高数1公式范文

第一篇：高数1公式范文

高数下公式总结

高等数学下册公式总结

1、N维空间中两点之间的距离公式：p(x1,x2,...,xn),Q(y1,y2,...,yn)的距离

PQ(x1y1)2(x2y2)2...(xnyn)2

2、多元函数zf(x,y)求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时

看作常量。比如，就可以了。 z表示对x求偏导，计算时把y 当作常量，只对x求导 x2z2z

3、二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即。 xyyx

4、多元函数zf(x,y)的全微分公式： dzzzdxdy。 xy

5、复合函数zf(u,v),u(t),v(t)，其导数公式：

dzzduzdv。 dtudtvdtFXdy,Fy分别表示对x,y

6、隐函数F(x,y)=0的求导公式： ，其中FxdXFy求偏导数。

方程组的情形：{F(x,y,u,v)0的各个偏导数是： G(x,y,u,v)0FFxvGGuvxv，xxFFuvGGuvFFuxGGuux，yFFuvGGuvFFyvGGyvFFuvGGuv，

v。 yFFuvGGuvFFyuGGuy

7、曲线的参数方程是：x(t),y(t),z(t)，则该曲线过点

M(x0,y0,z0)的法平面方程是：

(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0

切线方程是：(xx0)(yy0)(zz0)。 (t0)(t0)(t0)

8、曲面方程F(x,y,z)=0在点M(x0,y0,z0)处的 法线方程是： (xx0)(yy0)(zz0)， FxFyFz(xx0)Fy(yy0)Fz(zz0)0。 切平面方程是：Fx

9、求多元函数z=f(x , y)极值步骤：

第一步：求出函数对x , y 的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的x,y的值 第二步：求出fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C

第三步：判断AC-B2的符号，若AC-B2大于零，则存在极值，且当A小于零是极大值，当A大于零是极小值;若AC-B2小于零则无极值;若AC-B2等于零则无法判断

10、二重积分的性质： (1)(2)(3) kf(x,y)dkf(x,y)d

DD[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d

DDDDD1D2f(x,y)df(x,y)df(x,y)d

(4)若f(x,y)g(x,y)，则(5)

f(x,y)dg(x,y)d

DDds，其中s为积分区域D的面积

D(6)mf(x,y)M，则ms(7)积分中值定理：

f(x,y)dMs

Df(x,y)dsf(,)，其中(,)是区域D中的点

DdP2(y)

11、双重积分总可以化简为二次积分(先对y，后对x的积分或先对x，后对y的积分形式)bP2(x)f(x,y)ddxDaP1(x)f(x,y)dydycP1(y)f(x,y)dx，有的积分可以随意选择积分次序，但是做题的复杂性会出现不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过积分区域和被积函数来确定

12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分，就把另外的变量都看成常量，可以按照求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分、换元、分步等方法

13、曲线、曲面积分：

(1)对弧长的曲线积分的计算方法：设函数f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为x(t)y(t)，(t)，则

Lf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt

(2)格林公式：(DQP)dxdyPdxQdy xyLL

14、向量的加法与数乘运算：a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)，则有ka(kx1,ky1,kz1)， xyzab(x1x2,y1y2,z1z2)，若ab，则111

x2y2z2

15、向量的模、数量积、向量积：若a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)，则向量a的模长222ax1y1z1;数量积(向量之间可以交换顺序，其结果是一个数值)ab=

bax1x2y1y2z1z2=baabcosa,b，其中a,b表示向量b,a的夹角，且若ab，则有ab=0;向量积(向量之间不可以交换顺序，其结果仍是一个向量)ijkabx1y1z1(y1z2y2z1)i(x2z1x1z2)j(x1y2x2y1)k，其中i,j,k是x轴、x2y2z2y轴、z轴的方向向量

16、常数项无穷级数unu1u2u3...un...，令snu1u2u3...un称为无n1穷级数的部分和，若limsns，则称改级数收敛，否则称其为发散的。其中关于无穷级数x的一个必要非充分地定理是：若un收敛，则必有limun0

