高三数学不等式的证明

第一篇：高三数学不等式的证明

高三数学教案：不等式的应用

不等式的应用

一、内容归纳

1知识精讲：在前面几节课学习的不等式的性质、证明和解不等式的基础上运用不等式的的知识和思想方法分析、解决一些涉及不等式关系的问题.

2重点难点: 善于将一个表面上看来并非是不等式的问题借助不等式的有关部门知识来解决.

3思维方式: 合理转化;正确应用基本不等式;必要时数形结合.

4特别注意: 应用基本不等式时一定要注意应用的条件有否满足，还要检验等号能否成立.

二、例题选讲

题型

1、不等式在方程、函数中的应用。 例

1、P96 函数y2axb的最大值4,最小值-1,求常数a,b,的值。

x21小结：本题用的是判别式法的思想 练习：P96深化拓展

练习：若关于x的方程4a2a10有实根,求实数a的取值范围。

xx4x1(2x1)22(2x1)22x解：ax212222 x212x121题型2：不等式在几何中的应用 例

2、

用一块矩形木板紧贴一墙角围成一直三棱柱空间堆放谷物，已知木板的长为a，宽为b，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直怎样围法，直三棱柱的空间最大?这个最大值是多少? 解：如图：A—CC1---B是二墙面所成直二面角, CC1面ABC VABCA1B1C1AB2CC11AC2CB2ACCBCC1CC1(AC=CB时取”=”) 244a2b当AB=a,AA1=b时，V1

4b2a当AB=b,AA1=a时，V2

4a2b因此，所围成直三棱柱的底面是等腰Rt，高等于b时，这柱体的体积有最大值.

4题型

3、建立函数关系式，利用均值不等式求最值。 例3，已知a>0,求函数yx2a1xa2的最小值。

cm，画面的宽与高的比为(1)，画练习：. 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使

2 宣传画所用纸张面积最小?如果[,]，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?

2解：设画面的高为xcm，宽为xcm，则x4840，设纸张面积为S，则有

2334S(x16)(x10)

x2(1610)x16050004410(85时，S取最小值，此时，高x8

5)6760，当且仅当85时，即

484088cm，宽x58855cm. 823342312, 34如果[,]，则上述等号不能成立.现证函数S()在[,]上单调递增.设

2334则 S(1)S(2)4410(81518252)4410(12)(8512)，因为12255又120，所以S(1)S(2)0，故S()80，3812在[,]上单调递增，因此对[,]，当233423342时，S()取得最小值. 3[思维点拔] 用均值不等式求最值时，如果满足“一正二定三相等”，则可直接求解;如果不符合条件中的相等，则应先判断函数的单调性后在求解. 题型

四、 综合问题 P96 例3 已知函数f(x)ax2bxc(a0且bc0) (1) 若|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1,试求f(x)的解折式;

(2) 今g(x)=2ax+b,若g(1)=0,又f(x)的图象在X轴上截得的弦的长度为L且0l2，试求f(x)的解折式。

解：P96

三、小结

1、要善于用不等式的知识解决一些表面上非不等式的问题;

2、使用不等式的有关性质、定理、结论时一定要准确到位，尤其是使用基本不等式求最值时，一定要检验等号能否成立。

四、作业：

第二篇：高二数学不等式的证明6

6.3 不等式的证明

(六)

教学要求：更进一步掌握不等式的性质，能熟练运用不等式的证明方法：比较法、综合法、分析法，还掌握其他方法：放缩法、判别式法、换元法等。

教学重点：熟练运用。

教学过程：

一、复习准备：

1.已知x≥4，求证：x1-

x2

解法：分析法，先移项再平方。 推广：求x1-x2的单调性、值域。 2. a、b∈R且a+b=1，求证：2a3+2b3≤4 (四种解法：估值配项;柯西不等式;均值不等式;分析法)

二、讲授新课： 1.教学典型习题：

①出示典型习题：(先不给出方法)

22 Ⅰ.放缩法证明：x、y、z∈R，求证：xxyy+y2yzz2>x+y+z

1x2x1 Ⅱ.用判别式法证明：已知x∈R，求证 ≤2≤3 (另解：拆分法)

