1 乘客选择出行方式的Logit模型
如果记Mi为乘客选择出行方式i的效用, 假如Mi是所有出行方式中最高的, 乘客将选择出行方式。然而, 某种交通方式的效用值是无法直接观测到的, 且被认为是随机的。根据随机效用理论, 定义效用为随机变量, 由可观测要素的确定效用iV和不可观测的随机误差项ξi组成。
在实际应用中, 通常假定随机项的分布是相互独立的, 且服从相同的概率分布。最常用的两个分布是Gumbel分布和正态分布, 如果假定ξi的各分量服从相互独立的Gumbel分布, 则为Logit模型;如果假定ξi服从多元正态分布, 则为Probit模型。由于基于Gumbel分布的Logit模型具有较好的解析性, 故本文采用Logit模型, 从而得到乘客选择公交方式i的概率为:
式中:ix为乘客选择公交方式i出行的概率;n为可选择出行交通方式类型的总数。
要确定乘客选择某种交通出行方式的概率, 关键在于求出 (1) 式中的可观测要素的确定效用iV, 本文通过研究广义交通费用Ci
式中, θ为校正系数, 一般取值范围为3~3.5。
2 广义交通费用的确定
本文选用出行时间、票价、舒适性、方便性、可靠性和安全性作为广义费用的评价指标。
(1) 出行时间:包括乘客步行时间、等车时间、上 (下) 车时间、车内行驶时间以及可能存在的换乘时间;因此乘客的出行时间T可表示为:
(2) 票价:即乘客从出发地到目的地所需支付的出行费用, 用P表示。
(3) 舒适性:一般在运营高峰期取票价的5%, 在非高峰期取10%, 用D表示。
(4) 方便性:主要考虑乘客的步行时间和换乘时间之和。故方便性H可表示为:
(5) 可靠性:主要指乘客到站的正点情况。可根据每种交通工具的发车频率计算其在每一站的误点均值来衡量。设j站第i种共有公共交通流量L, 公共交通方式的正常到达间隔为Nij, nijk表示第k辆车与k-1第辆车到达j站的时间差, 则用误点均值E表示可靠性指标A为:
(6) 安全性:可根据各种交通方式的事故伤亡人数设定。安全性无法用时间和费用来衡量, 本文采取在广义费用函数中单独设定系数, 用S表示。
取ψ=G/ (t×m) 为时间转换为价值系数, 其中G为城市某年内的国民生产总值, t为城市总人口, m为居民平均劳动时间。综合上述讨论, 确定则第i种交通出行的广义费用可定义为:
为方便计算, 记Ci=αiPi+βi, 其中αi=µSi,
3 收益函数模型
根据上述分析并考虑政府补贴情况, 假设政府对公交方式进行σi元的票价补贴。则此时有补贴后票务收入模型:
式中:iL为i运营公司的票务收入;Qi为i运营公司承担的客流量;Q为城市总客流量。
假定运营公司的固定成本和单位可变成本为常数。记iF为第i种公交方式的固定成本;ηi为第i种公交方式的单位可变成本。则其运营总成本为:Yi=Fi+ηiQi (9)
故可得第种公交方式的收益函数:
为方便计算, 记
4 轨道交通和常规公交的伯特兰-纳什均衡博弈模型
轨道交通和常规公交之间双寡头的竞争, 主要是进行价格的竞争。伯特兰-纳什均衡模型是结合伯特兰模型和纳什均衡的基本思想建立的一种静态寡占模型。其均衡解能使轨道交通和常规公交的收益达到最大值。
对于轨道交通运营者, 其将在自己的能力范围内追求自己收益最大化, 即:
式中:Qrm为轨道交通运载最大流量, Prmin和Prmax为政府限定轨道交通的最低价和最高价。
若定义ωr=Qrm/Q为轨道交通在城市公交客运系统中的最大分担率, 解上式可得:
根据上式, 可得:
从而确定轨道交通运营者对常规公交运营者的反应函数
同理, 常规公交运营者也将在自己的能力范围内追求自己票务收入最大化, 即:
其中, Qbm为常规公交客运最大流量, Pbmin和Pbmax为政府限定轨道交通的最低价和最高价。
若定义ωb=Qbm/Q为轨道交通在城市公交客运系统中的最大分担率, 解上式可得:
根据上式, 可得:
从而确定常规公交运营者对轨道交通运营者的反应函数为。
此时博弈的纳什均衡解为轨道交通和常规公交的反应函数的交点, 即:
5 数值算例
以下通过一个简单的算例来验证模型。
调查分析某OD, 得到或量化参数如下: (1) 出行时间T, 轨道交通为22min, 常规公交为31min; (2) 舒适性D, 轨道交通为0.32元, 常规公交为0.12元; (3) 方便性H, 轨道交通为6min, 常规公交为8min; (4) 可靠性A, 轨道交通为0.05min, 常规公交为3min; (5) 安全性S, 轨道交通为0.99, 常规公交为0.9。
将以上参数代入式 (6) 和 (17) , 得:
在坐标系中画出图形, 如图1所示。
图1中, 轨道交通反应函数与常规公交反应函数的交点即为达到伯特兰-纳什均衡时轨道交通票价和常规公交的票价, 此时轨道交通与常规公交运营者能获得最大收益。从图中可以看出, 达到伯特兰均衡时常规公交票价为1.6元, 轨道交通票价为3.1元, 与现实较为符合。
6 结语
随着我国城市化速度的加快, 城市交通问题日益突出, 城市公共交通系统成为构建可持续城市交通的关键, 为此必须很好地确定城市轨道交通和常规公交的关系。
本文主要考虑城市轨道交通和常规公交之间的价格博弈, 使用Logit模型来计算乘客选择出行方式的概率, 通过分析轨道交通和常规公交的票务收入和运营成本函数, 使用伯特兰-纳什均衡来求解轨道交通和常规公交收益最大化时的均衡解, 以求解此时的轨道交通和常规公交的票价。
该模型从出行者的概率选择出发, 定价策略为使博弈双方均获得最大收益, 通过实例求解出的票价与实际基本吻合, 证明了模型的有效性。但是, 本文未考虑票制和优惠政策对乘客出行的影响, 且对各待定参数的选取的科学性都还有待进一步研究。
摘要：城市轨道交通的票价制定对于城市公共交通系统的可持续发展具有重大的决定作用。本文主要考虑轨道交通和常规公交之间的价格博弈, 利用Logit模型描述公共交通系统内部不同方式的分担率, 据此建立了不同运营者的收益函数, 通过建立伯特兰-纳什均衡博弈模型求取使轨道交通和常规公交运营者均获得收益最大化时的均衡解。最后通过一个算例验证了模型的有效性。
关键词：城市轨道交通,定价,Logit模型,伯特兰-纳什均衡
参考文献
[1] 张红, 李超杰.考虑综合效益的城市轨道交通票价制定方法[J].华东交通大学学报, 2009, 26 (4) :44～48.
[2] 王镜.基于博弈分析的城市公共交通定价及补贴的理论与方法研究[D].北京交通大学博士论文, 2008.