“扁挑那么大个1,你都不认得 ? ”在缺文化的年代常听见这句话。在今天的小六分数应用题里,认识“扁挑那么大个1”,也成了不少同学的拦路虎。难就难在此1非彼1,1在变化中,不可一言蔽,一言真难尽! 还别不信,看看:某商品定价100元,先涨价一半,再降价一半,是不是还卖原价? 这还得用“1”来解释。肯定是变了的,涨是把“100”当单位1,降是把“150”当单位“1”。
找准单位“1”,是解答分数(百分数)应用题的关键,也是教师教学此类应用题的重点和难点。每一道分数应用题中总是有关键句(含有分率的句子)。如何从关键句中找准单位“1”,我从以下这些方面进行了考虑。
1从部分数和总数认定单位“1”
在同一整体中,部分数和总数作比较关系时,部分数通常作为比较量,而总数则作为标准量,那么总数就是单位“1”。例如我校学生中男生占全校人数的,全校人数是总数,男生人数是部分数,所以,全校人数就是单位“1”。再如,食堂买来840千克大米,吃了,吃了多少千克? 在这里,食堂一共买来的大米是总数,吃掉的是部分数,所以840千克大米就是单位“1”。解答这类分数应用题,只要找准总数和部分数,确定单位“1”就很容易了。
2从两种数量比较中比出单位“1”
分数应用题中, 两种数量相比的关键句非常多。有的是“比” 字句 , 有的则没有“比” 字 , 而是带有指向性特征的“占”、“是 ”、“相当于”。在含有“比 ”字的关键句中 ,比后面的那个数量通常就作为标准量,也就是单位“1”。例如:三年级男生比女生多。就是以女生人数为标准(单位“1”),男生比女生多的人数作为比较量。在另外一种没有比字的两种量相比的时候,我们通常找到分率,看“占”谁的,“相当于”谁的,“是”谁的几分之几。这个“占”,“相当于”,“是”后面的数量———谁就是单位“1”。例如,一个长方形的宽是长的。在这关键句中,很明显是以长作为标准,宽和长相比较,也就是说长是单位“1”。又如,今年的产量相当于去年的倍。那么相当于后面的去年的产量就是标准量,也就是单位“1”。
3从原数量与现数量中区分单位“1”
有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语,也不是部分数和总数的关系。这类分数应用题的单位“1”比较难找。例如,水结成冰后体积增加了,冰融化成水后,体积减少了。象这样的水和冰两种数量到底谁作为单位“1”? 两句关键句的单位“1”是不是相同? 用上面讲过的两种方法不容易找出单位“1”。其实我们只要看,原来的数量是谁? 这个原来的数量就是单位“1”! 比如水结成冰,原来的数量就是水,那么水就是单位“1”。冰融化成水,原来的数量是冰,所以冰的体积就是单位“1”。
4从不变量找单位“1”
(1)总量不变。题目中的几个量 ,如果总量不变 ,可将关系句式统一成以总量作单位“1”。如,甲若给乙10元,甲乙之比为1∶1,甲若给乙20元 ,甲乙之比为2∶3, 求甲乙各有多少元 ? 题中甲乙的总和是没有变化的,所以把总和看作单位1,对甲来说减少10元就占总和的二分之一, 减少20元就占总和五分之二,用相差的10元除以两次分率的差就求出总和进而求出甲乙的的钱。
(2)部分量不变。题目中的几个量 ,如果部分量不变 ,可统一成以部分量为单位“1”。刘文中的例4属于部分量不变。
例如:某纺织厂女工占工人总数的5/8,后来又调来30名女工,这时女工人数是男工人数的2倍。现在厂里共有多少人? 三个量中,男工人数前后不变,以男工人数为单位“1”,将“女工占工人总数的58”转化成“女工占男工人数的5/(8-5)=5/3”。由“原来女工占男工人数的53,调来30名女工后 ,女工占男工人数的2倍”,求得男工人数有30÷(2- (5/3))=90( 人 ), 即现在厂里共有90×(1+2)=270(人)。
(3)差量不变。题目中的几个量 ,如果差量不变 ,可统一成以差量为单位“1”。
例如:甲种手机的价格是乙种手机价格的9/17,如果这两种手机的价格都分别下降600元, 那么甲种手机的价格是乙种手机价格的15/31。甲种手机原来的价格是多少元? 甲、乙两种手机的价格差不变, 将题中的两个关系句式统一成以价格差作单位“1”。将“甲种手机的价格是乙种手机价格的917”转化为“甲种手机的价格占甲、乙两种手机价格差的9/17-9=98”,同理将“甲种手机的价格是乙种手机价格的1531”转化成“甲种手机的价格是甲、乙两种手机价格差的15/(31-15)=15/16”, 至此问题便迎刃而解。求得甲、乙两种手机的价格差是600÷(9/8-15/16)=3200(元),甲种手机的价格是3200×9/8=3600(元)。
5替换统一单位“1”
题目中含有“甲数的几分之几等于乙数的几分之几”这样的句式,写成关系式是:甲数×几分之几=乙数×几分之几。根据乘法交换律的意义,甲数用乙数的几分之几替换,乙数用甲数的几分之几替换,只要把甲数除以乙数或乙数除以甲数,就可以统一成以乙数或甲数为单位“1”。刘文中的第五、第六两个例子都隐含有这样的句式,可以合并。
例如:甲、乙两个车间共有450名工人,甲车间人数的4/9等于乙车间人数的2/3。甲、乙两个车间各有多少工人? 将“甲车间人数的4/9等于乙车间人数的2/3”写成等式 :甲车间人数×49=乙车间人数×2/3。根据乘法交换律的意义 , 把甲车间人数看作“2/3”,把乙车间人数看作“4/9”。如果统一成以乙车间人数为单位“1”,就把2/3除以4/9,即甲车间人数是乙车间人数的2/3÷4/9=3/2,反之亦然。求得乙车间人数有450÷(1+3/2)=180(名),甲车间人数有450-180=270(名)。
再如:甲、乙两人共有人民币270元。若甲借出4/5,乙借出3/4,两人余下的钱数相等。甲、乙两人原来各有人民币多少元?
根据题意,将“甲钱数的(1-4/5)等于乙钱数的(1-3/4)”写成等式:甲×1/5=乙×1/4。根据乘法交换律的意义 ,把甲看作“1/4”,把乙看作“1/5”,统一成以甲的钱数作单位“1”,就把15除以1/4,即乙的钱数占甲的钱数的1/5÷1/4=4/5。求得甲原有人民币270÷(1+4/5)=150(元),乙原有人民币270-150=120(元)。