不等式的性质及应用

第一篇：不等式的性质及应用

数学教案【不等式的性质及证明】

一、教学内容：不等式性质及证明.

二、教学目标：

1. 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景. 2. 理解不等式的性质，掌握不等式证明的基本方法.

三、重点难点：

1. 了解不等式的有关概念及其分类，掌握不等式的性质及其应用，明确各个性质中结论成立的前提条件.

2. 利用不等式性质的基本性质进行简单的推理及证明，培养学生的逻辑推理能力及分析问题、解决问题的能力.

四、教学过程：

(一)知识要点

1、不等式的基本性质

(1)对于任意两个实数a、b，都有

abab0; abab0; abab0.

(2)比较两实数a、b大小的方法——求差比较法，即通过判断它们的差ab的符号来判断a、b的大小.

2、不等式的性质定理

定理1：若ab，则ba;若ba，则ab.即abba. 说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性. 定理2：若ab，且bc，则ac.

说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数;定理2称不等式的传递性.

定理3：若ab，则acbc.

说明：① 不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向; ② 定理3的证明相当于比较ac与bc的大小，采用的是求差比较法; ③ 定理3的逆命题也成立;

④ 不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边. 定理3推论：若ab，且cd，则acbd.

说明：① 推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出;

② 这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向;

③ 同向不等式：两个不等号方向相同的不等式;异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.

定理4：如果ab且c0，那么acbc;如果ab且c0，那么acbc. 推论1：如果ab0且cd0，那么acbd.

说明：① 不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变;乘以同一个负数，不等号方向改变;

② 两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向;

③ 推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.

nn推论2：如果ab0， 那么ab (nN且n1).

定理5：如果ab0，那么nanb (nN且n1).

1 例题1 对于实数a、b、c，判断下列命题的真假.

(1)若ab，则acbc;

(2)若ab，则acbc; (3)若acbc，则ab;

(4)若ab0，则aabb; (5)若ab0，则22222211ba;

(6)若ab0，则. ababcc. ab◆应用Ⅰ 证明简单的不等式

例题2.1 已知ab0，c0，求证：

应用练习 设a、b是非零实数;若ab，则下列不等式成立的是(

) A.ab

B.abab

C.◆应用Ⅱ 判断命题的真假

例题2.2 对于任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是(

) A. “acbc”是“ab”的必要条件 B. “acbc”是“ab”的必要条件 C. “acbc”是“ab”的充分条件 D. “acbc”是“ab”的充分条件

应用练习 已知a，b，c，d为实数，且cd，则“ab”是“acbd”的(

) A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 ◆应用Ⅲ 比较实数的大小 222211ba

D.

ab2a2bab11

22、、a、b的大小关系. ab11112222提示：首先利用a、b是正数，、是负数，再分别去比较a、b、、的大小.

abab例题2.3 若1ab0，试比较

应用练习 已知a0，且a1，mn0，比较Aa

◆应用Ⅳ 求取值范围问题 例题2.4 已知

m11n和的大小. Bamnaa22，求

2的范围.

11应用练习 若、满足，试求3的取值范围.

123提示：可将3用，2表示出来，问题可得解.

2 3.证明不等式的基本方法 (1)比较法

比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论;为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负.

以上介绍的是差值比较法，用比较法证不等式还可采取商值比较法，即左、右两边作商判断商值与1的大小. (2)综合法

利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法;利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件.

综合法证明不等式的逻辑关系是：AB1B2BnB，及从已知条件A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B. (3)分析法

证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法.

分析法是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”.

例题3.1已知a,bR，求证：abab.

分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行.

〖练习〗若实数x1，求证：3(1xx)(1xx).

例题3.2 已知a，b，m都是正数，并且ab.求证：

应用练习 证明：(ab)(cd)(acbd).

(1)

变式训练 证明函数f(x)

应用练习 证明函数y2

x24x3abba2422ama(1) .

bmb222221在其定义域上是减函数.

xx在[2,)上是增函数. 五.课堂小结：

1.不等式的概念和性质式本章的基础，是证明不等式和解不等式的主要依据，复习时要高度重视.对每一条性质，要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽后，条件和结论之间发生的变化;记住不等式运算法则的结论形式，掌握运算法则的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.掌握证明不等式性质的方法，可以进一步提高逻辑推理能力.

2.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.

(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证;

(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.

3.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.

证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.

4.利用性质求数(式)的取值范围的方法

应用不等式的性质求多个变量线性组合的范围，由于变量间彼此相互制约，在“取等”的条件上会有所不同，故解此类题目要特别小心.一般来说，可采用整体换元或待定系数法.

