恒成立问题是数学中常见的问题,它能够很好地考察函数、不等式等知识以及转化化归等数学思想,因此备受命题者青睐, 是高考中的热点难点问题。本文就数学中的恒成立问题提供一些解题策略。
1转化为二次函数,利用韦达定理、判别式、根的分布加以解 决
例1:若y=(m-1)x2+(m-1)x+2,且在R上恒有y>0,求m的取值范围。
解析:①当m-1=0即m=1时,y=2>0恒成立;
②当m-1≠0即m≠1时,∵y=(m-1)x2+(m-1)x+2>0在R上恒成立,∴ 解得:1
综上可知:m的取值范围为:1≤m<9。
说明:对于二次函数f(x)=ɑx2+bx+c(ɑ≠0)在实数集R上恒成立的问题可利用判别式直接求解:
即: f(x)>0恒成立 f(x)<0恒成立
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,则可利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
例2:不等式sin2x+ɑcosx+ɑ2≥1+cosx对一切x∈R恒成立, 求负数ɑ的取值范围。
解析:由题知:cos2x+(1-ɑ)cosx-ɑ2≤0对一切x∈R恒成立。
令cosx=t,由x∈R知t∈[-1,1],设f(t)=t2+(1-ɑ)t-ɑ2, 则f(t)=t2+(1-ɑ)t-ɑ2≤0在t∈[-1,1]上恒成立。
易得:
故所求的ɑ的范围为(-∞,-2]。
说明:本题采用了换元思想,从而将问题转化为了二次函数在指定区间上的恒成立问题。
2采用变量分离,利用不等式,函数单调性等知识加以解决
将含参数的恒成立式子中的参数分离出来 ,化为形如ɑ=f(x)或ɑ>f(x)或ɑ
ɑ=f(x)在集合A上恒成立 ɑ的范围为f(x)在集合A上的值域;
ɑ>f(x)在集合A上恒成立 ɑ>f(x)max,x∈A;
ɑ
例3:当ɑ>b>c时,不等式1/(ɑ-b)+1/( b-c)≥m/(ɑ-c)恒成立,求m的最大值。
解析:因为ɑ>c,所以m≤(ɑ-c)(1/(ɑ-b)+1/( b-c) )=[(ɑ-b)+(b- c)][1/(ɑ-b)+1/( b-c)],而[(ɑ-b)+(b-c)][1/(ɑ-b)+1/( b-c)]=1+( b-c)/(ɑ-b)+( ɑ-b)/( b-c)+1≥1+2+1,所以m≤4,因此m的最大值为4。
说明:本例是“f(x)≥ɑ”类型,通过添项、拆项,借助基本不不等式加以解决。
3通 过主元变换 ,结合函数单调性等知识 ,数形结合等思想 想 加以解决
由于常见的思维定势,学生们习惯把多元不等式看成是关于x的不等式。而在一些恒成立问题中,如果我们将其他参数定位为主元,则会给解答带来很大的方便。
例4:对于任意的m≤2,函数f(x)=mx2-2x+1-m恒负 ,求x的取值范围。
解析: 令g(m)=f(x)=(x-1)2m+1-2x, m≤2,则原题转化为:g(m)=(x-1)2m+1-2x<0在[-2,2]上恒成立。
说明: 多元不等式问题求解的关键在于确定哪个变量为主元。本题将m定位主元,即可转化为在[-2,2]内关于m的一次函数或常值函数小于0恒成立的问题, 可避免变量分离过程中的分类讨论,大大简化了解答过程。
4数形结合,通过图象的观察,直观求解
利用数形结合解决恒成立问题时,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在区间上函数与函数图象之间的关系, 得出答案或列出条件,求出参数的范围。
例5:如果不等式x2-log x m<0在(0,1/2)内恒成立,求实数m的取值范围。
分析: 令y1=x2,y2=logx m, 当x∈(0,1/2)时,y2的图象恒在y1的图象上方。
解:令y1=x2,y2=log xm,画出满足条件的y1、y2图象。
当x∈(0,1/2),有 ,m≥1/16 ,所以1/16≤m≤1所以实数m的取值范围为[1/16,1)。
说明:本题中的不等式直接求解比较困难,但构造函数后, 借助图象来研究两个函数之间的关系,就很直观,也便于找到正确答案。
恒成立的题型和解法还有很多, 只要我们充分利用所给定的函数的特点和性质,具体问题具体分析,选用恰当的方法,对问题进行等价转化,就能使问题获得顺利解决。只有这样才能真正提高分析问题和解决问题的能力。