第一篇：中考数学题型汇总
2013年中考数学题型
1、1-10题为选择题，其中第10题较难(多个结论判断正误)
2、11—16题为填空题，其中第16题较难。
3、第17题：分式化简求值(其中有用十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式)。
4、第18题：三角形或四边形证明题。
5、第19题：概率与统计。
6、第20题：可化为一元二次方程的分式方程应用题。
7、第21题：反比例函数综合题。
8、第22题：阅读理解题(阅读材料与高中结合)。
9、第23题：有关方程、函数、不等式的应用题。
10、第24题：圆的证明题(第一问是证明切线、第二问是有关计算)。
11、第25题：抛物线与三角形、四边形相结合的综合题。
第二篇：中考数学题型训练(几何证明)
中考数学题型训练
(二)
几何证明(中等)
一、基本型：
1、(肇庆2010) (8分)如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F.
(1)求证：△CEB≌△ADC;
(2)若AD=9cm，DE=6cm，求BE及EF的长.
B
E
针对性训练： C A
1、已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M.
(1)求证：△ABF≌△DAE;
(2)找出图中与△ABM相似的所有三角形(不添加任何辅助线).
F AD
B
二：条件补充型： EC
例1：如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是....
平行四边形，并予以证明.(写出一种即可)
:关系：①AD∥BC，②ABCD，③AC，④BC180.
已知：在四边形ABCD中，，;
求证：四边形ABCD是平行四边形.
D
B
例2.如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF.
(1) 请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线?请证明 你的结论.
(2)连接BF、CE，若四边形BFCE是菱形，则△ABC中应
添加一个条件
针对性练习：
1、如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF.
能否由上面的已知条件证明AB∥ED?如果能，请给出证明;如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明. .......供选择的三个条件(请从其中选择一个)： ①AB=ED; ②BC=EF; ③∠ACB=∠DFE.
2、如图，四边形ABCD的对角线AC、DB相交于点O，现给出如下三个条件：
D
(第25题)
C
E
①ABDC②ACDB③OBCOCB.(1)请你再增加一个条件：________，使得四边形ABCD为矩形(不添加其它字母和辅助..线，只填一个即可，不必证明);
(2)请你从①②③中选择两个条件________(用序号表示，只填一种情况)，使得
△AOB≌△DOC，并加以证明.
三、结论探究型：
例1.(10分)如图，在□ABCD中，E、F分别是边AB、CD
的中点，AG∥BD交CB的延长线于点G. (1)求证：△ADE∽≌△CBF;
(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形?请说明你的理由.D F CA
G E
B
例2：如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。
针对性练习：
1、如图5，在平行四边形ABCD中，BE平分ABC交AD于点E，DF平分ADC交 BC于点F. 求证：(1)△ABE≌CDF;
(2)若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论.DE
A
B
F
图
5C
课后作业：
1、(深圳2010)(本题7分)如图8，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90º，D在AB上.
(1)求证：△AOC≌△BOD;(4分) (2)若AD=1，BD=2，求CD的长.(3分)
图8
2、(茂名2010)如图，已知OA⊥OB，OA=4，OB=3，以AB为边作矩形ABCD，使AD=a，过点D作DE垂直OA的延长线交于点E. (1)证明：△OAB∽△EDA;
(2)当a为何值时，△OAB≌△EDA?*请说明理由，并求此时点C到OE的距离.
B DO A E
图
1D
B
O A E
图
3、(梅州2010)如图，在△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过点P作直线MN∥BC，
设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F. (1)求证：PE=PF;
(2)当点P在边AC上运动时，四边形BCFE可能是菱形吗?说明理由;
AP 3
(3)若在AC边上存在点P，使四边形AECFBC=2.求此时∠A的大小.
N
第三篇：2014年中考数学二轮复习题型：猜想型问题
2014年中考数学二轮复习题型：猜想型问题进入中考二轮复习阶段，考生们应该进行专项的有针对性的复习，哪里薄弱攻哪里?中考数学题型中有这么一类——归纳猜想型问题的中考题，高分网小编和考生分享下这类题型的特点及知识点分类，希望对大家有所帮助!
【猜想型问题的特点】
猜想是对研究的对象或问题，进行认真细致的观察，通过实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料知识，自己“发现”数学结论，作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维方法。现代认知理论认为，学习是主体主动的意义建构活动，是主体头脑里建立和发展数学认知结构的过程，是数学活动及其经验内化的过程，而猜想是对抽象化的、形式化的数学进行思辨过程。
【猜想型问题的解决方法】
通过动手实践、自主探索，动脑独立思考，经过实验、操作、观察、类比、归纳、猜想等活动，自己“发现”数学结论。同时，需要将猜想与动手操作有机的结合起来，并对此探索出来的结论进行证明。依据“操作-猜想”与体验教学的相通性，根据自己的观察实验，在感性认知的基础上提出合理的猜想，在“手脑并用”中体会“观察--联想--类比--猜想”的思想方法，猜想也不是直观而苍白无力的主观判断，而是经过了观察、动手操作、测量，运用了测量归纳、类比验证等数学思想方法，得出来的符合一定的经验与事实的数学结论。
【猜想型问题的分类】
这一类题目，主要集中在数式规律、图形规律、数型规律、图形中的规律探索这几个方面，因而，根据其特点，我们将其分为：数式规律、图形规律、数型规律、探究图形中的规律这几类。
第四篇：中考数学几何辅助线作法及常考题型解析
第一部分
常见辅助线做法
等腰三角形:
1.
作底边上的高，构成两个全等的直角三角形
2.
作一腰上的高;
3
.过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。
梯形
1.
垂直于平行边
2.
垂直于下底，延长上底作一腰的平行线
3.
平行于两条斜边
4.
作两条垂直于下底的垂线
5.
延长两条斜边做成一个三角形
菱形
1.
连接两对角
2.
