放缩证明数列不等式

第一篇：放缩证明数列不等式

放缩法证明数列不等式

基础知识回顾:

放缩的技巧与方法：

(1)常见的数列求和方法和通项公式特点：

① 等差数列求和公式：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。(关于错误!未找到引用源。的一次函数或常值函数)

② 等比数列求和公式：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。(关于错误!未找到引用源。的指数类函数) ③ 错位相减：通项公式为“等差错误!未找到引用源。等比”的形式

④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项

(2)与求和相关的不等式的放缩技巧：

① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小(应与所证的不等号同方向)

③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式;第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

(3)放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项(或等距离间隔项)

② 等比数列：所面对的问题通常为“错误!未找到引用源。常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足错误!未找到引用源。 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为错误!未找到引用源。的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误!未找到引用源。，即可猜想该等比数列的首项为错误!未找到引用源。，公比为错误!未找到引用源。，即通项公式为错误!未找到引用源。 。

注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响

(4)与数列中的项相关的不等式问题：

① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形

② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。(累乘时要求不等式两侧均为正数)，然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为错误!未找到引用源。，另一侧为求和的结果，进而完成证明 应用举例:

类型一：与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。满足：错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。为常数，且错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。).

(1)求错误!未找到引用源。的通项公式;

(2)设错误!未找到引用源。，若数列错误!未找到引用源。为等比数列，求错误!未找到引用源。的值; (3)在满足条件(2)的情形下，设错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，若不等式错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到引用源。的取值范围.

例2.记错误!未找到引用源。.对数列错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。的子集错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。，定义错误!未找到引用源。;若错误!未找到引用源。，定义错误!未找到引用源。.例如：错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。.现设错误!未找到引用源。是公比为3的等比数列，且当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。

(1)求数列的通项公式;错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 (2)对任意正整数，若，求证：;错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 (3)设，求证：.

类型

二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。满足：错误!未找到引用源。. (1)求证:错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。; (2)求证:错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。); (3)求证:错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。).

例4.已知错误!未找到引用源。是数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和，且对任意错误!未找到引用源。，有错误!未找到引用源。.其中错误!未找到引用源。为实数，且错误!未找到引用源。. (1)当错误!未找到引用源。时， ①求数列错误!未找到引用源。的通项;

②是否存在这样的正整数错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。成等比数列?若存在，给出错误!未找到引用源。满足的条件，否则，请说明理由. (2)当错误!未找到引用源。时，设错误!未找到引用源。， ① 判定错误!未找到引用源。是否为等比数列;

②设错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。恒成立，求错误!未找到引用源。的取值范围.

方法、规律归纳: 常见的放缩变形：

(1)错误!未找到引用源。， (2)错误!未找到引用源。

注：对于错误!未找到引用源。还可放缩为：错误!未找到引用源。 (3)分子分母同加常数：错误!未找到引用源。 (4)错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 可推广为：错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 实战演练: 1.【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。记数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。

(1)求证：数列错误!未找到引用源。为等比数列，并求其通项错误!未找到引用源。;

(2)求错误!未找到引用源。;

(3)问是否存在正整数错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。成立?说明理由.

2.【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列错误!未找到引用源。中， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。.

⑴ 求证：数列错误!未找到引用源。为等差数列;

⑵ 设错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，若当错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。为偶数时， 错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到引用源。的取值范围;

⑶ 设数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项的和为错误!未找到引用源。，试求数列错误!未找到引用源。的最大值. 【答案】⑴见解析⑵错误!未找到引用源。⑶错误!未找到引用源。

3.【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列

的前项和为，满足

，

.数列

满足(1)求数列(2)若和，，且.

的通项公式; ，数列的前项和为，对任意的

，(

，都有

，求实数的取值范围;

(3)是否存在正整数，，使，请说明理由.

)成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，，若不存在，4.已知数列错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。，其中， 错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。.

(1)求数列错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。的通项公式;

(2)是否存在自然数错误!未找到引用源。，使得对于任意错误!未找到引用源。有错误!未找到引用源。恒成立?若存在,求出错误!未找到引用源。的最小值;

(3)若数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。，求数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。.

