已知常系数线性齐次方程,可求其特解和通解。反过来,已知某常系数线性齐次方程的解(特解或通解),如何反求其满足的微分方程。下面笔者就对这类问题,即由线性齐次微分方程的解求其微分方程的解法做一探讨。
1倒推法
倒推法是反求常系数线性齐次微分方程的一种方法,即由给定的特解确定特征根,再由特征根倒推其特征方程,最后由特征方程再倒推出这些特解所满足的常系数线性齐次微分方程。
例1、试建立二阶常系数线性齐次微分方程,已知其特征方方程的一个根是r1=3+2i,并求此微分方程的通解。
例2、已知某四阶常系数线性齐次微分方程的两个特解是是y1=xex,y2=sinx,求此微分方程。
解:由解的结构,y1=xex对应的特征方程的根是1,且为二重重根y2=sinx;对应的特征方程的根是i,且-i也是根。因此 ,特征方方程是:(r-1)2(r-i)(r+i)=0,即r4-2r3+2r2+2r+1=0,故所求微分方程程为y(4)-2y″′+2y″+2y′+y=0。
2任意常数消去法
先证方程的解线性无关,然后写出其通解。对通解进行二次求导,构造两个方程,求出c1,c2,用y,y′,y″表示的式子 ,代入原方程的通解,即得所求微分方程。
例3、已知y=xɑrcsin Cx是某一阶线性微分方程的通解,试写出该微分方程。
例4、已知函数y1=cosx,y2=e-x,是一个二阶线性齐次方程的两个特解,求其通解及该微分方程。
例5、求一个微分方程,使其通解为:(x-c1)2+(y-c2)2=1。
3行列式法
例6、已知两函数y1=e2x,y2=sinx是一个二阶线性齐次方程的两个特解,求其通解及该微分方程。
4特解代入法
为求出y″+p(x)y′+q(x)y=0方程的两个变系数p(x),q(x)将两线性 无关的特 解y1,y2代入该方 程 ,解联立方 程组 ,求出p(x),q(x),从而得出所求微分方程。
例7、设y=ex是微分方程xy′+p(x)y=x的特解,求此微分方程满足条件y|x=ln2=0的特解。
例8、已知y1=x和y2=sinx是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关的解,试写出这个微分方程。
摘要：本文主要通过四种方法,包括:倒推法、任意常数消去法、行列式法、特解代入法,对由线性齐次微分方程的解求其微分方程的方法进行了探讨。
关键词：齐次方程,通解,特解,线性无关