导数的应用函数单调性

第一篇：导数的应用函数单调性

利用导数求函数的单调性解读

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利用导数求函数的单调性

例 讨论下列函数的单调性：

1.f(x)axax(a0且a1);

2.f(x)loga(3x25x2)(a0且a1); 3.f(x)bx(1x1,b0). 2x1分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f(x)，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内f(x)的符号，来确定函数f(x)在该区间上的单调性.当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性.

解：

1.函数定义域为R.

f(x)axlnaaxlna(x)lna(axax).

当a1时，lna0,axax0,f(x)0. ∴函数f(x)在(,)上是增函数. 当0a1时，lna0,aaxx0,f(x)0.

∴函数f(x)在(,)上是减函数. 2.函数的定义域是x1或x2. 3f(x)logae(6x5)logae2(3x5x2)

3x25x2(3x1)(x2)1时，logae0,6x50,(3x1)(x2)0， 3①若a1，则当x∴f(x)0，∴函数f(x)在，上是增函数;

当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是减函数 ②若0a1，则当x131时，f(x)0， 3∴函数f(x)在，上是减函数; 13清华园教育网

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当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是增函数 3.函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在(0，1)上的单调性

x(x21)x(x21)当0x1时，f(x)b 22(x1)b(x21)

2

(x1)2若b0，则f(x)0，函数f(x)在(0，1)上是减函数; 若b0，则f(x)0，函数f(x)在(0，1)上是增函数.

又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性.所以当b0时，函数f(x)在(-1，1)上是减函数，当b0时，函数f(x)在(-1，1)上是增函数. 说明：分类讨论是重要的数学解题方法.它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了.在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误判断.

分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力.

利用导数求函数的单调区间

例

求下列函数的单调区间： 1.f(x)x2x3; 2.f(x)2xx2; 3.f(x)x42b(b0). x分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误.

4解：1.函数f(x)的定义域为R，f(x)x4x4(x1)(x1)x

令f(x)0，得1x0或x1.

∴函数f(x)的单调递增区间为(-1，0)和(1,); 令f(x)0，得x1或0x1，

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∴函数f(x)的单调递减区间为(,1)和(0，1). 2.函数定义域为0x2.

f(x)(2xx2)22xx21x2xx2.

令f(x)0，得0x1. ∴函数f(x)的递增区间为(0，1); 令f(x)0，得1x2，

∴函数f(x)的单调递减区间为(1，2). 3.函数定义域为x0,f(x)1b1(xb)(xb). 22xx令f(x)0，得xb或xb.

∴函数f(x)的单调递增区间为(,b)和(b,); 令f(x)0，得bxb且x0，

∴函数f(x)的单调递减区间是(b,0)和(0,b).

说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性.解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准.学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增(或递减)区间写成并集的形式，如将例1函数f(x)的单调递增区间和递减区间分别写成(1,0)(1,) 和(,1)(0,1) 的错误结果.这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用.

求解析式并根据单调性确定参数

例

已知f(x)xc，且f[f(x)]f(x1). 1.设g(x)f[f(x)]，求g(x)的解析式;

2.设(x)g(x)f(x)，试问：是否存在实数，使(x)在,1内为减函数，且在(-1，0)内是增函数.

分析：根据题设条件可以求出(x)的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定

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存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断.解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数(x)是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数的取值范围，使问题获解.

解：1.由题意得f[f(x)]f(x2c)(x2c)2c，

f(x21)(x21)2c.f[f(x)]f(x21)，

∴(x2c)2c(x21)2c,x2cx21,c1. ∴f(x)x21,g(x)f[f(x)]f(x21)(x21)21. 2.(x)g(x)f(x)x4(2)x2(2). 若满足条件的存在，则(x)4x32(2)x.

∵函数(x)在,1内是减函数，∴当x1时，(x)0， 即4x32(2)x0对于x(,1)恒成立. ∴2(2)4x2,x1,4x24. ∴2(2)4，解得4.

又函数(x)在(-1，0)上是增函数，∴当1x0时，(x)0 即4x2(2)x0对于x(1,0)恒成立， ∴2(2)4x,1x0,44x0. ∴2(2)4，解得4.

