面面平行的证明策略

第一篇：面面平行的证明策略

面面平行的证明

面面平行的证明判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

反证：记其中一个平面内的两条相交直线为a，b。假设这两个平面不平行，设交线为l，则a∥l(过平面外一条与平面平行的直线的平面与该平面的交线平行于该直线)，b∥l，则a∥b，与a，b相交矛盾，故假设不成立，所以这两个平面平行。

2证明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β没有公共点

又a在平面α上，b在平面β上

∴直线a、b没有公共点

又∵α∩γ=a，β∩γ=b

∴a在平面γ上，b在平面γ上

∴a∥b.3用反证法

命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β

证明:假设AB不平行于β

则AB交β于点p，点p∈β

又因为p∈AB，所以p∈α

α、β有公共点p，与命题α∥β不符，所以AB∥β。

4【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个

5用反证法

命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β

证明:假设AB不平行于β

则AB交β于点p，点p∈β

又因为p∈AB，所以p∈α

α、β有公共点p，与命题α∥β不符，所以AB∥β。

6证明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β没有公共点

又a在平面α上，b在平面β上

∴直线a、b没有公共点

又∵α∩γ=a，β∩γ=b

∴a在平面γ上，b在平面γ上

∴a∥b.证明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β没有公共点

又a在平面α上，b在平面β上

∴直线a、b没有公共点

又∵α∩γ=a，β∩γ=b

∴a在平面γ上，b在平面γ上

∴a∥b.【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个

5用反证法

命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β

证明:假设AB不平行于β

则AB交β于点p，点p∈β

又因为p∈AB，所以p∈α

α、β有公共点p，与命题α∥β不符，所以AB∥β。

第二篇：面面平行证明题

1 如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且PE∶EABF∶FD，求证：EF//平面PBC.

2 如图，空间四边形

,平行于与的截面分别交、AC、CD、BD于E、F、G、

H.

求证：四边形EGFH为平行四边形;

3如图，∥∥，直线a与b分别交，，于点A，B，C和点D，E，F， 求证：

ABDE. BCEF第 7 页

4如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，Q分别是BC，C1D1，E，F，P，

AD1，BD的中点.

(1) 求证：PQ//平面DCC1D1. (2) 求PQ的长.

(3) 求证：EF//平面BB1D1D.

5 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别棱是CC1，C1D1，D1D，

CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足

时，有MN//平面B1BDD1.

6 如图，M、N、P分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD上的点，且AM∶MBCN∶NBCP∶PD.

求证：(1)AC//平面MNP，BD//平面MNP; (2)平面MNP与平面ACD的交线//AC.

第 8 页

7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD//平面CD1B1.

8 图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点. 求证：MN//平面PAD.

9如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，3，D是AC的中点.求证：B1C//平面A1BD.

10 .如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa,点E在棱PC上. 问点E在何处时，PA//平面EBD，并加以证明.

