数学是集科学性、思想性、方法性和知识性于一体的一门基础性学科。其思想方法蕴藏着深刻的哲理内涵, 它是数学学科的精髓, 是分析和解决问题的理论基础, 也是求解数学问题的一种极其重要的方法。而化归与转换的思想则是其中最重要的思想之一, 它是在研究和解决数学问题时采用某种方式, 借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化, 通过变换迅速而合理地寻找和选择问题解决的途径和方法, 进而达到解决问题的目标的思想。
1 什么是“化归与转化思想”
(1) 首先, “化归与转化”不仅是一种重要的解题思想, 也是一种最基本的思维策略。解决数学问题时, 常遇到一些问题直接求解较为困难, 通过观察、分析、类比、联想等思维过程, 选择运用恰当的数学方法将问题通过变换使之转化, 将原问题化归为一个另一个问题 (相对来说, 对自己较熟悉的问题) , 通过该问题的求解, 达到解决原问题的目的, 这一思想我们称之为“化归与转化的思想方法”。其基本功能是:化生疏为熟悉, 化复杂为简单, 化抽象为直观, 化含糊为明朗。 (2) 化归与转化思想的实质是:揭示联系, 实现转化。化归在数学解题中几乎无处不在, 除极简单的数学问题外, 每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲, 解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想, 解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是, 如未知向已知转化, 复杂问题向简单问题转化, 新知识向旧知识的转化, 命题之间的转化, 数与形的转化, 空间向平面的转化, 高维向低维转化, 多元向一元转化, 高次向低次转化, 函数与方程的转化等, 都是转化思想的体现。这也是辩证唯物主义的基本观点。
2 化归思想的原则和基本方法
2.1 化归思想的原则[2]
(1) 熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题, 以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决; (2) 简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题, 通过对简单问题的解决, 达到解决复杂问题的目的, 或获得某种解题的启示和依据; (3) 和谐化原则:化归问题的条件或结论, 使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式, 或者转化命题, 使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律; (4) 直观化原则:将一些含糊的、抽象的、深奥的问题, 转化为比较直观的、具体的、浅显的问题来解决; (5) 正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时, 可考虑问题的反面, 设法从问题的反面去探求, 使问题获解。
2.2 化归思想的基本方法[3]
(1) 变形法, 包括恒等变形和非恒等变形; (2) 典型化法, 就是把一般性问题归为个别典型的情况; (3) 逐步逼近法, 就是“退一步”, “退”到原始而不失去重要性的地方, 当然, “退”是为了“进”, 往前进, 因此又称“退步法”; (4) RMI方法, 是关系映射的简称。
3 运用化归与转化思想解题的一些教学实例
化归与转化思想在解题教学中的应用非常广泛, 比比皆是, 同时其解法也千变万化, 笔者在此仅枚举出一小部分典型例子, 以期达到抛砖引玉的效果。若有偏颇之处, 敬请指正。
3.1 有关几何的教学应用
有关立体几何的题目常以多面体为载体, 融线面关系于几何体之中, 融推理论证于几何量的计算之中, 因而蕴含丰富的数学思想方法, 其中最重要的就是化归与转化的思想方法。
例1.曲奇饼罐的外形是正六棱柱 (如图1.1) , 其底面边长为10cm, 高是15cm.求该饼罐的表面积 (不包括上底面的饼罐盖) (结果精确到个位) 。
分析:要求该正六棱柱的表面积, 首先要求出下底正六边形的面积。然而, 学生只学过三角形、矩形、菱形和梯形等基本图形的面积公式, 显然不能用公式直接求解出正六边形的面积, 只有作出转化。根据化归思想的熟悉化原则, 作辅助线 (如图1.3) , 化归为求六个全等的等边三角形, 瞬间令解法变得相当简单。则每个等边三角形的面积为:
