近几年的高考题中经常出现三角函数最值问题, 其出现的形式, 或在小题中单纯地考察三角函数的值域问题;或隐含在解答题中, 作为解决解答题所用的知识点之一;或在解决某一问题时, 应用三角函数有界性会使问题更易于解决 (比如参数方程) 。题目给出的三角关系式往往比较复杂, 进行化简后, 再进行归纳, 主要有以下几种类型。掌握这几种类型后, 几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。
1 化为一个角的三角函数, 再利用有界性求最值
(1) 题型1:形如。
解决方法:引进辅助角, 化为, 再利用三角函数的有界性解决。
如:求函数的最大值。
分析:函数变形为:, 则。
若, 则y的最值可根据图像或单位圆来分析。
例:求函数的最值, 并求取得最值时x的值。
分析:函数变形为
再利用sinx的有界性求解。
小结:对于形如型的函数可先降次整理, 再化为的形式求最大最小值。 (2) 题型2:形如。
解决方法:反函数法或分离常数法。
例:求函数的值域。
分析:去分母, 即,
方法二:分离函数, 再利用sinx的有界性求解。
2 换元配方, 求二次函数在给定区间的最值
(1) 题型1:形如,
解决方法:配方法, 转化为求二次函数在给定区间上的最值。
如求函数的最值, 可转化为求函数上的最值问题。
例:求函数的最值。
分析:函数变形为,
小结:类似形式, , 都可以用到此类方法。
(2) 题型2:形如。解决方法:换元法, 转化为二次函数去解, 但要注意换元后新变量的范围。
如, 求的最大值及最小值。
分析:令, 则,
则原式可化为,
3 结语
注意与, 之间的联系。相信通过这一归纳整理, 大家对有关三角函数最值的问题就不会陌生了, 并且好多其它的求最值的问题可以通过代换转化成三角求最值的问题。
摘要：三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合运用, 它往往与二次函数、三角函数、函数的单调性等知识联系在一起, 有一定的综合性。在求解时, 一是要注意三角函数式的变形方向;二是要注意正、余弦函数本身的有界性, 还要注意灵活选用方法。
关键词：三角函数,最值,探索