5.【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，且满足错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。为常数.

(1)是否存在数列错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。?若存在，写出一个满足要求的数列;若不存在，说明理由. (2)当错误!未找到引用源。时，求证： 错误!未找到引用源。.

(3)当错误!未找到引用源。时，求证：当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。.

6.【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列

分别满足，其中(1)若数列(2)若数列①若数列②若数列

，设数列的前项和分别为的通项公式; ，使得

，称数列

. 都为递增数列，求数列满足：存在唯一的正整数“坠点数列”，求 为“坠点数列”，数列

为“坠点数列”.

为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值;若不存在，说明理由.

7.【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。成立. (1)分别判断数集错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。是否具有性质错误!未找到引用源。，并说明理由;

(2)求证： 错误!未找到引用源。 ;

(2)若错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。的最小值.

8.记等差数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。. (1)求证：数列错误!未找到引用源。是等差数列;

(2)若 错误!未找到引用源。，对任意错误!未找到引用源。，均有错误!未找到引用源。是公差为错误!未找到引用源。的等差数列，求使错误!未找到引用源。为整数的正整数错误!未找到引用源。的取值集合;

(3)记错误!未找到引用源。，求证： 错误!未找到引用源。.

9.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足 (n+1) bn=an+1错误!未找到引用源。，(n+2) cn=错误!未找到引用源。，其中n∈N*.

(1)若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式;

(2)若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列.

10.已知各项不为零的数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。.

(1)若错误!未找到引用源。成等比数列，求实数错误!未找到引用源。的值; (2)若错误!未找到引用源。成等差数列， ①求数列错误!未找到引用源。的通项公式;

②在错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。间插入错误!未找到引用源。个正数，共同组成公比为错误!未找到引用源。的等比数列，若不等式错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到引用源。的最大值.

放缩法证明数列不等式

基础知识回顾:

放缩的技巧与方法：

(1)常见的数列求和方法和通项公式特点：

① 等差数列求和公式：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。(关于错误!未找到引用源。的一次函数或常值函数)

② 等比数列求和公式：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。(关于错误!未找到引用源。的指数类函数) ③ 错位相减：通项公式为“等差错误!未找到引用源。等比”的形式

④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项

(2)与求和相关的不等式的放缩技巧：

① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小(应与所证的不等号同方向)

③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式;第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

(3)放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项(或等距离间隔项)

② 等比数列：所面对的问题通常为“错误!未找到引用源。常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足错误!未找到引用源。 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为错误!未找到引用源。的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误!未找到引用源。，即可猜想该等比数列的首项为错误!未找到引用源。，公比为错误!未找到引用源。，即通项公式为错误!未找到引用源。 。 注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响

(4)与数列中的项相关的不等式问题：

① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形

② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。(累乘时要求不等式两侧均为正数)，然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为错误!未找到引用源。，另一侧为求和的结果，进而完成证明 应用举例:

类型一：与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。满足：错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。为常数，且错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。).

(1)求错误!未找到引用源。的通项公式;

(2)设错误!未找到引用源。，若数列错误!未找到引用源。为等比数列，求错误!未找到引用源。的值; (3)在满足条件(2)的情形下，设错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，若不等式错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到引用源。的取值范围.

【答案】(1)错误!未找到引用源。(2)错误!未找到引用源。(3)错误!未找到引用源。

(2)由(1)知，错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。， 若数列错误!未找到引用源。为等比数列，则有错误!未找到引用源。， 而错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。， 故错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。，

再将错误!未找到引用源。代入错误!未找到引用源。，得错误!未找到引用源。，

例2.记错误!未找到引用源。.对数列错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。的子集错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。，定义错误!未找到引用源。;若错误!未找到引用源。，定义错误!未找到引用源。.例如：错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。.现设错误!未找到引用源。是公比为3的等比数列，且当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。

(1)求数列的通项公式;错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 (2)对任意正整数，若，求证：;错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 (3)设，求证：.【答案】(1)错误!未找到引用源。(2)详见解析(3)详见解析 【解析】