做高
平行四边形
1.
垂直于平行边
2.
作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形
3.
做高——形内形外都要注意
矩形
1.
对角线
2.
作垂线
很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。
三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线(垂线段相等)。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
解几何题时如何画辅助线?
①见中点引中位线，见中线延长一倍
在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中，常作平行线。
作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有
1、过上底的两端点向下底作垂线
2、过上底的一个端点作一腰的平行线
3、过上底的一个端点作一对角线的平行线
4、过一腰的中点作另一腰的平行线
5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交
6、作梯形的中位线
7、延长两腰使之相交
四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线
初中数学辅助线的添加浅谈
人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
一.添辅助线有二种情况：
1按定义添辅助线：
如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：
每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们
把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：
(1)平行线是个基本图形：
当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线
(2)等腰三角形是个简单的基本图形：
当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：
出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形
出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形
几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
(6)全等三角形：
全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线
(7)相似三角形：
相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形)，相交线型，旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。
(8)特殊角直角三角形
当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2;30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明
(9)半圆上的圆周角
出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角;出现90度的圆周角则添它所对弦---直径;平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。
二.基本图形的辅助线的画法
1.三角形问题添加辅助线方法
方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
(1)连对角线或平移对角线：
(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形
(3)连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
(5)过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.
3.梯形中常用辅助线的添法
梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：
(1)在梯形内部平移一腰。
(2)梯形外平移一腰
(3)梯形内平移两腰
(4)延长两腰
(5)过梯形上底的两端点向下底作高
(6)平移对角线
(7)连接梯形一顶点及一腰的中点。
(8)过一腰的中点作另一腰的平行线。
(9)作中位线
当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。
4.圆中常用辅助线的添法
在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
(1)见弦作弦心距
有关弦的问题，常作其弦心距(有时还须作出相应的半径)，通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。
(2)见直径作圆周角
在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角“这一特征来证明问题。
(3)见切线作半径
命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用“切线与半径垂直“这一性质来证明问题。
(4)两圆相切作公切线
对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。
(5)两圆相交作公共弦
对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。作辅助线的方法
一：中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线;另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角;第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”
托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表)
五：两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六：两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切(外切，内切)，或相离(内含、外离)，那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。
七：切线连直径，直角与半圆。
如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角;相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径(或半径)端点的切线。即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆;相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。
八：弧、弦、弦心距;平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线;如遇弦，则弦心距为辅助线。
如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线;反之，亦成立。
如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。
有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。
九：面积找底高，多边变三边。
如遇求面积，(在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积)，往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。
如遇多边形，想法割补成三角形;反之，亦成立。
另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。
第二部分
常考题型解析
三角形中作辅助线的常用方法举例
一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：
例1：已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE.
证明：(法一)将DE两边延长分别交AB、AC
于M、N，
在△AMN中，AM+AN
>
MD+DE+NE;(1)
在△BDM中，MB+MD>BD;
(2)
在△CEN中，CN+NE>CE;
(3)
由(1)+(2)+(3)得：
AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE
∴AB+AC>BD+DE+EC
(法二：)如图1-2，
延长BD交
AC于F，延长CE交BF于G，
在△ABF和△GFC和△GDE中有：
AB+AF>
BD+DG+GF(三角形两边之和大于第三边)(1)
GF+FC>GE+CE(同上)………………………………(2)
DG+GE>DE(同上)……………………………………(3)
由(1)+(2)+(3)得：
AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE
∴AB+AC>BD+DE+EC。
二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：
例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC。
分析：因为∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置;
证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角，
∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC
证法二：连接AD，并延长交BC于F
∵∠BDF是△ABD的外角
∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD
∴∠BDF+∠CDF>∠BAD+∠CAD
即：∠BDC>∠BAC。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：
例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE+CF>EF。
分析：要证BE+CF>EF
，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同一个三角形中。
证明：在DA上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC，
在△DBE和△DNE中：
∵
∴△DBE≌△DNE
(SAS)
∴BE=NE(全等三角形对应边相等)
同理可得：CF=NF
在△EFN中EN+FN>EF(三角形两边之和大于第三边)
∴BE+CF>EF。
注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。
