换元思想广泛应用于解方程,不等式的证明及解不等式之中,换元的目的一般有两个:(1)为了简化书写过程;(2)可以利用某些定理或公式的性质去解或证明不等式。换元法只适用于一些特殊类型的不等式,如在解无理不等式时,根号内与根号外对应项系数成比例,可用换元法将解无理不等式转化为有理不等;当遇见条件a2+b2(k>0)时,可用三角换元设等,这样既可化繁为简,又可充分地利用三角公式,从而使问题得到顺利解决。
证明:因为a+b=1,所以设a=sin2x,b=cos2x
因为所以:
所以:
点拨:由于a+b=1,因此可以想到当然此题也可以直接证明。由a+b=1,可得从而
例2:若关于x的方程有实数解,求实数a的取值范围。
解:,令则原方程化为变形,得:
点拨:换元后把参数a看作t的函数,求函数的值域即可。
证明:依a,b,c的对称性,不妨设:
则:
因为:
所以:
点拨:常用增量的方法来表示几个两之间的不等关系,这样在作差比较时容易作出判断。
摘要：数学思想方法是数学的灵魂,要学好数学必须会用数学的思想方法去处理问题,常用的数学思想方法在不等式一章中得到了广泛的应用,如换元的思想;函数思想;分类讨论思想;等价转换思想;数形结合思想等。下面我就换元思想在不等式中的应用加以总结和归纳以供同仁参考。
关键词：换元思想,不等式