n1x

17、三种特殊的无穷级数： (1)调和级数1是发散的，无须证明就可以直接引用 n1nn(2)几何级数aq，当q1时收敛，当q1时发散

n1(3)p级数1，当p1时收敛，当p1时发散 pn1nn1

18、正项级数un的判敛方法：

(1)比较判敛法：若存在两个正项级数un，vn，且有vnun，若un收敛，则vn收

n1n1敛;若vn发散，则un发散

(2)比较判敛法的极限形式：若limunl,(l0)，则un和vn具有相同的敛散性

xvnun1l，若l1，则原级数收敛，若l1，则原级

xun(3)比值判敛法：对于un， limn1数发散

19、交错级数(1)n1n1un的判敛方法：同时满足unun1及limun0，则级数收敛，否

x则原级数发散

20、绝对收敛和条件收敛：对于un，若un收敛，则称其绝对收敛;若un发散，

n1n

1n1



但是un收敛，则称其条件收敛

n1

21、函数项无穷级数形如：un(x)u1(x)u2(x)u3(x)...un(x)...，通常讨论的是

n1幂级数形如：anxa0a1xa2xa3x...anx...，

n0n23n(1)收敛半径及收敛区间：liman11,则收敛半径R，收敛区间则为(R,R)，但

xan是要注意的是，收敛区间的端点是否收敛需要用常数项级数判敛方法验证

(2n1)xnn-1x(2)几种常见函数的幂级数展开式：e，sinx，(-1)n0n!n1(2n1)!x11x2nnx，(1)nxn ，cosx(1)n01xn0(2n)!1xn0n

22、常微分方程的类型及解题方法：

(1)可分离变量的微分方程：yf(x,y)，总是可以分离变量化简为式，然后等式两边同时积分，即可求出所需的解

(2)齐次方程：yf(x,y)，不同的是，等式右端的式子总是可以化简为f()的形式，令

dydx的形f(y)f(x)yxyu，则原方程化简为可分离变量方程形式uxuf(u)来求解 x(3)一阶线性微分方程：形如yp(x)yf(x)的方程，求解时首先求出该方程对应的齐次方程yp(x)y0的解ycQ(x)，然后使用常熟变易法，令cu(x)，把原方程的解yu(x)Q(x)带入原方程，求出u(x)，再带入yu(x)Q(x)中，即求出所需的解

(4)全微分方程：形如p(x,y)dxQ(x,y)dy0的方程，只要满足

xyp(x,y)Q(x,y)，yx则称其为全微分方程，其解为u0p(x,y)dxQ(x,y)dy

0(5)二阶微分方程的可降阶的三种微分方程：

第一种：yf(x)的形式，只需对方程连续两次积分就可以求出方程的解

第二种：yf(x,y)的形式，首先令yz，则原方程降阶为可分离变量的一阶微分方程zf(x,z)的形式，继续求解即可

第三种：yf(y,y)的形式，同样令yz，由于yzdzdzdydzy，所以dxdydxdy原方程转化为一阶微分方程

dzzf(y,z)的形式，继续求解即可 dy(6)二阶常系数齐次微分方程：ypyqy0，求解时首先求出该方程对应的特征方

r1x程r2prq0的解r1,r2，若实根rc2er2x;若实根r1r2，则解1r2，则解为yc1e为y(c1c2x)e1;若为虚根abi，则解为yeax(c1cosbxc2sinbx)

rx(8)二阶常系数非齐次微分方程：ypyqyPm(x)e，求解时先按(7)的方法求其rx对应的齐次微分方程的通解y1，然后设出原方程的特解y=xQm(x)erx，其中Qm(x)是和P含有相应的未知系数，而k根据特征方程的解r1,r2与r的关系取值，m(x)同次的多项式，若r与特征根不相等，则k取0;若r和一个特征根相等，则k取1;若r和特征根都相等，则k取2，将特解代入原方程求出相应的未知系数，最终原方程的解即通解加上特解，即

kyy1y

第二篇：高数极限与函数等价代换公式

高数极限与函数等价代换公式(考试必备) 当x0时，有下列公式成立： sinx~xarcsinx~x tanx~xarctanx~x

1cosx~12x~secx1 2ax1~xlnaex1~x

a(1Bx)1~aBx

loga(1x)~ x lna

第三篇：高数证明1+1=2

1+1为什么等于2?这个问题看似简单却又奇妙无比。 在现代的精密科学中，特别在数学和数理逻辑中，广泛地运用着公理法。什么叫公理法呢?从某一科学的许多原理中，分出一部分最基本的概念和命题，对这些基本概念不下定义，而这一学科的所有其它概念都必须直接或间接由它们下定义;对这些基本命题(也叫公理)也不给予论证，而这一学科中的所有其它命题却必须直接或间接由它们中推出。这样构成的理论体系就叫公理体系，构成这种公理体系的方法就叫公理法。 1+1=2就是数学当中的公理，在数学中是不需要证明的。又因为1+1=2是一切数学定理的基础，所以它也是无法用数学的方法证明的。 至于“1+1为什么等于2?”作为一个问题，没要求大家必须用数学的方法证明，其实只要说明为什么1+1=2就可以了，可以说这是定义，也可以说这是公理