四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
例如：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CF>EF
证明：延长ED至M，使DM=DE，连接
CM，MF。在△BDE和△CDM中，
∵
∴△BDE≌△CDM
(SAS)
又∵∠1=∠2，∠3=∠4
(已知)
∠1+∠2+∠3+∠4=180°(平角的定义)
∴∠3+∠2=90°，即：∠EDF=90°
∴∠FDM=∠EDF
=90°
在△EDF和△MDF中
∵
∴△EDF≌△MDF
(SAS)
∴EF=MF
(全等三角形对应边相等)
∵在△CMF中，CF+CM>MF(三角形两边之和大于第三边)
∴BE+CF>EF
注：上题也可加倍FD，证法同上。
注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。
五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
例如：如图5-1：AD为
△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。
分析：要证AB+AC>2AD，由图想到：
AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+
BD+CD>AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE=2AD
∵AD为△ABC的中线
(已知)
∴BD=CD
(中线定义)
在△ACD和△EBD中
∴△ACD≌△EBD
(SAS)
∴BE=CA(全等三角形对应边相等)
∵在△ABE中有：AB+BE>AE(三角形两边之和大于第三边)
∴AB+AC>2AD。
(常延长中线加倍，构造全等三角形)
练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2，
求证EF=2AD。
六、截长补短法作辅助线。
例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点。求证：AB-AC>PB-PC。
分析：要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，
再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PN
证明：(截长法)
在AB上截取AN=AC连接PN
,
在△APN和△APC中
∵
∴△APN≌△APC
(SAS)
∴PC=PN
(全等三角形对应边相等)
∵在△BPN中，有
PB-PN
(三角形两边之差小于第三边)
∴BP-PC
证明：(补短法)
延长AC至M，使AM=AB，连接PM，
在△ABP和△AMP中
∵
∴△ABP≌△AMP
(SAS)
∴PB=PM
(全等三角形对应边相等)
又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边)
∴AB-AC>PB-PC。
七、延长已知边构造三角形：
例如：如图7-1：已知AC=BD，AD⊥AC于A
，BC⊥BD于B，
求证：AD=BC
分析：欲证
AD=BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，
∵AD⊥AC
BC⊥BD
(已知)
∴∠CAE=∠DBE
=90°
(垂直的定义)
在△DBE与△CAE中
∵
∴△DBE≌△CAE
(AAS)
∴ED=EC
EB=EA
(全等三角形对应边相等)
∴ED-EA=EC-EB
即：AD=BC。
(当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。)
八
、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
例如：如图8-1：AB∥CD，AD∥BC
求证：AB=CD。
分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。
证明：连接AC(或BD)
∵AB∥CD
AD∥BC
(已知)
∴∠1=∠2，∠3=∠4
(两直线平行，内错角相等)
在△ABC与△CDA中
∵
∴△ABC≌△CDA
(ASA)
∴AB=CD(全等三角形对应边相等)
九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长于E
。求证：BD=2CE
分析：要证BD=2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。
证明：分别延长BA，CE交于点F。
∵BE⊥CF
(已知)
∴∠BEF=∠BEC=90°
(垂直的定义)
在△BEF与△BEC中，
∵
∴△BEF≌△BEC(ASA)∴CE=FE=CF
(全等三角形对应边相等)
∵∠BAC=90°
BE⊥CF
(已知)
∴∠BAC=∠CAF=90°
∠1+∠BDA=90°∠1+∠BFC=90°
∴∠BDA=∠BFC
在△ABD与△ACF中
∴△ABD≌△ACF
(AAS)∴BD=CF
(全等三角形对应边相等)
∴BD=2CE
十、连接已知点，构造全等三角形。
例如：已知：如图10-1;AC、BD相交于O点，且AB=DC，AC=BD，求证：∠A=∠D。
分析：要证∠A=∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB=DC和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB=DC，AC=BD，若连接BC，则△ABC和△DCB全等，所以，证得∠A=∠D。
证明：连接BC，在△ABC和△DCB中
∵
∴△ABC≌△DCB
(SSS)
∴∠A=∠D
(全等三角形对应边相等)
十一、取线段中点构造全等三有形。
例如：如图11-1：AB=DC，∠A=∠D
求证：∠ABC=∠DCB。
分析：由AB=DC，∠A=∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△
DCN，故BN=CN，∠ABN=∠DCN。下面只需证∠NBC=∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC=∠NCB。问题得证。
证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中
∵
∴△ABN≌△DCN
(SAS)
∴∠ABN=∠DCN
NB=NC
(全等三角形对应边、角相等)
在△NBM与△NCM中
∵
∴△NMB≌△NCM，(SSS)
∴∠NBC=∠NCB
(全等三角形对应角相等)∴∠NBC+∠ABN
=∠NCB+∠DCN
即∠ABC=∠DCB。
巧求三角形中线段的比值
例1.
如图1，在△ABC中，BD：DC=1：3，AE：ED=2：3，求AF：FC。
解：过点D作DG//AC，交BF于点G
所以DG：FC=BD：BC
因为BD：DC=1：3
所以BD：BC=1：4
即DG：FC=1：4，FC=4DG
因为DG：AF=DE：AE
又因为AE：ED=2：3
所以DG：AF=3：2
即
所以AF：FC=：4DG=1：6
例2.
如图2，BC=CD，AF=FC，求EF：FD
解：过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：GC=AF：AC
因为AF=FC
所以AF：AC=1：2
即EF：GC=1：2，
因为CG：DE=BC：BD
又因为BC=CD
所以BC：BD=1：2
CG：DE=1：2
即DE=2GC
因为FD=ED-EF=
所以EF：FD=
小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙!
例3.
如图3，BD：DC=1：3，AE：EB=2：3，求AF：FD。
解：过点B作BG//AD，交CE延长线于点G。
所以DF：BG=CD：CB
因为BD：DC=1：3
所以CD：CB=3：4
即DF：BG=3：4，
因为AF：BG=AE：EB
又因为AE：EB=2：3
所以AF：BG=2：3
即
所以AF：DF=
例4.
如图4，BD：DC=1：3，AF=FD，求EF：FC。
解：过点D作DG//CE，交AB于点G
所以EF：DG=AF：AD
因为AF=FD
所以AF：AD=1：2
图4
即EF：DG=1：2
因为DG：CE=BD：BC，又因为BD：CD=1：3，
所以BD：BC=1：4
即DG：CE=1：4，CE=4DG
因为FC=CE-EF=
所以EF：FC==1：7
练习：
1.
如图5，BD=DC，AE：ED=1：5，求AF：FB。
2.
如图6，AD：DB=1：3，AE：EC=3：1，求BF：FC。
答案：1、1：10;
2.
9：1
初中几何辅助线
一
初中几何常见辅助线口诀
人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添?把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆形
半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。
注意点
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
二
由角平分线想到的辅助线
口诀：
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线;
②利用角平分线，构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线
（一）、截取构全等
几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1.
如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。
例2.
已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC
分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。
例3.
已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD
分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢?
练习
1.
已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC
2.
已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：AE=2CE
3.
已知：在△ABC中，AB>AC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。求证：BM-CM>AB-AC
4.
已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。求证：BD+CD>AB+AC。
（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1.
如图2-1，已知AB>AD,
∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180
分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。
例2.
如图2-2，在△ABC中，∠A=90，AB=AC，∠ABD=∠CBD。
求证：BC=AB+AD
分析：过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。
例3.