试题分析：(1)根据及时定义，列出等量关系，解出首项，写出通项公式;(2)根据子集关系，进行放缩，转化为等比数列求和;(3)利用等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。因此由错误!未找到引用源。，因此错误!未找到引用源。中最大项必在A中，由(2)得错误!未找到引用源。. 试题解析：(1)由已知得错误!未找到引用源。. 于是当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。. 又错误!未找到引用源。，故错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。. 所以数列错误!未找到引用源。的通项公式为错误!未找到引用源。. (2)因为错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。， 所以错误!未找到引用源。. 因此，错误!未找到引用源。.

综合①②③得，错误!未找到引用源。. 类型

二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。满足：错误!未找到引用源。. (1)求证:错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。; (2)求证:错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。); (3)求证:错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。). 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.

故错误!未找到引用源。， 则有：错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 例4.已知错误!未找到引用源。是数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和，且对任意错误!未找到引用源。，有错误!未找到引用源。.其中错误!未找到引用源。为实数，且错误!未找到引用源。. (1)当错误!未找到引用源。时， ①求数列错误!未找到引用源。的通项;

②是否存在这样的正整数错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。成等比数列?若存在，给出错误!未找到引用源。满足的条件，否则，请说明理由. (2)当错误!未找到引用源。时，设错误!未找到引用源。， ① 判定错误!未找到引用源。是否为等比数列;

②设错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。恒成立，求错误!未找到引用源。的取值范围. 【答案】(1)①错误!未找到引用源。;②不存在;(2)①当错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。时，数列错误!未找到引用源。是以错误!未找到引用源。为首项，错误!未找到引用源。为公比的等比数列，当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。，不是等比数列;②错误!未找到引用源。.

方法、规律归纳: 常见的放缩变形：

(1)错误!未找到引用源。， (2)错误!未找到引用源。

注：对于错误!未找到引用源。还可放缩为：错误!未找到引用源。 (3)分子分母同加常数：错误!未找到引用源。 (4)错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 可推广为：错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 实战演练: 1.【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。记数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。

(1)求证：数列错误!未找到引用源。为等比数列，并求其通项错误!未找到引用源。;

(2)求错误!未找到引用源。;

(3)问是否存在正整数错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。成立?说明理由. 【答案】(1)错误!未找到引用源。 (2)错误!未找到引用源。 (3)当错误!未找到引用源。为偶数时， 错误!未找到引用源。 都成立，(3)详见解析

(3)假设存在正整数错误!未找到引用源。 ，使得错误!未找到引用源。 成立， 因为错误!未找到引用源。 ， 错误!未找到引用源。 ， 所以只要错误!未找到引用源。

即只要满足 ①：错误!未找到引用源。 ，和②：错误!未找到引用源。 ， 对于①只要错误!未找到引用源。 就可以; 对于②，

当错误!未找到引用源。 为奇数时，满足错误!未找到引用源。 ，不成立，

当错误!未找到引用源。 为偶数时，满足错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。 令错误!未找到引用源。 ， 因为错误!未找到引用源。

即错误!未找到引用源。 ，且当错误!未找到引用源。 时， 错误!未找到引用源。 ，

所以当错误!未找到引用源。 为偶数时，②式成立，即当错误!未找到引用源。 为偶数时， 错误!未找到引用源。成立 . 2.【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列错误!未找到引用源。中， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。.

⑴ 求证：数列错误!未找到引用源。为等差数列;

⑵ 设错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，若当错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。为偶数时， 错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到引用源。的取值范围;

⑶ 设数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项的和为错误!未找到引用源。，试求数列错误!未找到引用源。的最大值. 【答案】⑴见解析⑵错误!未找到引用源。⑶错误!未找到引用源。

要使错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。为偶数恒成立， 只要使错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。为偶数恒成立， 即使错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。为正偶数恒成立，

错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，故实数错误!未找到引用源。的取值范围是错误!未找到引用源。; ⑶由⑴得错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 设错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。， 当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，

因此数列错误!未找到引用源。的最大值为错误!未找到引用源。.

