旋转变换是人教版九年级上册一个重要知识点, 通过旋转变换, 使旋转后的图形与原来图形建立起某些联系, 即通过图形变换, 把条件不明的量之间的关系转化为明显的量的关系, 由此沟通已知与未知, 以利于探索出解题途径的思想方法, 在中考中, 可以利用这种变换, 打破常规解题的思维局限, 大胆构想, 大手笔运用图形, 使问题得以转化。在几何问题中, 巧妙地运用旋转法解题, 有时可以起到四两拨千斤的作用。笔者通过多年教学的总结归纳了以下几例巧用旋转思想来求解的典型问题。
一、巧用旋转证和差
例1.已知:如图1, E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点, 且∠EAF=45°。
求证:BE+FD=EF。
分析:可把△ADF绕点A旋转至图2所示位置则F′B=FD, 再证△AF′E≌△AFD, 则EF′=EF, 又E F′=BE+F′B=BE+FD所以, BE+FD=EF。
证明:如图2, 把△ADF绕点A顺时针旋转90°, 到△ADF′的位置.
点拨:本题解题方法体现了转化的数学思想, 利用图形的旋转将分散了的条件转化为整体的。
二、根据旋转求面积
例2.当汽车在雨天行驶时, 为了看清楚道路, 司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。如图3是某汽车的一个雨刷器的示意图, 雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接 (不能转动) , 当杆AB绕A点转动90°时, 雨刷CD扫过的面积是多少呢?小明仔细观察了雨刷器的转动情况, 量得CD=80cm, ∠DBA=20°, 端点C, D与点A的距离分别是115cm, 35cm, 他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果。你知道小明是怎样计算的吗?也请你算一算雨刷CD扫过的面积为___cm2。 (π取3.14)
点评:本题考查扇形的面积公式, 同时也考察了同学们分析数据、观察图形、拼割图形的能力。
三、利用旋转求坐标
例3.如图4, 在直角坐标系中, 已知点A (-3, 0) , B (0, 4) , 对△OAB连续作旋转变换, 依次得到三角形 (1) 、 (2) 、 (3) 、 (4) …, 则三角形 (10) 的直角顶点的坐标为__。
分析:先由题意结合图形确定三角形直角顶点的坐标, 然后通过循环寻找规律。
解:由图形可知:三角形 (1) 直角顶点的坐标是 (0, 0) ;三角形 (2) 直角顶点的坐标是 (7, 0) ;三角形 (3) 直角顶点的坐标是 (12, 0) ;三角形 (4) 直角顶点的坐标是 (12, 0) ;三角形 (5) 直角顶点的坐标是 (19, 0) ;……, 三次变换完成一个循环, 三个循环后的坐标为 (36, 0) , 所以三角形 (10) 的直角顶点的坐标也是 (36, 0) 。
点评:本题是一道以图形变换循环为背景的坐标规律探究题, 它考察了同学们的图形分析能力和探究问题的能力.这类题只要按题目的要求, 读懂问题内容, 寻找出规律, 问题自然得到解决。
四、构造旋转求角度
例4.如图5, P是正方形内一点, 若PA:PB:PC=1:2:3, 则∠APB__=。
分析:如图5, 设PA=a, PB=2a, PC=3a, 由于PA、PB、PC三条线段不在同一个三角形中, 与要求的∠APB无法建立联系。根据正方形的性质, 若将△APB绕B点顺时针旋转90°到△CP′B, 并连接PP′, 则将已知条件可集中在四边形PBP′C中。
解:将△APB绕B点顺时针旋转90°到△CP′B, 并连接PP′。
点评:本题是一道利用图形旋转巧解以正方形为背景的求角度问题, 在本题的解决过程中充分体现了旋转思想在解题中的重要作用。
摘要：旋转思想也是近几年中考题目中出现较为常见的数学思想。在解题中有着重要的作用, 它可以把分散的已知条件集中到同一个图形中来, 从而达到巧妙解题的目的。
关键词：旋转思想,解决,几何问题