因此, 饼罐的底面积为:
饼罐的侧面积, 除了可以算出侧面的一个矩形的面积后再乘以6外, 根据直观化原则, 还可以鼓励学生发现:可以把曲折不平的侧面展开, 化为一个大的矩形 (如图1.4) 进行计算。
在该题中先后两次运用了化归思想, 分别是:运用化归思想的熟悉化原和直观化原则, 把正六边形转化为六个正三角形, “化生为熟”;而把棱柱的侧面展开为矩形计算, 则化归思想在此起到“化曲为平”的效果。下例的解法与此有异曲同工之妙。
例2.小明家装修, 楼梯采用实木地板铺设, 如图2.1所示, 楼梯的踏面宽0.4米, 踢面高0.3米, 楼梯台阶长2米。现装修公司报价每平方米为250元, 请问该楼梯铺设实木地板的费用为多少? (尺寸如图, 单位:m)
分析:该题的楼梯面是曲折不平的, 当然可以通过逐个踢面、踏面的计算, 然后再将其相加得到面积的总和, 但是该方法比较笨拙, 计算繁琐。依据简单化和直观化原则, 会想到了把曲折的楼梯面“化”为同一平面上的图形来解决, 使其变得简单易求
解法Ⅰ:学生容易发现, 把每个踏面、踢面分别平移到楼梯的底部平面和右侧面, 如图2.2、图2.3, 则楼梯的面积就转化为两个矩形面积之和, 即
解法Ⅱ:学生还想到, 每台阶的两个相互垂直的踏面和踢面 (如图2.4) , 可以把踏面扳直到与踢面在同一平面上 (如图2.5) , 则每个台阶的面积转化为S1= (0.3+0.4) ×2=1.4 (m2) , 则5阶楼梯的总面积为:S总=5 S1=5×1.4=7 (m2) .
解法Ⅲ:在解法2的基础上, 很快还有学生想到:把楼梯的踢面、踏面全都看作是同一张折叠过的、曲折不平的纸, 如图2.6, 再将其拉直后, 恢复回一张平坦的纸, 虚线部分为折痕, 如图2.7所示, 则楼梯的总面积可以转化为大矩形面积:即S总=长×宽= (1.5+2) ×2=7 (m2) 。
该题所列举的三种解法, 均运用了化归与转化的思想, 使得看起来繁琐复杂、的题目变得相当容易解决, 在教学实践过程中, 用“化归思想”开拓了学生的思维, 学生就像炸开锅的蚂蚁, 积极展开讨论解决问题的方案, 课堂也因此变得活跃了起来。
例3.底面是正方形的四棱柱, 其侧面积是32cm2, 表面积是40cm2, 求它的高。
分析:该题只是知道侧面积和表面积, 若直接进行高的求解, 其计算过程必然会涉及到逻辑证明, 对学生而言有一定的难度, 步骤也比较复杂, 在此情况下, 可以提示学生转化为方程问题来解决。
解:底面正方形的边长为x, 四棱柱的高为h, 则依题有
联立 (1) 、 (2) 两式, 解得:
3.2 计算题的教学应用
例4.设x、y∈R且3x2+2y2=6x, 求x2+y2的范围。
分析:学生刚碰到该问题时, 觉得无从下手, 但是运用化归思想的和谐化原则, 对其进行恒等变形, 就产生多种解法。
解法Ⅰ:换元法, 设k=x2+y2, 再代入消去y, 转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件, 即x的范围。
设k=x2+y2, 则y2=k-x2, 代入已知等式得:x2-6x+2k=0,
即, 其对称轴为x=3。
由6x-3x2=2y2≥0得0≤x≤2, 于是得k∈[0, 4]。
所以x2+y2的范围是:0≤x2+y2≤4。
解法Ⅱ:数形结合法 (化归为解析几何问题) :
由, 即表示如图所示椭圆, 其一个顶点在坐标原点。
X2+y2的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0, 距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x2+y2=k, 代入椭圆中消y得x2-6x+2k=0。由判别式△=36-8k=0得k=4, 所以x2+y2的范围是:0≤x2+y2≤4。
解法Ⅲ:三角换元法, 对已知式和待求式都可以进行三角换元 (转化为三角问题) :
所以x2+y2的范围是:0≤x2+y2≤4。
本题运用化归的与转化的思想, 用多种方法进行了解答, 分别将代数问题转化为了其它问题, 实现了多种角度的转化, 联系了多个知识点, 有助于提高学生的发散思维能力。此外还可以利用均值换元法进行解答。
3.3 相关应用题的教学应用
例5. (排列组合问题) 一条路上共有9个路灯, 为了节约用电, 拟关闭其中3个, 要求两端的路灯不能关闭, 任意两个相邻的路灯不能同时关闭, 那么关闭路灯的方法总数有多少种?