例如，已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是__________.(答案用区间表示)

方法一：设2x3ys(xy)t(xy)，通过对比系数求出s、t的值. 方法二：画出1xy4的可行域为ABCD，z(3,8)的最优解为A、C两点.

2xy3 4

第二篇：不等式基本性质说课稿及课后反思

不等式的基本性质

说课稿及课后反思

杨秀蕊

今天说课的题目是《不等式的基本性质》，主要分四块内容进行说课：教材分析;教学方法的选择;学法指导;教学流程。

一、教材分析： 1.教材的地位和作用

本节课的内容是选自人教版义务课程标准实验教科书七年级下第九章第一节第二课时《不等式的基本性质》，这是继方程后的又一种代数形式，继承了方程的有关思想，并实现了数形结合的思想。是初中数学教学的重点和难点，对进一步学习一次函数的性质及应用有着及其重大的作用。

2.教学目标的确定

教学目标分为三个层次的目标：

⑴知识目标：主要是理解并掌握不等式的三个基本性质。

⑵能力目标：培养学生利用类比的思想来探索新知的能力，扩充和完善不等式的性质的能力。 ⑶情感目标：让学生感受到数学学习的猜想与归纳的思维方式，体会类比思想和获得成功的喜悦。 3.教学重点和难点

不等式的三个基本性质是本节课的中心，是学生必须掌握的内容，所以我确定本节的教学重点是不等式三个基本性质的学习以及用不等式的性质解不等式。本节课的难点是用不等式的性质化简。

二、教学方法、教学手段的选择：

本节课在性质讲解中我采取探索式教学方法，即采取观察猜测---直观验证---托盘实验---得出性质。使学生主动参与提出问题和探索问题的过程，从而激发学生的学习兴趣，活跃学生的思维。为了突破学生对不等式性质应用的困难，采取了类比操作化抽象为具体的方法来设置教学。整节课采取精讲多练、讲练结合的方法来落实知识点。

三、学法指导：

鉴于七年级的学生理解能力和逻辑推理能力还比较薄弱，应以激励的原则进行有效的教学。鼓励学生一种类型的题多练，并及时引导学生用小结方法，克服思维定势。

例题讲解采取数形结合的方法，使学生树立“转化”的数学思想。充分复习旧知识，使获取新知识的过程成为水到渠成，增强学生学习的成就感及自信心，从而培养浓厚的学习兴趣。

四、(主要环节)教学流程： 1.创设情境，复习引入 等式的基本性质是什么?

学生活动：独立思考，指名回答.

教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以(除数不为0)同一个数，所得结果仍是等式. 请同学们继续观察习题：

观察: 用“<”或“>”填空，并找一找其中的规律. (1)5>3，

5+2____3+2，

5-2____3-2; (2)–1<3 ，

-1+2____3+2，

-1-3____3-3; (3)6>2，

6×5____2×5，

6×(-5)____2×(-5); (4)–2<3，

(-2)×6____3×6，

(-2)×(-6)____3×(-6)

学生活动：观察思考，两个(或几个)学生回答问题，由其他学生判断正误.

【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备. 不等式有哪些基本性质呢?研究时要与等式的性质进行对比，大家知道，等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式(实质是移项法则)，请同学们观察①②题，并猜想出不等式的性质.

学生活动：观察思考，猜想出不等式的性质.

教师活动：及时纠正学生叙述中出现的问题，特别强调指出：“仍是不等式”包括两种情况，说法不确切，一定要改为“不等号的方向不变或者不等号的方向改变.”

师生活动：师生共同叙述不等式的性质，同时教师板书.

不等式基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 对比等式两边都乘(或除以)同一个数的性质(强调所乘的数可正、可负、也可为0)请大家思考，不等式类似的性质会怎样?

学生活动：观察③④题，并将题中的5换成2，-5换成一2，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论.

【教法说明】观察时，引导学生注意不等号的方向，用彩色粉笔标出来，并设疑“原因何在?”两边都乘(或除以)同一个负数呢?为什么?

师生活动：由学生概括总结不等式的其他性质，同时教师板书.

不等式基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 不等式基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.

师生活动：将不等式-2<3两边都加上7，-9，两边都乘3，-3试一试，进一步验证上面得出的三条结论.

学生活动：看课本第124页有关不等式性质的叙述，理解字句并默记. 强调：要特别注意不等式基本性质3.

实质：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“+”、“-”、“×”、“÷”四则运算，当进行“+”、“-”法时，不等号方向不变;当乘(或除以)同一个正数时，不等号方向不变;只有当乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向才改变.

学生活动：思考、同桌讨论.