已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：∠BAC的平分线也经过点P。
分析：连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。
练习：
1.如图2-4∠AOP=∠BOP=15，PC//OA，PD⊥OA，
如果PC=4，则PD=(
)
A
4
B
3
C
2
D
1
2.已知在△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。
3.已知：如图2-5,
∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，
AE=(AB+AD).求证：∠D+∠B=180。
4.已知：如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD
的中点，F为BC
上的点，∠FAE=∠DAE。求证：AF=AD+CF。
5.
已知：如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90,CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。求证CF=BH。
（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。(如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交)。
例1.
已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=(AB-AC)
分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。
例2.
已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。
分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
例3.已知：如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。
求证：AM=ME。
分析：由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。
例4.
已知：如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。求证：AM=(AB+AC)
分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的对称△AED，然后只需证DM=EC，另外由求证的结果AM=(AB+AC)，即2AM=AB+AC，也可尝试作△ACM关于CM的对称△FCM，然后只需证DF=CF即可。
练习：
1.
已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是∠BAC的平分线，且CE⊥AE于E，连接DE，求DE。
2.
已知BE、BF分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=BC
（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线
有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。
1
2
A
C
D
B
例4
如图，AB>AC,
∠1=∠2，求证：AB-AC>BD-CD。
例5
如图，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：∠A+∠C=180。
B
D
C
A
A
B
E
C
D
例6
如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。
练习：
1.
已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。求证：△ABC是直角三角形。
C
A
B
2.已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC
A
B
D
C
1
2
3.已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD
A
E
B
D
C
4.已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD
A
B
C
D
三
由线段和差想到的辅助线
口诀：
线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：
1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条;
2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：
例1、
已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE.
证明：(法一)
将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，
在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;(1)
在△BDM中，MB+MD>BD;(2)
在△CEN中，CN+NE>CE;(3)
由(1)+(2)+(3)得：
AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE
∴AB+AC>BD+DE+EC
(法二：图1-2)
延长BD交AC于F，廷长CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：
AB+AF>BD+DG+GF(三角形两边之和大于第三边)…(1)
GF+FC>GE+CE(同上)(2)
DG+GE>DE(同上)(3)
由(1)+(2)+(3)得：
AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE
∴AB+AC>BD+DE+EC。
二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：
例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC。
分析：因为∠BDC与∠BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置;
证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角，
∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC
证法二：连接AD，并廷长交BC于F，这时∠BDF是△ABD的
外角，∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∴∠BDF+
∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：
例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE+CF>EF。
分析：要证BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，
∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。
证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC，
在△DBE和△NDE中：
DN=DB(辅助线作法)
∠1=∠2(已知)
ED=ED(公共边)
∴△DBE≌△NDE(SAS)
∴BE=NE(全等三角形对应边相等)
同理可得：CF=NF
在△EFN中EN+FN>EF(三角形两边之和大于第三边)
∴BE+CF>EF。
注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。
四、截长补短法作辅助线。
例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点
求证：AB-AC>PB-PC。
分析：要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PN
即：AB-AC>PB-PC。
证明：(截长法)
在AB上截取AN=AC连接PN,在△APN和△APC中
AN=AC(辅助线作法)
∠1=∠2(已知)
AP=AP(公共边)
∴△APN≌△APC(SAS),∴PC=PN(全等三角形对应边相等)
∵在△BPN中，有PB-PN
∴BP-PC
证明：(补短法)
延长AC至M，使AM=AB，连接PM，
在△ABP和△AMP中
AB=AM(辅助线作法)
∠1=∠2(已知)
AP=AP(公共边)
∴△ABP≌△AMP(SAS)
∴PB=PM(全等三角形对应边相等)
又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边)
∴AB-AC>PB-PC。
D
A
E
C
B
例1.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。
例2如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，
求证：∠ADC+∠B=180º
例3已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。
D
C
B
A
求证：BC=AB+DC。
M
B
D
C
A
例4如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB于M，且AM=MB。求证：CD=DB。
1.如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。
E
D
C
B
A
2.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，
BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求证：BD=DE+CE
四
由中点想到的辅助线
口诀：
三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质(直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质)，然后通过探索，找到解决问题的方法。
（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形
即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC(因为ΔABD与ΔACD是等底同高的)。
例1.如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。
解：因为AD是ΔABC的中线，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故SΔCDE=SΔACD=1，
因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。
∴ΔCDF的面积为。
（二）、由中点应想到利用三角形的中位线
例2.如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。
证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，
∵ME是ΔBCD的中位线，
∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，
∵MF是ΔABD的中位线，
∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，
∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，
从而∠BGE=∠CHE。
（三）、由中线应想到延长中线
例3.图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。
解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。
在ΔACD和ΔEBD中，
∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，
∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，
从而BE=AC=3。
在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，
∴BD===，故BC=2BD=2。
例4.如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。
证明：延长AD到E，使DE=AD。
仿例3可证：
ΔBED≌ΔCAD，
故EB=AC，∠E=∠2，
又∠1=∠2，
∴∠1=∠E，
∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。
（四）、直角三角形斜边中线的性质
例5.如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：AC=BD。
证明：取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtΔABD，RtΔABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。
∵AB//DC，
∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，
∴∠1=∠2，
在ΔADE和ΔBCE中，
∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，
∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。
（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线
例6.如图7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。
证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，
∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，
∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。
在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，
∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。
注：此例中BE是等腰ΔBCF的底边CF的中线。
（六）中线延长
口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。
题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。
例一：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CF>EF。
证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF。在△BDE和△CDM中，
BD=CD(中点定义)
∠1=∠5(对顶角相等)
ED=MD(辅助线作法)
∴△BDE≌△CDM(SAS)
又∵∠1=∠2，∠3=∠4(已知)
∠1+∠2+∠3+∠4=180°(平角的定义)
∴∠3+∠2=90°
即：∠EDF=90°
∴∠FDM=∠EDF=90°
在△EDF和△MDF中
ED=MD(辅助线作法)
∠EDF=∠FDM(已证)
DF=DF(公共边)
∴△EDF≌△MDF(SAS)
∴EF=MF(全等三角形对应边相等)
∵在△CMF中，CF+CM>MF(三角形两边之和大于第三边)
∴BE+CF>EF
上题也可加倍FD，证法同上。
注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。
例二：如图5-1：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。
分析：要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE
∵AD为△ABC的中线(已知)
∴BD=CD(中线定义)
在△ACD和△EBD中
BD=CD(已证)
∠1=∠2(对顶角相等)
AD=ED(辅助线作法)
∴△ACD≌△EBD(SAS)
∴BE=CA(全等三角形对应边相等)
∵在△ABE中有：AB+BE>AE(三角形两边之和大于第三边)
∴AB+AC>2AD。
练习：
1
如图，AB=6，AC=8，D为BC
的中点，求AD的取值范围。
B
A
D
C
8
6
2
如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE。
B
E
C
D
A
3
如图，AB=AC，AD=AE，M为BE中点，∠BAC=∠DAE=90°。求证：AM⊥DC。
D
M
CD
ED
AD
BD
4，已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。
A
B
D
C
E
F
5.已知：如图AD为△ABC的中线，AE=EF，求证：BF=AC
五
全等三角形辅助线
找全等三角形的方法：
(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中;
(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等;
(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等;
(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：
①延长中线构造全等三角形;
②利用翻折，构造全等三角形;
③引平行线构造全等三角形;
④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：
1)
遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”.