1、

2、3，则可以至于无穷，什么是物理学当中的

1、

2、3呢?我认为：质量、长度、时间等基本物理概念相当于1，它们是组成物理学宏伟大厦的砖和瓦;牛顿运动定律相当于2，它使我们有了真正的物理学和科学的物理分析方法;力学的相对性原理相当于3，使牛顿运动定律可以广泛应用。在经典物理学中一切都是确定无疑的，有了已知条件，我们就可以推出未知。 等到相对论的出现，一切都变了。现在相对论已经深入人心，即便是那些反对相对论的人，也基本上是认可相对论的结论的，什么时间可变、长度可变、质量可变、时空弯曲„„经典物理学认为光速对于不同的观测者是不同的(虽然牛顿是个唯心主义者)。相对论则认为光速对于不同的观测者是不变的(虽然我们是唯物主义者)。我们丢掉了经典物理学所有不变的东西，换来的是相对论唯一不变的东西----光速。我觉得就象是用许多西瓜换来了一个芝麻一样，而且这个芝麻是很抽象的，它在真空中，速度最快，让你根本捉不到、摸不到。 我认为牛顿三条运动定律是真理，是完美的，是不容置疑的。质疑牛顿运动定律的人开口闭口说不存在绝对静止的物体，也不存在绝对不受外力的物体，却忘了上学时用的物理教材，开头都有绪论，绪论中都说：一切物质都在永恒不息地运动着，自然界一切现象就是物质运动的表现。运动是物质的存在形式、物质的固有属性„„还提到：抽象方法是根据问题的内容和性质，抓住主要因素，撇开次要的、局部的和偶然的因素，建立一个与实际情况差距不大的理想模型来研究。例如，“质点”和“刚体”都是物体的理想模型。把物体看作质点时，质量和点是主要因素，物体的形状和大小时可以忽略不计的次要因素。把物体看作刚体——形状和大小保持不变的物体时，物体的形状、大小和质量分布时主要因素，物体的变形是可以忽略不计的次要因素。在物理学研究中，这种理想模型是十分必要的。研究机械

运动的规律时，就是从质点运动的规律入手，再研究刚体运动的规律而逐步深入的。有人在故意混淆视听，有人在人云亦云，但听的人自己要想一想，牛顿用抽象的方法来分析问题，是符合马克思主义分析问题抓主要矛盾的指导思想的，否定了牛顿运动定律，我们拿什么来分析相对静止状态、匀速直线运动、自由落体运动„„? 看来相对论不但搞乱了我们的基本概念，还搞乱了我们的分析方法，这才是最危险的，长此以往，物理学将不再是物理学，而是一锅粥，一锅发霉的粥! 我认为物理学发展的正确思路是先要从质量、长度、时间、能量、速度等基本物理概念的理解上着手，在物理学界开展一场正名运动，然后讨论牛顿运动定律是否错了，错的话错在哪里，最后相对论的对错也就不言自明了，也容易接受了。

第四篇：高数试题1

一、

一、填空题(每小题3分，共15分)

1. 1.设u=x4+y4-4x2y2 ，则u x x

2. 2.设u=xy+y/x，则u y

3. 3.函数z=x2+4xy-y2+6x-8y+12的驻点是4. 4.设幂级数n0的收敛半径是4，则幂级数n0的收敛半径是

225. 5.设Σ是柱面x+y=4介于1≤z≤3之间部分曲面，它的法向指向含oz轴的一侧，则=

二、

二、单选(每小题2分，共8分)

1、函数zf(x,y)在点(x0,y0)处连续是它在该点偏导数存在的：

(A)必要而非充分条件;(B)充分而非必要条件;

(C)充分必要条件;(D)既非充分又非必要条件。 答( )

2、微分方程yyxy满足条件y’(2)=1, y(2)=1的解是

(A)y=(x-1)2(B)y=(x+1/2)2-21/

4(C)y=1/2(x-1)2+1/2(D)y=(x-1/2)2-5/4anxnanx2n1x2y2z2dxdy答( )

3、若方程ypyqy0的系数p+qx=0，则该方程有特解

(A)y=x(B)y=e x(C)y=e – x(D)y=sin x答( )

4、微分方程yysinx的一个特解应具有形式答( )

(A)Asin x(B)Acos x(C)Asin x +Bcos x(D)x(Asinx+Bcosx)

三、

三、解答下列各题

1. 1.(本小题6分)

利用二重积分计算由曲面z=x2+y2，y=1，z=0，y=x2所围成的曲顶柱体的体积。

2、(本小题7分) 证明极限y0不存在。

3、(本小题5分)