故当4时，(x)在,1上是减函数，在(-1，0)上是增函数，即满足条件的存在.

说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系.因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决.不善于应用f(x)a恒成立[f(x)]maxa和f(x)a恒成立[f(x)]mina，究其原因是对函数的思想方法理解不深.

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利用导数比较大小

例

已知a、b为实数，且bae，其中e为自然对数的底，求证：ab. 分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法.根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明f(x)g(x),x(a,b)，可以等价转化为证明F(x)f(x)g(x)0，如果

baF(x)0，则函数F(x)在(a,b)上是增函数，如果F(a)0，由增函数的定义可知，当x(a,b)时，有F(x)0，即f(x)g(x).

解：证法一：

bae，∴要证abba，只要证blnaalnb，

设f(b)blnaalnb(be)，则f(b)lnaa. bbae，∴lna1，且

a1，∴f(b)0. b∴函数f(b)blnaalnb在(e,)上是增函数. ∴f(b)f(a)alnaalna0，即blnaalnb0， ∴blnaalnb,ab.

证法二：要证ab，只要证blnaalnb(eab)， 即证babalnalnblnx1lnx(xe)，则f(x)0， ，设f(x)2abxx∴函数f(x)在(e,)上是减函数. 又eab,f(a)f(b)，即

lnalnb,abba. ab说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造;二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出f(x)g(x)f(x)g(x)的错误结论.

判断函数在给定区间上的单调性

例

函数ylog1121在区间(0,)上是(

) x清华园教育网

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A.增函数，且y0

B.减函数，且y0

C.增函数，且y0

D.减函数，且y0

分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y的大小;二是要判断此函数的单调性. 解：解法一：令u11，且x(0,),u1， x则ylog1u0，排除A、B.

2由复合函数的性质可知，u在 (0,)上为减函数.

又ylog1u亦为减函数，故ylog11221排除D，选C. 在 (0,) 上为增函数，

x解法二：利用导数法

y11log1e2log2e0 1xx(1x)21x1(x(0,))，故y在(0,)上是增函数. 由解法一知y0.所以选C.

说明：求函数的值域，是中学教学中的难关.一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等(包括初等方法和导数法).对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的.

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第二篇：1.3.1函数的单调性与导数教学反思

一节课下来暴露了许多问题：

1、学生对函数的单调性有所遗忘，不会求单调区间。

2、学生对导数的几何意义不能深入理解。

3、学生对求导公式掌握不够熟练，求导出现错误。

4、教师所设计的问题难度偏大，练习题目过少。

5、学生的讨论与参与不够主动。 补救措施：

在下一节应用课多设计一些基础性典型问题及题目，注重层次性教学，对学生多鼓励、多引导、多练习、多参 与。注重对学生的思维训练和数学思想方法的总结;注重夯实基础，为今后的学习打好基础。

第三篇：11-12学年高中数学 1.3.1 函数的单调性与导数同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2

1.3.1

函数的单调性与导数

一、选择题

1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是(　　)

A.b2-4ac>0

B.b>0，c>0

C.b=0，c>0

D.b2-3ac<0

[答案]　D

[解析]　∵a>0，f(x)为增函数，

∴f′(x)=3ax2+2bx+c>0恒成立，

∴Δ=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac<0，∴b2-3ac<0.

2.(2009·广东文，8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(　　)

A.(-∞，2)

B.(0,3)

C.(1,4)

D.(2，+∞)

[答案]　D

[解析]　考查导数的简单应用.

f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex，

令f′(x)>0，解得x>2，故选D.

3.已知函数y=f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k=(x0-2)(x0+1)2，则该函数的单调递减区间为(　　)

A.[-1，+∞)

B.(-∞，2]

C.(-∞，-1)和(1,2)

D.[2，+∞)

[答案]　B

[解析]　令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(-∞，2].

4.已知函数y=xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y=f(x)的图象大致是(　　)

[答案]　C

[解析]　当0

∴f′(x)<0，故y=f(x)在(0,1)上为减函数

当x>1时xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y=f(x)在(1，+∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.