2)
遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.
3)
遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
4)
过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5)
截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.
（一）、倍长中线（线段）造全等
1：(“希望杯”试题)已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.
中考应用
(09崇文二模)以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.
(1)如图①
当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是
，
线段AM与DE的数量关系是
;
(2)将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由.
（二）、截长补短
1.如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC
2：如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB=AC+BD
3：如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
4：如图，在四边形ABCD中，BC>BA,AD=CD，BD平分，求证：
5:如图在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC>PB-PC
中考应用
(08海淀一模)
（三）、平移变换
1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证>.
2：如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.
（四）、借助角平分线造全等
1：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD
2：(06郑州市中考题)如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=，AC=，求AE、BE的长.
中考应用
(06北京中考)如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(第23题图)
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
图①
图②
图③
(2)如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立，请证明;若不成立，请说明理由。
（五）、旋转
1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
2：D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
(1)
当绕点D转动时，求证DE=DF。
(2)
若AB=2，求四边形DECF的面积。
3.如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为
;
中考应用
(07佳木斯)已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交(或它们的延长线)于.
当绕点旋转到时(如图1)，易证.
当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，线段，又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.
(图1)
(图2)
(图3)
(西城09年一模)已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.
(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.
(09崇文一模)在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC.
探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系.
图1
图2
图3
(I)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是
;
此时
;
(II)如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想(I)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明;
(III)
如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，
若AN=，则Q=
(用、L表示).
六
梯形的辅助线
口诀：
梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。
通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：
作法
图形
平移腰，转化为三角形、平行四边形。
平移对角线。转化为三角形、平行四边形。
延长两腰，转化为三角形。
作高，转化为直角三角形和矩形。
中位线与腰中点连线。
（一）、平移
1、平移一腰：
例1.
如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AB∥DC，AD=15，AB=16，BC=17.
求CD的长.
解：过点D作DE∥BC交AB于点E.
又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形.
所以DE=BC=17，CD=BE.
在Rt△DAE中，由勾股定理，得
AE2=DE2-AD2，即AE2=172-152=64.
所以AE=8.
所以BE=AB-AE=16-8=8.
即CD=8.
例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。
解：过点B作BM//AD交CD于点M，
在△BCM中，BM=AD=4，
CM=CD-DM=CD-AB=8-3=5，
所以BC的取值范围是：
5-4
2、平移两腰：
例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B+∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。
解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得
∠EGH+∠EHG=∠B+∠C=90°
则△EGH是直角三角形
因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点
所以
3、平移对角线：
例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积.
解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点.
A
B
D
C
E
H
∵AD∥BC
∴四边形ACED是平行四边形
∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4
∵在△DBE中，
BD=3，DE=4，BE=5
∴∠BDE=90°.
作DH⊥BC于H，则
.
例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：AC⊥BD。
解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，
易得四边形BCED是平行四边形，
则DE=BC，CE=BD=，
所以AE=AD+DE=AD+BC=3+7=10。
在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，
所以在△ACE中，，
从而AC⊥CE，于是AC⊥BD。
例6如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。
解：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E，
则四边形ACED是平行四边形，
即。
所以
由勾股定理得
(cm)
(cm)
所以，即梯形ABCD的面积是150cm2。
（二）、延长
即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。
解：延长BA、CD交于点E。
在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。
所以∠E=50°，从而BC=EC=5
同理可得AD=ED=2
所以CD=EC-ED=5-2=3
例8.
如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC=BD，AD=BC.
判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.
解：四边形ABCD是等腰梯形.
证明：延长AD、BC相交于点E，如图所示.
∵AC=BD，AD=BC，AB=BA，
∴△DAB≌△CBA.
∴∠DAB=∠CBA.
∴EA=EB.
又AD=BC，∴DE=CE，∠EDC=∠ECD.
而∠E+∠EAB+∠EBA=∠E+∠EDC+∠ECD=180°，
∴∠EDC=∠EAB，∴DC∥AB.
又AD不平行于BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形.
（三）、作对角线
即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。
解：连结BD，
由AD//BC，得∠ADB=∠DBE;
由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。
所以∠ADB=∠BDE。
又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，
所以Rt△BAD≌Rt△BED，
得AD=DE。
（四）、作梯形的高
1、作一条高
例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。
证：过点D作DG⊥AB于点G，
则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。
因为AB=2DC，所以AG=GB。
从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。
又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。
2、作两条高
例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，
求：(1)腰AB的长;(2)梯形ABCD的面积.