归纳：只有乘(或除以)负数时不同，此外都类似. (1)如果x-5>4，那么两边都

可得到x>9 (2)如果在-7<8的两边都加上9可得到

(3)如果在5>-2的两边都加上a+2可得到

(4)如果在-3>-4的两边都乘以7可得到

(5)如果在8>0的两边都乘以8可得到

师生活动：学生思考出答案，教师订正，并强调不等式性质的应用. 2.尝试反馈，巩固知识

请学生先根据自己的理解，解答下面习题.

例1利用不等式的性质解下列不等式并用数轴表示解集. (1)

x-7>26

(2)

-4x≥3

学生活动：学生独立思考完成，然后一个(或几个)学生回答结果.

教师板书(1)(2)题解题过程.(3)(4)题由学生在练习本上完成，指定两个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确.

【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，并与原题对照，看用哪条性质能达到题目要求，要强调每步的理论依据，尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别，解题时书写要规范.

【教法说明】要让学生明白推理要有依据，以后作类似的练习时，都写出根据，逐步培养学生的逻辑思维能力.

(四)总结、扩展

本节重点：

(1)掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3. (2)能正确应用性质对不等式进行变形.

(五)课外思考

对比不等式性质与等式性质的异同点.

八、布置作业

(一)必做题：P128 A组3，4，5.

课后反思：

本节课我采用类比等式性质的方法引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想、验证的问题研究方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。利用学生的好奇心设疑、解疑，鼓励学生大胆积极参与，使学生在自主探究和合作交流中理解和掌握本节课的内容。力求在整个探究学习的过程中充满师生交流、生生交流以及互动。

从回顾旧知识入手，使他们带着兴趣进入课堂，为学习新知识做好了准备。不足之处是在这个环节上留给学生思考时间少了点。本节课，我觉得基本上达到了教学目标。在整个教学过程中学生的参与积极性也还不错，暴露出的一个严重问题就是我发现自己的语言表达不是很好，表扬性语言很单一而且生涩，我在今后的教学中，一定要努力提高教学技巧，逐步完善自己的课堂!

不等式的基本性质

说课稿及课后反思

杨秀蕊

第三篇：高中数学知识点：不等式的证明及应用

不等式的证明及应用

知识要点：

1.不等式证明的基本方法：

ab0ab

(1)比较法：ab0ab

ab0ab

用比较法证明不等式，作差以后因式分解或配方。

(2)综合法：利用题设、不等式的性质和某些已经证明的基本不等式(a2 | a a0; a2b22ab;a3b3c33abc等)，推论出所要证的不等式。综合法的思索路线是“由因导果”即从一个(一组)已知的不等式出发，不断地用必要条件来代替前面的不等式，直至推导出所要求证的不等式。

(3)分析法：“执果索因”从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前

面的不等式，直至找到已知的不等式。

证明不等式通常采用“分析综合法”，即用分析法思考，用综合法表述。

2.不等式证明的其它方法：

(1)反证法：理论依据AB与BA等价。先否定命题结论，提出假设，由

此出发运用已知及已知定理推出矛盾。根据原命题与逆否命题等价，A得证。

(2)放缩法：理论依据 a > b,b > ca > c B

(3)函数单调性法。

3.数(式)大小的比较：

(1)作差或作比法(2)媒介法(3)函数单调性法

4.不等式在函数中的应用：

(1)求函数的定义域(2)求函数的值域(3)研究函数的单调性

5.基本不等式法求最值：

(1)均值定理求最值：要求各项为正，一边为常数，等号可取。

(2)绝对值不等式|a||b||ab||a||b|的应用。其中|ab||a||b|取等号

的条件是ab且|ab|。|a+ba| + |b|取等号的条件是ab。

6.方程与不等式解的讨论

(1) 一元二次方程ax2

a0,b2bxc0有严格的顺序性： 及x1,2b2a4ac0,bx1x2acxx12a。

(2)函数与不等式：利用函数图象找出等价关系，转化为不等式问题去解决。

第四篇：柯西不等式的证明及应用

(河西学院数学系01(2)班甘肃张掖734000)

摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。

关键词：柯西不等式证明应用中图分类号：O178

Identification and application of Cauchy inequality

ChenBo

(department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000)

Abstract:Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc. provides several examples. Keyword：inequationproveapplication