2验证：y1=cosωx，y=sinωx都是微分方程y’’+ωy=0的解，并写出该方程的通解。

4、(本小题5分) x2ylim4x0xy

31cosx0xf(x)xx0若s(x)是以2为周期的函数f(x)的Fourier级数之和函x设

数，求S(-3π)。

四、

四、解答下列各题：

1、(本小题6分)

12x

更换积分次序：

22、(本小题6分) dxf(x,y)dyx

2求曲线

五、

五、解答下列各题：

1、(本小题6分) xt1t,y,zt21tt在t=1处的切线及法平面方程。

已知Σ是z=x2+y2上 z≤1的部分曲面，试计算4zds

2、(本小题6分)

(zy)dxdy(yx)dxdz(xz)dzdy计算，其中光滑曲面∑围成的Ω的体积为



V。

六、

六、解答下列各题

1、(本小题5分)

判别级数n

12、(本小题5分) 级数

3、(本小题5分)



nsin



n的敛散性。

1

111325272是否收敛，是否绝对收敛?

3n!xn



2试求幂级数k1n!的收敛半径

4、(本小题5分)

试将函数y=1/(4-x4)展开为x的幂级数

七、(本大题10分)已知上半平面内一曲线y=y(x) (x≥0)过点(0,1)，且曲线 上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴，y轴，直线x=x0所围成的面积与该点纵坐标之和，求此曲线方程。

七、

一、填空题(每小题3分，共15分)

1. 1.设u=x4+y4-4x2y2 ，则u x x22 2. 2.设u=xy+y/x，则u y

3. 3.函数z=x2+4xy-y2+6x-8y+12的驻点是4. 4.设幂级数n0的收敛半径是4，则幂级数n0的收敛半径是 R=

222

5. 5.设Σ是柱面x+y=4介于1≤z≤3之间部分曲面，它的法向指向含oz轴的一侧，则= 0

八、

二、单选(每小题2分，共8分)

1、函数zf(x,y)在点(x0,y0)处连续是它在该点偏导数存在的： (A)必要而非充分条件;(B)充分而非必要条件;

(C)充分必要条件;(D)既非充分又非必要条件。 答(A)

2、微分方程yyxy满足条件y’(2)=1, y(2)=1的解是 (A)y=(x-1)2(B)y=(x+1/2)2-21/4 (C)y=1/2(x-1)2+1/2(D)y=(x-1/2)2-5/

4a



n

x

n

a



n

x2n

1

x2y2z2dxdy

答(C)

3、若方程ypyqy0的系数p+qx=0，则该方程有特解 (A)y=x(B)y=e x(C)y=e – x(D)y=sin x答(A)

4、微分方程yysinx的一个特解应具有形式答(D) (A)Asin x(B)Acos x(C)Asin x +Bcos x(D)x(Asinx+Bcosx)

九、

三、解答下列各题

1. 1.(本小题6分)

利用二重积分计算由曲面z=x2+y2，y=1，z=0，y=x2所围成的曲顶柱体的体积。

1

1Vdxx2y2dy

1

x

2

2、(本小题7分)

8810

5证明极限y0

x2ylim

4x0xy

3不存在。

[证明]：取不同的直线路径y=kx ykx0 沿不同的路径极限不同，故由定义二重极限不存在。

3、(本小题5分)

验证：y1=cosωx，y=sinωx都是微分方程y’’+ωy=0的解，并写出该方程的通解。

22

2[验证]：y1’=-ωsinωx,y1’’=- ωcosωx代入方程左端-ωcosωx+ωcosωx=0满足方程。

222

y2’=ωcosωx,y2’’=- -ωsinωx代入方程左端-ωsinωx+ωsinωx=0满足方程。 故y1 、y2皆是微分方程的解。又y1 /y2=(cosωx)/( sinωx)≠常数，故y1与y2线性无关 。方程的通解为y=C1cosωx+C2sinωx

4、(本小题5分)

x2kx

1lim4x0xk3x3k

21cosx

0xf(x)x

x0若s(x)是以2为周期的函数f(x)的Fourier级数之和函x设

数，

求S(-3π)。解：S(-3π)=- π/2

十、

四、解答下列各题：

1、(本小题6分)

更换积分次序：

22、(本小题6分)

dxf(x,y)dydyfx,ydxdyfx,ydx

x

2y

y

12x

1y

42y

t1t,y,zt2

1tt求曲线在t=1处的切线及法平面方程。

x2y2z111

xy12z1012法线方程42解：切线方程：

4x

十一、

五、解答下列各题：

1、(本小题6分)