3xx1 Ⅲ.用换元法证明： 已知a+b=4,求证：2≤a±ab+b≤6 ②先讨论用什么方法证明，再引导老师分析总结解题思路，学生试按思路练习：

Ⅰ.放缩法，左边>(x2222y2y)+(z)2=… 22x2x1 Ⅱ.判别式法，设2=k，再整理成一元二次方程，利用△≥0而求k范围。

xx1 Ⅲ.三角换元法，设a=2sinθ，b=2cosθ，再代入利用三角函数值域求证。 ③再讨论其它解法： Ⅲ小题，可由已知得到|ab|的范围，再得到待证式。 2.练习：①已知x、y∈R，3x+4y=12，求xy的最大值; ②求函数y=x+21的值域; (解法：分x-1>0、x-1<0两种情况;凑配法) x1③求函数y=4x+1622的最小值。 (解法：y=2(x+1)+2(x+1)+… (x21)2

三、巩固练习：1.设n>1且n∈N，求证：log(n1)(n+2)>log(n2)(n+3) 2.课堂作业：书P31

2、5题。

(作商比)

第三篇：考研数学中的不等式证明

陈玉发

郑州职业技术学院基础教育处450121

摘要：在研究生入学考试中，中值定理是一项必考的内容，几乎每年都有与中值定理相关的证明题.不等式的证明就是其中一项.在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法.但是，有时这种方法非常繁琐.巧用中值定理可使一些不等式的证明简化.

关键词：考研数学不等式中值定理幂级数

(作者简介：陈玉发，男，汉族，出生于1969年5月工作单位：郑州职业技术学院，副教授，硕士，从事数学教育研究.邮编：450121)

微分中值定理是微积分学中的一个重要定理，在研究生入学考试中，几乎每年都会有与中值定理相关的证明题.不等式就是其中一项。下面就考研数学中的不等式证明谈一下中值定理的应用. 在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法.但是，有时这种方法非常繁琐.巧用中值定理可以使一些不等式的证明过程得到简化.下面就历年考研数学中的不等式证明题谈一下.

例1(1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题)

(2)设bae，证明ab ba

xa对此不等式的证明，一般我们会想到构造辅助函数， f(x)ax，f(a)0，然后证明

在xa时，f(x)0.这个想法看似简单，而实际过程非常繁琐，有兴趣的读者可以试着证明一下.下面笔者给出几个简便的证明.

证：Ⅰ利用拉格朗日中值定理：abbabalogabbalnb lna

lnblna lna

lnblnalna baa

1lna，其中eablnabaa

1

1lna，其中eab. a

原命题得证.

证：Ⅱ 利用微分中值定理，

abeblnaalnb









blnb alnablnblna1 alnab1b1ln alnaab1b1(lnln1) alnaablnln1lna(微分中值定理) 1a

1

lna，(1b) a

原命题得证.

证明Ⅲ 利用幂级数展开：

设bax，原不等式等价于

aaxa (ax)aaaax(a)x

xa(1

而 xa)， a

ln2a2a1lnaxx2!xlnnanxn!，

xxa(a1)x2a(a1)(an1)xn(1)a1a()(). aa2!an!a

a(a1)(an1)n由于x0，ae，所以lna1，lna.通过比较以上两个级数可知原na

不等式成立.

对于不等式a(1

一下.

例2 (1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题) xxa)的证明仍可以利用拉格朗日中值定理证明，有兴趣的读者可以自己证a

设f(x)0，f(0)0，证明对任何x10,x20，有f(x1x2)f(x1)f(x2). 证：不妨设x1x2，

f(x1x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x1)

f(x1x2)f(x2)f(x1)f(0) (x1x2)(x2)x10

f(1)f(2)，x21x1x2，02x1x2，

显然21，而f(x)0，所以f(x)单调递减.原不等式得证.

例3 (1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题)

论证：当x0时, (x21)lnx(x1)2 . (x21)lnx

证：(x1)lnx(x1)(x1)21 22

(x1)lnx1 x1

(x1)lnx(11)ln11，(柯西中值定理) x1

ln(1)

1，(介于1与x之间)

1ln0. 当1时，上式显然成立;当01时，我们可以证明，

命题得证.

例4(2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第三题)

(15)设eabe2，证明lnblna

22224(ba). 2e4ln2bln2a4证：lnblna2(ba)2 e(ba)e

142ln2，(eabe2) e

1

ln2， 2e

因为eabe2，所以，

lnelne222. eee

所以，原不等式成立.