A
B
C
DD
ED
FD
解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，又∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形，
EF=AD=3cm
∵AB=DC
∵在Rt△ABE中，∠B=60°，BE=1cm
∴AB=2BE=2cm，
∴
例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。
证：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
因为AB>CD，AE=DF。
所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。
在Rt△BDF和Rt△CAE中
由勾股定理得BD>AC
（五）、作中位线
1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。
例13如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB+CD=AD。
证：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=(AB+CD)①
在△AOD中，∠AOD=90°，AE=DE
所以
②
由①、②得AB+CD=AD。
2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。
例14如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：(1)EF//AD;(2)。
证：连接DF，并延长交BC于点G，易证△AFD≌△CFG
则AD=CG，DF=GF
由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位线
从而EF//BG，且
因为AD//BG，
所以EF//AD，EF
3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。
例15、在梯形ABCD中，AD∥BC，
∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。
解：分别延长AE与BC
，并交于F点
∵∠BAD=900且AD∥BC
∴∠FBA=1800-∠BAD=900
又∵AD∥BC
∴∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等)
∠AED=∠FEC
(对顶角相等)
DE=EC
(E点是CD的中点)
∴△ADE≌△FCE
(AAS)
∴
AE=FE
在△ABF中∠FBA=900
且AE=FE
∴
BE=FE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
∴
在△FEB中
∠EBF=∠FEB
∠AEB=∠EBF+
∠FEB=2∠CBE
A
B
D
C
E
F
例16、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中点，试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系?
解：AE=BE，理由如下：
延长AE，与BC延长线交于点F.
∵DE=CE，∠AED=∠CEF，
∠DAE=∠F
∴△ADE≌△FCE
∴AE=EF
∵AB⊥BC，
∴BE=AE.
例17、已知：梯形ABCD中，AD//BC，E为DC中点，EF⊥AB于F点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面积.
解：如图，过E点作MN∥AB，分别交AD的延长线于M点，交BC于N点.
A
B
C
D
E
F
M
N
∵DE=EC，AD∥BC
∴△DEM≌△CNE
四边形ABNM是平行四边形
∵EF⊥AB，
∴S梯形ABCD=S□ABNM=AB×EF=15cm2.
【模拟试题】(答题时间：40分钟)
1.
若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为__________cm.
2.
如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=2，BC=8，则此等腰梯形的周长为(
)
A.
19
B.
20
C.
21
D.
22
3.
如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE=12，BD=20，AC=15，则梯形ABCD的面积为(
)
A.
130
B.
140
C.
150
D.
160
*4.
如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD=30，BC=70，求BD的长.
5.
如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.
6.
如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E，求DE的长.
7.
如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，AD+DC=8，求AB的长.
**8.
如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，(1)若E是AB的中点，且AD+BC=CD，则DE与CE有何位置关系?(2)E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系?
1.圆中作辅助线的常用方法：
(1)作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。
(2)若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。
(3)若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。
(4)连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。
(5)若题中有与半径(或直径)垂直的线段，如图1，圆O中，BD⊥OA于D，经常是：①如图1(上)延长BD交圆于C，利用垂径定理。
②如图1(下)延长AO交圆于E，连结BE，BA，得Rt△ABE。
图1(上)
图1(下)
(6)若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径，
(7)若题目中有“两圆相切”(内切或外切)，往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线(连心线过切点)以沟通两圆中有关的角的相等关系。
(8)若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。
(9)有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。
(10)对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。
例题1：如图2，在圆O中，B为的中点，BD为AB的延长线，∠OAB=500，求∠CBD的度数。
解：如图，连结OB、OC的圆O的半径，已知∠OAB=500
∵B是弧AC的中点
∴弧AB=弧BC
∴AB==BC
又∵OA=OB=OC
∴△AOB≌△BOC(S.S.S)
图2
∴∠OBC=∠ABO=500
∵∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800
∴∠CBD=1800
-
500-
500
∴∠CBD=800
答:∠CBD的度数是800.
例题2:如图3,在圆O中,弦AB、CD相交于点P，求证：∠APD的度数=(弧AD+弧BC)的度数。
证明：连接AC，则∠DPA=∠C+∠A
∴∠C的度数=弧AD的度数
∠A的度数=弧BC的度数
∴∠APD=(弧AD+弧BC)的度数。
图3
一、造直角三角形法
1.构成Rt△,常连接半径
例1.
过⊙O内一点M
,最长弦AB
=
26cm,最短弦CD
=
10cm
,求AM长;
2.遇有直径,常作直径上的圆周角
例2.
AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,CB交⊙O于D,过D作⊙O的切线,交AC于E.
求证:CE
=
AE;
3.遇有切线,常作过切点的半径
例3
.割线AB交⊙O于C、D,且AC=BD,AE切⊙O于E,BF切⊙O于F.
求证:∠OAE
=
∠OBF;
4.遇有公切线,常构造Rt△(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长)
例4
.小
⊙O1与大⊙O2外切于点A,外公切线BC、DE分别和⊙O1、⊙O2切于点B、C和D、E，并相交于P，∠P
=
60°。
求证：⊙O1与⊙O2的半径之比为1：3;
5.正多边形相关计算常构造Rt△
例5.⊙O的半径为6,求其内接正方形ABCD与内接正六边形AEFCGH的公共部分的面积.
二、欲用垂径定理常作弦的垂线段
例6.
AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.(1)求证:EC
=
DF;
(2)若AE
=
2,CD=BF=6,求⊙O的面积;
三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形
例7.
AB是⊙O直径,弦CD⊥AB,M是上一点,AM延长线交DC延长线于F.