柯西(Cauchy)不等式

12

2

222

a1b1a2b2anbna1a2an

b

2

2122b2bn

abR,i1,2n

2

ii

等号当且仅当a1a2an0或bikai时成立(k为常数，i1,2n)现将它的证明介绍如下：

证明1：构造二次函数 f(x)a1xb1a2xb2anxbn

2

2

2

22n222n

=a1a2anx2a1b1a2b2anbnxb1b2bn



2n

a12a2an0

fx0恒成立

2n4a1b1a2b2anbn4a12a2anb12b22bnn0

2

即a1b1a2b2anbna1a2an

2

2

2



n

b

2

2nb2bn

当且仅当aixbix0i1,2n即证明(2)数学归纳法

aa1a2

n时等号成立 b1b2bn

2

(1)当n1时左式=a1b1右式=a1b1 显然左式=右式

2

当

n2时， 右式

a12a2b12b22a1b1a2b2a22b12a12b22

a1b1a2b22a1a2b1b2a1b2a2b2右式

仅当即 a2b1a1b2 即

a1a2

时等号成立 b1b2

故n1,2时 不等式成立

(2)假设nkk,k2时，不等式成立 即 a1b1a2b2akbka1a2ak



k

b

21

2b2bkk

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

222

设a1b12b22bk2 a2ak

Ca1b1a2b2akbk

2则ak1

bb

2k1

2k122ak1bk1

22

C22Cak1bk1ak1bk1Cak1bk1 2222a1a2akak1



b12

b22

k

b2

k

b

a1b1a2b2akbkak1bk1

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

即nk1时不等式成立 综合(1)(2)可知不等式成立

柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1) 证明相关命题

例1. 用柯西不等式推导点到直线的距离公式

3

。

22

已知点x0,y0及直线l: xyC00



设点p是直线l上的任意一点， 则

xxC0(1)

p1p2

(2)

点p1p2两点间的距离p1p2就是点p到直线l的距离，求(2)式有最小值，有

x0x1y0y1

x0y0Cx1y1C

由(1)

(2)得：

p1p2x0y0C即

p1p2

(3)

当且仅当y0y1:x0x1



p1p2l (3)式取等号 即点到直线的距离公式

即

p1p2

2) 证明不等式

例2

4

a2b2c2

已知正数a,b,c满足abc1证明abc

证明：利用柯西不等式

a

b2c

22



13131

3a2a2b2b2c2c2

323232

a2b2c2abc

a3b3c3abcabc1

 ca又因为abcabbc在此不等式两边同乘以2，再加上abc

222得：abc3abc

222222



a2b2c2a3b3c33a2b2c2

a2b2c2

故abc

3) 解三角形的相关问题

例3 设p是ABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是ABC外接圆的

证明：由柯西不等式得，



记S为ABC的面积，则

abcabc

axbycz2S2



4R2R

故不等式成立。 4) 求最值 例4

5



2222

已知实数a,b,c,d满足abcd3， a2b3c6d5试求a的最值

解：由柯西不等式得，有

2b

2111

3c26d2bcd

236

222

即2b3c6dbcd 2

由条件可得， 5a3a

解得，1a

2时等号成立， 11

,d时，amax2 3621

b1,c,d时amin1

33

代入b1,c

5)利用柯西不等式解方程例5.在实数集内解方程

5

9222

xyz

4

8x6y24y39

解：由柯西不等式，得

x

222

y2z2862248x6y24y①



22

x2y2z286224



9

643641443924

又8x6y24y39

x

222

y2z2862248x6y24z



即不等式①中只有等号成立

从而由柯西不等式中等号成立的条件，得

xyz 8624

它与8x6y24y39联立，可得

x

6918yz 132613

67

6)用柯西不等式解释样本线性相关系数

在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中，有样本相关系数

(x)y

i

i

n

并指出r1且r越接近于1，相关程度越大，r越接

近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。 现记aixi，biyi

，则，

ab

n

ii

r1

n

当r1时，

abab

ii

2i

i1

i1

i1

nn

2i

此时，

yibixiai

k，k为常数。点xi,yii1,2n均在直线

ykx上，r

当r1时，

ab

ii

i1n

2i

n

n

a

i12i

n

2i

b

i1

n

2i

即

abab

ii

i1

i1

i1

n

0

而

aibia

i1

i1

n

n

2i

bi2

i1

n

1ijn



aibjajbi

1ijn



aibjajbi0aibjajbi0



bi

k,k为常数。 ai

此时，此时，

yibixiai

k，k为常数

点xi,yi均在直线ykx附近，所以r越接近于1，相关程度越大 当r0时，ai,bi不具备上述特征，从而，找不到合适的常数k，使得点xi,yi都在直线ykx附近。所以，r越接近于0，则相关程度越小。 致谢：在本文的写作过程中，得到了马统一老师的精心指导，在此表示衷心的感谢。