【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用，涉及等差数列的判定与证明，其中证明(1)的关键是分析得到错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的关系式.

3.【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列满足，

，且

.

的前项和为，满足

，

.数列(1)求数列(2)若和的通项公式; ，数列的前项和为，对任意的

，(

，都有

，求实数的取值范围;

(3)是否存在正整数，，使，请说明理由.

【答案】(1)(2)

)成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，，若不存在，

(3)不存在

(2)由(1)得于是所以

，

，

两式相减得所以由(1)得因为对 即所以恒成立， ，都有，

，

， 恒成立，

， 记所以因为从而数列于是， ，

为递增数列，所以当.

(

)，使

成等差数列，则

，

时取最小值

，

，

(3)假设存在正整数即 ，

若为偶数，则若为奇数，设于是当时，为奇数，而为偶数，上式不成立. ，则

，

，

与

矛盾; ，即，此时

4.已知数列错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。，其中， 错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。.

(1)求数列错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。的通项公式;

(2)是否存在自然数错误!未找到引用源。，使得对于任意错误!未找到引用源。有错误!未找到引用源。恒成立?若存在,求出错误!未找到引用源。的最小值;

(3)若数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。，求数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。.

【答案】(1)错误!未找到引用源。;(2)存在， 错误!未找到引用源。;(3)错误!未找到引用源。. 【解析】试题分析：

(1)根据题设条件用累乘法能够求出数列{an}的通项公式.b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{bn}的通项公式.(2)bn=2n.假设存在自然数m，满足条件，先求出错误!未找到引用源。，将问题转化成错误!未找到引用源。可求得错误!未找到引用源。的取值范围;(3)分n是奇数、n是偶数两种情况求出Tn，然后写成分段函数的形式。

试题解析： (1)由错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。. 又错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。. 当错误!未找到引用源。时，上式成立，

因为错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。是首项为2，公比为2的等比数列， 故错误!未找到引用源。.

(3)当错误!未找到引用源。为奇数时， 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。; 当错误!未找到引用源。为偶数时，

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。. 因此错误!未找到引用源。.

点睛：数列求和时，要根据数列项的特点选择不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和等。

5.【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，且满足错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。为常数.

(1)是否存在数列错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。?若存在，写出一个满足要求的数列;若不存在，说明理由.

(2)当错误!未找到引用源。时，求证： 错误!未找到引用源。.

(3)当错误!未找到引用源。时，求证：当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。. 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析

当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，两式相减得错误!未找到引用源。，

即错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，

当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。，综上， 错误!未找到引用源。.

6.【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列的前项和分别为(1)若数列.

分别满足，其中，设数列都为递增数列，求数列的通项公式; (2)若数列①若数列②若数列满足：存在唯一的正整数“坠点数列”，求 为“坠点数列”，数列

，使得，称数列为“坠点数列”.

为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值;若不存在，说明理由. 【答案】(1)

.(2)①

，② 6.

7.【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。成立. (1)分别判断数集错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。是否具有性质错误!未找到引用源。，并说明理由;

(2)求证： 错误!未找到引用源。 ;

(2)若错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。的最小值. 【答案】(1)不具有(2)见解析(3)错误!未找到引用源。.

(2)因为集合错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。，所以对错误!未找到引用源。而言，存在错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。，又因为错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，同理可得错误!未找到引用源。，将上述不等式相加得： 错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。. (3)由(2)可知错误!未找到引用源。，又错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，

所以错误!未找到引用源。，构成数集错误!未找到引用源。，经检验错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。，故错误!未找到引用源。的最小值为错误!未找到引用源。. 点睛：本题是一道新定义的迁移信息并利用信息的信息迁移题。求解第一问时，直接运用题设条件中所提供的条件信息进行验证即可;解答第二问时，先运用题设条件中定义的信息可得错误!未找到引用源。，同理可得错误!未找到引用源。，再将上述不等式相加得： 错误!未找到引用源。即可获证错误!未找到引用源。;证明第三问时，充分借助(2)的结论可知错误!未找到引用源。，又错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。可得错误!未找到引用源。，因此构成数集错误!未找到引用源。，经检验错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。，进而求出错误!未找到引用源。的最小值为错误!未找到引用源。. 8.记等差数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。. (1)求证：数列错误!未找到引用源。是等差数列;