分析:“9个灯中关闭3个”, 容易使学生的思维出现混乱, 根据和谐化原则可以把问题等价转化为:“在6个开启的路灯中, 即选3个间隔 (不包括两端外边的装置) 插入关闭”, 马上就有学生答出:有C35=10种。
换一种思维考虑问题, 会使问题转变得更加明了、简单。
例6. (概率问题) 10个人中有3个女生, 选出5人中至少有1个女生的概率为__
分析:“选出5人中至少有1个女生”, 有可能的情况包括:“5人中有1个女生”, “5人中有2个女生”, “5人中有3个女生”, “5人中有4个女生”, “5人中全都是女生”, 直接计算很繁琐, 可以采用“正难则反”的思想进行逆向思考。
解:先考虑“5人中没有女生”的情况, 即“5人中全是男生”的概率。记作, 则
于是“选出5人中至少有1个女生”的概率为:。
该题的解法正是运用了化归思想中的正难则反原则, 转向问题的反面角度出发考虑问题, 令问题变得易于求解。
4 结语
(1) 熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是化归与转化的基础;丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁。笔者在教学中很注重培养训练学生自觉的“化归与转化”意识, 这也需要学生对定理、公式、法则等有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼, 并让学生积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。因此, 首先得“抓基础”, 然后要“重转化”。这是让学生学好数学、喜欢数学的妙手良方。 (2) 为了实施有效的化归, 既可以变更问题的条件, 也可以变更问题的结论;既可以变换问题的内部结构, 又可以变换问题的外部形式;既可以从代数的角度去认识问题, 又可以从几何的角度去解决问题;既可以从正面的角度分析问题, 也可从问题的反面考虑问题。
总之, 化归思想虽然是看不、摸不着的思维方法, 但是它就像一把通向问题答案之路的大门的金钥匙, 一旦用它打开这扇大门之后, 解决问题时遇到的崎岖陡峭、狭窄难行的路途会顿时变得无比平坦, 真正实现了天垫变通途, 使学生的思维大为开阔, 他们能积极开动脑筋想问题, 也令过去一向沉闷的课堂活跃起来。最令人欣喜的是:学生在利用化归与转化思想方法进行分析解决问题时, 不仅尝到了解决问题后的成功喜悦, 还感受到自己思维能力的提升, 从而增强了对学习数学的自信。因此, 学生拥有了这双隐形的翅膀, 就能够自由、快乐地在美妙的数学世界中飞得更高!更远!
摘要：在解决数学问题时, 常常会遇到一些直接求解较难甚至不能解决的问题, 利用化归的思想可以使问题变得易于解决。本文以几个教学实例介绍了化归思想方法在解决几何、计算及相关应用题等具体教学实践中的应用。
关键词：数学思想,化归与转化思想,思维能力
参考文献
[1] 王永.浅谈数学思想方法在解题中的应用.山西广播电视大学学报[N].2005 (4) .
[2] 陶金瑞, 霍凤芹.浅谈数学思想方法——化归与转化.成都大学学报 (教育科学版) [N].2007 (8) (第21卷第8期) .