考研复习资料高数

第一篇：考研复习资料高数

考研高数(1)复习大纲

一、函数、极限与连续

1.求分段函数的复合函数;

2.求极限或已知极限确定原式中的常数;

3.讨论函数的连续性，判断间断点的类型;

4.无穷小阶的比较;

5.讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。

二、一元函数微分学

1.求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论;

2.利用洛比达法则求不定式极限;

3.讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式;

4.利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如证明在开区间内至少存在一点满足……，此类问题证明经常需要构造辅助函数;

5.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间;

6.利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。

三、一元函数积分学

1.计算题：计算不定积分、定积分及广义积分;

2.关于变上限积分的题：如求导、求极限等;

3.有关积分中值定理和积分性质的证明题;

4.定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等;

第二篇：2018考研高数定积分复习的三大要点

为学生引路，为学员服务

2018考研高数定积分复习的三大要点

2018考研初试时间临近，积分是考研数学中非常重要的考点也是容易丢分的部分。本文就和考生来说说最后这段时间要怎么复习定积分。

我们可以看到：在学习定积分之前，我们首先学习了不定积分。很多同学把不定积分与定积分搞混淆。其实不定积分是导数的逆运算，本质还是导数的延伸。而真正的积分部分是定积分。在此，向考生提出如下学习建议，供考生参考。

1.复习知识体系

在讲定积分的时候，我又回归到原来的讲法：从知识体系讲起。因为定积分这章非常重要，考试考查的内容多而广。这章包括：定积分的定义，性质;微积分基本定理;反常积分;定积分的应用。这四个部分各有侧重点。其中定积分的定义是重点;要理解微积分基本定理;要掌握定积分在几何和物理上面的应用。至于反常积分大家了解就行了。

2.深刻回顾知识点

在掌握了知识体系之后，自然就需要明确具体的重点知识点了。首先是定积分的定义及性质。大家需要深刻理解定积分的定义。我觉得同学们不仅要会用自己的话来表述定义，而且要一步一步的写出精髓。比如说从定义中体现的思想：微元法。同学们要理解分割，近似，求和，取极限这四个步骤。同时要知道其几何意义及定义中需要注意的方面。对定积分定义的考察在每年考研中是必考内容。所以希望引起大家的足够重视。至于性质，大家关键也在于理解。特别是区间可加性;比较定理;积分中值定理。对这三个性质大家一定要知道是怎么来的。考研中有关积分的证明题多多少少会用到这三个性质。所以大家只有理解了才懂得在什么时候用。然后是微积分基本定理。这个知识点非常重要。因为它定义了一种新的函数：积分上限函数。而且在一定的条件下，它的导数就是f(x)。所以我们扩展了函数类型。那么导数应用中的切线与法 第 1 页 共 1 页

为学生引路，为学员服务

线;单调性;极值;凹凸性等应用就可以与积分上限函数联系了。同时提出了牛顿-莱布尼茨公式，使得我们可以用不定积分来计算定积分。希望同学们要掌握牛顿-莱布尼茨公式的证明过程。补充说一点：求定积分常用的方法是基本积分公式;换元积分法(凑微分法和换元积分法);分部积分法。其中换元积分法和分部积分法是重点。大家要理解换元积分法的思想。即我们通过复合函数求导公式推出了凑微分法;通过三角代换，根式代换等提出了换元积分法。而我们通过相乘函数的导数公式推出了分部积分法。所以大家只有知道这些方法是怎么来的才能更好的使用这些方法。接着大家要注意变限积分求导了，最好请大家自己证明下。第三个要说的是反常积分。对这一部分，同学们了解基本定义，会用定积分判断是否收敛就够了。最后，是定积分的应用。其实就是微元法在几何以及物理上面的应用。同样的，同学们要知道数学一，数学二，数学三的区别。在几何上，数学三只用掌握用定积分求面积和简单几何体的体积。而数学一和数学二还要求掌握用定积分求曲线弧长，旋转曲面面积。在物理应用方面，数学一和数学二主要掌握用定积分求变力沿直线做功，抽水做功，液太静压力和质心问题。但核心是，同学们一定要掌握微元法的思想。

3.大量做题

在大家理解了重点知识以及明确了考试重点后就需要做题巩固了。关键是做真题，反复做真题，反复练习。

总之，希望大家经过这三个步骤能够学号临门一脚，祝大家成功

第三篇：2016考研数学高数9月至考前的复习计划

10月30日以前——补充题量，见识题型

经过了暑期的强化复习，考生应该通过一些题量来提高自己对知识点的理解和计算能力的提高，从理解知识点到会做题的层次。

11月：考生结合考研真题进行复习

考研历年真题是数学复习最好的老师。这个阶段大家必须要做10到15年的真题，先做第一遍，每天上午利用3个小时的时间，完全模拟真正的考试，完整的做一套卷子，这样下午去总结和归纳，第二天做第二套，一直下午，基本半个月一遍结束，然后重新开始再做第二遍，也从第一套开始，下午总结的时候看看是不是第一遍错的地方第二遍纠正过来了，对于两遍都错的地方要特别留意。

