我们经过“课题引路课, 骨干教师引领课, 课题示范课, 实验教师研究课”等一系列特色与实效相结合的研究形式, 提出了学生获得数学活动经验课堂教学流程为:“发现问题··自主探究··构建模型··解释应用··综合运用”。
小学生数学活动经验形成的流程图:
下面结合四年级上册《画角》一课具体阐述如下:
一、融入情境, 发现问题, 获取原初经验
德国教育学家第斯多惠指出:“数学的艺术不在于传授本领, 而在于激励、唤醒、鼓舞”。一节课中, 有的学生学的主动活泼、津津有味, 有的学生精神不振, 昏昏欲睡, 这种现象归根到底是兴趣问题。因此, 在课堂教学之始, 教师首先要创设引人入胜的情境, 激发学生的学习兴趣和探究欲望, 并引导学生发现情境中所蕴含的数学问题, 从而进入知识的探究过程。学生在积极参与数学活动情境的过程中, 多样化的数学活动情境能够激活学生己有的经验, 学生用已有的旧经验感知和理解新信息, 获得关于此情境的最初经验, 我们按照杜威对经验的分类把它称为原初经验。此阶段获得的数学活动经验, 很大成分上是学生对数学情境中的实物、图形、操作对象、操作情境的一些感觉、知觉、形象思维等, 显得较为零散、模糊、粗糙, 但却是与即将探究的数学活动现象或结果紧密相关。
学习《画角》方法时, 教师设计了以下几个环节: (1) 示量角器, 复习量角器各部分的名称。 (2) 示一个70°的锐角, 复习用量角器量角的方法。 (3) 示一副三角板拼各种度数的角。 (4) 用量角器自主画65°的角。 (5) 交流画法, 规范画法, 看书统一画法。这一过程教师创设量角、拼角的数学活动情境, 让学生经历观看、思考操作方法、语言描述等数学活动, 激活了学生量角、拼角原有的经验, 并迁移到用量角器画65°的角的方法, 通过尝试画角、汇报交流、教师范画和看书等形式感知和理解获得用量角器画65°的角的原初经验, 这些经验很大成分上是由一些对画角活动现象及过程的感觉、知觉、形象思维组成的经验, 受到画角活动情境影响比较大。
二、聚焦问题, 自主探索, 积累再生经验
弗赖登塔尔曾指出:“常识要成为数学, 它必须经过提炼和组织, 而凝聚成一定的法则。这些法则在高一层次里又称为常识, 再一次被提炼、组织, 而凝聚成新的法则, 新的法则又称为新的常识, 如此不断地螺旋上升, 以致无穷, 这样数学地发展就显示出层次性。”从数学活动经验的角度而言, 学生数学活动的过程就是数学活动经验不断上升、不断转化、不断螺旋上升的过程。学生对问题的独立研究和探索是其经历数学知识的形成过程, 也是掌握数学本质的过程, 更是进入知识创新、思维创新和观念创新的过程。此时学生进入独立思考状态, 会试着通过“还原”原初经验中与旧情境本质相同、情境类似的数学方法等来解决新情境中的数学问题。学生在经历新情境的过程中, 一方面不断运用、巩固自己的原初经验;另一方面通过个人实践、同伴交流、讨论反思等活动, 对不适合新问题的原初经验进行转化、提炼、创新, 获得进一步的数学活动经验。此时我们就称为再生经验。
在学生明确了用量角器画65°角的方法后, 老师便让学生用量角器自主画75°以及105°的角。画好的同学对照画法, 自己检查并同桌互说画法。接着请学生上台展示作品, 说说自己是怎么画的, 要求其他同学评价画得不规范的地方以及改正的方法。如:角顶点画得太大, 点的时候轻一点。角两边粗细不一样、长短也不一样。画时注意铅笔轻重一样, 这个角没标上角的符号和度数, 画好后别忘记标上。最后让学生自主修改自己画的角。
学生在经历画75°、105°的角的过程中, 通过独立思考“再现”画角的经验, 聚焦同学作品中存在的问题, 融合自身已有的经验, 进行概念化的分析。同时在与同学交流、讨论、反思等活动的作用下, 使原初经验精致化获得进一步的数学活动经验。
三、合作交流, 建构模型, 积淀再认经验