(2)若 错误!未找到引用源。，对任意错误!未找到引用源。，均有错误!未找到引用源。是公差为错误!未找到引用源。的等差数列，求使错误!未找到引用源。为整数的正整数错误!未找到引用源。的取值集合;

(3)记错误!未找到引用源。，求证： 错误!未找到引用源。. 【答案】(1)见解析(2)错误!未找到引用源。(3)见解析

解：(1)设等差数列错误!未找到引用源。的公差为错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，从而错误!未找到引用源。，所以当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，即数列错误!未找到引用源。是等差数列. (2)因为的任意的错误!未找到引用源。都是公差为错误!未找到引用源。，的等差数列，所以错误!未找到引用源。是公差为错误!未找到引用源。，的等差数列，又错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，显然， 错误!未找到引用源。满足条件，当错误!未找到引用源。时，因为错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。不是整数，综上所述，正整数错误!未找到引用源。的取值集合为错误!未找到引用源。. (3)设等差数列错误!未找到引用源。的公差为错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，即数列错误!未找到引用源。是公比大于错误!未找到引用源。，首项大于错误!未找到引用源。的等比数列，记公比为错误!未找到引用源。.以下证明： 错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。为正整数，且错误!未找到引用源。，因为错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，当错误!未找到引用源。时，因为错误!未找到引用源。为减函数， 错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，综上， 错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。. 9.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足 (n+1) bn=an+1错误!未找到引用源。，(n+2) cn=错误!未找到引用源。，其中n∈N*.

(1)若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式;

(2)若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列. 【答案】(1)cn=1.(2)见解析.

10.已知各项不为零的数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。.

(1)若错误!未找到引用源。成等比数列，求实数错误!未找到引用源。的值; (2)若错误!未找到引用源。成等差数列， ①求数列错误!未找到引用源。的通项公式; ②在错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。间插入错误!未找到引用源。个正数，共同组成公比为错误!未找到引用源。的等比数列，若不等式错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到引用源。的最大值.

【答案】(1)错误!未找到引用源。(2)错误!未找到引用源。(3)错误!未找到引用源。

(3)错误!未找到引用源。，在错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。间插入错误!未找到引用源。个正数，组成公比为错误!未找到引用源。的等比数列，故有错误!未找到引用源。，

即错误!未找到引用源。，

第二篇：放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证明数列不等式

主要放缩技能： 1.11111112 nn1n(n1)nn(n1)n1n

1144112()

22n4n1(2n1)(2n1)2n12n1n24

2.  2

)

 







 4.

2n2n2n1115. n (21)2(2n1)(2n2)(2n1)(2n11)2n112n16.

n22(n1)n11 n(n1)2n1n(n1)2n1n2n(n1)2n1

x2xn*c(nN)例1.设函数y的最小值为，最大值为，

且abnnn2x1

(1)求cn;(2)证明：

例2.

证明：161

例3.已知正项数列an的前n项的和为sn，且an

2(1)求证：数列sn是等差数列; 11117 444c14c2c3cn417 12sn，nN*; an

(2)解关于数列n的不等式：an1(sn1sn)4n8

(3)记bn2sn,Tn

2 331111Tn

，证明：1 2b1b2b3bn

例4. 已知数列an满足：n2anan1; 是公差为1的等差数列，且an1nn

(1) 求an;(2

2 例5.在数列an中，已知a12,an1an2anan1;

(1)求an;(2)证明：a1(a11)a2(a21)a3(a31)an(an1)3

2n1an例6. 数列an满足：a12,an1; n(n)an22

5112n

(1)设bn，求bn;(2)记cn，求证：c1c2c3cn 162n(n1)an1an

例7. 已知正项数列an的前n项的和为sn满足：sn1,6sn(an1)(an2);