无论哪一种做题目的，都要求在做完题后有归纳总结。一个是总结做题技巧，一个是总结自己基础知识上的欠缺，还有一个是深入挖掘题目拓展意义。技巧是训练的结果。

12月：考生结合模拟试题进行复习

这个阶段，考生最主要的目的还是查漏补缺，可以适当做些模拟题。必须至少保证5套模拟试卷的练习，模拟的成绩不是最重要的，关键是看自己还有哪些方面没有掌握，及时学习。

第四篇：文都首发2014考研数学大纲无变化-高数复习仍以基础为主

来源：文都教育

考研大纲对于考生的复习主要起到提纲挈领的作用，复习有纲可循，有的放矢。今天教育部考试中心发布了2014年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲，与去年相比，考试内容和考试要求都没有变化，这样同学们就不会有复习范围的调整之忧了，这也体现了研究生考试试题的稳定性和命题的连贯性，大家可按原计划进行复习。考研数学试题最大的特点是重视“三基”(基本概念、基本理论和基本方法)的考查，会占到整个试卷的80%，因此在整个考研复习期间，始终秉着以基础为主的原则进行复习。

对于高数而言，它在考研数学中占的比例最大，是考研数学中的重中之重。在复习中，考生要认真研读大纲要求，在复习的过程中明确考试重点，充分把握重点。对于极限这块，考生们要充分掌握求不定式极限的各种方法，如利用极限的四则运算、两个重要极限、洛必达法则等等，还要总结求极限过程中常用到的转化、化简的方法。对函数连续性的探讨也是考试的重点，这就要求考生要充分理解函数连续的定义和掌握判断连续性的方法。对于导数和微分，其重点不是给一个函数求导数，而是利用导数的定义对抽象函数进行求导或判断是否可导，明确连续、可导、可微之间的关系。对于一元函数的积分部分，在求定积分时一定要注意利用积分的奇偶性、对称性及周期性进行求解。中值定理一般每年都要考一道题的，多看看以往考试题型，研究一下考试规律和命题特点。对于多元函数微分部分，隐函数的求导，复合函数的偏导数等是考试的重点。二重积分的计算，掌握积分区域具有可加性、二重积分对称性的应用、二重积分直角坐标和极坐标的变换、二重积分转换成累次积分计算这些知识点。另外还有三重积分，曲线和曲面积分，这是数一必考的重点内容。对于微分方程，大纲中所要求的方程会进行求解。还有无穷级数要掌握判别其敛散性，以及对于幂级数的展开和求和常用的方法和技巧。

在大纲出来后期的复习中，做到以大纲为指导，夯实基础，进行全面系统的复习，做到不遗漏任何知识点。相信经过系统认真的复习后，大家也一定会取得圆满的成绩。

第五篇：考研.数学 高数总结3

定积分理论

一、实际应用背景

1、运动问题—设物体运动速度为vv(t)，求t[a,b]上物体走过的路程。

(1)取at0t1tnb，[a,b][t0,t1][t1,t2][tn1,tn]， 其中tititi1(1in);

(2)任取i[xi1,xi](1in)，S

nf()t; iii1

iin(3)取max{xi}，则Slim1in0f()x i1

2、曲边梯形的面积—设曲线L:yf(x)0(axb)，由L,xa,xb及x轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。

(1)取ax0x1xnb，[a,b][x0,x1][x1,x2][xn1,xn]， 其中xixixi1(1in);

(2)任取i[xi1,xi](1in)，A

nf()x; iii1

iin(3)取max{xi}，则Alim1in0f()x。 i1

二、定积分理论

(一)定积分的定义—设f(x)为[a,b]上的有界函数，

(1)取ax0x1xnb，[a,b][x0,x1][x1,x2][xn1,xn]， 其中xixixi1(1in);

(2)任取i[xi1,xi](1in)，作

nf()x; iii1

inax{xi}，(3)取m若lim1in0f()x存在，称f(x)在[a,b]上可积，极限称为f(x)i

i1

在[a,b]上的定积分，记b

af(x)dx，即f(x)dxlimf(i)xi。 abn0i1

【注解】

(1)极限与区间的划分及i的取法无关。

n

1,xQ

【例题】当x[a,b]时，令f(x)，对limf(i)xi，

0

i10,xRQ

n

n

情形一：取所有iQ(1in)，则lim

0

f()x

i

i1

n

i

limxiba;

0

i1

情形二：取所有iRQ(1in)，则lim

0

n

f()x

i

i1

i

0，

所以极限lim

0

f()x不存在，于是f(x)在[a,b]上不可积。

i

i

i1

(2)0n，反之不对。

112n1n1

,]，xi(1in);

nnnnnn

i1i

取法：取i或i(1in)，则

nn

分法：等分，即[0,1][0,][,][



1ni1ni1

f(x)dxlimf()limf()。

nnnnni1ni1

则



b

a

banif(x)dxlimf[a(ba)]。 nni1n

1n2i【例题1】求极限lim。

nnni1

11n2i

【解答】lim2xdx。

0nnni1

【例题2】求极限lim(

n

1n1





1n2





1nn

)。

22

)

