1 没有理清导数与函数单调性的关系而致误
例1, 在区间 (a, b) 内f′ (x) >0是f (x) 在 (a, b) 内单调递增的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
错解:选 (C) 。
剖析:充分性是显然的, 但是f (x) 在区间 (a, b) 内单调递增, 不一定有f′ (x) >0, 比如函数y=x3在 (-∞, +∞) 上单调递增, 但f(x)=0。
正解:由剖析知正确答案为 (A) 。
2 对函数极值的慨念理解不透彻而致误
例2, 已知函数f (x) =x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10, 求f (2) 的值。
错解:由已知f′ (x) =3x2+2ax+b。
根据f (x) 在x=1处取得极值10,
可知 , 解得 或 。
所以f (2) =18或f (2) =11。
剖析:上述解法的错误之处比较隐蔽。对于可导函数f (x) 来说, 若x=x0是函数的极值点, 则f′ (x0) =0。反之, 不成立。比如, 函数y=x3在x=0处导数为0, 根据函数极值的定义, 显然x=0不是函数y=x3的极值点。
正解:在错解的基础上, 解得a, b的值后, 验证对应的函数是否在x=1处取得极值。
当a=4, b=-11时, f′ (x) =3x2+8x-11。
令f′ (x) =0, 解得x=1或x=-11/3。
当x∈ (-11/3, 1) 时, 当f′ (x) <0;当x∈ (1, +∞) 时, f′ (x) >0, 满足题意。
当a=-3, b=3时, f′ (x) =3x2-6x+3=3 (x-1) 2≥0, 不满足题意, 舍去。
综上f (2) =18。
3 忽视函数的定义域而致误
例3, 求函数f (x) =3x2-2lnx的单调区间。
错解:由题知 。
令f′ (x) =0, 解得 。
当 或 时, f′ (x) >0;
当 时，f′(x)<0。
所以函数f (x) 的单调递增区间为:
单调递减区间为 ( , ) 。
剖析:上述解法错误的原因是没有注意到函数的定义域。当x<0时, 函数是没有意义的。
正解:在错解求解过程中把函数f (x) 的定义域 (0, +∞) 加进去, 可得最后结论为:函数f (x) 的单调递增区间为 ( , +∞) ;单调递减区间为 (0, ) 。
提示:研究函数, 一定要注意“定义域优先”原则。
4 混淆极值和最值的关系而致误
例4, 求函数f (x) =x3-x2-x+1在区间[-1, 2]上的最值。
错解:因为f′(x)=3x2-2x-1=3 (x+1/3) (x-1)
令f′ (x) =0, 则x1=-1/3, x2=1
计算 ，f(1)=0
所以最大值为 , 最小值为0。
剖析:求函数最值时, 一定要考虑区间端点的函数值, 并与极大值和极小值比较。
正解: (在错解的基础上)
又因为端点函数值, f (-1) =0, f (2) =3
所以, 比较得:
函数f (x) =x3-x2-x+1在区间[-1, 2]上的最大值为3, 最小值为0。
提示:要明确区分可导函数极值和最值的关系, (1) 函数的最值是比较整个区间的函数值得出的, 函数的最大值和最小值可以在极值点、区间端点处取得; (2) 函数的最值不一定是极值, 函数的极值也不一定是最值。
5 导数的几何意义理解不透彻而致误
例5, 曲线y=x3在点 (1, 1) 的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为______。
错解:填2。由曲线y=x3在点 (1, 1) 的切线斜率为1, 所以切线方程为y=x, 所以三条直线围成的面积为S=1/2×2×2=2。
剖析:根据导数的几何意义, 曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数, 上面的解答显然是不知道这点, 无故得出切线的斜率为1显然是错误的。
正解:填8/3。因为f′ (x) =3x2, 当x=1时f′ (1) =3。由导数的几何意义知, 曲线在点 (1, 1) 处的切线斜率为3。即斜线方程为y-1=3 (x-1) 得y=3x-2。
联立 得交点 (2, 4) 。又y=3x-2与x轴交于 (2/3, 0) 。所以三条直线围成的面积S=1/2×4× (2-2/3) =8/3。