5.函数y=xsinx+cosx，x∈(-π，π)的单调增区间是(　　)

A.和

B.和

C.和

D.和

[答案]　A

[解析]　y′=xcosx，当-π

cosx<0，∴y′=xcosx>0，

当00，∴y′=xcosx>0.

6.下列命题成立的是(　　)

A.若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0

B.若在(a，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数

C.若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在

D.若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数

[答案]　B

[解析]　若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错;f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错;f(x)=2在(a，b)上的导数为f′(x)=0存在，但f(x)无单调性，故D错.

7.(2007·福建理，11)已知对任意实数x，有f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时(　　)

A.f′(x)>0，g′(x)>0

B.f′(x)>0，g′(x)<0

C.f′(x)<0，g′(x)>0

D.f′(x)<0，g′(x)<0

[答案]　B

[解析]　f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.

8.f(x)是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)+f(x)≤0，对任意正数a、b，若a

A.af(a)≤f(b)

B.bf(b)≤f(a)

C.af(b)≤bf(a)

D.bf(a)≤af(b)

[答案]　C

[解析]　∵xf′(x)+f(x)≤0，且x>0，f(x)≥0，

∴f′(x)≤-，即f(x)在(0，+∞)上是减函数，

又0

9.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x-1)f′(x)≥0，则必有(　　)

A.f(0)+f(2)<2f(1)

B.f(0)+f(2)≤2f(1)

C.f(0)+f(2)≥2f(1)

D.f(0)+f(2)>2f(1)

[答案]　C

[解析]　由(x-1)f′(x)≥0得f(x)在[1，+∞)上单调递增，在(-∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，

故f(0)+f(2)≥2f(1).故应选C.

10.(2010·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0)，则导函数y=S′(t)的图像大致为

(　　)

[答案]　A

[解析]　由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.

二、填空题

11.已知y=x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数，则b的范围为________.

[答案]　b<-1或b>2

[解析]　若y′=x2+2bx+b+2≥0恒成立，则Δ=4b2-4(b+2)≤0，∴-1≤b≤2，

由题意b<-1或b>2.

12.已知函数f(x)=ax-lnx，若f(x)>1在区间(1，+∞)内恒成立，实数a的取值范围为________.

[答案]　a≥1

[解析]　由已知a>在区间(1，+∞)内恒成立.

设g(x)=，则g′(x)=-<0　(x>1)，

∴g(x)=在区间(1，+∞)内单调递减，

∴g(x)

∵g(1)=1，

∴<1在区间(1，+∞)内恒成立，

∴a≥1.

13.函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________.

[答案]　(-∞，-1)

[解析]　函数y=ln(x2-x-2)的定义域为(2，+∞)∪(-∞，-1)，

令f(x)=x2-x-2，f′(x)=2x-1<0，得x<，

∴函数y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-∞，-1).

14.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________.

[答案]　[3，+∞)

[解析]　y′=3x2-2ax，由题意知3x2-2ax<0在区间(0,2)内恒成立，

即a>x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.

三、解答题

15.设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1，-11).

(1)求a、b的值;

(2)讨论函数f(x)的单调性.

[解析]　(1)求导得f′(x)=3x2-6ax+3b.

由于f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1，-11)，所以f(1)=-11，f′(1)=-12，

即，

解得a=1，b=-3.

(2)由a=1，b=-3得

f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)

=3(x+1)(x-3).

令f′(x)>0，解得x<-1或x>3;又令f′(x)<0，解得-1

所以当x∈(-∞，-1)时，f(x)是增函数;

当x∈(3，+∞)时，f(x)也是增函数;

当x∈(-1,3)时，f(x)是减函数.

16.求证：方程x-sinx=0只有一个根x=0.

[证明]　设f(x)=x-sinx，x∈(-∞，+∞)，

则f′(x)=1-cosx>0，

∴f(x)在(-∞，+∞)上是单调递增函数.

而当x=0时，f(x)=0，

∴方程x-sinx=0有唯一的根x=0.