参考文献：1柯西不等式的微小改动 J数学通报2002 第三期2柯西不等式与排序不等式M南山湖南教育出版社

3普通高中解析几何M高等教育出版社



41990-年全国统一考试数学试卷J

5李永新李德禄中学数学教材教法M东北师大出版社

6盛聚，谢式千，潘承毅概率与数理统计M高等教育出版7用用柯西不等式解释样本线性相关系数J数学通讯 2004年第七期

2004年6月

第五篇：三角形重心向量性质的引申及应用

新化县第三中学肖雪晖

平面向量是高中数学实验教材中新增的一章内容.加入向量，一些传统的中学数学内容和问题就有了新的内涵.在数学教学中引导学生积极探索向量在中学数学中各方面的应用，不仅可深人了解数学教材中新增内容和传统内容的内部联系，构建合理的数学知识结构，而且有利于拓展学生的想像力，激发创新活力，显现出向量作为一个工具在数学中的重要性.下面就向量与三角形的重心关系加以引申和应用.

三角形重心向量形式的充要条件：设O为ABC所在平面上一点，O为ABC的重

心OAOBOC0

证明：先证必要性：

如图1以OB,OC为邻边作平行四边形OBDC,则ODOBOC.又OAOBOC0，则OBOCOA，所以OAOD,

O为AD的中点，且A、O、D共线.

又E为OD的中点,因此，O是中线AE的三等分点，且OA2AE

3即O为ABC的重心.再证充分性:设BO、OC与AC、AB分别交于F、G点，则由三角形的中线公式可得， AEBFCG0

222又O为ABC的重心，得AOAE,BOBF,COCG 33

3所以OAOBOC0

引申1若O为ABC内任一点，则有

SOAB.OCSOBC.OASOAC.OB0

证明：如图2,设OA11OA,OB12OB,OC13OC,

且O为ABC的重心，则1OA2OB3OC0

且SAOBSBOCSAOC,记为S,那么，

SOAB

S1OAOBsinAOB1.12OA1OB1sinAOB

2S即S

AOB12.同理可得SOBcS

23，SOACS13.

所以1:2:3SOBC:SOAC:SOAB.则SOAB.OCSOBC.OASOAC.OB0

引申2如图3,已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N 11两点，且AMxAB,ANyAC,则3 xy

证明：点G是ABC的重心，知GAGBGC0,

1得AG(ABAG)(ACAG)0有AG(ABAC)

3又M、N、G三点共线(A不在直线AM上),于是存在,，使得

1AGAMAN)(且1),有AGxAByAC(ABAC)

31113 得于是得1xyxy3运用引申

1、引申2可以解决许多数学问题，使解题过程简单。

例1. 设设O为ABC所在平面上一点，角A、B、C所对边长分别为a,b,c则O为ABC

的内心的充要条件为：aOAbOBcOC0

证明：必要性，由O为ABC的内心，得O到ABC三边的距离相等，记为r, 则SOAB111111ABrcr,SOBCBCrar,SOACACrbr, 22222

2所以SOAB:SOBC:SOACc:a:b

由引申1得SOABOCSOBCOASOACOB0，即aOAbOBcOC0

充分性：由aOAbOBcOC0及SOABOCSOBCOASOACOB0，

得SOAB:SOBC:SOACc:a:b

设O到ABC三边的距离分别为r1,r2,r3, 则SOAB111cr1,SOBCar2,SOACbr3, 222

所以ar1:br2:cr3a:b:c,

可得r1r2r3,即O为ABC的内心。

所以O为ABC的内心的充要条件为：aOAbOBcOC0

例2.已知在ABC中，过重心G的直线交AB于P, 交AC于Q,设APQ的面积为S1，

ABC的面积为S2，且APpPB,AQqQC,则

(1)pq_______________ pq

(2)S1的取值范围是_________________ S2

11APpAQq3 解析：(1)因为,,由引申2得pqAB1pAC1q

1p1q

即1p1q11pq3，推出1,所以1,故填1. pqpqpq

(2)由题可知S2ABAC(1p)(1q)12. S1APAQpqpq

11411S94S1pq21(),所以2<2,即1,故填[,). 由0<92pq24S149S22

运用引申

1、2，还可以轻松解答下列问题.

1. 已知点O为ABC内一点，且存在正数1,2,3使1OA2OB3OC0

设AOB,AOC的面积分别为S1,S2,求S1:S2.

2. 已知点P是ABC内一点，且满足PA2PB3PC0，求ABP与ABC的面积的

比.

3. 已知点O在ABC内部且满足OA2OB3OC0,求ABC与凹四边形ABOC的

面积的比.