求证:
∠F
=
∠ACM;
四、切线的综合运用
1.已知过圆上的点，常_________________
例8.如图，
已知：⊙O1与⊙O2外切于P，AC是过P点的割线交⊙O1于A，交⊙O2于C，过点O1的直线AB
⊥BC于B.求证：
BC与⊙O2相切.
例9.如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于E，过E点作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB于C点.
求证：CD与⊙O相切于点E.
2.两个条件都没有,常___________________
例10.
如图，AB是半圆的直径，
AM⊥MN，BN⊥MN，如果AM+BN=AB，求证:
直线MN与半圆相切;
例11.等腰△ABC中,AB=AC,以底边中点D为圆心的圆切AB边于E点.
求证:AC与⊙D相切;
例12.菱形ABCD两对角线交于点O，⊙O与AB相切。
求证：⊙O也与其他三边都相切;
五、两圆相关题型
1.两圆相交作_____________________
例13.⊙O1与⊙O2相交于A、B，过A点作直线交⊙O1于C点、交⊙O2于D点，过B点作直线交⊙O1于E点、交⊙O2于F点.
求证:CE∥DF;
2.相切两圆作________________________
例14.
⊙O1与⊙O2外切于点P,过P点的直线分别交⊙O1与⊙O2于A、B两点，AC切⊙O1于A点，BC交⊙O2于D点。
求证：∠BAC
=
∠BDP;
3.两圆或三圆相切作_________________
例15.以AB=6为直径作半⊙O,再分别以OA、OB为直径在半⊙O内作半⊙O1与半⊙O2，又⊙O3与三个半圆两两相切。
求⊙O3的半径;
4.一圆过另一圆的圆心，作____________
例16.两个等圆⊙O1与⊙O2相交于A、B
两点，且⊙O1过点O2，过B点作直线交⊙O1于C点、交⊙O2于D点.
求证：△ACD是等边三角形;
六、开放性题目
例17.已知：如图，以的边为直径的交边于点，且过点的切线平分边.
(1)与是否相切?请说明理由;
(第23题)
(2)当满足什么条件时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形?并说明理由.
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第五篇：中考理综数学答题技巧汇总
数学试卷答得好坏，主要依靠平日的基本功。只要“双基”扎实，临场不乱，重审题、重思考、轻定势，那么成绩不会差。切忌慌乱，同时也不可盲目轻敌，觉得自己平时数学成绩不错，再看到头几道题简单，就欣喜若狂，导致“大意失荆州”。不是审题有误就是数据计算错误，这也是考试发挥失常的一个重要原因，要认真对待考试，认真对待每一道题主要把好4个关：
1、把好计算的准确关。
2、把好理解审题关“宁可多审三分，不抢答题一秒”。
3、把好表达规范关。
4、把好思维、书写同步关。
一、答题先易后难
原则上应从前往后答题，因为在考题的设计中一般都是按照先易后难的顺序设计的。先答简单、易做的题，有助于缓解紧张情绪，同时也避免因会做的题目没有做完而造成的失分。如果在实际答卷中确有个别知识点遗忘可以“跳”过去，先做后面的题。
二、 答卷仔细审题稳中求快
最简章的题目可以看一遍，一般的题目至少要看两遍。中考对于大多数学生来说，答题时间比较紧，尤其是最后两道题占用的时间较多，很多考生检查的时间较少。所以得分的高低往往取决于第一次的答题上。另外，像解方程、求函数解析式等题应先检查再向后做。
三、答数学卷要注意陷阱
1、答题时需注意题中的要求。例如、科学计数法在题中是对哪一个数据进行科学计数要求保留几位有效数字等等。
2、警惕考题中的“零”陷阱。这类题也是考生们常做错的题，常见的有分式的分母“不为零”;一元二次方程的二项系数“不为零”(注意有没有强调是一元二次方程);函数中有关系数“不为零”等等。
3、注意两种情况的问题，例如等腰三角形、直角三角形、高在形内、形外、两三角形相似、两圆相交、相离、相切，点在射线上运动等。
四、对题目的书写要清晰：
做到稳中有快，准中有快，且快而不乱。要提高答题速度，除了上述的审题能力、应答能力外，还要提高书写能力，这个能力不仅是写字快，还要写得规范，写得符合要求。比如，填空题的内容写在给定的横线上，改正错误时，要擦去错误重新再写，不要乱涂乱改;计算题要把解写上，证明题要把证明两字写上，内容从上到下、从左到右整齐有序，过程清楚;尤其几何题要一个步骤一行，步骤要详细，切不可跳步。作图题用铅笔作答等。答题时不注意书写的清晰，字迹潦草到看不清楚的地步，乱涂乱改的结果使卷面很不整洁，在教师阅卷时容易造成误解扣分。
五、对未见过的题目要充满信心：
在每门课的中考中，遇到一至几道未见过的，不会做的难题，这是正常现象;反之，如果一门课的题目，大家都会做，甚至都觉得很容易，这份考题就出糟了，它无法实现合理的区分度，。因此，考题中，若没有一些大家末曾见过的"难题"，反而是不正常了不慌不躁，冷静应对在考试时难免有些题目一时想不出，千万不要钻牛角尖，因为所有试题包含的知识、能力要求都在考纲范围内，不妨先换一个题目做做，等一会儿往往就会豁然开朗了。综合题的题目内容长，容易使人心烦，我们不要想一口气吃掉整个题目，先做一个小题，后面的思路就好找了。
六、图形添线，必有规律
这几年考试中，几何图形的辅助线集中在四方面：