A

P

AE

C

B

第 9 页

第三篇：怎么证明面面平行

怎么证明面面平行线面垂直：1.一条线与平面内两条相交直线垂直

2.一条线在一个平面内，而这个平面与另外一个平面垂直，那么这条线与另外一个平面垂直

面面垂直：一条线与平面内两条相交直线垂直，且有一个平面经过这条线

2证明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β没有公共点

又a在平面α上，b在平面β上

∴直线a、b没有公共点

又∵α∩γ=a，β∩γ=b

∴a在平面γ上，b在平面γ上

∴a∥b.3用反证法

命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β

证明:假设AB不平行于β

则AB交β于点p，点p∈β

又因为p∈AB，所以p∈α

α、β有公共点p，与命题α∥β不符，所以AB∥β。

4【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个

5用反证法

命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β

证明:假设AB不平行于β

则AB交β于点p，点p∈β

又因为p∈AB，所以p∈α

α、β有公共点p，与命题α∥β不符，所以AB∥β。

6

线线平行→线面平行如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

线面平行→线线平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

线面平行→面面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

面面平行→线线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

线线垂直→线面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

线面垂直→线线平行如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

线面垂直→面面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

线面垂直→线线垂直线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。

面面垂直→线面垂直如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

三垂线定理如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。

第四篇：面面平行的判定

平面与平面平行的判定

一、 教学目标：

1. 理解并掌握平面与平面平行的判定定理；

2. 培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；

3. 让学生了解空间与平面互换的数学思想.二、 重难点：

重点：平面与平面平行判定定理

难点：平面与平面平行判定定理的理解及应用.三、 教学过程：

1. 知识回顾：

1) 两平面的位置关系：

① ：有公共点，无数个，在一条公共直线上； 图形语言：

②：没有公共点；

图形语言：

2) 直线与平面平行的判定

1 ； ；

文字语言: 的一条直线与此则该直线与此平面平行;

符号表示: 图形语言:

:你认为如何判定两平面平行？

2. 探究新知：

1) 若内有一条直线a与平行，则与平行吗？

2) 若内有两条直线a、b分别与平行，则与平行吗？

① a//b时；

②abp时；

3. 抽象概括，得出结论：

符号表示：

4. 例题剖析：

例题1.判断下列命题的真假。

（）

）

）

）

） （1）m,n,m//,n//// (2)内有无数条直线平行于//（ (3)内任意一条直线平行于//（

(4)平行于同一直线的两平面平行（ (5)平行于同一平面的两平面平行（

例题2. 已知正方体

ABCDA1B1C1D1, 求证：平面AB1D1//平面C1BD

反思：

1、证明面面平行时，注意条件是线面平行，而不是线线平行；

2、证明面面平行时，转化成证明线面平行，而证明线面平行，又转化成证明线线平行；

3、证明面面平行时，有5个条件，缺一不可.变式1：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是棱BC与C1D1和B1C1的中点.

求证：面EFG//平面BDD1B1.变式2:在三棱锥BACD中,点M、N、G分别ABC、ABD、 BCD的重心,求证:平面MNG//平面ACD.

5、小结：

1.平面与平面平行的判定：

(1)运用定义；

(2)运用判定定理：线线平行线面平行面面平行.

2.应用判定定理判定面面平行时应注意: 两条相交直线.

3.应用判定定理判定面面平行的关键是找平行线 方法一：三角形的中位线定理；

方法二：平行四边形的平行关系

.

第五篇：线面平行、面面平行的判定作业

[平行]

“直线∥平面”的主要条件是“直线∥直线”， 而“直线∥直线”一般是利用三角形的中位线平行于底边或平行四边形的对边平行来证明。

"平面∥平面"的主要条件是“直线∥平面”，可转化为“直线∥直线”来解决。

[注意]

书写的格式规范，3个条件(线面平行)或5个条件(面面平行)要写全。

例1.下列命题中正确的是()

① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ③若一个平面内任何一条直线都平行于零一个平面,则这两个平面平行 ④若一个平面内的两条相交直线分别平行于零一个平面,则这两个平面平行

A. ①③B. ②④C. ②③④D. ③④

例2.已知m,n是两条直线, ,是两个平面,以下命题: ①m,n相交且都在平面,外,m∥,m∥, n∥,n∥,则∥;②若m∥, m∥,则∥;③m∥,n∥, m∥n, 则∥.其中正确命题的个数是()

A.0B.1C.2D.

3练习2:设a,b是两条直线, ,是两个平面,则下面推理正确的个数为

(1)a,b,a∥, b∥,∥.(2) ∥,a,b,a∥b

(3)a∥,l, a∥l

(4) a∥, a∥∥.

例3:已知四棱锥P-ABCD中,地面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别为PA,BD,PD上的中点,求证:平面MNQ∥平面PBC

【练习

求证：

例4.分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC

【练习4】:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F求证：EF∥平面BB1D1D

AC

ABC

D

练习5 正方体ABCD-A1B1C1D1,中,M,N,E,F分别为棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点,求证: 平面AMN∥平面EFDB

A1

C1

A

D

C

例5. 如图,P是ABC所在平面外一点,A1,B1,C1 分别是PBC,PCA,PAB

的重心, 求证:平面ABC∥:平面A1B1C1