对Eisenstein判别法:设f (x) =anxn+…+a1x-a0∈Z[x], 若有素数p, 使 (i) p不整除an; (ii) p|ai (i=0, 1, 2, …, n-1) ; (iii) p2不整除a0, 那么f (x) 在Q[x]上不可约。因为满足条件的素数不总存在, 或者有的多项式f (x) 的系数不满足Eisenstein判别法, 但它仍不可分解, 那么对判别法能不能削弱条件或者变元从一元到n元, 拓宽它的讨论范围, 即从Q[x]到R[x], 使Eisenstein判别法适用于更广的应用范围, 或者至少可以估计一个整系数多项式是否存在着某个次数的不可约因式?下面对上述问题加以讨论。
1 Eisenstein判别法的应用范围
判别法是针对一元n次整系数多项式的不可约性。然而一次多项式总是不可约的, 对二、三次整系数多项式, 如果可约, 那么它必有一次因式, 也就是说它必有一个有理根, 因此, 对二、三次整系数多项式都能用求有理根方法确定它在Q[x]上的可约性, 当然, 在感到方便的情况下, 才将该判别法用于二、三次整系数多项式。
例判断多项式f[x]=x3-5x+1在Q[x]上的可约性。
如果f (x) 可约, 那么由于它是三次, 它必有一个一次因式, 即必有一个有理根, 但f (x) 的全部有理根只可能是1和-1, 而f (1) 、f (-1) 均不为零, 从而在Q[x]上不可约。
由于有理系数与相应的整系数多项式的可约性一致, 所以Eisenstein判别法可用于Q[x]上多项式可约性的判断;对某些命题不能直接用判别法, 但经变形后仍可适用。
例2:证明f (x) =xp-1+xp-2…+x+1 (p是素数) 在Q[x]上不可约。
证明:由得 (x-1) f (x) =xp-1, 令x=y+1, 则有+p, 由判别法知g (y) =f (y+1) 在Q[x]上不可约, 即证明了f (x) 在Z[x]上不可约, 这是因为如果f1 (x) 、f2 (x) ∈Q[x], 使f (x) =f1 (x) ·f2 (x) , 则g (y) =f1 (y+1) ·f (y+1) =g1 (x) ·g2 (x) 。
Ei se nst ei n判别法仅仅是整系数多项式在有理数域上不可约性的充分非必要条件。对于某一多项式f (x) 若找不到满足判别法的素数p时, f (x) 在Q[x]上可能可约, 也可能不可约。
例3:对于多项式f (x) =x2+3x+2与g (x) =x2+1来说, 都找不到满足判别法的素数p, 但f (x) 在Q[x]上可约, g (x) 在Q[x]上不可约。
2 Eisenstein判别法的局限性
由于Eisenstein判别法只是一个充分条件, 也就是说并不是所有有理数域上的整系数不可约多项式都可用Eisenstein判别法, 这自然就要求为了使它适应更大范围而进行推广。
3 Eisenstein判别法的推广
引理1[1]设f (x) =anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是一个整系数多项式, 并且f (x) 没有有理根, 如果能够找到一个素数p, 使得使 (i) p不整除an; (ii) p|ai (i=0, 1, 2, …, n-1) ; (iii) p2不整除a1, 那么多项式f (x) 在有理数域上不可约。
证明:假设f (x) 在有理数域上可约, 则f (x) 总可以分解成2个次数小于n的整系数多项式的乘积f (x) =g (x) ·h (x) , 这里g (x) =bkxk+…+b1x+b0, h (x) =cmxm…+c1x=c0并且k
情况1:若s+t
情况2:若s+t=n, 这时必有s=k, t=n, bs=bk, ct=cm, 考察等式a1=b1c0+b0c1, 因为f (x) 没有有理根, 所以k>1, m>1因此p|b0, p|b1, p|c0, p|c1。由等式a1=b1c0+b0c1, p2|a1, 这与p2不整除a1矛盾。
例4:设f (x) =x4+1 5x3+9x2+6x+9。取p=9, 并且易知f (x) 没有有理根, 32|9=a0, Eisenstein定理不能直接用, 由于32不整除6 (即p2不整除a1) , 由引理1知f (x) 在Q[x]上不可约。
引理2[1]设f (x) =anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是一整系数多项式, 并且f (x) 没有有理根, 如果能够找到一个素数p, 使得 (i) p2不整除an-1; (ii) p|ai (i=1, 2, …, n) ; (iii) p不整除a0, 那么多项式f (x) 在有理数域上不可约。
证明:令代入f (x) 得
所以g (y) =ynf () =a0yn+a1yn-1+…+an-1y+an。
显然f (x) 在有理数域上不可约等价于g (y) 在有理数域上不可约, 由引理1知g (y) 在Q[x]上不可约。
从2个引理和Eisenstein定理的启示和研究, 下述结论也成立。
定理1设f (X) =anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是一整系数多项式, 且f (x) 没有有理根, 如果能够找到一个素数p, 使 (i) p不整除an-1; (ii) p|ai (i=0, 1, 2, …, n-2) ; (iii) p2不整除a0, 那么f (x) 在有理数域上不可约。
证明：若f (x) 可约, 则f (x) 可以分解成2个次数较低的整系数多项式的乘积, f (x) =g (x) ·h (x) 。这里, g (x0) =bkxk+…+b1x+b0, h (x) =cmxm+…+c1x+c0且k
现考察as=bsc0+…+b0cs, 由于这个等式中as, bs-1, …, b0都能被p整除, 但p是素数, 所以必有p|bs或p|c0矛盾。
例5：设f (x) =x3+x2-2x-2，取p=2, 易知f (x) 没有有理根, 由定理1知f (x) 在有理数域上不可约, 如要用Eisenstein判别法, 因a4=a3, 所以无法找到满足判别法的p.