17.已知函数y=ax与y=-在(0，+∞)上都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.

[分析]　可先由函数y=ax与y=-的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y=ax3+bx2+5的单调区间.

[解析]　∵函数y=ax与y=-在(0，+∞)上都是减函数，∴a<0，b<0.

由y=ax3+bx2+5得y′=3ax2+2bx.

令y′>0，得3ax2+2bx>0，∴-

∴当x∈时，函数为增函数.

令y′<0，即3ax2+2bx<0，

∴x<-，或x>0.

∴在，(0，+∞)上时，函数为减函数.

18.(2010·新课标全国文，21)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.

(1)若a=，求f(x)的单调区间;

(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.

[解析]　(1)a=时，f(x)=x(ex-1)-x2，

f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).

当x∈(-∞，-1)时，f′(x)>0;当x∈(-1,0)时，f′(x)<0;当x∈(0，+∞)时，f′(x)>0.

故f(x)在(-∞，-1]，[0，+∞)上单调递增，在[-1,0]上单调递减.

(2)f(x)=x(ex-1-ax).

令g(x)=ex-1-ax，则g′(x)=ex-a.

若a≤1，则当x∈(0，+∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)=0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.

当a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)=0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.

综合得a的取值范围为(-∞，1].

第四篇：函数的单调性教案

数学必修一

§1.3.1函数的单调性

姓名：吴志强

班级：统计08-2班 院系：数学与统计学院

学号：08071601021 §1.3.1函数的单调性

一、 教学目标

1) 通过已学过的函数，学会运用函数图象理解和研究函数性质 2) 理解函数单调性的定义及单调函数的图像特征

3) 能够熟练的应用定义判断函数在某一区间的单调性

4) 通过本节知识的学习，培养学生严密的逻辑思维能力、用运动变化、数形结合、分类讨论的思想方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质

二、 教学重点

函数单调性的定义及单调函数的图像特征

三、 教学难点

利用函数的单调性的定义判断或证明函数的单调性

四、 教学与学法

启发式教学，充分发挥学生的主体作用

五、 教学过程

(一) 引入

如图为某地区2012年元旦这一天24小时内的气温变化图，

教师提问：在0点到4点，气温随着时间的推移是怎么变化的?在4点到14点，气温随着时间的推移又是怎么变化的?

教师指出：上面两种现象都是单调性现象。那么，在数学上我们如何定义函数的单调性呢?

(二) 作出下列函数的图像

 图像1 y2x1在R上，y随x的增大而增大，若任意x1x2,则f(x1)f(x2)(左到右为上升)称为增函数

 图像2 y2x1在R上，y随x的增大而减小，若任意x1x2,则f(x1)f(x2)(左到右为下降)称为减函数  图像3

yx2以对称轴，左侧下降，右侧上升

在(,0]上，y随x的增大而减小，得出函数在此区间为减函数 在(0,]上，y随x的增大而增大，得出函数在此区间为增函数

问：如何用数学语言来描述增函数与减函数呢? 以yx2为例，在(0,]上任取x1，都有x1x2

22、

x2，则

f(x1)x12，

f(x2)x22，对任意的0x1x2xx2，所以在区间(0,]上，对任意的1都有f(x1)f(x2)2，即yx在(0,]上，当x增大时，函数值f(x)相应随之增大，得出yx2在(0,]上为增函数

2在区间(,0]上同理推得yx

(三)定义

为减函数

一般的设函数f(x)的定义域为I

a) 如果对于定义域I内某一区间D上任意两个自变量的值

1、2，当都有f(x1)f(x2)xxx1x2时，

，那么说函数f(x)在区间D上为增函数

xxx1x2b) 如果对于定义域I内某一区间D上任意两个自变量的值

1、2，当都有

f(x1)f(x2)时，

，那么说函数f(x)在区间D上为减函数

(四)单调性、单调区间定义：

如果函数yf(x)在这一区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这区间具有(严格的)单调性，区间D为yf(x)的单调区间