例5(2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题第(17)题)

证明：当0ab时， bsinb2cosbbasina2cosaa.

证：令f(x)xsinx2cosxx

bsinb2cosbbasina2cosaa

f(b)f(a) 0

f(b)f(a)0 ba

f()cossin0，0ab

令f(x)xcosxsinx，f()0，f(x)cosxxsinxcosxxsinx0，0axb，所以在(0,)内，f(x)单调减少，即f(x)0.

原命题得证.

例6(2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第(17)题

(1)比较1

0lnt[ln(1t)]ndt与tnlnt的大小,说明理由。 01

解：因为lnt[ln(1t)]n

tnlnt[ln(1t)]n tn

[ln(1t)nln(1t)ln(10)n][](拉格朗日中值定理) tt0

()1，0t1， 1n



所以lnt[ln(1t)]tlnt。即nn1

0lntt)]dtn10tnlnt。

例7(2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题第(18)题)

1xx2

cosx1，(1x1).证明：xln1x2

证：原不等式等价于：

x2

x[ln(1x)ln(1x)]1cosx 2

xx2

(仅当x0时取等号)x[ln(1x)ln(1x)]2sin222

[ln(1x)ln(1x)]1(当x0时) 2xxx2sin222

11111，(柯西中值定理，其中0x1)， sinx

21，0x1 2(sin)(1)x

因为(sin)(12)22x，所以不等式成立.

利用同样的方法可以证明当1x0时，不等式成立.

综上所述，原不等式成立.

xx例8 证明：当x0时，xe1xe.

证：当x0时，

ex1xxe1xe1e xxx

exe0

1ex，(利用柯西中值定理) x0

1eex，其中0x.

原不等式成立.

例9 证明：当0x

2时，sinxtanx2x.

证明：sinxtanx2xsinxtanx2 x

sinxtanx(sin0tan0)2 x0

cossec22(柯西中值定理)1

cossec22，

因为

cossec2所以，原不等式成立.

中值定理是证明不等式时常用的一个非常有效的工具.我们习惯于构造辅助函数，利用单调性来证明不等式.而函数的单调性还是通过拉格朗日中值定理进行证明的.因此，利用单调性证明不等式的基础还是微分中值定理.以上几例体现了中值定理在证明不等式时的效果.

2，

第四篇：大学数学中不等式的证明方法

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大学数学中不等式的证明方法

作者：吴莹

来源：《学园》2013年第01期

【摘 要】不等式在科学研究中的地位很重要，但对不等式的证明有些同学无从下手，用什么方法是个难题，所以本文对大学数学中遇到的不等式的各种证明方法进行归纳总结，并给出了相应的例子。

【关键词】数学归纳法 导数 单调性 中值定理 最值 积分

【中图分类号】O211 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810(2013)01-0076-02

第五篇：高中数学2.5不等式的证明教案

2.5不等式的证明

一、教学重点

1、理解比较法、综合法、分析法的基本思路。

2、会运用比较法、综合法、分析法证明不等式。

比较法

(一)作差法

一开始我们就有定义： 对于任意两个实数有，

也就是说，证明两实数

大小，我们可以作差，然后进行变形，判断其差的符号(将差和0作比较)，从而证明不等式。

例1 求证：证明：

几何意义： 函数的图像始终在函数

的图像之上

A1个单位B

训练作差法基本能力，并让学生从不同角度理解不等式 例2 设

求证：

证明：

作差

1 / 6

这题让学生说，主要训练作差法，为之后作商铺垫

(二)作商法 设实数，则有

作商，与1比较 例2 设证明：

求证：

2 / 6

在作差法的基础上提出作商，让学生体会这两者各自的优点

综合法

从已知条件出发，利用已知的命题和运算性质作为依据，推导出求证的结论。

例3 求证：若

，则有

证明：

在教授综合法的同时，给出这个基本不等式

例4 已知(1)

，求证：

(2)

证：(1)

3 / 6 (2)

这题主要为1的妙用，为学生做题拓宽新的思路

分析法

从要证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立，从而判断原结论成立。

要证 例4 若，则有 ，如果有

，那么只要证明了

，就有

4 / 6

在教授分析法的同时，给出这个基本不等式

例5 设，则有

先证

再证

5 / 6

在教授分析法的同时，给出这个绝对值不等式，学生以后也能用

6 / 6