1、如果图形中有特殊点，如切点，斜边的中点，就要连结特殊线段，如经过切点的半径、斜边上的中线，等等;
2、作垂线，构成直角三角形，便于计算;
3、分割四边形，或延长一组对边，或平移线段，把四边形转化为三角形来研究。
4、平行线
七、步步为营，仔细复查
不少同学总怕考试时间来不及，却不知忙中出错最可惜。我们要尽力使每步运算都正确，不要跳步骤。做完题目后，如果把题解重看一遍是难以发现错误的，应该换一条思路来复查，或把答数放到题目条件中检查。假如感觉原来的题解不妥，先不要涂掉，可以另做题解作比较，弄清哪个解正确再涂改，以免一时冲动而丢分。
八、遇到“面孔熟悉”的题千万莫欢喜
一定要抛开头脑中固有的想法，认真审题，仔细计算，以防空欢喜。更不要去回忆原来这道题怎么做、得多少。尤其是在各类题进行了专项训练后，头脑中有很多定势的东西，要防止“面孔熟悉”的题有新的要求，另外所有的已知条件都有其目的性，有没用上的条件要再推敲。
九、做题中的注意事项：
(一)、选择题： 注意选择题要看完所有选项，解完后不要立即检查。常见的方法有观察、计算、淘汰、图形、特殊值法。有些判断几个命题正确个数的题目，一定要慎重，你认为错误的最好能找出反例，要注意分类思想的运用，如果选项中存在多种情况的，要思考是否适合题意，找规律题可以多写一些情况，或对原式进行变形，以找出规律，也可用特殊值进行检验。采用淘汰法和代入检验法可节省时间。
(二)、填空题：
1、注意分类思想的使用(注意钝角三角形的高在外部，一条弧所对的圆周角的度数一个，一条弦所对的圆周角的度数两个);
2、注意题目的隐含条件，比如二次项系数不为0,实际问题中的整数等;
3、要注意是否带单位，表达格式一定是最终化简结果;
(三)、解答题：
1.做题顺序:一般按照试题顺序做,实在做不出来,可先放一放,先做别的题目,不要在一道题上花费太多的时间,而影响其他题目;做题慢的同学,要掌握好时间,力争一遍净;做题速度快的同学要注意做题的质量,要细心,不要马虎.2.解答题中的较容易题，要认真细致，分式方程要检验，一元二次方程要注意二次项系数不为0，作图题要注意用铅笔，保留作图痕迹。字迹清晰,卷面整洁,解题过程规范.
3.求点的坐标;作垂线段,求垂线段的长,再根据所在象限决定其符号.注意用坐标表示线段的长度时,要注意长度是正值,在负坐标前加负号.
4.求最值问题要注意利用函数，没有函数关系的，自己构造函数，要注意数学问题的最值不一定是实际问题的最值，要注意自变量的取值范围。
5.概率题;若是二步事件，或放回事件，或关注和或积的题，一般用列表法; 若是三步事件，或不放回事件，一般用树状图。
6.折叠问题：A 要注意折叠前后线段、角的变化;B 通常要设求知数;C 利用勾股定理构造方程，
7.分类思想的使用：未给出图形的题目要注意是否会有不同情况,画出不同的图形A：等腰三角形的分类：以哪个点作顶点分为三类(两画圆弧，一作垂直平分线)B：直角三角形的分类：以哪个点作直角顶点,注意直径所对的圆周角是直角;C：相切：注意外切和内切;D：圆内接三角形，注意圆心在三角形内部还是外部;E：等腰三角形注意，告诉一边要分为这一边是底还是腰，告诉一角要分为这一角是顶角还是底角。
8.应用题：注意题目当中的等量关系，是为了构造方程，不等量关系是为了求自变量的取值范围，求出方程的解后，要注意验根，是否符合实际问题，要记着取舍。
9.动态问题,要注意点线的对应关系,用局部的变化来反映整体变化,通常利用平行得相似,注意临界状态,临界状态往往是自变量取值的分界线.10.注意特殊量的使用,如等腰三等形中的三线合一,正方形中的45度角,都是做题的关键;
11.面积问题,中考中的面积问题往往是不规则图形,不易直接求解,往往需要借助于面积和和面积差.
12.综合题：A：综合题一般分为好几步，逐步递进，前几步往往比较容易，一定要做,中招是按步骤给分的,能多一些就多做一些,可以多得分数;B：注意大前提和各小题的小前提，不要弄混;C：注意前后问题的联系，前面得出的结论后面往往要用到;D：从条件入手,可以多写一些结论,看哪个结论对作题有帮助,实在做不下去时,再审题,看看是否还有条件
没有用到,需不需要做辅助线;从结论入手,逆向思维,正着答题;E往往利用相似(8字形或A字形图)，设求知数，构造方程，解方程而求解，必要时需做辅助线.函数图像上的点可借助函数解析式来设点,通常设横坐标,利用解析式来表示纵坐标。
附： 临考注意事项
1、备好文具(碳素笔或钢笔，2B铅笔，直尺，圆规，橡皮)、准考证。
2、等待老师发卷时，摒弃杂念，做深呼吸训练深深吸进一口气，屏住一会儿，然后慢慢呼出。如此反复几次，可让自己轻松。
3、把握答题节奏和速度。拿到卷子后考试还未正式开始，考生要浏览整个卷子大致分配好各部分所用的时间。
4、遇到“暂时失忆”现象时，不要惊慌，是暂时的，要不断地进行“镇定”的自我暗示，然后利用知识之间的联系努力联想，或者跳过去先做别的题，等别的题做好了，心里有“底”了，紧张情绪就会得到缓解，皮层的抑制就可能得到解除，思维就会顺畅起来。
5、答题纸答题注意规范，别漏涂选择题。
6、考试结束：“糊涂”、“孤独”出考场 ：每考完一科，和同学对答案是考试结束后的大忌，只会造成更加的慌乱、怀疑、沮丧。因此，考生走出考场后应做到两点：一是越糊涂越好。不要去回想考试内容，不要回忆自己的答案，更不要翻书去验证。只要出了考场，就要坚决“忘掉一切”。二是尽量避免与同学同行，因为同学在一起，总免不了要议论考试内容，从而引起情绪波动。
这就是我要告诉大家的。
预祝：考试顺利。