例5中f (x) 可分解为f (x) = (x+1) (x2-2) , 即当p不整除a3, p不整除a2, p|a1, a0, p不整除a0时, f (x) 有一个二次不可约因子。
如此进行归纳推理, 可得如下推论:
推论设, 且对素数p满足 (i) p不整除an, p|ak, (ii) p|ai (i=0, …, k-1) (iii) p2不整除a0, 则f (x) 有一个次数不小于k的不可约因子。
证明： (1) 若f (x) 不可约, 命题显然成立。
(2) 设f (x) 可约, 则f (x) =f1…fs其中fi (1≤i≤s) 不可约, 并设其常数项为ai 0, 因为p|a10a20…as0, 所以, 使得p|al0, 重新记, g (x) =fl (x) , 在g (x) 中有p|al0, …p|alm-1, p不整除p|alm, 因为若p|fl (x) 所有系数, 则p|f (x) 与已知矛盾, 所以m, 使得p不整除alm.
考察f (x) =g (x) ·h (x) 两边xm项的系数am=almb0+alm-1b1+…+al0bm，因为p|alm-1, …, p|al0而p不整除almb0 (注p不整除b0) , 所以p不整除al mㄢ
由已知得m=k, 即f (x) 有一个k次不可约因式。
例6：设f (x) =xn+xn-1+3, 其中n>1且n∈N*.求证:f (x) 不能表示成2个多项式的乘积, 其中每个多项式都具整数系数而且它们的次数都不低于一次。
证明：取p=3, 显然p不整除an, p不整除an-1=5, p|an-2=p|an-3=…=a0=0, p2不整除a0=3, 满足推论条件, 所以f (x) 有一个次数不小于n-1的不可约因式, 而f (x) 是n次因式, 且本题要求分解成2个次数都不小于一次的因式显然不行, 于是结论得证。
Eisenstein判别法是在Q[x]上讨论整系数多项式的不可约性, 事实上对R[x]上的多元多项式仍然成立。
定理2设R=F (t) 是t的多项式环, f (t, x) =an (t) xn+…+a1 (t) x+a0 (t) , 若 (i) t不整除, an (t) , (ii) t|ai (t) (i=0, 1, …, n-1) , (iii) t2不整除a0 (t) , 则f (t, x) 在R[x]中不可约。
证明:设f (t, x) 在R[x]中可约, 则f (t, x) =g (t, x) ·h (t, x) , 其中g (t, x) =gm (t) xm+…+g1 (t) x+g0 (t) , h (t, x) =hl (t) xl+…+hl (t) x+h0 (t) , 并且m
例7:证明多项式f (t, x) =x 3+3 t 5x 5+5t2x2+t7x+32t+t3在R[x]中不可约。
证明:因为t不整除a3 (t) =1, t|a2 (t) =3t5+5t2, t|a1 (t) =t7, t|a0 (t) =32t+t3, t2不整除a0 (t) , 由定理2知f (t, x) 在中R[x]不可约。
文献[2]中对Eisenstein定理证明, 实质上可由m o d p看出, 因f=g·h, 则, 因p不整除an, p|ai (i=01, …, n-1) , 所以, 注意前式左方只有首项, 故, , 所以与p2不整除a矛盾, 从而可以写出任意次的不可约多项式。
从mod p这一角度出发, 对Eisenstein定理进行推广:
定义:设映射, f (x) 为, 其中为mod p剩余类多项式环。
下述结论一定成立:
定理3设f (x) ∈Z[x]为首一多项式, 若在Fp[x]中不可约, 则f (x) 在Z[x]中不可约。
证明:反证法:若f (x) =g (x) ·h (x) , 则f (x) =g (x) ·h (x) (mod p) , 即, 只要能证出, 也就是说可以分解成2个多项式的乘积。
事实上, 设, , (i
于是在Q[x]上可约, 矛盾, 即定理得到证明。
例8：证明多项式f (x) =x3+6x2+5x+25在Q[x]上不可约。
证明:
=x3+x+1.
用求有理根方法知在F2[x]中不可约, 于是由定理3可知f (x) 在Q[x]上不可约。
4 Eisenstein判别法的应用
4.1 判别法一个最大的应用是判定有关整系数多项式在Q[x]上不可约性命题
因为f (x) 若不可约, 则f (x) 无有理根, 因此实质上也是f (x) 有无有理根的判定。
例9：设f (x) =x2+28x-7，取p=7, 由Eisenstein定理知f (x) 不可约, 则f (x) 无有理根。
4.2 可用来证明有关无理数的命题
例10:证明是无理数。
分析:证明某实数是无理数时, 通常采用反证法, 这里我们考虑用Eisenstein定理结合根与因式的关系来证。
证明:设于是x-1=, 两边立方得 (x-1) 3=6+, 于是是整系数多项式f (x) = (x-1) 3+6 (x-1) -6的一个根, 令x-1=y, 得g (y) =y3-6y-6, 取p=2, 显然2不整除1, 2|1, 2| (-6) , 22不整除-6, 由Eisenstein定理知g (y) 在Q[x]上不可约, 从而f (x) 在有理数域上没有有理根, 即f (x) 的根不是有理数, 但它是实数, 所以是无理数。
摘要：讨论了Eisenstein判别法的应用范围, 分析了Eisenstein判别法的局限性, 给出并证明了判别法的几种推广形式以及判别法的一些应用。
关键词：素数,整系数多项式,不可约多项式
参考文献
[1] 冯克勤, 余红兵.整数与多项式[M].北京:高等教育出版社, 1999.
[2] 刘学鹏, 周干藩.Eisenstein定理的两种推广形式[J].数学通报, 1992, 8:31～33.
[3] 张禾瑞, 郝钠新.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 1983.