三角函数是数学中非常基础的内容,学好它对于每一位学生来说都非常重要,教好它也是对一位教师的重大考验。 三角函数的相关知识内容丰富,变化多样。 笔者在教学实践中发现掌握一些主要的公式或者规律,对三角函数的学习非常有用。
首先,是一个公式:sin2x+cos2x=1
这个公式很多学生都很熟悉,大家可能会想,这太简单了吧? 但是,这个公式为什么成立呢? 很多学生都没有想过这个问题,或者想到也不深究。 对于这个公式,我们可以从以下几个方面来理解:
1勾股定理
我们知道,在一个直角三角形里,有 ɑ2+b2=c2,其中 ɑ,b是两直角边,c是斜边。 把这个公式两边同时除以c2,我们得 :
由三角函 数的定义 知sin A=ɑ/c, cos A =b/c, 故有sin2A + cos2A=1
2三角函数的定义
以上三角函数中角的定义是在直角三角形中,我们知道经过角的扩展以后,一个角可以为正、负或者零。 我们假设平面直角坐标系中,一个角 α 的终边与单位圆交点的坐标为P(x,y)则有:sinα=y,cosα=x,我们知道对于点P,有x2+y2=1, 故有sin2α+ cos2α=1,即sin2x+cos2x=1。
3两点间距离公式
大家到这里可能会想到,两点间距离公式不就是用的勾股定理吗? 是的。 设两个点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则两点间的距离为 这两点间的距离不就是以(x2-x1)和 (y2-y1)为直角边的三角形斜边的长度吗
我们看到, 许多知识点之间都是相互联系的, 不用死记硬背,我们就可以掌握。
我们要掌握的第二个重要的知识就是:三角函数在四个象限内的值的正负。
我们知道,正弦函数的值在一、二象限为正,三、四象限为负;余弦函数的值在一、四象限为正,二、三象限为负;由上述两者,我们知道,正切函数的值在一、三象限为正,二、四象限为负。 那么掌握这个有什么用呢?
首先,诱导公式不用记了。 我们举个例子,我们知道sin(πα)=sinα,假设 α 是第一象限角 ,那么 π-α 就是第二象限角 ,而正弦函数的值在一、二象限同为正,那么这个等式就好记了,只要函数的值正负 相同 ,就是等式 ,如果相反 ,就加负号 。 例如sin(π+α)=-sinα.其他所有的诱导公式都是这样 。 我们看 ,诱导公式比较多,也容易记混,这个方法是不是非常好用?
其次,这对于我们求三角函数的值非常有用。 例如,已知 α 是第二象限角,sinα=4/5 ,求cosα 的值 。 我们知道余弦函数的值在一、四象限为正,二、三象限为负,所以cosα 的值为负。 而我们知道勾股数:3,4,5,即32+42=52,而且sin2α+cos2α=1,所以直接得到cosα=-3/5 .这个方法非常快捷方便 。
当然,我们只是举出有限几个例子,大家在学习的过程中, 一定会发现更多实例。