【解答】lim(

n

1n1



1n

21nn1n

()2

n

22

1lim[nn

11()2

n

2()2

n



]

dxx

三、定积分的普通性质

1、

2、

3、

4、

[f(x)g(x)]dx

a

bb

a

f(x)dxg(x)dx。

a

b

kf(x)dxk

a

bb

a

f(x)dx。

bc



b

a

f(x)dxf(x)dxf(x)dx。

a

c



b

a

dxba。

5、设f(x)0(axb)，则【证明】



b

a

f(x)dx0。



b

a

f(x)dxlimf(i)xi，

0

i1

n

因为f(x)0，所以f(i)0， 又因为ab，所以xi0，于是

n

f()x

i

i1

n

i

0，由极限保号性得

limf(i)xi0，即f(x)dx0。

0

i1

b

a

(1)



b

a

f(x)dx|f(x)|dx(ab)。

a

b

(2)设f(x)g(x)(axb)，则



b

a

f(x)dxg(x)dx。

a

b

6(积分中值定理)设f(x)C[a,b]，则存在[a,b]，使得

四、定积分基本理论

定理1 设f(x)C[a,b]，令(x)



b

a

f(x)dxf()(ba)。



x

a

f(t)dt，则(x)为f(x)的一个原函数，即

(x)f(x)。

【注解】

(1)连续函数一定存在原函数。

dx

f(t)dtf(x)， (2)adx

d(x)

f(t)dtf[(x)](x)。 adx

d2(x)

(x)f[1(x)]1(x)。 f(t)dtf[2(x)]2(3)

dx1(x)

【例题1】设f(x)连续，且(x)【解答】(x)

x

(xt)f(t)dt，求(x)。

0x0

x

(xt)f(t)dtx

0f(t)dttf(t)dt，

x

(x)f(t)dtxf(x)xf(x)f(t)dt，(x)f(x)。

xx

【例题2】设f(x)为连续函数，且(x)【解答】(x)

x2t2u

tf(x

x

t2)dt，求(x)。



x

tf(x2t2)dt

1x2222

f(xt)d(xt) 20

101x2

2f(u)duf(u)du，

2x20

f(x2)2xxf(x2)。 2

(x)

定理2 (牛顿—莱布尼兹公式)设f(x)C[a,b]，且F(x)为f(x)的一个原函数，则



b

a

f(x)dxF(b)F(a)。

【证明】由F(x)f(x),(x)f(x)得[F(x)(x)]f(x)f(x)0， 从而F(x)(x)constant，

于是F(b)(b)F(a)(a)，注意到(a)0， 所以(b)F(b)F(a)，即

五、定积分的积分法

(一)换元积分法—设f(x)C[a,b]，令x(t)，其中(t)可导，且(t)0，其中



b

a

f(x)dxF(b)F(a)。

()a,()b，则f(x)dxf[(t)](t)dt。

a

b



(二)分部积分法—

udvuvvdu。

a

a

a

b

b

b

六、定积分的特殊性质

1、对称区间上函数的定积分性质 设f(x)C[a,a]，则 (1)则



a

a

f(x)dx[f(x)f(x)]dx。

a

(2)若f(x)f(x)，则



a

a

f(x)dx2f(x)dx。

a

(3)若f(x)f(x)，则



a

a

f(x)dx0。

【例题1】设f(x),g(x)C[a,a]，其中f(x)f(x)A,g(x)为偶函数，证明：



a

a

f(x)g(x)dxAg(x)dx。

a

【解答】

a



a

a

f(x)g(x)dx[f(x)g(x)f(x)g(x)]dx

a0

a

[f(x)f(x)]g(x)dxAg(x)dx。



(2)计算

arctane

22

x

|sinx|dx。





【解答】







arctane|sinx|dx2(arctanexarctanex)sinxdx，

x

x

x

exex

0， 因为(arctanearctane)2x2x

1e1e

所以arctanexarctanexC0，取x0得C0





，

于是

arctane|sinx|dx

22

x





20

2

sinxdx



。

2、周期函数定积分性质 设f(x)以T为周期，则 (1)



aT

a

。 f(x)dxf(x)dx，其中a为任意常数(周期函数的平移性质)

T

如



3











sinxdx2sinxdx22sin2xdx。

(2)



nT

f(x)dxnf(x)dx。

T

3、特殊区间上三角函数定积分性质





(1)设f(x)C[0,1]，则





20

f(sinx)dx2f(cosx)dx，特别地，



20

sinxdxcosxdxIn，且In

20

n



n

n1

In2,I0,I11。 n2

sinx

【例题1】计算2dx。

1ex2



sin4xsin4xsin4x2【解答】dx()dx x01ex1ex1e2



1131342sin4xdxI2()sinxdx。 4x01ex0422161e



【例题2】计算【解答】



100

cosxdx。



100

cosxdx

50



100

cosxd(x)

100



100

cosxdx



50







2

cosxdx









cosxdx







cosxdx









1cosx2xx222

。 dxsind()sinxdx00222