感到“无从下手”。况且，即便命题人不改变题目的结构，仅仅是将不等式的强度加大，学生在解题时，还是会陷入漫无目的“尝试”。所以，数列前n项和不等式的证明一直以来都是高考的难点，而那些尽可能巧妙地解决这类问题的方法大多都指向“构造”的思想。而“构造”需要“数学远见”，要求学生具备极好的“数学素养”，非一日之功。况且，想要通过做题、总结的方式培养这种“素养”，绝非易事。为解决这一瓶颈，笔者尝试从高中数学内部寻找一种容易为高中生理解，又不会涉及“知识超纲”问题，且尽可能普遍适用的方法和视角来解决这一类问题，并试图探究其内在“本原”。于是，笔者发现了——定积分。对照以上两种方法，不难发现利用定积分放缩的方法十分优美、简洁，并且在很大意义上揭示了级数不等式的本质。下面以天津市近两年高考与模拟的压轴题为例深刻体会定积分放缩法的优越性。由例1.及其变式不难看出，利用定积分放缩法往往并不是直接放缩至待证“对象”本身，而是构造了一个比待证不等式强度更大的不等式，然后再次放缩到需要的“对象”。综述：定积分放缩法作为一种简洁、优美的解题方法，在解决由“数项级数”所引申出的“证明数列前n项和不等式”的问题中有相当广泛的应用，具有一定程度的普适性。无疑为学生遇到问题“无从下手”时，提供了一套系统的构思程序。定积分放缩法中处处渗透了“数形结合”的数学思想，并将数列与函数联系起来，使学生深刻地认识到数列是离散的数值函数这一本质，有机地反映了将“代数-几何-分析”综合起来的“数学美”，有助于提高学生对数学的学习兴趣。定积分放缩法是建立在常规放缩法基础之上的拓展，二者地位等同，相互依存。和一切的数学模型一样，我们希望但永远不能将所有问题都用一个“统一的方法”来解决。数学的灵魂，在于各分支间的融会贯通，“统一的方法”和“永动机”一样是不存在的。数学本身的“包罗万象”，足以从其自身内部酝酿出千变万化的解题方法。由此可见，数学的精神在于各个数学分支的互相穿插与多种解法间内在紧密联系的数学逻辑。这就是“数学素养”。参考文献[1].《浅谈高等数学在中学数学中的应用》[M].广东石油化工学院，22-24[2].李广修.证明不等式的定积分放缩法[J].数学通报，2008,47(7)：55-57[3].意琦行，数海拾贝.证明级数不等式的积分放缩法[J].光量子，2015;10;29[4].《高等数学》[M].同济大学数学系，2014第7版：251-327致谢感谢天津市第一〇二中学数学组：马萍，严虹，纪洪伟，张倩老师对我研究的帮助与支持。感谢“高中数学解题研究会”杜巍老师给予的帮助。感谢“高中数学解题研究会”提供优良的研究平台及学术氛围。感谢周围对我研究的支持和认可。