(1)求an;

(2)设数列bn满足an(2n1)1,并记Tnb1b2b3bn， b

求证：3Tn1log2n

(a3)(函数的单调性，贝努力不等式，构造，数学归纳法)

例8. 已知正项数列an满足：a11,nan1(n1)an1 ， anan1

记b1a1,bnn[a1

(1)求an;

(2)证明：(1

2111](n2)。 222a2a3an11111)(1)(1)(1)4 b1b2b3bn4

第三篇：利用放缩法证明数列不等式的技巧“揭秘”

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利用放缩法证明数列不等式的技巧“揭秘” 作者：顾冬生

来源：《新高考·高三数学》2013年第06期

数列型不等式的证明题，常常需要用放缩的方法来解决，但放缩的技巧让人目不暇接，极具思考性和挑战性，能全面而综合地考查同学们的潜能与后继学习能力，常常成为高考压轴题及各级各类竞赛题命题的极好素材.同学们往往觉得就像魔术师在玩魔术，忽有忽无，变幻莫测，很精彩，但不知道怎么玩的，无法抓住其中的关键处.现在让我们一起来“揭秘”，发现这些放缩变形的本质.

第四篇：用放缩法证明数列求和中的不等式

近几年，高考试题常把数列与不等式的综合题作为压轴题，而压轴题的最后一问又重点考查用放缩法证明不等式，这类试题技巧性强，难度大，做题时要把握放缩度，并能自我调整，因此应加强此类题目的训练。

高考题展示：

(2006年全国卷I)设数列an的前n项的和

Sn412an2n1，n1,2,3, 333

n32n

，证明：Ti (Ⅰ)求首项a1与通项an;(Ⅱ)设Tn，n1,2,3,2Sni1

nn解：易求an42(其中n为正整数)

4124122Snan2n14n2n2n12n112n13333333

nn232311Tnn1Sn2212n122n12n11

所以：

T22ii1n3113112n112 (2006年福建卷)已知数列an满足a11,an12an1(nN*). (I)求数列an的通项公式; (II)证明：an1a1a2n...n(nN*). 23a2a3an12解：(I)易求an221(nN*).

ak2k12k11k1,k1,2,...,n, (II)证明：ak1212(2k1)22aaan12...n. a2a3an12ak2k11111111k1.,k1,2,...,n, ak12122(2k11)23.2k2k2232kaaan1111n11n112...n(2...n)(1n), a2a3an12322223223an1aan12...n(nN*). 23a2a3an12

111115S ，证明：nn2122232n23

1 点评：两个高考题向我们说明了数列求和中不等关系证明的两种方法：1.每一项转化为两项差，求和后消去中间项(裂项法)与放缩法的结合;2.用放缩法转化为等比数列求和。 题1. 已知数列an中an

放缩一：1111(n2) 2nn(n1)n1n

111111111111111()() 222222222123n123455667n1n13121113121238924005111. =136400n36400360036003Sn

点评：此种放缩为常规法，学生很容易想到，但需要保留前5项，从第6项开始放大，才能达到证题目的，这一点学生往往又想不到，或因意志力不坚强而放弃。需要保留前5项，说明放大的程度过大，能不能作一下调节? 放缩二：111111(),(n2) n2n21(n1)(n1)2n1n1

111111111111111()() 122232n2122222435n2nn1n151111151115()(). 4223nn142233Sn

点评：此种方法放大幅度较

(一)小，更接近于原式，只需保留前2项，从第3项开始放大，能较容易想到，还能再进一步逼近原式? 放缩三：1111111()2(),(n1) 211111n2n12n1n2(n)(n)nn42222