2

已知Σ是z=x+y上 z≤1的部分曲面，计算:

2、(本小题6分)







4zdsd14r2rdr3



(zy)dxdy(yx)dxdz(xz)dzdy计算，其中光滑曲面∑围成的Ω的体积为

V。

解：由高斯公式，原积分=

十二、

六、解答下列各题

1、(本小题5分)

3dv

v

=3V

判别级数n

1解：因为当n趋于∞时，一般项u n的极限为1，其极限不为0，故级数发散。

2、(本小题5分) 级数

nsin



n的敛散性。

1

111222357是否收敛，是否绝对收敛?

n

(2n1)21

1(1)(2n1)2limn1/n4解：原级数=

3、(本小题5分)





原级数绝对收敛。

3n!xn3n3!n!

2lim22n3n!n1!试求幂级数k1n!的收敛半径。解

4、(本小题5分)

试将函数y=1/(4-x4)展开为x的幂级数

R0

1y

解：

七、(本大题10分)已知上半平面内一曲线y=y(x) (x≥0)过点(0,1)，且曲线 上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴，y轴，直线x=x0所围成的面积与该点纵坐标之和，求此曲线方程。

x4n11x4x42x4n

12nn1444x44n0414



2x2



解：

yyxdxy

x

yyy即yyy0

特征方程：r2-r-1=0

r1,2

12

15

x2

通解：yc1ec2e

1x2

555

初始条件：y(0)=1 , y’(0)=1解得：C1=10，C2=10

15

x2

5特解是：ye

10

15

x2

5e

10

第五篇：高数1.3教案

§1.3 数列的极限

函数研究两个变量的对应关系，而极限则是研究自变量变化时，因变量的变化趋势。

一.极限思想―割圆术：用圆内接正多边形面积逼近圆面积

圆内接正六边形面积记为A1

十二 A2

二十四 A3

62n1 AnnN

A1,A2,,An,构成一列有次序的数――数列. n→大，AnA (圆面积)。不论n如何大，只要n取定, AnA. 设想n，即内接正多边形边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形的面积无限接近于圆，同时An→确定的数值(即圆的面积)数学上就称为的极限(n)。

极限方法是高数中一个基本方法。

二.数列的极限定义――xnfn，D为正整数。

1.第一种定义:当项数n无限增大时，如果xn无限接近于一个确定的常数a，则称当n无限增大时xn的极限是a. 2.“N”def 当0，不论它多么小，总N0,对于nN的一切xn，恒有xna成立，则limxna.如果数列没有极限，就称是发散的。

n *1.是任意给定(任意性)

*2.N与有关，随给定而选定，一般地越小，N越大，N大到何种程度，取决于使xna成立时xn的项数n的取值，定义中仅要求N有关，并不一定要找出最小的自然数N. *3几何意义：nN时，所有的xn都落在a,a内，即数列只有有限个(最多只有N个)在区间之外。 *4利用定义不能直接求极限。

三.极限的证明

1例1 证明lim(1)1

n1n1111， n1 证：0，要使11n1n1111取N[1],则当nN时,有1, 1n1n1 ∴lim(1)1

n1n limxna的证明步骤：

n 1)给定0

2)要使xna,解出NN() 3)取N，即N. 4)当nN时，有xna

5)下结论。 n! 例2 证明 limn0

nnn!证：0，要使n0<，

nn!nn111只要n0=

nnnnnn!11取 N[],则当nN=[]时，有n0

nn!∴limn0 nn 例3 证明. limnn1n0 n1n

证：0，要使只要111,n2

4n1n2n1取N[2]

则当nN时有n1n, 4∴limnn1n0.

2n1 例4 设q1，证明等比数列1,q,q,,qn1,的极限是0。

 证：01∵xn0qln取自然对数，解得∴n1，

lnqlnn1]，则当nN时有xn0q 取N[1lnq limqnn10。

四.收敛数列的性质

1.极限的唯一性

定理1 数列不能收敛于两个不同的极限。 2.有界性

(1)有界概念：数列xn，若M0，对一切xn有xnM，称xn有界。

(2)收敛数列的有界性

定理2 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界。

若xn无界xn发散。xn有界，则不一定收敛。

如xn1n1,即1,1,1,1,,1n1,

∴数列有界是收敛的必要条件，非充分条件。 3.收敛数列与子数列的关系

子数列：在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的次序，得到的一个数列为原数列xn的子数列。xn

k定理3 若xn收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a。

一个发散的数列也可能有收敛的子数列。 

小结：本节介绍了数列极限的定义，理解利用定义证明数列的极限，知道收敛数列的有关性质。