在学生自主探究的基础上, 引导学生交流, 对知识进行梳理和归纳, 在师生共同的交流、分析中, 去伪存真、去粗取精, 使零乱的知识系统起来, 逐渐建构起数学模型。此时学生的思维因素在数学活动经验中逐渐显露出来, 对数学现象观察更为仔细, 对数学特征的认识更为深入, 学生所积累的经验也较为客观、有条理和抽象, 更能够反映数学活动的本质。同时由于经验的内隐性质, 使得学生个体在一、两次数学活动中获得的经验常常难以自知或者难以表达, 但通过多次类似的数学活动, 数学活动中的某些特性、某些数学思想、数学方法等就会在学生头脑中因多次巩固或加强而显露出来, 形成相对外显的、可以表达的知识、技能和情感等方面的数学活动经验。这样学生在不断重复地证实、运用的过程中就慢慢地积淀了更为系统与深刻的再认经验。
在学生学会用量角器画角后, 老师要求学生尝试用一幅三角尺画出75°、15°的角, 再展示画法并说说想法, (1) 想:用哪两个角拼的? (45°+30°=75°、45°-30°=15°突出加一加、减一减) (2) 怎么画下来的?怎么处理顶点是圆的这一问题?然后课件演示用三角尺画75°角, 最后一起修正画法。从这一操作活动中我们可以看到学生的思维方式在不断由形象操作思维过渡到抽象概括的阶段, 并在反思和修正画法中对画角的认识更为深入。学生获得的再认经验随着画角经验在数量上的增加, 经验的概括、抽象与再运用价值也逐渐提高, 且在联想延伸中丰富了它;在独立探究、观察和合作交流中概括出“数学模型”。
四、解释应用, 反思提炼, 生成概括性经验
学生建立数学模型后, 对模型的解释和运用一方面可促使学生的基本知识技能、思维能力、情感态度等得到进一步发展, 另一方面也使学生明确模型的建立是为了更好地解释生活、服务生活。在解释与应用的过程中, 学生在多样化的数学活动情境中所获得的数学活动经验数量不断增加, 并逐渐由最初的感性特征较为明显的、没有多少关联的一些情境、实物、感觉等组成的数学活动经验逐步转为一些有相互关联的思维导图、概念图等。学生能够脱离具体情境, 运用抽象、简明的数学模型区分出不同数学活动情境中的本质属性, 进行解释、交流和应用。在这一系列的过程中, 学生的数学活动经验不断地得到提炼、归纳与演绎, 原来的再生、再认经验逐渐上升为概括性经验。
在学生学会用量角器和一副三角尺画角后, 教师又设计了以下环节: (1) 将一张圆形纸对折3次后展开, 可以得到哪些度数的角? (2) 你能用一张长方形纸折出下面度数的角吗?90°45°135°要求:把折出的角用笔标出度数。思考:你是怎么折的?得到什么度数的角?45°怎么来折? (3) 作品展示。
此时用长方形、圆形纸片折角, 是将内隐于学生脑中的各种角的度数的角以折的方式显示出来, 学生在折规定度数的角时, 由于学生思考的角度不同, 因此呈现的折法是丰富的, 学生的思维再一次从活动中得到了提升。学生所获得的画角的经验已经逐渐由最初的感性特征较为明显的数学活动经验逐渐转为能够成为学生思维加工的独立对象和符号, 提炼显得更为抽象、简明和符号化, 学生能够在脱离具体情境下交流和应用。此时的数学活动经验就己进入概括性经验阶段。
五、综合实践, 运用创新, 形成概括式经验图式
随着学生数学活动经验的质的提高, 学生十分愿意用这些经验去解决新问题。因此, 我们可以创设一些综合性较强的问题情境, 调动学生所有的经验储备, 在活动中进一步促进经验的积累与提升。如果学生在新异的情境中可以得心应手地运用已获得的数学活动经验, 那么, 在多种场景下不断出现本质相同的数学活动任务时, 学生就能达到几乎不用思维就可以很快的辨别模式来解决问题。此时学生就能感受到越来越多的快乐、轻松和自信, 这时学生的数学活动经验成为概括性经验图式阶段, 也可以说是形成技能性经验阶段。
在应用巩固阶段时, 教师设计了一道集综合性、灵活性于一体的选一选题目:同学们会用量角器和一幅三角尺画角, 下面这些角选用什么工具画好呢?
此时学生只需运用自身积累的数学活动经验直接进行判断, 而不再需要动手操作。这一过程是学生对已获得的数学活动经验的再运用, 能够感受到越来越多的快乐、轻松和自信, 这时学生的数学活动经验成为概括性经验图式阶段。在这个层次上的数学活动经验更有条理性, 更容易被学生在新情境中激活并运用, 从而学生有可能在新情境的问题解决中, 实现己有经验的联合与重组, 获得创造性的数学活动经验。