Sn111111111111512()12()122232n235572n12n132n13本题点评：随着放缩程度的不同，前面需保留不动的项数也随着发生变化，放缩程度越小，精确度越高，保留不动的项数就越少，运算越简单，因此，用放缩法解题时，放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦。

n2n

题2.已知数列an中ann，求证：ai(ai1)3. 21i1

2i12i2i111方法一：ai(ai1)i. iiiii1i1i2121(21)(22)(21)(21)2121

ai(ai1)

i1n

211111111()()()33.121223n1nn(21)21212121212121

方法二：

2i1111ai(ai1)i.(i2) (21)22i22i22i2i22i1

2i22

11111ai(ai1)22n12(1n1)3n13. 22222i1

点评：方法一用的是放缩法后用裂项法求和;方法二是通过放缩转化为等比数列求和，从数值上看方法二较方法一最后结果的精确度高(3

明的结果3。

同类题训练：

1.已知数列a

n中an，Sn是数列的前n

项和，证明：1)Sn n113)，但都没超过要证nn12122.点列P(2n,23n)到直线系ln:22nxy2n0中相应直线的距离为dn,

求证：d1d2dn1.

第五篇：放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩。

1、 先放缩再求和

例1 (05年湖北理)已知不等式[log

n]表示不超过log

nan1nan1nan1nan

11n

1213

1n12[log

2n],其中n为不大于2的整数，

2

2n的最大整数。设数列an的各项为正且满足

2b2b[log

2

a1b(b0),an(n2,3,4)，证明：an

n]

，n3,4,5

分析：由条件an

得：

1an



1an1



1n



1an1



1an1

(n2)

an1an2



1n1

……

1a2

1a1

12

以上各式两边分别相加得：

1an

1a11n

1n11n1



12

1an

1b1b



1n12



12



[logn](n3) 2

=

2b[log

2b

2

n]

 an

2b2b[log

2

n]

(n3)

本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。

n

例2 (04全国三)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2an(1)， n1

(1)写出数列{an}的前三项a1，a2，a3; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明：对任意的整数m4，有

1a

41a

5

1am

78

分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2;

⑵由已知得：anSnSn12an(1)n2an1(1)n1(n>1) 化简得：an2an12(1)n1 an(1)

n

2

an1(1)

n1

2,

an(1)

n



2

32[

an1(1)

n1



23

]

故数列{

an(1)2

n



23

}是以a1

23

为首项, 公比为2的等比数列.故

an(1)

n



12n2n1n

()(2)∴an[2(1)]

333

23[2

n2

∴数列{an}的通项公式为：an

(1)].

n

⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能

够求和。而左边=

1a4

1a5



1am

3[1

221



121



12

m2

(1)

m

]，如果我们把

上式中的分母中的1去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：

121

121



121



12



12

，



121



12



12

，因此，可将

121

保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可

求和。这里需要对m进行分类讨论，(1)当m为偶数(m4)时，

1a4

1a5

1am

1a412

(3

1a51



1a61

)(

1am11

m2



1am

)



2222

1311

(1m4)

2242137



288

()

(2)当m是奇数(m4)时，m1为偶数，

1a4

1a5

1am

1a4

1a51a4

1a61a5

1am1am

1am178



78

所以对任意整数m4，有

。

本题的关键是并项后进行适当的放缩。

2、 先求和再放缩

例3(武汉市模拟)定义数列如下：a12,an1anan1,nN 证明：(1)对于nN恒有an1an成立。

(2)当n2且nN，有an1anan1a2a11成立。(3)1

12

2006



1a1



1a2



1a2006

1。

分析：(1)用数学归纳法易证。(2)由an1anan1得：

an11an(an1)

an1an1(an11)……

a21a1(a11)以上各式两边分别相乘得：

an11anan1a2a1(a11)，又a12an1anan1a2a11(3)要证不等式1

12

2006



1a1



1a21



1a2006

1，

可先设法求和：

1a1



1a2



a2006

，再进行适当的放缩。

an11an(an1)



1an11



1an1



1an



1an1a1



1an11a2



1an111a2006



(

1a111



1a211

)(

1a21



1a31

)(

1a20061



1a20071

)



a11



a200711

1

a1a2a2006

1

又a1a2a2006a1

1

1a1a2a2006

2006

2

2006

1

12

2006

原不等式得证。

本题的关键是根据题设条件裂项求和。