(五)举例

例

1、如图，yf(x)在定义在[5,5]的函数，根据图像说出函数的单调区间，以及每一单调区间上它为增函数还是减函数。

解：单调区间[5,2],[2,1],[1,3],[3,5]

[5,2],[1,3]为减函数，[2,1],[3,5]为增函数

注意：

a) 书写时，区间与区间用逗号隔开，不能用“”链接

b) 对于孤立点，没有单调性，所以区间端点处如有定义，写开闭均可 c) 函数为增函数、减函数是对定义域内某一区间而言的

例

2、证明f(x)2x3在R上为单调减函数 证明：

设x1，x2是R上任意两个值，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=(-2x1+3)-(-2x2+3)=-2(x1-x2)x1x2　　x1x20　　　-2(x1x2)0f(x1)f(x2)0　　　　即f(x1)f(x2)函数f(x)2x3在R上为单调减函数

小结：证明函数单调性的步骤 a) 设值，设任意的

1、b) 作差变形，xx2

，且

x1x2

f(x1)-f(x2)变形常用的方法有：因式分解、配方、有理化等

的正负 c) 判断差符号，确定

f(x1)-f(x2)d) 下结论，由定义得出函数的单调性

(六)课堂练习 证明f(x)x在[0,+]是增函数证明：设x1,x2[0,+),且x1x2则f(x1)-f(x2)=x1-x2=x1-x21(x1-x2)(x1(x1x20x2)x2)x1-x2x1+x2　　(对分子有理化详细讲解)又0x1

给学生时间做P32　　练习4

解： 设x1，x2是R上任意两个值，且x1x2， 则f(x1)-f(x2)=(-2x1+1)-(-2x2+1)=-2(x1-x2)　x1x2　　x1x20　　　-2(x1x2)0　f(x1)f(x2)0　　　　即f(x1)f(x2)　函数f(x)2x1在R上为单调减函数

(七)课堂小结

a) 增函数、减函数的定义 b) 图像法判断函数的单调性

(由左到右上升，为增函数，由左到右下降，为减函数) c) 证明单调函数的步骤

(设值…………作差变形………….判断差符号………..下结论………..)

(八)作业

P39　习题

1、　3　　A　组

1、题2

判断函数f(x)=-x3+1在(-∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论;如果x∈(0，+∞)，函数f(x)是增函数还是减函数?

第五篇：函数的单调性反思

积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无一不是以函数作为基本函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性;在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及;同时在这一在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于整个课堂教学过程;利 用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、 变形、定号”过程学生不易掌握。 按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势;由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强。

(一)注意与初中内容的衔接

函数这章内容是与初中数学最近的结合点，如果初中代数中的内容没有学习好或遗忘的过多，学习本章就有障。本章很多内容都是在初中的基础上讲授的，如函数概念，要在讲授之前复习好初中函数及其图象的主要内容，包括函数的概念、函数图象的描绘，一次函数、二次函数的性质等等;又如指数概念的扩充，如果没有正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的基础知识，有理数指数幂就无法给出，运算性质也是如此，因此在本章教学中要注意与初中所学的有关内容的联系，做好初、高中数学的衔接和过渡工作。

(二)注意数形结合

本章的内容中图象占有相当大的比重，函数图象对于研究函数的性质起到很重要的作用本身就是由函数图象给出的。所以在本章教学中要特别注意利用函数图象，使学生不仅能从图象观察得到相应的性质，同时在研究性质时也要有函数图象来印证的思维方式。在教学过程中要注意培养学生绘制某些简单函数图象的技能，记住某些常见的函数图象的草图，养成利用函数图象来说明函数的性质和分析问题的习惯

(三)注意与其他章内容的联系

本章是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的知识。因此，要经常联系前一章的内容来学习本章，又如学会二次不等式解集的表示就要用到求函数的定义域或表示值域等知识上来。简易逻辑中的充要条件在本章中就章节的联系，也要注意联系物理、化学等学科的知识内容来丰富和巩固本章的内容。

如果我再上这节课，我会引导学生从特殊入手，注意和初中知识的联系。然后教会学学生如何用数学思维严格地论证函数的单调性。